Đa thức tổng bình phương và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYẾN THỊ HỒNG HẠNH ĐA THỨC TỔNG BÌNH PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYẾN THỊ HỒNG HẠNH ĐA THỨC TỔNG BÌNH PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Th.S TRẦN VĂN TUẤN Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ThS Trần Văn Tuấn - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn, bảo định hướng cho suốt trình làm khóa luận Đồng thời xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho hoàn thành tốt khóa luận để có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hồng Hạnh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Khóa luận công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy ThS Trần Văn Tuấn Trong nghiên cứu, hoàn thành khóa luận tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài: “Đa thức tổng bình phương ứng dụng” kết việc nghiên cứu nỗ lực học tập thân, không trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hồng Hạnh Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric đầy nguyên lý ánh xạ co 1.1.1 Không gian metric đầy 1.1.2 Nguyên lý Banach ánh xạ co 1.2 Hệ phương trình vi phân 1.2.1 Sự tồn nghiệm 1.2.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.3 Bổ trợ số kiên thức ma trận 6 10 10 13 18 Đa thức tổng bình phương ứng dụng 21 2.1 Đa thức tổng bình phương 21 2.1.1 Đa thức số khái niệm liên quan 21 2.1.2 Đặc trưng đa thức SOS 26 2.1.3 Điều kiện để đa thức có biểu diễn SOS 30 2.2 Ứng dựng đa thức SOS vào việc kiểm tra tính ổn định hệ phương trình vi phân 35 Kết luận 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình vi phân chuyên ngành thiết yếu toán học có nhiều ứng dụng lĩnh vực khoa học - kĩ thuật công nghệ, coi cầu nối lý thuyết ứng dụng [4, 5] Các nghiên cứu phương trình vi phân sớm nhiều nhà toán học [5] Các câu hỏi quan trọng quan tâm nghiên cứu liên quan tới phương trình vi phân tồn nghiệm, tính ổn định nghiệm toán Cauchy, xem toán 1.1 Câu hỏi tồn nghiệm toán Cauchy chứng minh nhiều nhà toán học điều kiện khác liên quan tới vế phải, xem [5] Vào 1882, luận án tiến sĩ mình, xem [5] Lyapunov thiết lập điều kiện cần đủ tồn hàm Lyapunov để kiểm tra trạng thái cân toán Cauchy ổn định Ý tưởng Lyapunov tìm hàm khả vi liên tục V mà −V˙ ≥ lân cận trạng thái cân Tuy nhiên, Lyapunov không đưa phương pháp cụ thể để xây dựng hàm Lyapunov Gần đây, xem [7], luận án tiến sĩ Parrilo đề xuất ý tưởng mới: “Thay tìm hàm V mà −V˙ ≥ ta tìm hàm V mà −V˙ biểu diễn dạng tổng bình phương (SOS) đa thức” Một công cụ hữu hiệu để kiểm tra đa thức có biểu diễn SOS bất đẳng thức ma trận tuyến tính Do đó, toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân qui toán tối ưu Xuất phát từ quan sát với hướng dẫn tận tình Th.S Trần Văn Tuấn, xin chọn đề tài: “Đa thức tổng bình phương ứng dụng” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Giới thiệu đa thức tổng bình phương (SOS) phân tích đa thức không âm thành tổng hữu hạn đa thức SOS Ứng dụng đa thức SOS vào toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Đối tượng nghiên cứu • Tìm hiểu cách biểu diễn đa thức tổng bình phương, kiểm tra đa thức không âm biểu diễn dạng đa thức tổng bình phương ngược lại • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân, tìm mối liên hệ việc xây dựng đa thức SOS hàm vô hướng Lyapunov từ vận dụng cho việc kiểm tra tính ổn định hệ phương trình vi phân Phạm vi nghiên cứu • Đa thức, đa thức biểu diễn dạng tổng bình phương đặc trưng • Hệ phương trình vi phân tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân theo phương pháp hàm Lyapunov Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích giải minh họa, tích cực nghiên cứu bảo thầy giáo hướng dẫn Cấu trúc đề tài Khóa luận trình bày hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đa thức tổng bình phương ứng dụng vào kiểm tra tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hồng Hạnh Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên R Tập số thực C Tập số phức R+ Tập số thực không âm C[a, b] Tập hàm liên tục đoạn [a, b] Rn Không gian Euclide n chiều, với x = (x1 , x2 , , xn ) phần tử Rn , 1/2 n |xi |2 chuẩn Euclide x = , i=1 Rn×m Tập tất ma trận cấp n × m AT Ma trận chuyển vị ma trận A zn,d Vectơ đơn thức n biến, bậc nhỏ d M Ma trận xác định không âm n aj Tích a1 a2 an j=1 λ(A) Tập giá trị riêng ma trận A Kết thúc chứng minh Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric đầy nguyên lý ánh xạ co 1.1.1 Không gian metric đầy Định nghĩa 1.1 Cho không gian metric M = (X, d) Dãy điểm (xn ) ⊂ X gọi dãy M , (∀ ε > 0) (∃ n0 ∈ N∗ ) (∀ m, n ≥ n0 ) d(xn , xm ) < ε hay lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Dễ dàng thấy dãy điểm (xn ) ⊂ X hội tụ M dãy Định nghĩa 1.2 Không gian metric M = (X, d) gọi không gian đầy, dãy không gian hội tụ Ví dụ 1.1 Không gian Rk không gian metric đầy Ta thấy có hai ma trận Q1 Q2 thỏa mãn phân tích đa thức p(x) có Q1 Q2 Vậy với Q1 đa thức p(x) có phân tích dạng đa thức tổng bình phương 2.1.3 Điều kiện để đa thức có biểu diễn SOS Định lý 2.1 đưa cách tham số hóa hoàn toàn đa thức SOS với số lượng biến bậc cho trước, nhiên chưa đưa phương pháp để kiểm tra đa thức đa thức SOS Với tính chất đối xứng ma trận Q để zn,d (x)T Qzn,d (x) = p(x) với p ∈ Rn,2d , người ta chọn sở trực chuẩn {Ei } ma trận đối xứng cấp n+d d × n+d d , để tìm zn,d (x)T ( qi Ei )zn,d (x) hệ số tương đương với p(x) tập hợp ma trận mà thỏa mãn không gian affine ma trận đối xứng Cụ thể, với p ∈ Rn,2d , Q0 ma trận đối xứng thỏa mãn zn,d (x)T Q0 zn,d (x) = p(x) n q {Qi }i=1 tập hợp ma trận đối xứng cho zn,d (x)T Qi zn,d (x) = Với thiết lập này, ta kí hiệu không gian affine ma trận đối xứng quan hệ với p(x) sau Qp : = {Q|zn,d (x)T Qzn,d (x) = p(x)} nq = λi Qi |λi ∈ R, i = 1, 2, , nq Q0 + i=1 30 Quy tắc chung để tìm tập Qi định nghĩa không gian minh họa ví dụ sau Ví dụ 2.5 Cho p ∈ Rn,2d , tìm ma trận Q0 đối xứng cho z2,2 (x)T Q0 z2,2 (x) = p(x) Chọn sở chuẩn tắc ma trận đối xứng,ta viết z2,2 (x)T Qz2,2 (x) = dạng               T    x1    x2    x1    x1 x2   x2              q1 q2 q2 q7 q3 q8 q4 q5 q6 q9 q10 q11 q3 q8 q12 q13 q14 q15 q4 q9 q13 q16 q17 q18 q5 q10 q14 q17 q19 q20 q6 q11 q15 q18 q20 q21                  x1    x2  =0  x1    x1 x2   x2 Nhân vế trái ta hệ số tương ứng với đơn thức cho bảng sau 31 Đơn thức Hệ số q1 x1 2q2 x2 2q3 x21 q7 + 2q4 x1 x2 2q8 + 2q5 x22 q12 + 2q6 x31 2q9 x21 x2 2q10 + 2q13 x1 x22 2q11 + 2q14 x32 2q15 x41 q16 x31 x2 2q17 x21 x22 q19 + 2q18 x1 x32 2q20 x42 q21 cách đồng hệ số ta tìm không gian 32 ma trận cho z2,2 (x)T Qz2,2 (x) = {Q|z2,2 (x)T Qz2,2 (x) = 0} = {λ1 (2E7 − E4 ) + λ2 (E8 − E5 ) + λ3 (2E12 − E6 ) Q1 Q2 Q3 + λ4 (E10 − E13 ) + λ5 (E11 − E14 ) Q4 Q5 + λ6 (2E19 − E18 )|λ1 , , λ6 ∈ R} Q5 = { λi Qi |λi ∈ R} i=1 Đây cách biểu diễn đa thức nhiều biến có bậc cho trước thuộc Qp Quy hoạch nửa xác định dương (SDP) kết từ toán tối ưu hóa minn x∈R cT x cho F (x) := F0 + x1 F1 + · · · + xn Fn 0, c ∈ Rn Fi = FiT ∈ Rp×p , i = 1, 2, , n Thông thường SDP sử dụng để giải toán tối ưu tức liệu có tồn x ∈ Rn cho F (x) quát F (x) hay không? Bất đẳng thức tổng tuyến tính, thuộc không gian affine, toán SDP coi bất đẳng thức ma trận tuyến tính Việc tìm ma trận Q thu từ quy hoạch nửa xác định dương SDP cho Q 0, mà Q phần tử thuộc không gian affine, nội dung định lý sau 33 Định lý 2.2 (Định lý [6], trang 17) Cho p ∈ Rn,2d , tìm không gian affine Qp = {Q0 + i λi Qi |λi ∈ R} cho p ∈ Σn,2d bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn ∃λi cho Q0 + λi Qi i Chứng minh Theo định lý 2.1, ta biết p ∈ Σn,2d tồn ma trận Q cho z2,2 (x)T Qz2,2 (x) = 0, ta cần tìm Qp để thỏa mãn bất đẳng thức Q0 + i λi Qi Trên đây, thấy việc kiểm tra đa thức có biểu diễn SOS hay không thực chất toán quy hoạch SDP Tiếp theo, trình bày ứng dụng trực tiếp đa thức SOS vào toán nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân góp phần hỗ trợ nghiên cứu toán liên quan đến lĩnh vực thực tế Trong nhiều toán thực tế, người ta cần biết thông tin nghiệm hệ thời gian hữu hạn thời gian tiến vô hạn Trong phần tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm toàn cục hệ phương trình vi phân mà vế phải đa thức theo nghĩa Lyapunov 34 2.2 Ứng dựng đa thức SOS vào việc kiểm tra tính ổn định hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình x(t) ˙ = f (x(t)), t ≥ (2.2) với x(t) ∈ Rn , f đa thức n ẩn x1 , x2 , , xn f (0) = Trước hết, nhắc lại hàm V (x) : Rn → R gọi xác định dương i) V (x) ≥ với x ∈ Rn ii) V (x) = x = Khi ta định nghĩa V˙ := ∇V (x)T f (x), đạo hàm V dọc theo quỹ đạo Định nghĩa sau cho ta lớp hàm so sánh vô Định nghĩa 2.4 (Lớp hàm số K∞ ) Một hàm số σ : R → R gọi hàm K∞ liên tục, tăng thực sự, có tính chất σ(0) = σ(ξ) → ∞ ξ → ∞ Định nghĩa 2.5 (Hàm xác định dương) Một hàm ρ : Rn → R gọi xác định dương liên tục, có tính chất ρ(0) = 0, tồn số hàm σ thuộc K∞ cho σ(||x||) ≤ ρ(x), với x ∈ Rn 35 Với định nghĩa phát biểu chứng minh tiêu chuẩn lý thuyết Lyapunov cho ổn định toàn cục trạng thái cân hệ (2.2) Định lý 2.3 (Định lý [6], trang 29)(Ổn định tiệm cận) Hệ (2.2) ổn định tiệm cận toàn cục điểm cân tồn hàm xác định dương V : Rn → R+ cho −V˙ xác định dương Chứng minh Từ định nghĩa ta thấy tồn hàm α, β thuộc K∞ cho α(||x||) ≤ V (x), ∀x ∈ Rn β(||x||) ≤ −V˙ , ∀x ∈ Rn Đầu tiên ta chứng minh ổn định xấp xỉ hội tụ điểm cố định Cho ε > bất kỳ, chọn δε cho sup V (x) < α(ε) ||x|| 0, cần tìm T > cho ||φt (x0 )|| < ε ∀ t ≥ T Nếu x0 = chứng minh hiển nhiên Vì vậy, giả sử x0 = ε > cho ||φt (x0 )|| ≥ ε ∀ t ≥ T với t > Ta có t V˙ (φτ (x0 ))dτ = V (φt (x0 )) − V (x0 ), suy t V˙ (φτ (x0 ))dτ V (φt (x0 )) = V (x0 ) + Áp dụng tính xác định dương V ||φt (x0 )|| < ε ta giới hạn biểu diễn sau t V˙ (φτ (x0 ))dτ α(ε) ≤ α(||φt (x0 )||) ≤ V (φt (x0 )) = V (x0 ) + Hơn nữa, áp dụng tính xác định dương −V˙ ||φt (x0 )|| < ε ta giới hạn V (φt (x0 )) sau t t V˙ (φτ (x0 ))dτ ≤ V (x0 ) − V (φt (x0 )) = V (x0 ) + βV (φτ (x0 ))dτ ≤ V (x0 ) − tβ(ε) Cuối ta có αε ≤ V (x0 ) − tβ(ε), với t > Tuy nhiên, t ≥ V (x0 )/β(ε) α(ε) ≤ 0, điều mâu thuẫn với giả thiết ε > Vậy định lý chứng minh 37 Ví dụ 2.6 Cho hệ phương trình vi phân    x˙ = −x31 − x2 x3 − x1 − x1 x23   x˙ = −x1 x3 + 2x31 − x2     x˙ = −x + 2x2 3 Chọn hàm Lyapunov V = 12 (x21 + x22 + x23 ), ta cần kiểm tra V˙ xác định âm Ta có V˙ := ∇V (x)t f (x) = x1 (−x31 − x2 x3 − x1 − x1 x23 ) + x2 (−x1 x3 + 2x31 − x2 ) + x3 (−x3 + 2x21 ) = −x41 − 2x1 x2 x3 + 2x2 x21 + 2x21 x3 − x21 x23 − x21 − x22 − x23 suy −V˙ = x41 + 2x1 x2 x3 − 2x2 x21 − 2x21 x3 + x21 x23 + x21 + x22 + x23 = x21 + x22 + (x21 − x1 x3 − x3 )2 nên −V˙ ≥ Hơn nữa, −V˙ = ⇔ x = Do đó, hệ ổn định tiệm cận toàn cục Bổ đề 2.2 Cho hệ (2.2) hàm xác định dương 1, ∈ Rn , hệ (2.2) ổn định tiệm cận toàn cục tồn V ∈ Rn với V (0) = cho V − ∈ Σn , −(∇V T f + l2 ) ∈ Σn 38 Lấy sở từ Định lý 2.2, ta chứng minh tính ổn định mũ nửa toàn cục định lý Định lý 2.4 (Định lý [6], trang 31)(Ổn định mũ) Nếu tồn hàm V , cho V (x) ≥ α||x||dd ∀x ∈ Rn , α > d số nguyên lớn 1, tồn γ > cho V˙ (x) ≤ −γV (x), với x ∈ Rn , hệ (2.2) ổn định mũ nửa toàn cục điểm cố định x = với tốc độ hội tụ γ/d Chứng minh Bằng định nghĩa α||x||dd ≤ V (x) ∀x ∈ Rn Rõ ràng hàm α(·)d hàm thuộc K∞ γα||x||dd ≤ γV (x) ≤ −V˙ (x), với x ∈ Rn , tức −V˙ xác định dương hệ (2.2) ổn định tiệm cận toàn cục x = Với x = 0, ∀ V (x) > , ta viết lại giả thiết dạng V˙ (x) ≤ −γ V (x) d log(V (x)) ≤ −γ dt Tích phân đoạn [0, t] từ x0 ta log(V (φt (x0 ))) ≤ log(V (x0 )) − γt, tức hàm bị chặn theo mũ 39 V (φt (x0 )) ≤ V (x0 )e−γt , suy V (φt (x0 )) tỉ lệ nghịch với γ Do α||φt (x0 )||dd ≤ V (φt (x0 )) với t > 0, ta có giới hạn bị chặn sau ||φt (x0 )||dd ≤ V (x0 ) α||x0 ||dd e−γt ||x0 ||dd ||φt (x0 )||dd ≤ me−ct ||x0 ||d , với m = V (x0 ) α||x0 ||dd d c = γ/d Do m phụ thuộc vào x0 thỏa mãn bất đẳng thức với x ∈ Rn nên hệ ổn định mũ nửa toàn cục Bổ đề 2.3 Cho hệ (2.2) hàm xác định dương (x) = ||x||dd với d số nguyên lớn 1, hệ ổn định mũ nửa toàn cục tồn γ > V ∈ Rn với V (0) = cho V − ∈ Σn , −(γV + ∇V T f ) ∈ Σn tức V có bậc cố định kiểm tra nhờ γ kết việc giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính điểm Hơn nữa, γ/d tốc độ hội tụ hệ Ví dụ 2.7 Xét hệ sau   x˙1 x˙2   = −x2 − 40 x1 − x31 x32   (2.3) Ta thấy f (0) = Nếu tìm hàm Lyapunov để chứng minh tính ổn định, hàm Lyapunov có dạng tổng bình phương đơn giản tìm V (x) = ||x||22 Khi đó, rõ ràng V xác định dương ta có V˙ = ∇V T f = 2x1 (−x2 − x31 ) + 2x2 (x1 − x32 ) = −2(x41 + x42 ) suy −V˙ ≥ nên thỏa mãn định lý 2.2 Vậy hệ ổn định tiệm cận toàn cục d γmax γ/d 0 0052 0013 0431 0072 1094 0137 10 1472 0147 Tuy nhiên, kết chưa rõ ràng hệ ổn định mũ nửa toàn cục, ta sử dụng bổ đề 2.3 để tìm dạng tổng bình phương từ toán tối ưu hóa xây dựng hàm Lyapunov để điều Nếu chọn d = 2, 4, 6, 8, 10 theo Bổ đề 2.3 ta có kết giá trị γ lớn cho bảng Bảng với d = ta chứng minh tính ổn định mũ nửa toàn cục, γmax > 0, trạng thái hệ tỉ lệ nghịch với γ/d = 0013 Cũng bậc hàm Lyapunov tăng, giá trị lớn cho γ tăng, với γ/d 41 tăng Với d > 10, sai số kết giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính lí việc tìm kiếm bị thay đổi giá trị cho γmax giảm 42 Kết luận Trên toàn nội dung khoá luận đề tài “Đa thức tổng bình phương ứng dụng” Trong khóa luận này, khái quát lại nội dung hệ phương trình vi phân, từ nhấn mạnh vấn đề giới thiệu đa thức tổng bình phương ứng dụng vào toán ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến Thầy, Cô bạn để khóa luận đươc đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cô giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy giáo ThS Trần Văn Tuấn tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2015 [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, phần 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2003 [3] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2005 [4] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 [B] Tài liệu tiếng Anh [5] V Barbu, Differential equations, Springer, Cham, 2016 [6] Z.W Jarvis-Wloszek, Lyapunov Based Analysis and Controller Synthesis for Polynomial Systems using Sum-of-Squares Optimization , PhD thesis, University of California, Berkely, 2003 [7] P.A Parrilo, Structured semidefinite programs and semialgebraic geometry methods in robustness and optimization, PhD thesis, California Institute of Technology, May 2000 44 ... Đa thức tổng bình phương ứng dụng để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Giới thiệu đa thức tổng bình phương (SOS) phân tích đa thức không âm thành tổng hữu hạn đa thức SOS Ứng dụng. .. hệ phương trình vi phân 1.2.3 Bổ trợ số kiên thức ma trận 6 10 10 13 18 Đa thức tổng bình phương ứng dụng 21 2.1 Đa thức tổng bình phương 21 2.1.1 Đa thức. .. (λk − λn ) 20 Chương Đa thức tổng bình phương ứng dụng Trong chương giới thiệu khái niệm đa thức tổng bình phương SOS với đặc trưng không âm nó, từ tìm biểu diễn cụ thể đa thức SOS kiểm tra quy