Đề thi toán Quốc gia lần 4

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 12/3/2003 Bài 1 : Cho hàm số f xác định trên tập hợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện : f(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi x thuộc khoảng (0; π ). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : g(x) = f(x).f(1-x) trên đoạn [-1;1] Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định (O 1 ) và (O 2 ) tiếp xúc với nhau tại điểm M , và bán kính của đường tròn (O 2 ) lớn hơn bán kính của đường tròn (O 1 ). Xét điểm A nằm trên đường tròn (O 2 ) sao cho 3 điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng . Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O 1 ) (B và C là các tiếp điểm) . Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O 2 ),tương ứng, tại E và F . Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn (O 2 ) . Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động trên đường tròn (O 2 ) sao cho ba điểm O 1 ,O 2 ,A không thẳng hàng . ( (O) kí hiệu đường tròn tâm O) Bài 3 : Với mỗi số nguyên n>1 , kí hiệu s n là số các hoàn vị (a 1 ,a 2 ,….,a n ) của n số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị (a 1 ,a 2 ,…., a n ) đều có tính chất 1 ≤ |a k - k| ≤ 2 với mọi k = 1,2,3,…,n. Chứng minh rằng : 1,75.s 1 − n < s n < 2.s 1 + n với mọi số nguyên n >6 ------------------------------------------------ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 13/3/2003 Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho hệ phương trình : (x+1) 2 + y 2 1 = (x+2) 2 + y 2 2 = … = (x+k) 2 + y 2 k = … = (x+n) 2 + y 2 n có nghiệm nguyên (x,y 1 ,y 2 ,….,y n ) Bài 5 : Cho hai đa thức : P(x) = 4x 3 - 2x 2 - 15x + 9 và Q(x) = 12x 3 + 6x 2 - 7x + 1 1/ Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho đều có ba nghiệm thực phân biệt 2/ Kí hiệu α và β tương ứng là nghiệm lớn nhất của P(x) và Q(x) . Chứng minh rằng: α 2 + 3β 2 = 4 Bài 6 : Cho tập hợp F gồm tất cả các hàm số f : R + → R + thoả mãn điều kiện: f(3x) ≥ f(f(2x)) + x với mọi số thực dương x. Hãy tìm số thực α lớn nhất sao cho với mọi hàm số f thuộc tập hợp F ta đều có : f(x) ≥ α với mọi số thực dương x. ( R + kí hiệu tập hợp các số thực dương). -------------------------------------- . ------------------------------------------------ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 13/3/2003 Bài 4 : Hãy tìm số nguyên dương n. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2002-2003 MÔN: TOÁN (Bảng A) Ngày thi : 12/3/2003 Bài 1 : Cho hàm số f xác