điều kiện đủ để đa thức là tổng bình phương và ứng dụng

ế Pì ệ số ộ tỹ ợ ữớ ữợ ỗ ử õ tự ỷ ữỡ tờ ữỡ tự tr ỷ ữỡ tờ ữỡ tự tự ỷ ữỡ tờ ữỡ tự tờ ữỡ ự tự tờ ữỡ ìợ ữủ ữợ tự t õ f R[X] := R[X1, , Xn] tự n m ởt tự f tờ ữỡ t õ ỷ ữỡ ữỡ tr R ổ t r ởt tự ỷ ữỡ f ữủ ữợ tờ ữỡ n = f ỷ ữỡ t f tờ ữỡ str r r f tự ỷ ữỡ t f tờ ữỡ rt ự ỵ q trồ f tự ỷ ữỡ t f tờ ữỡ trữớ ủ ỏ ổ tỗ t tự f ỷ ữỡ ữ ổ tờ ữỡ rt ổ ữ r ử t tự ỷ ữỡ ổ tờ ữỡ t t ữủ ữ r tự t s(X, Y ) = 3X Y + X Y + X Y rt ự ởt tự ỷ ữỡ t ý ổ ữủ ữợ tờ ữỡ ỳ t ổ ổ ự ữủ trữớ ủ tờ qt õ tr t t tự tr t rt ữủ ữ r t ữủ tr rt tổ q s s số ỡ tự õ t ợ số õ t ỡ ởt tự ữ r tự õ tờ ữỡ õ ự ởt số ữợ tự ữ s f := inf {f (a)|a Rn } , t fsos f t f õ t t trỹ t f t t ữợ õ ú t s r r t t t 2d tự f ởt tr t tt tự n 2d tờ ữỡ t s õ sỹ ỹ ũ ủ k r s tự f (kX) r tọ ữủ ữ r tr q q ú t ữủ ữợ fsos õ rL rF K ỵ ỵ ỹ ỵ t ữủ ởt ữợ ỳ fsos õ rdmt ỵ ỗ t t t ữỡ ữ s ữỡ tự ỷ ữỡ tờ ữỡ tr tờ q t tự ỷ ữỡ t tờ ữỡ fsos := sup r r R, f r ữỡ tự tờ ữỡ ự ữỡ ú t tr tự õ t ữợ tờ ữỡ ự õ t tố ữ tự ữủ t t ổ t ữợ sỹ ữợ ỗ t ỡ t t t ữợ ú ù t tr sốt q tr t ự t t r q tr t ổ tr ổ t t tr ỗ t tự ử ổ t ự t tọ ỏ ỡ s s tợ ổ t ỡ sỹ t tứ sỹ ợ tứ ố ổ tr trữớ tr ợ K20 t ú ù t tr sốt tớ t ự t ộ ữỡ tự ỷ ữỡ tờ ữỡ tự tự f ữợ R[X] d deg(f ) = d ổ ữủ t f = f0 + f1 + + fd , tr õ ộ fi R [X] tự t t i, i = 1, , n ởt tự f tọ f (tX) = tdf (X) ữủ tự t t d k tự f ữủ tờ ữỡ f (X) = fi(X)2 ợ i=1 fi (X) R[X] s ởt số t q tự s sỷ tợ f R[X] f = t tỗ t ởt x Rn s f (x) = ự ú ợ n = tự ởt õ ỳ õ ỳ sỷ ú ợ n f = t t f ữợ f = g0 + g1 Xn + + gk Xnk , tr õ g0, , gk R [X1, , Xn1] gk = tt q tỗ t ởt (x1, , xn1) Rn1 s gk (x1 , , xn1 ) = õ k gi (x1 , , xn1 )Xni f (x1 , , xn1 , Xn ) = i=0 tự ởt Xn r tỗ t xn R s f (x1, , xn) = q q sỷ f = f12 + + fk2 tr õ f1 , , fk R[X] f1 = õ f = deg (f ) = i=1, k max {deg (fi )} ự sỷ f1 = tỗ t x Rn s f1(x) = õ f (x) = f12 (x) + + fk2 (x) > õ f = P t ộ fi t tờ tự t t tự fi = fi0 + fi1 + + fid , ợ fij tự t t j d := i=1, k max {deg (fi )} õ deg(f ) 2d t sỷ deg(f ) > 2d t õ deg(f12 + + fk2 ) 2d f = f12 + + fk2 ổ t tỷ õ 2d tr tờ f12 + +fk2 f1d2 + +fkd2 d := max {deg (fi )} tỗ t i s fid = õ f1d + +fkd = i=1, k deg(f ) = 2d ỵ ỵ f (X) = X n b1X n1 bn tr õ tt bi ổ t t ởt bi = tự f õ ởt ữỡ t p tr tt ố ỏ ổ ữủt q p ự t F (X) = f (X) b1 bn = + + Xn X Xn X = t õ f (X) = F (X) = X t tứ + số F (X) t tứ + x > số F trt t t t ởt p ự x0 ởt f t q = |x0| p t sỷ q > p t õ f (q) > t x0 f xn0 = b1 xn1 + + bn q n b1 q n1 + + bn f (q) 0 C(f ) ữỡ t f ữợ C(X n) := n q ởt tự t ý q (t) = i=0 biti ợ bn = q õ ợ tr tr tt ố n1 C n t i=0 bi i t bn tr ỷ ữỡ tờ ữỡ tự ởt tr A ố ự tỹ ổ n ữủ ỷ ữỡ xT Ax x Rn A tr ố ự tỹ n ì n s tữỡ ữỡ xT Ax x Rn tr r A ổ A = U T U ợ ởt tr n ì n õ A ởt tờ ủ t t ổ tr xxT ợ x Rn ự A ố ự tr r A tỹ d ởt tr r A tữỡ ự ợ tỡ r x õ Ax = dx xT Ax = xT dx = dxT x = d x xT Ax x = d A tr ố ự A = C 1DC ợ C tr trỹ (C T = C 1) D tr ữớ tỷ ữớ D tr r A sỷ d1 D= ã ã ã dn = diag (d1 , , dn ) di i = 1, , n D = A = C DC = C T D T D T D õ T DC = ( DC) DC = U T U, tr õ U = DC A = v1v1T + + vnvnT tr õ v1, , tỡ U sỷ A = r1v1v1T + + rnv1v1T ợ ri õ n n xT Ax = ri xT vi viT x = i=1 ri viT x i=1 ởt tự õ tờ ữỡ ổ t õ t ỹ tr s ỵ tự p(X) R[X] 2d õ s tữỡ ữỡ p(X) tờ ữỡ ỗ t tr A ỷ ữỡ s p(X) = zT Az ợ z = (zi ) zi X : || d ự sỷ p(X) tờ ữỡ p(X) = p2j (X) j=1 ợ deg(pj (X)) d t z1 = z2 = X1 zn+1 = Xn zn+2 = X12 zn+3 = X1 X2 z2n+1 = X1 Xn z2n+2 = X2 X3 zC(n+d,d) = Xnd ữ ỵ r số ỡ tự X1d+1 Xnd ợ d1 + + dn d di m n C(n + d, d) = (n + d)! d!n! n i 2d |à| 2d i=1 E tờ ữỡ tự E s rs rở t q tự t t 2d t ữ s ỵ ỵ sỷ f R[X] tự t t 2d i i f2d,i |f | õ f i , 2d i = 1, , n ự rữớ ủ t i |f | 2d i 2d i =0 i 2d = 2d |f | = |f | |f | 2d f < tt i ỵ t õ |f | i =0 i 2d Xi + f X 2d ợ ộ õ n |f | i=1 i 2d Xi + f X 2d ợ ộ r n |f | i=1 õ n n f2d,i Xi2d i=1 i=1 i Xi2d + f X 2d i |f | Xi2d = 2d n f2d,i i=1 |f | i Xi2d 2d f2d,i t õ |f | i , 2d i = 1, , n n f X f2d,i Xi2d + i=1 rữớ ủ \ t õ fX ữỡ ỡ tự t õ n f X f2d,i Xi2d + i=1 \ f tự t t f (X, Y, Z) = X + Y + 4Z + 4XZ ỵ số f t õ t r f q tự t f R[X] õ 2d f0 |f | f2d,i t f |f | 2d || 2d i , i = 1, , n 2d ự t õ tự f t tự f õ ỵ t õ f t sỷ t ữủ f q tự f (X, Y, Z) = X + 3Y + 2Z + 3Y Z 2X Y + t õ f ỵ ỵ sỷ f R[X] tự t t 2d f2d,i i=1, ,n 1 |f |( ) 2d , 2d tr õ := n n õ f ữợ 00 := ự t e = 2d1 |f|() rữớ ủ 2d 2d i =0 i 2d e i = |f | e |f |( ) 2d 2d = |f | |f | f < tt i Xi2d + f X e i =0 ợ ộ t ỵ õ n Xi2d + f X e i=1 ợ ộ r n i=1 f X Xi2d + e õ n n f2d,i Xi2d i=1 n e Xi2d i=1 i=1 e Xi2d , f2d,i = f2d,i e ợ i = 1, , n t ữủ n f X f2d,i Xi2d + i=1 rữớ ủ \ t õ n f X f2d,i Xi2d + i=1 \ f tự t t f (X, Y, Z) = X + Y + Z + 8XY Z t số f tọ ỵ õ f q f R[X] ởt tự 2d {f2d,i , f0 } i=1, ,n 2d|| 1 |f |( ) 2d (2d ||) 2d 2d t f ự t õ tự f s õ ỵ t õ ự tự f (X, Y, Z) = 28X + 29Y + 30Z XY Z + 40 t q ú ỵ ữ r tr ỵ ỵ ổ t s s ữủ ỡ ỳ õ ữ ổ t t t s f (X, Y, Z) = X +Y +4Z +4XZ t ỵ ữ ổ tọ ỵ f (X, Y, Z) = X + Y + Z + 8XY Z t ữ ổ tọ f (X, Y, Z) = X 2Z + XY Z + 2Y 2Z 2Y Z + Z ữ ổ tọ t t ởt số tự tr ởt t ủ V = {f R[X] : deg(f ) 2d} ổ tỡ ỳ ợ f = max |f | 02d,n P2d,n ữủt tr 2d,n P2d,n tr ổ tỡ V f 2d,n r > : S (f, r) ợ S (f, r) = {g R [X] : f g < r} q g(X) = X12d + + Xn2d ự ự g 2d,n 2d,n 2d,n , > : S(g, ) S(g, ) = {f R[X] : g f < } 2d,n tr õ t sỷ f (X) = g(X) + h(X) tr õ h(X) V tự t t 2d õ tr tt ố số ợ > ọ õ r g f = h = max |h | < õ f t ỵ ỵ õ S(g, ) 2d,n g 02d,n ú ỵ f tự t t 2d f 2d,n ự n sỷ f n i=1 Xi2d f Xi2d i=1 2d,n , >0 2d,n , > ọ ọ q t õ s r > s Xi2d + h i=1 i=1 tr q õ n Xi2d n 2d,n n n Xi2d f + h = f + i=1 i=1 Xi2d + h 2d,n ợ h ữ 2d,n , s r f 02d,n ữủ q f ởt tự t t 2d := max {1, 2} > tr õ := i=1, ,n f2d,i := f2d,i i=1, ,n t f 2d,n f2d ự n i=1 Xi2d 2d i , |f | 2d |f | ( ) 2d 2d,n = = n n tự t t f Xi2d t õ f Xi2d 2d,n r i=1 i=1 f 2d,n ìợ ữủ ữợ tự f R[X] tự n 2d f = f := inf {f (a)|a Rn } , fsos := sup r r R, f r õ t r fsos f f = sup {r |r R, f r 0} f t f ỷ ữỡ t n = t fsos = f f fsos ổ ởt ú t ữợ ữủ ởt số ữợ fsos tứ ự ữủ ữ r trữợ ỵ ỵ fsos = f2d 2d,n fsos = f2d 2d,n tự t s(X, Y ) = 3X 2Y + X 2Y + X 4Y õ f = 0, fsos = f6 = X Y + X Y 6,2 r r ỵ ổ f = (X Y )2 t fsos = f = f2 = (X Y )2 2,2 t ừ ỵ ổ f (X, Y ) = 3X 2Y + X 2Y + X 4Y + (X + Y 6) ợ > õ f = 1+ fsos = f6 = X 2Y + X 4Y + (X + Y 6) 06,2 t fsos ỵ ỵ f2d 02d,n t fsos rL tr õ rL := f0 |f | ,|| s f2d (X12d + + Xn2d) = g ợ X t õ t tt r 2d,n ú ỵ Xi 2d,n i 2d = sỷ f = f g t f ữợ n f = f0 + Xi2d f X + i=1 ,|| Xi kXi t õ n f (kX) rL = f0 rL + || k 2d Xi2d f k X + ,|| rdmt 2d f (X, Y ) = X 6+Y 6+4XY +10Y +13 t õ rL 0.81, rF K 0.93, rdmt 0.69 rdmt > rL > rF K f (X, Y ) = X + Y + XY X Y + t õ rL 0.125, rF K 0.832, rdmt 0.875 rL > rF K > rdmt ú ỵ t rL, rF K , rdmt t t số f(|| < 2d) s t ữợ õ ữ t t t f õ t s sỷ q t t t 2d tự f tự f2d ữ s := max {1, 2} > tr õ := i=1, ,n f2d,i := f2d,i i=1, ,n i , |f | 2d 1 2d |f | ( ) 2d f2d Xi2d 2d,n i=1 ú ỵ tt r f2d 02d,n ũ tt õ t ữợ fsos õ t õ tt õ f2d P2d,n n sỷ tỗ t > s f2d Xi2d P2d,n õ t i=1 rL ữ tr ỵ ợ ứ t ữủ ữ s t f2d n 2d,n || rL := f0 ,||