Một hình thang ABCD AB//CD thay đổi sao cho bốn đỉnh A,B,C,D nằm trên đường tròn O,R và giao điểm của hai đường chéo AC,BD nằm trên đường tron O,R.. Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đườ
Trang 1ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Trong mắt phẳng cho hai đường tròn cố định (O,R ) và (O,R ) có R
>R Một hình thang ABCD (AB//CD) thay đổi sao cho bốn đỉnh A,B,C,D nằm trên đường tròn (O,R ) và giao điểm của hai đường chéo AC,BD nằm trên đường tron (O,R ) Tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường thẳng AD
và BC
Bài 2 : Hãy tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên tập hợp số thực R và
thoả mãn hệ thức :
f(y – f(x)) = f(x - y) – 2001y.f(x) với mọi số thực x, y
Bài 3 : Cho tập hợp S gồm tất cả các số nguyên trong đoạn [1;2002] Gọi T
là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con không rỗng của S Với mỗi tập hợp X thuộc T , kí hiệu m(X) là trung bình cộng của tất cả các số thuộc X Đặt :
ở đây tổng lấy theo tất cả các tập hợp X thuộc T
Hãy tính giá trị của m
(|T| kí hiệu số phần tử của tập hợp T)
Trang 2
-ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng B)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Cho a, b, c là ba số thực tuỳ ý Chứng minh rằng :
6(a + b + c)(a + b + c )≤ 27abc + 10(a + b + c ) Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 5 : Xét phương trình :
trong đó n là tham số nguyên dương
1/ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm trong khoảng (0;1) ; kí hiệu nghiệm đó là x
2/ Chứng minh rằng dãy số (x ) có giới hạn hữu hạn khi n
Bài 6 : Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn điều kiện :
C = (2n) trong đó k là số các ước nguyên tố của C
(C kí hiệu số tổ hợp chập n của tập hợp có 2n phần tử)