TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH NON-AUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH

Header Page of 114 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Bình TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH NON-AUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 114 Header Page of 114 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Bình TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH NON-AUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Footer Page of 114 Header Page of 114 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn tập thể quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học chuyên ngành giải tích khóa 23 trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Thầy cô mang đến cho em hiểu biết thêm Toán giải tích kiến thức Toán làm tảng cho em thực luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa Thầy người tận tâm dạy dỗ chúng em suốt hai năm học Thầy hết lòng hướng dẫn em thực luận văn Em xin cảm ơn thầy cô phòng sau đại học trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện nhiệt tình hỗ trợ chúng em suốt trình học tập Luận văn hẳn có thiếu sót Kính mong nhận góp ý quý Thầy Cô Footer Page of 114 Header Page of 114 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .3 1.1 Một số kí hiệu 1.2 Phương trình vi phân chậm .3 1.3 Phương trình Non-autonomous (Hệ Non-autonomous) 1.4 Phương trình Liénard 1.5 Khái niệm ổn định Lyapunov 1.6 Bổ đề Gronwall 1.7 Bất đẳng thức Young tích chập hai hàm .7 1.8 Điều kiện Lipschitz 1.9 Giải thức compact .7 1.10 Hàm tiêu chuẩn .8 1.11 Bổ đề Aubin-Lions Chương TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH NONAUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH 10 Chương TẬP HÚT CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NON-AUTONOMOUS CHẬM 28 3.1 Phần chuẩn bị 31 3.2 Sự tồn tập hút lùi 34 3.3 Sự tồn tập hút 50 3.4 Mối quan hệ tập hút lùi tập hút 58 KẾT LUẬN .59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 Footer Page of 114 Header Page of 114 MỞ ĐẦU Trong khoa học ứng dụng, số vấn đề thực tiễn liên quan đến khí, kỹ thuật, kinh tế, thuyết điều khiển, vật lý, sinh học, y học, lượng nguyên tử, lý thuyết thông tin, … liên kết với phương trình bậc hai tuyến tính phi tuyến với biến số lệch Trong số phương trình này, phương trình dạng Liénard với biến số lệch có vị trí quan trọng Bởi vì, thực tế, nhiều hệ thống đại có tính chất hiệu ứng sau, nghĩa trạng thái sau phụ thuộc không vào tại, mà phụ thuộc vào khứ Sự hiểu biết dáng điệu tiệm cận hệ động lực vấn đề quan trọng vật lý toán học sinh học đại Vì vậy, nghiên cứu thuộc tính định tính phương trình dạng Liénard Non-autonomous với biến số lệch cần thiết, đặc biệt tính ổn định bị chặn nghiệm phương trình loại Mục tiêu luận văn trình bày số kết tính bền bị chặn cho phương trình vi phân Non-autonomous với biến số lệch Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày số lý thuyết phương trình vi phân Nonautonomous, số kí hiệu, định lý, bổ đề, bất đẳng thức sử dụng luận văn Chương 2: Đầu tiên, trình bày điều kiện đủ cho tính bị chặn nghiệm phương trình dạng Liénard với biến số lệch: x '' (t) + f (x(t))x ' (t) + g1 (x(t)) + g (x(t - t(t))) = e(t) Tiếp theo, xem xét đến hai kết có liên quan đến tính ổn định bị chặn phương trình dạng Liénard Non-autonomous với biến số lệch r(t): x " (t) + f (t, x(t), x(t − r(t)), x ' (t), x ' (t − r(t)))x ' (t) + g1 (x(t)) + g (x(t − r(t))) = p(t, x(t), x(t − r(t)), x ' (t), x ' (t − r(t))) Footer Page of 114 Header Page of 114 Ngoài ra, chương xét thêm hai ví dụ minh họa cho lý thuyết tương ứng Chương xếp lại làm rõ chứng minh hai báo: Bingwen Liu, Lihong Huang (2008), Boundedness of solutions for a class of Liénard equation with a deviating argument, ScienceDirect, Applied Mathematics Letters 21, pp.109-112 Cemil Tung (2012), Stability and uniform boundedness results for Nonautonomous Liénard-type equations with a variable deviating argument, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 37, Number 3, pp.311-325 Chương 3: Đầu tiên, xây dựng trình liên quan đến phương trình: ∂ u(t, x) + Au(t, x) + f (u(t, x)) F(u t )(x) + g(x, t), x ∈ Ω, t>t , = ∂t = u(τ , x) u (x), x ∈ Ω, u( = τ + θ , x) ϕ (θ , x), θ ∈ (−r,0), x ∈ Ω, không gian 2 L2 (Ω)xL2 (− r,0; L2 (Ω)) , cặp (u(t), u t ) ∈ L (Ω)xL (− r,0;L (Ω)) thể trạng thái hệ Sau khảo sát trạng thái dài hạn hệ cách tồn tập hút lùi tập hút Ngoài ra, chương có đề cập đến mối quan hệ tập hút lùi tập hút Chương xếp lại làm rõ chứng minh báo: Cung The Anh, Le Van Hieu (2012), Attractors for Non-autonomous semilinear parabolic equations with delays, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 37, Number 3, pp.357-377 Footer Page of 114 Header Page of 114 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kí hiệu i C(U, = V) {u : U → V | u liên tục} C k (U, = V) {u : U → V | u liên tục, khả vi k lần} ii Lp (U, = V) {u : U → V | u khả tích bậc p U, u u Lp (U,V) = (∫ p u dx U ) p , u Lp (U) = (∫ U ) < ∞ } (1 ≤ p < ∞) p L= (U) {u : U →  | u khả tích bậc p U, p Lp (U) p u dx , u L∞ (U) < ∞} (1 ≤ p < ∞) Lploc (U, = V) {u : U → V | u khả tích bậc p tập compact U} iii W k,p (U), H k (U), ,(k ∈ , ≤ p ≤ ∞) kí hiệu không gian Sobolev iv C k,β (U), Ck,β (U), , (k ∈ , ≤ p ≤ 1) kí hiệu không gian Holder v u kí hiệu đạo hàm hàm u 1.2 Phương trình vi phân chậm Phương trình vi phân chậm (DDEs) loại phương trình vi phân đạo hàm hàm chưa biết thời điểm xác định cho dựa giá trị hàm thời điềm trước Phương trình vi phân chậm gọi hệ di truyền, phương trình với biến số lệch phương trình vi phân - khác biệt Chúng thuộc lớp hệ với chức hàm, tức phương trình phương trình đạo hàm riêng (PDEs) vô hạn chiều, trái ngược với phương trình vi phân thông thường (ODEs) hữu hạn chiều Một dạng tổng quát phương trình vi phân thời gian chậm x(t) ∈  n d {x(t) : t ≤ t} biểu diễn quỹ đạo nghiệm x(t) = f (t, x(t), x t ) với x= t dt Footer Page of 114 Header Page of 114 khứ Trong phương trình f :  ×  n × C1 (,  n ) →  n toán tử hàm 1.3 Phương trình Non-autonomous (Hệ Non-autonomous) Một hệ Non-autonomous phương trình động không gian phân thớ mịn Q →  Không gian phân thớ không gian mà xét cục không gian tích, xét toàn cục có cấu trúc topo khác Cụ thể, giống không gian E không gian tích B × F định nghĩa việc dùng ánh xạ toàn ánh liên tục π : E → B mà miền nhỏ E coi phép chiếu từ miền tương ứng B × F đến B Ánh xạ π phép chiếu chiếu hay phép nhúng không gian phân thớ, coi phần cấu trúc không gian Không gian E gọi không gian phân thớ toàn phần, B không gian sở, F thớ 1.4 Phương trình Liénard Cho f g hai hàm khả vi liên tục R, với g hàm lẻ f hàm chẵn Khi đó, phương trình vi phân cấp hai thông thường có dạng: d 2x dx + f ( x ) + g ( x) = dt dt gọi phương trình Liénard Phương trình chuyển đổi thành hệ hai chiều tương đương với hệ phương trình vi phân thông thường Ta định nghĩa: x F ( x) := ∫ f (x )dx , x1 := x, x= : Footer Page of 114 dx + F ( x), dt Header Page of 114  x1   x − F ( x1 )  thì= x1 , x2 ) :   x  (=  gọi hệ Liénard ( ) − g x  2   1.5 Khái niệm ổn định Lyapunov Xét hệ có mô hình thay đổi theo thời gian, gọi hệ Non-autonomous: x = f (x, t), (1.01) = với x (x1 , , x n )T ∈  n vectơ gồm n biến trạng thái hệ, f (x, t) vectơ n hàm thực f (x, t) = (f1 (x, t), ,f n (x, t))T thường giả thiết liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương lân cận x Kí hiệu số mũ T hiểu phép chuyển vị vectơ (hay ma trận) Điều kiện Lipschitz đưa để đảm bảo hệ phương trình vi phân bậc (1.01) gồm có n phương trình vi phân: x k = f k (x, t), k=1,2, ,n, có nghiệm x(t) thỏa điều kiện đầu x(t ) = x Nghiệm gọi trình tự hệ Để nhấn mạnh phụ thuộc nghiệm x(t) vào điều kiện ban đầu x(t ) = x người ta thường ký hiệu x(t, x , t ) Cũng để nhấn mạnh phụ thuộc x(t) vào hàm f(x,t) người ta sử dụng thêm ký hiệu ánh xạ x(t, x , t ) = fft 0(x,t ) (x ) Giả thiết tiếp hệ (1.01) cân gốc tọa độ, tức là: f (0, t) = 0, với t = (0, 0)T vectơ không không gian  n (1.02) Giả thiết (1.02) nói tác động từ bên hệ trạng thái không yên trạng thái Định nghĩa: Xét hệ tự trị Non-autonomous cân gốc tọa độ 0, tức thỏa mãn (1.02), vectơ hàm f ( x, t ) giả thiết liên tục theo t Khi hệ gọi là: Footer Page of 114 Header Page 10 of 114 Ổn định với số dương ε > t > cho trước tồn δ(ε, t ) > phụ thuộc vào ε t cho: x < δ(ε, t ) ⇒ x(t, x , t ) < ε với t > t (1.03) x(t) = x(t, x , t ) nghiệm hệ phương trình vi phân (1.01) thỏa mãn điều kiện= đầu x(t ) x(t = x0 , x0 , t0 ) Ổn định ổn định số δ(ε, t ) > (1.03) không phụ thuộc vào t , tức δ(ε, t ) =δ(ε) Ổn định tiệm cận ổn định thỏa mãn lim x(t, x , t ) = t →∞ Định lý Lasalle: Xét hệ (1.01) cân gốc Gọi V ( x, t ) hàm nhiều biến, trơn thỏa mãn: γ1 ( x ) ≤ V ( x, t ) ≤ γ ( x ) với γ1 , γ ∈ K ∞ ( K ∞ ={ γ hàm đơn điệu tăng / γ (0) = lim γ (r) = }, gọi hàm hợp thức, đạo hàm theo thời r →∞ ∂V ∂V  = gian: V(x, t) + f (x, t) ≤ − W(x) bị chặn − W(x) với t ≥ ∂t ∂x Khi đó: i Hệ gọi hệ ổn định W ( x ) hàm bán xác định dương, tức W(x) ≥ 0, với x ii Hệ gọi hệ ổn định tiệm cận W ( x ) hàm xác định dương lân cận O gốc, tức W ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ O W ( ) = Lân cận O gọi miền ổn định Hàm V(x, t) gọi hàm Lyapunov, viết tắt LF Nếu hệ ổn định tiệm cận với miền ổn định O toàn không gian trạng thái, tức W(x) > 0, ∀x ≠ W ( ) = gọi ổn định tiệm cận toàn cục (GAS) Footer Page 10 of 114 Header Page 50 of 114 46 t e u(t) − e ct cr u(t ) + ∫ ecs ( u(s) t V + 2C1 u(s) p c(r +t ) t ≤ M8e + (M − 1) ∫ e ct cs u(s) ds + 2k re ϕ t với M8 Lp ( Ω ) L2H + )ds t ∫e cs λ1 −∞ g(s) ds, 2(C0 | Ω | + k ) , M =+ c 2k1 + 2k recτ + c Từ (3.14) ta có: t ∫t e cs ( u(s) + u(s) 2 V + 2C1 u(s) p Lp ( Ω ) ≤ ecr u + M8ect + 2k rec(r +t ) ϕ + t ∫e )ds L2H t cs λ1 −∞ g(s) ds + M ∫ ecs u(s) ds 2 t ( ≤ [1 + M (t − t )] ecr u 2k rec(r +t ) ϕ + t ∫e λ1 −∞ t cs g(s) ds + M ∫ 2 L2H ) +  M + M cM  e s ∫e cy g(y) dyds −∞ −∞ Từ u(t) + u(t) 2 V + 2C1 u(t) p Lp ( Ω ) ≥ γΨ (t) − 2C1 | Ω |, ta có: t cs ∫ e Ψ (s)ds ≤ t + M (t − t ) γ (e ct u + 2k rec(r +t ) ϕ  M M M + 2C1 | Ω |  ct + + e cγ  γ  Footer Page 50 of 114 L2H ) ct Header Page 51 of 114 47 + t ∫e gλ1 −∞ cs g(s) ds + t M9 g s ∫ ∫e cy g(y) dyds (3.15) −∞ −∞ Kết hợp (3.14) (3.15) với (3.13) ta được: 1 M + c −γ   M (c − γ )  (t − t )ectψ (t) ≤  + (t − t ) +  + M recr  (t − t )  γ γ   γ   2k r 2k r(c + M − γ ) + M rγ (t − t ) × ect u +  + γ  γ  2k r(M 6γ recr + M (c − γ ) (t − t )  ec(t + r ) ϕ L2 + H γ   2C | Ω | + cM8 + M M + + cγ  + ( 2C1 | Ω | +cM8 + M M ) (c − γ ) + γ (M + M M recr ) (t − t )  ect   cγ   c −g  t cs  + + + M  (t − t )  ∫ e g(s) ds   gλ1  gλ1  −∞  M  (c − g )M  t s  + + + M recr  (t − t )  ∫ ∫ ecy g(y) dyds    gg  −∞ −∞ Do đó:   M + c −γ Ψ (t) ≤  + + M10 (t − t )  e − c(t −t ) u γ  γ (t − t )  M  +  11 + M12 + M13 (t − t )  e − c(t −t − r ) ϕ  t −t  M  +  16 + M17  e − ct ∫ ecs g(s) ds  t −t  −∞ t Footer Page 51 of 114 L2H M  +  14 + M15   t −t  Header Page 52 of 114 48 M  +  18 + M19  e − ct ∫ ∫ ecy g(y) dyds  t −t  −∞ −∞ t s Bổ đề 3.2.6: Giả sử (H1)-(H5) thỏa Thì trình U(t,t ) liên kết với (3.01) có họ tập hấp thụ lùi {BV (t)}t∈ không gian M 2V Chứng minh Lấy: t t s   2 − ct − ct cs = R (t) 2M 20 1 + e ∫ e g(s) ds + e ∫ ∫ ecy g(y) dyds  < +∞ −∞ −∞ −∞   Khi đó, từ bổ đề 3.2.5 có = tồn tˆ tˆ(t, u , ϕ ) ≤ t cho: u(t) ≤ R (t), V u t (θ ) u t (θ ) V V ≤ ecr R (t), + 2M u(t) p Lp ( Ω ) ≤ 2M | Ω | + ecr R (t), (3.16) với ττ ≤ ˆ − r θ ∈ (− r,0) Khi đó, ta có: U(t,t )(u ,ϕ ) = MV u(t) V + ∫ u t (θ ) V dθ ≤ (1 + recr )R 2= (t) R V2 (t) −r Do đó, với tập bị chặn D ∈ M V2 , dễ dàng chứng minh rằng: U(t,t )D ⊂ BV (t) = BM (0, R V (t)), V với t ≤ tˆ(t, D) − r Định lý 3.2.2: Với giả thiết (H1)-(H5), trình U(t,t ) thỏa (3.01) có tập hút lùi Footer Page 52 of 114 Header Page 53 of 114 49 ˆ = {A(t)} không gian M A H t∈ Chứng minh Từ kết bổ đề 3.2.1 có U(t,t ) trình liên tục M 2H Do đó, theo định lý 3.1.1 cần chứng minh tồn họ tập compact hấp thụ lùi M H2 Từ bổ đề 3.2.6 ta có U(t,t ) có họ tập hấp thụ lùi {BV (t)}t∈ M 2V Lấy: B(t) =  t t U(t,t )BV (t) ≤ ˆ(t,BV ) − r Dễ dàng thấy {B(t)} tập hấp thụ lùi M 2H U(t,t ) Bây {B(t)} tiền compact M 2H Lấy Π1 Π phép chiếu tắc M 2H , nghĩa Π1 : (u , ϕ )  u Π : (u , ϕ )  ϕ Ta thấy Π1B(t) bị chặn V tập tiền compact H Ta cần chứng minh Π B(t) tiền compact L2H Lấy {u nt } ∞ n =1 ⊂ Π B(t) Với t > t + r , (3.16) đảm bảo u n (t + θ ) , θ ∈ (−r,0) thuộc tập bị chặn V ∩ Lp (Ω)) Nghĩa u n thuộc tập bị chặn L2 (t − r, t, V ∩ Lp (Ω)) Bằng cách viết lại phương trình (3.01) sau: u n (t) = F(u nt ) + g(t) − Au n (t) − f (u n (t)) Ta thấy u n thuộc tập bị chặn L2 (t − r, t; V ') + Lp ' (t − r, t; Lp ' (Ω)) ⊂ Lp ' (t − r, t; V '+ Lp ' (Ω)) Dùng bổ đề Aubin-Lions ta kết luận u n thuộc tập compact L2 (t − r, t; L2 (Ω)) tương đương, {u t ∈ Π B(t)} tiền compact L H Footer Page 53 of 114 Header Page 54 of 114 50 Nhận xét 3.2.1: Trong trường hợp p=2, nghĩa = f (u) du (d > 0) điều kiện lực lượng bên g thay đổi sau ∫e λ1s g(s) ds < +∞ −∞ ∫ s λy ∫ e g(y) dyds < +∞, với λ1 > giá trị riêng đầu toán tử A Dùng đối số −∞ −∞ trên, ta g thỏa mãn điều kiện λ1 + d > k1 + k r , có tồn tập hút lùi không gian M 2H U(t,t ) 3.3 Sự tồn tập hút Trong phần này, xem xét tồn tập hút M 2H cho dãy trình liên kết toán (3.01) lực lượng bên hàm tịnh tiến bị chặn Điều kiện (H5) thay điều kiện sau: (H5’) Lực lượng bên g hàm tịnh tiến, bị chặn trong L2Loc (;H) , nghĩa g ∈ L2Loc (;H) cho = g L2 b t +1 g= sup L2 (  ;H) t∈ b ∫ g(s) ds < +∞ t Ký hiệu L2b (;H) không gian tất hàm tịnh tiến, bị chặn H w (g) bao đóng {g(s + ) | s ∈ } với topo yếu Ta thấy H w (g) compact yếu g ∈ H w (g) g ∈ L2b (, H) g ∈ H w (g) : e − ct t cs ∫ e g (s) ds = −∞ t − c(t −s) g (s) ds ∫e −∞ ∞ =∑ t −k ∫ k = t − k −1 Footer Page 54 of 114 e − c(t −s) g (s) ds g0 L2b ≤ g L2b Do đó, với Header Page 55 of 114 51 ∞ ≤ ∑ e − ck k =0 ≤ g0 ≤ L2b t −k ∫ g (s) ds t − k −1 ∞ ∑e − ck k =0 g − e−c L2b = g L2 −c b 1− e Rõ ràng (H5’) bao hàm (H5), ta dùng tất kết thu phần Xét hệ tương ứng phương trình:  d  u(t) + Au(t) + f (u(t)) = F(u t ) + g (t)  dt u(t ) u , u(= = t + θ ) ϕ (θ ), θ ∈ (−r,0) (3.17) Giả sử điều kiện (H2)-(H4) thỏa Thì với g ∈ H w (g) (u ,ϕ ) ∈ M 2H , τ ∈  cho trước, định lý 3.2.1 bao hàm tồn nghiệm yếu u(.) = u( ;τ ,(u , ϕ ),g ) toán (3.17) Do xác định trình U g0 (.,.) : M 2H → M 2H không gian tích với U g0 (t,t )(u ,ϕ ) = (u(t;t ,(u , ϕ ),g ), u t (.,t ,(u , ϕ ),g )) , ∀(u ,ϕ ) ∈ M 2H , t ≥ t họ tương ứng trình {U g (., ) | g ∈ H w (g)} Bổ đề 3.3.1: Giả sử (H1)-(H4) (H5’) thỏa Thì họ trình {U g0 } 2 (., ) | g ∈ H w (g) (M H × H w (g), M H ) -liên tục Chứng minh Xét hai nghiệm u v (3.17) với dấu g1 ,g ∈ H w (g) với giá trị ban đầu (u , φ), (v , Ψ ) ∈ M H2 Hiệu w= u − v thỏa mãn phương trình: Footer Page 55 of 114 Header Page 56 of 114 52 d w(t) + Aw(t) + f (w(t)) = F(u t ) − F(v t ) + g1 (t) − g (t) dt (3.18) Chọn l1 > cho l1 < l1 + f lấy tích H (3.18) w ta được: d 2 w(t) + w(t) + f w(t) = F(u t ) − F(v t ), w(t) + g1 (t) − g (t), w(t) dt ≤ F(u t ) − F(v t ) w(t) + g1 (t) − g (t) w(t) ≤ L F,M 2l1 (w + w(t) t L2H ) + l2 w(t) + l 2 g1 (t) − g1 (t) + w(t) , 2l1 ( L d 2 w(t) + 2(l1 + f − l1 ) w(t) ≤ F,M w t dt l1 L2H + w(t) ) + l1 g (t) − g (t) 2 Do đó: L d w(t) ≤ F,M dt l1 (∫ −r t ) w(t + θ) dθ + ∫ w(s) ds + 2 t g1 (t) − g (t) l1 Lấy tích phân từ τ đến t ta có: w(t) − w(t) ≤ 2 L F,M l1 (∫ ∫ t t −r t ) t g (s) g (s) ds − l1 ∫t ) t − g (s) g (s) ds l1 ∫t w(s + θ) dθds + ∫ w(s) ds + 2 t Suy ra: w(t) ≤ w(t) + 2 = w(t) + L F,M l1 rL F,M l1 (r∫ t t− r wt t w(s) ds + (r + 1) ∫ w(s) ds + L2H t + (r + 1)L F,M l1 ∫ t t w(s) ds + Chú ý g1 g ∈ H w (g) Do ∀T > τ ta có: Footer Page 56 of 114 2 t g (s) g (s) ds − l1 ∫t Header Page 57 of 114 ∫ t t 53 T g1 (s) − g (s) ds ≤ ∫ g1 (s) − g (s) ds < ∞ ∀t ∈ [t,T] 2 t Do đó: rL  2 w(t) ≤  w(t) + F,M w t l1  L2H +  (r + 1)L F,M T g1 (s) − g (s) ds  + ∫ l1 t l1  ∫ t t w(s) ds, ∀t ∈ [t,T] Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có: rL  2 w(t) ≤  w(t) + F,M w t l1  L2H +   (r + 1)L F,M  T g (s) g (s) ds exp (t ) − − t    l1 ∫t l1    Cuối cùng: u t − vt M 2H = u(t) − v(t) + u t − v t 2 L2H ≤ u(t) − v(t) + r sup u(s) − v(s) 2 s∈[t − r,t ] rL  2 ≤ (r + 1)  u − v + F,M φ − Ψ L2 H l1    (r + 1)L F,M  T (t − t)  , t ∈ [t,T] + ∫ g1 (s) − g (s) ds  exp  l1 t l1    Do với t τ , t > t , u t − v t g1 − g L2loc (  ,H) M 2H → (u , φ) − (v0 , Ψ ) M 2H → → Bổ đề 3.3.2: Giả sử (H1)-(H4) (H5’) thỏa Thì có tồn tập hấp thụ B1 { } bị chặn M 2H họ trình U g0 (., ) | g ∈ H w (g) Footer Page 57 of 114 Header Page 58 of 114 54 Chứng minh Từ bổ đề 3.2.3 ta có: u(t) ≤ e − c(t −t ) u ≤ e − c(t −t ) u + 2k re − c(t −t − r ) ϕ + 2k re − c(t −t − r ) ϕ Đặt= (g) 2M + ρ1 ρ1= g − e−c L2b L2H L2H + M2 + e − ct t ∫e cs g (s) ds −∞ + M2 + g − e−c L2b ˆ ˆ(D) > cho Với D ∈ B(M 2H ) , tồn = τττ với t ≥ tˆ + r, (u , ϕ ) ∈ D, g ∈ H w (g) , ta có: u(t) ≤ ρ1 (g), ut L2H =∫ u(t + θ ) dθ ≤ rr1 (g) −r Do đó, ta có: U g0 (t,t )(u , ϕ ) = MH u(t) + u(t) 2 L2H ≤ (1 + r) rr = H2 (g) (g) Điều nghĩa cầu đóng B1 = BM (0, ρ H (g)) tạo thành tập hấp H { } thụ ánh xạ U g0 (., )|g ∈ H w (g) Bổ đề 3.3.3: Với giả thiết bổ đề 3.3.2 có tồn tập hấp thụ B2 bị chặn { } M 2V họ trình U g0 (., )|g ∈ H w (g) Chứng minh Lấy u(t) = U g0 (t,t )(u ,ϕ ) Ta sử dụng bổ đề Gronwall để chứng minh Footer Page 58 of 114 Header Page 59 of 114 u(t) V 55 + ∫ F(u(t))dx = ≤ rr 2 (g), ∀t ≥ tˆ + r + Ω  , ta được: Đầu tiền, nhân phương trình đầu (3.17) với u(t)  F(u(t))dx +  ∫ V Ω  1 2 2   , ≤ u(t) + 2k1k u(t) L2 + 2k1k + g (t) + u(t) H 2  u(t) + d  u(t) dt  đó: d  u(t) dt  V  + ∫ F(u(t))dx  ≤ 4k1k u t Ω  + 4k1k + g (t) L2H (3.19) Từ phương trình (3.17), sử dụng (3.02), (3.05) bất đẳng thức Cauchy, ta có: d u(t) + u(t) dt V + 2C1 u(t) p Lp ( Ω ) ≤ 2C0 Ω + 2k1 u(t) + 2k ∫ u t (θ) dθ + 2k + 2 −r ≤ 2C0 Ω + 2k1r1 + 2k rr1 + 2k + g (t) λ1 g (t) λ1 Lấy tích phân từ t đến t+1 (với t ≥ tˆ + r ), ta có: t +1  2 u(t + 1) − u(t) + ∫  u(s) t  V +  2C1 F(u(s))dx  ds ∫ M4 Ω  ≤ 2(C0 + C1 ) Ω + 2k1r1 + 2k rr1 + 2k + g0 λ1 ≤ 2(C0 + C1 ) Ω + 2k1r1 + 2k rr1 + 2k + g λ1 Lấy M ≥ C1 , từ có: Footer Page 59 of 114 L2b L2b Header Page 60 of 114 C1 M4 ∫ t +1 t 56 ( u(s) V ) + ∫ F(u(s))dx ds Ω ≤ 2(C0 + C1 ) Ω + 2k1r1 + 2k rr1 + 2k + g λ1 ≤ 2(C0 + C1 ) Ω + (1 + 2k1 + 2k r)r1 + 2k + L2b + u(t) g λ1 L2b Đặt:  M  2(C0 + C1 ) Ω + (1 + 2k1 + 2k r)r1 + 2k + g λ  IV = C1 L2b   , Ta có: ∫ t +1 t ( u(s) V ) + ∫ F(u(s))dx ds ≤ I V Ω Do đó, ta có: ∫ t +1 t ( 4k k ut L2H + 4k1k + g (s) ) ds ≤ 4k k rr + 4k k 1 + g L2b = Ih (3.20) Bây giờ, từ (3.19) (3.20) áp dụng bất đẳng thức Gronwall: u(t) V + ∫ F(u(t))dx ≤ I V + I h = ρ2 với t ≥ tˆ + r + Ω Dùng (3.12), ta được: u(t) V u t (θ) + 2M u(t) V p Lp ( Ω ) + 2M u t (θ) p Lp ( Ω ) ut Footer Page 60 of 114 ≤ ρ2 + 2M Ω , L2V ≤ ρ2 + 2M Ω , ≤ rr2 + 2rM Ω , Header Page 61 of 114 57 với t ≥ tˆ + 2r + θ ∈ (− r,0) Ta đến kết luận với tập bị chặn D ⊂ M 2V ta có: ( ) U g0 (t, t= )D ⊂ B2 BM 0, (1 + r)(r2 + 2M Ω ) với t đủ lớn với g ∈ H(g) V Do {U g0 (t, t) | g ∈ H(g)} có tập hấp thụ B2 M 2V Định lý 3.3.1: Giả sử (H1)-(H4) (H5’) thỏa Thì tồn tập hút A H(g) M 2H họ trình {U g0 (.,.) | g ∈ H w (g)} Hơn nữa, A H(g) compact M 2H = A H w (g)  g ∈H w (g) K g0 (s) ∀s ∈  với K g0 hạt nhân trình U g0 (t, t) Chứng minh Chúng ta xét tập hợp B2 tập hấp thụ bị chặn {U g0 (.,.) | g ∈ H w (g)} Như chứng minh định lý 3.2.2 thấy B tiền compact M 2H Từ B tập compact địa phương M 2H suy B , bao đóng B M 2H , tập compact hấp thụ M H2 {U g0 (.,.) | g ∈ H w (g)} Định lý 3.1.2 đảm bảo tồn cấu trúc tập hút A H w (g) họ trình {U g (.,.) | g ∈ H w (g)} = A H w (g)  g ∈H w (g) K g0 (s) ∀s ∈  Nhận xét 3.3.1: f ( u ) du ( d > ) cách sử dụng lập luận ta có Trong trường hợp = thể thấy λ1 + d > k1 + k r có tồn tập hút không gian M 2H họ trình {U g0 (.,.) | g ∈ H w (g)} Footer Page 61 of 114 Header Page 62 of 114 58 3.4 Mối quan hệ tập hút lùi tập hút Trong phần này, đưa mối quan hệ tập hút lùi tập hút Giả sử ngoại lực g hàm tịnh tiến bị chặn Trong chứng minh định lý 3.2.2 với g ∈ H w (g) U g0 (t, t) có tập hút lùi trình ˆ A {A g0 (t) : t ∈ } Hơn nữa, ta có: = g0 Định lý 3.4.1: Từ điều kiện (H1)-(H4) (H5’), với g ∈ H w (g) , trình {U g0  } (t,t ) g ∈H w (g) ˆ có tập hút lùi = A g0 {A g0 } (t) : t ∈  A g0 (s) = K g0 (s), A g0 (s) = A H w (g) , ∀s ∈ , với A H w (g) tập hút toán (3.01), K g0 hạt nhân trình U g0 (t,t ) Chứng minh ˆ hút lùi, A (s) compact, ta có: Do A g0 g0 K g0 (s) ⊂ A g0 (s), s∈ ˆ ta có: Mặt khác, từ định nghĩa K g0 (s) tính bất biến A g0 A g0 (s) ⊂ K g0 (s), s∈ Từ đó, ta có: K g0 (s) A g0 (s), = s∈ (3.21) Tiếp theo, từ (3.21) định lý 3.3.1 ta có: = A H w (g) Footer Page 62 of 114 = K (s)  g ∈H w (g) g0  g ∈H w (g) A g0 (s), ∀s ∈  Header Page 63 of 114 59 KẾT LUẬN Trong luận văn em trình bày số kết tính bền bị chặn cho phương trình vi phân Non-autonomous với biến số lệch: điều kiện đủ cho tính bị chặn nghiệm phương trình Liénard với biến số lệch; tính ổn định bị chặn phương trình trình Liénard Non-autonomous với biến số lệch; tồn tập hút lùi tập hút trình liên quan đến phương trình Parabolic nửa tuyến tính Non-autonomous chậm, mối liên hệ tập hút lùi tập hút đều, … Tuy nhiên thời gian hạn chế hiểu biết em hạn hẹp nên nhiều vấn đề khác liên quan em chưa đề cập đến Nếu có điều kiện em tìm hiểu nghiên cứu sâu Footer Page 63 of 114 Header Page 64 of 114 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Hoàn Hóa (2010), Định lý điểm bất động ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp sở, Mã số CS.2008.19.02 Tiếng Anh Bingwen Liu, Lihong Huang (2008), Boundedness of solutions for a class of Liénard equation with a deviating argument, ScienceDirect, Applied Mathematics Letters 21, pp.109-112 Cemil Tung (2012), Stability and uniform boundedness results for Nonautonomous Liénard-type equations with a variable deviating argument, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 37, Number 3, pp.311-325 Cung The Anh, Le Van Hieu (2012), Attractors for Non-autonomous semilinear parabolic equations with delays, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 37, Number 3, pp.357-377 Songsong lu, Hongqing wu, Chengkui Zhong (2005), Attractors for Nonautonomous 2D Navier-Stokes equations with normal external forces, Discrete and Continuous dynamical systems, Volume 13, Number 3, pp.701 Footer Page 64 of 114 ... Non-autonomous với biến số lệch cần thiết, đặc biệt tính ổn định bị chặn nghiệm phương trình loại Mục tiêu luận văn trình bày số kết tính bền bị chặn cho phương trình vi phân Non-autonomous với biến số lệch. .. Chương TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH NON-AUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH Xét phương trình Liénard với biến số lệch: x '' (t) + f (x(t))x ' (t) + g1 (x(t)) + g (x(t - t(t))) = e(t), (2.01) với. .. Chương TÍNH BỀN VÀ BỊ CHẶN ĐỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH NONAUTONOMOUS VỚI BIẾN SỐ LỆCH 10 Chương TẬP HÚT CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NON-AUTONOMOUS CHẬM 28 3.1 Phần chuẩn bị