Về tổng các bình phương

Tác giả cũng xin được cảm ơn TS đã góp ý chi tiết về cách trìnhbày một số kết quả trong khóa luận.Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể cácthầy cô giáo trong khoa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Kiều Anh

VỀ TỔNG CÁC BÌNH PHƯƠNG

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Nguyễn Duy Tân

Hà Nội – Năm 2017

Trước khi trình bày nội dung chính của bản báo cáo thực tập chuyênngành, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn DuyTân đã tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu và tập dượt nghiêncứu Tác giả cũng xin được cảm ơn TS đã góp ý chi tiết về cách trìnhbày một số kết quả trong khóa luận.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể cácthầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,đặc biệt là tổ Đại số, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quátrình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này

Tác giả xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017

Tác giả khóa luậnNguyễn Thị Kiều Anh

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Tânkhóa luận "Về tổng các bình phương" được hoàn thành khôngtrùng với bất kỳ đề tài nào khác

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017

Tác giả khóa luậnNguyễn Thị Kiều Anh

Lời mở đầu 1

1.1 Vành các số nguyên Gauss 3

1.2 Dạng toàn phương hệ số nguyên 4

1.3 Dạng toàn phương hai biến 5

1.4 Dạng toàn phương ba biến 7

2 Tổng hai bình phương 13 2.1 Điều kiện cho một số biểu diễn thành tổng hai bình phương 13

2.2 Số cách biểu diễn n thành tổng hai bình phương 18

3 Tổng bốn bình phương 22 3.1 Mọi số nguyên dương đều là tổng bốn bình phương 22

3.2 Số cách biểu diễn n thành tổng bốn bình phương 26

4.1 Điều kiện cho một số biểu diễn thành tổng ba bình phương 38

Tài liệu tham khảo 45

Trong Khóa luận này, tác giả chỉ xét đối với trường hợp r = 2, 3, 4.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài này nhằm tổng quan các kết quả của các tácgiả đã nghiên cứu về sự biểu diễn một số thành tổng các bình phương

và số cách biểu diễn có thể có, từ đó, ứng dụng để tìm điều kiện chophương trình diophantine x21 + x22 + · · · + x2r = n có nghiệm nguyên

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về điều kiện để biểu diễn một số thành tổng cácbình phương và số cách biểu diễn có thể có

Đề tài chỉ đề cập tới các trường hợp đơn giản với r = 2, 3, 4

4 Phương pháp, phương tiện

Nghiên cứu thu thập tài liệu liên quan tới sự biểu diễn một sốnguyên thành tổng các bình phương và số cách biểu diễn có thể có.

5 Cấu trúc đề tài

Khóa luận gồm bốn chương

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số định nghĩa, kiếnthức về dạng toàn phương và vành số nguyên Gauss

Chương 2 "Tổng hai bình phương" trình bày điều kiện cần và đủ

để biểu diễn một số nguyên dương thành tổng hai bình phương và sốcách biểu diễn có thể có

Chương 3 "Tổng bốn bình phương" trình bày kết quả rằng mọi sốnguyên dương đều viết được thành tổng bốn bình phương và số cáchbiểu diễn có thể có

Chương 4 "Tổng ba bình phương" trình bày điều kiện cần và đủ đểbiểu diễn một số nguyên dương thành tổng ba bình phương

Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017

Tác giả khóa luậnNguyễn Thị Kiều Anh

Kiến thức chuẩn bị

Trong Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản vềdạng toàn phương và vành số nguyên Gauss Hai tài liệu tham khảochính được sử dụng là [DF] cho mục vành số nguyên Gauss, và [Lan]cho các mục về dạng toàn phương

Nhắc lại: Cho A là một vành giao hoán có đơn vị Phần tử a ∈ Ađược gọi là phần tử bất khả quy nếu a 6= 0, a khác khả nghịch và akhông có ước thực sự Vành A được gọi là miền nguyên nếu nó có ítnhất hai phần tử và không có ước của không Vành A được gọi là vànhGauss hay vành nhân tử hóa nếu mọi phần tử khác không và không

khả nghịch của nó đều được phân tích một cách duy nhất thành tíchcủa hữu hạn phần tử bất khả quy nếu không tính đến thứ tự của cácphần tử và các thừa số là ước của đơn vị.

Tính chất của vành Z[i]

(1) Vành Z[i] là một vành Gauss

(2) Các phần tử khả nghịch trong Z[i]: ±1,±i

(3) Các phần tử nguyên tố (hay bất khả quy) (sai khác một bội củaphần tử) khác là: 1 ± i, p ≡ 3 (mod 4) (p ∈ Z nguyên tố), a ± bivới a, b > 0 và a2 + b2 = p

Định nghĩa 1.2 Ta nói đa thức F là dạng toàn phương hệ nguyên(theo nghĩa của Gauss) theo biến x1, x2, , xr nếu nó có dạng

Ma trận A = [aij] được gọi là ma trận hệ số của F (đối với biến

x1, x2, , xr) Định thức của A = [aij] được gọi là biệt thức của F ,

cij ∈ Z sao cho

c11 c1r

cr1 crr

Hơn nữa, F xác định dương khi và chỉ khi a11 > 0 và K là dạng

hai biến xác định dương

định dương nếu và chỉ nếu K(x2, x3) là xác định

Thật vậy, nếu K không xác định thì tồn tại K(x2, x3) ≤ 0 với x2, x3

không đồng thời bằng 0 nào đó Ta có thể giả sử x2, x3 chia hết cho a11

Khi đó x1 có thể được xác định như một số nguyên từ a11x1+ a12x2+

a13x3 = 0 Và ta có a11F (x1, x2, x3) = 02 + K(x2, x3) ≤ 0, F ≤ 0 Do

vậy F (x1, x2, x3) < 0 Suy ra F không xác định Mặt khác nếu K xác

định dương, từ F ≤ 0 thì ta giả sử F (x1, x2, x3) = 0 ⇒ K(x2, x3) =

a11F (x1, x2, x3) = 0 ⇒ x2 = x3 = 0 Khi đó a11x21 = 0 ⇒ x1 = 0

Bổ đề 1.2 Giả sử gcd(c11, c21, c31) = 1 Khi đó tồn tại các số nguyên

c12, c22, c32, c13, c23, c33 sao cho det[cij] = 1

= c31c12c21− c11c22

g v+(c11c22−c12c21)u = −c31v+gu = 1,

ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.2 Mỗi lớp tương đương dạng 3 biến xác định dương chứa

ở đây r, s, t, u, v, w ∈ Z sẽ chọn sao cho |D| = tw − uv = 1.

Hệ quả 1.3 Mọi dạng 3 biến xác định dương biệt thức 1 đều tươngđương với dạng x21 + x22 + x23.

Chứng minh Dạng 3 biến xác định dương biệt thức 1 (cho trước)tương đương với dạng F (x1, x2, x3) =X

= 1 và nếu đổi biến

Tổng hai bình phương

Trong Chương này chúng tôi trình bày về điều kiện để biểu diễn một

số nguyên thành tổng hai bình phương và số cách biểu diễn có thể có.Tài liệu tham khảo chính được sử dụng là [Gro]

2.1 Điều kiện cho một số biểu diễn thành tổng

hai bình phương

Kết quả chính của mục này là định lý sau

Định lý 2.1 Phương trình diophantine x2+ y2 = n (2.1) là giải đượcnếu và chỉ nếu tất cả các ước nguyên tố q của n với q ≡ 3 (mod 4)xuất hiện với lũy thừa chẵn

Để đi chứng minh Định lý 2.1 chúng ta sử dụng một số bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Tích của tổng hai bình phương cũng là tổng hai bìnhphương

Chứng minh Thật vậy

(a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2 + b2c2 + a2d2 + b2d2

= (a2c2 + b2d2 + 2abcd) + (a2d2 + b2c2 − 2abcd)

= (ac + bd)2 + (ad − bc)2,điều phải chứng minh

Bổ đề 2.2 Cho p là số nguyên tố lẻ Khi đó phương trình x2 + 1 ≡ 0(mod p) là giải được khi và chỉ khi p ≡ 1 (mod 4)

Chứng minh Điều kiện cần: Ta giả sử p ≡ 3 (mod 4) nên p = 4k + 3,

k ∈ Z và ∃ z sao cho z2 ≡ −1 (mod p) Khi đó theo định lí Fermatnhỏ ta có zp−1 ≡ 1 (mod p) Khi đó 1 ≡ zp−1 ≡ (z2)p−12 ≡ (−1)p−12 ≡(−1)2k+1 ≡ −1 (mod p) (vô lí)

Điều kiện đủ: Ta giả sử p ≡ 1 (mod 4)

Khi đó vì p ≡ 1 (mod 4) nên p = 4k + 1 Theo định lý Wilson tacó

Chứng minh Vì n = p ≡ 1 (mod 4) nên phương trình x2 + y2 ≡ 0(mod p) có nghiệm Do vậy tồn tại x, y, m ∈ Z sao cho x2+y2 = mp Ta

2) (trái vớigiả sử)

không đồng thời bằng không

Vì x21+ y12 ≡ x2+ y2 ≡ 0 (mod m0) nên x21+ y12 = m0m1, m ∈ Z Khi

đó 0 < x21 + y21 = m0m1 < m

2 0

xy1 − yx1 = x(y − dm0) − y(x − cm0) = m0(cy − dx) = m0Y

Khi đó m20m1p = m20(X2+ Y2), hay X2+ Y2 = m1p với 0 < m1 < m0

2 .Mâu thuẫn với cách chọn m

Vậy m0 = 1 và x2 + y2 = p có nghiệm.

Ngoài ra chúng ta có cách khác để chứng minh Bổ đề 2.3 dựa vào

Bổ đề 2.2 và Hệ quả 1.2 bằng phương pháp sử dụng dạng toàn phươngnhư sau

Chứng minh khác cho Bổ đề 2.3 Theo Bổ đề 2.2 thì tồn tại tb ∈ Zsao cho b2 + 1 ≡ 0 (mod p), hay b2 + 1 = ap

Xét F (x, y) = ax2 + 2bxy + py2 Hiển nhiên p biểu diễn được bởi

F vì p = F (0, 1) Khi đó F là dạng toàn phương xác định dương biệtthức d = b2 − ap = 1 Vậy theo Hệ quả 1.2 thì F tương đương vớidạng x2 + y2 Vậy p biểu diễn được bởi x2 + y2

Xét phương trình x2+ y2 = n Một nghiệm (x, y) của phương trìnhđược gọi là nguyên thủy nếu gcd(x, y) = 1

Bổ đề 2.4 Nếu p nguyên tố, p | n và p ≡ 3 (mod 4) thì phương trìnhdiophantine x2 + y2 = n không có nghiệm nguyên thủy

Chứng minh Giả sử (x, y) là nghiệm nguyên thủy của phương trình

x2 + y2 = n Nếu p | x thì p | y (trái với giả thiết gcd(x, y) = 1).Tương tự p | y thì p | x (trái với giả thiết gcd(x, y) = 1) Do vậy p - x

Bây giờ, chúng ta đi vào chứng minh Định lý 2.1.

Chứng minh Định lý 2.1 a) Điều kiện cần: Giả sử (x, y) là nghiệmcủa phương trình x2 + y2 = n Ta chứng minh tất cả các ước nguyên

tố q của n với q ≡ 3 (mod 4) xuất hiện với cùng lũy thừa chẵn

Thật vậy, gọi (x, y) là nghiệm của phương trình (2.1) và gcd(x, y) =d

Thật vậy, giả sử q là ước nguyên tố của n nên q có một trong badạng

2.2 Số cách biểu diễn n thành tổng hai bình phương

Kí hiệu: r2(n) là số cách biểu diễn n thành tổng hai bình phương, d(n)

là số các ước của n, da(n) là số các ước của n thỏa mãn d ≡ a (mod 4)

{(a + bi)(a − bi)}r Y

q≡3 (mod 4)

qs

Với mỗi n biểu diễn được thành tổng hai bình phương Chẳng hạn

n = u2 + v2 = (u + iv)(u − iv), ta có

u + iv = it(1 + i)f1(1 − i)f2Y{(a + bi)r1(a − bi)r2}Yqs1,

u − iv = i−t(1 + i)f2(1 − i)f1Y{(a + bi)r2(a − bi)r1}Yqs2,

với t = 0, 1, 2, 3, f1 + f2 = f , r1 + r2 = r, s1 + s2 = s Ta thấy

s1 = s2 = s

2 cố định Vì f và r cố định nên f1 phụ thuộc vào cáchchọn f2 hoặc ngược lại, r1 phụ thuộc vào cách chọn r2 hoặc ngược lại.Khi đó có 4 cách chọn t, (f + 1) cách chọn f1, (r + 1) cách chọn r1.Như vậy, có tất cả 4(f + 1)Q(r + 1) cách chọn Tuy nhiên, trong cáctrường hợp này sẽ có trường hợp trùng nhau ví dụ như

(1 + i)(1 − i)f −1 = (1 + i)(1 − i)(1 − i)f −2

= (1 + i)(1 + i)1

i(1 − i)

f −2

= i−1(1 + i)2(1 − i)f −2

Như vậy, ta có thể thay đổi f1, f2 bằng cách thay đổi t Vậy, ta loại

bỏ những trường hợp trùng nhau thì sẽ còn lại số cách biểu diễn của

p r kn

(1+r) = 4d(n1).Khẳng định 2: d(n1) = d1(n) − d3(n)

kể đến các ước là số âm thì số 493 có các ước là: 1, 17, 29, 493 và tất

cả các ước này đều đồng dư với 1 (mod 4) Do vậy, số cách biểu diễn

số 493 thành tổng hai bình phương là:

r2(493) = 4[d1(493) − d3(493)] = 4.4 = 16

Vậy có tất cả 16 cách biểu diễn số 493 thành tổng hai bình phương.Tương tự, đối với số 5800095 ta đễ dàng tính được có 16 cách đểbiểu diễn số này thành tổng hai bình phương

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu số nguyên a là tổng bình phươngcủa hai số hữu tỷ thì nó là tổng bình phương của hai số nguyên.Chứng minh Vì a là tổng bình phương hai số hữu tỷ nên ta có thểchọn m, n, s ∈ Z và gcd(m, n, s) = 1 sao cho a =

ms

2

+

ns

2

⇒

as2 = m2 + n2 Theo Định lý 2.2 ta có với mọi q nguyên tố, q ≡ 3(mod 4) thì q xuất hiện với lũy thừa chẵn trong as2 Suy ra với mọi qnguyên tố, q ≡ 3 (mod 4) thì q xuất hiện với lũy thừa chẵn trong a

Do vậy a cũng là tổng bình phương hai số nguyên

Chương 3

Tổng bốn bình phương

Trong Chương này chúng tôi trình bày kết quả rằng mọi số nguyêndương đều là tổng bốn bình phương và số cách biểu diễn có thể có.Tài liệu tham khảo chính được sử dụng là [Gro]

phương

Kết quả chính của mục này là định lý sau

Định lý 3.1 Tất cả các số nguyên dương đều là tổng của bốn bìnhphương, tức là với mọi n ∈ Z, n > 0, phương trình diophantine x21 +

x22 + x23 + x24 = n giải được với xi ∈ Z (i = 1, 2, 3, 4)

Để đi chứng minh Định lý 3.1 chúng ta sử dụng một số bổ đề sau

Bổ đề 3.1 Tích của tổng bốn bình phương cũng là tổng bốn bìnhphương

ta có điều phải chứng minh.

Bổ đề 3.2 (Bổ đề Euler) Nếu p là một số nguyên tố lẻ thì phươngtrình

1 + x2 + y2 = mp

là giải được với các số nguyên x, y, m và 0 < m < p

Chứng minh Ta xét hai trường hợp sau

Trường hợp 1: p ≡ 1 (mod 4) Khi đó theo Bổ đề 2.1 thì x2 + 1 ≡ 0(mod p) có nghiệm x Suy ra 1 + x2 = mp, m ∈ Z Ta chọn |x| < p

2 vàkhi đó 16 mp = 1 + x2 < 1 +

p2

2.Trường hợp 2: p ≡ 3 (mod 4) Ta có p + 1

2 số 0

2, 12, ,

p − 12

2không đồng dư modp Do đó tồn tại 0 ≤

Do đó m ≤ p

2 − 2p + 32p < p.

Bây giờ, chúng ta đi vào chứng minh định lý 3.1

Chứng minh Định lý 3.1 Theo Bổ đề 3.2, ta chỉ cần chứng minh định

lý cho trường hợp n = p là nguyên tố Ta cũng có thể nói p là lẻ vì

2 = 12 + 12 + 02 + 02

Gọi m0 là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho phương trình x21+x22+

x23+ x24 = m0p có nghiệm nguyên Từ Bổ đề 3.2, ta suy ra 1 ≤ m0 < p

2

+

x3 − x42

2

+

x3 + x42

Nhận xét 2: Không phải tất cả các xi đều chia hết cho m0

Thật vậy, ngược lại giả sử x1, x2, x3, x4 đều chia hết cho m0 Khi đó

m20 | m0p do đó m0 | p (vô lý vì p là số nguyên tố và 1 < m0 < p).Lấy bi là số nguyên gần xi

Như vậy m0 = 1 và phương trình x21 + x22 + x23 + x24 = p luôn cónghiệm xi ∈ Z, (i = 1, 4) Vậy tất cả các số nguyên dương đều là tổngcủa bốn bình phương

3.2 Số cách biểu diễn n thành tổng bốn bình phương

Với số nguyên dương n, ta gọi r4(n) là số cách biểu diễn n thành tổngbốn bình phương Ta gọi σ0(n) là tổng các ước không chia hết cho 4của n, tức là σ0(n) = X

d|n d6≡0( mod 4)

X

xnr2(n)

X

n=1

nxn−1.Suy ra

X

n=1

unsin nθ

S1 =1

2cot

θ2

1 + 2 cos θ + cos 2θ = cot θ

2sin 2θ

⇔ 2 cos2θ + 2 cos θ = cos

θ 2

sin θ2.2 sin θ cos θ

⇔ 2 cos θ(cos θ + 1) = 2 cos θ.2 cos2 θ

2 cos 2n − 1

2 θ sin

θ2

Thật vậy, ta thấy S1 đóng góp cho C0 tổng 1

m−n=k

umun + 1

2X

m−n=−k

umun − 1

2X

uk(1 + ul + uk−l) = x

k

1 − xk

1 − xk(1 − xl)(1 − xk−l) =

xk(1 − xl)(1 − xk−l)

lxk−l(1 − xl)(1 − xk−l) = uluk−l.

(Theo khẳng định 2.) Ta cũng thu được

L2 = T1 + T2 = 1

16 +

12

Bây giờ, chúng ta đi xét ví dụ sau.

Ví dụ: Tính số cách biểu diễn số 12 thành tổng bốn bình phương?

Để trả lời cho câu hỏi này ta sẽ đi tính tổng của các ước (không kểđến các ước là số âm) của 12 mà không chia hết cho 4 Như vậy cácước đó là: 1, 2, 3, 6, và tổng của chúng bằng 12 Khi đó, theo Định lý3.2 thì số cách biểu diễn số 12 thành tổng bốn bình phương là:

r4(12) = 8σ0(12) = 8 · 12 = 96

Vậy có 96 cách để biểu diễn số 12 thành tổng bốn bình phương

Tương tự, đối với số 24 ta đễ dàng tính được có 96 cách để biểudiễn số này thành tổng bốn bình phương.

4

X

i=1

x2i = 2n Do đó (x1, , x4) ∈ A.Vậy φ là toàn ánh Do φ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh nên φ làsong ánh Khi đó r4(2n) = r4(8n)

Ta có ngay hệ quả sau

Hệ quả 3.1 Nếu n là lẻ thì với mọi số nguyên không âm a ta có

r4(2.4an) = r4(2n)

... thành tổng hai bình phương. Tương tự, số 5800095 ta đễ dàng tính có 16 cách đểbiểu diễn số thành tổng hai bình phương

Ví dụ 2: Chứng minh số nguyên a tổng bình phươngcủa hai số hữu tỷ tổng bình. .. class="page_container" data-page="24">

2.2 Số cách biểu diễn n thành tổng hai bình phương< /h3>

Kí hiệu: r2(n) số cách biểu diễn n thành tổng hai bình phương, d(n)

là số ước n, da(n)... nguyêndương tổng bốn bình phương số cách biểu diễn có.Tài liệu tham khảo sử dụng [Gro]

phương< /h3>

Kết mục định lý sau

Định lý 3.1 Tất số nguyên dương tổng bốn bìnhphương,