Đồ thị nhìn thấy và các vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ĐỖ THỊ TUẤN MINH ĐỒ THỊ NHÌN THẤY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Hình học tô pô Mã số: 60.46.01.05 Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ĐỖ THỊ TUẤN MINH ĐỒ THỊ NHÌN THẤY VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Hình học tô pô Cán hướng dẫn: TS Phạm Hoàng Hà Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Hoàng Hà người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo suốt trình thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, gửi lời kính chúc sức khỏe đến toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Tin, trường Đại học sư phạm Hà Nội − dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 15 tháng 03 năm 2017 Học viên Đỗ Thị Tuấn Minh Mục lục Đồ thị nhìn thấy 1.1 Các khái niệm 1.2 Một số kết 1.3 Đồ thị k-liên thông 12 Tính liên thông đồ thị nhìn thấy 17 2.1 Cạnh liên thông 19 2.2 Bổ đề 24 2.3 Đỉnh liên thông 28 2.4 Đỉnh liên thông với giới hạn cộng tuyến 31 Một số vấn đề liên quan đến đồ thị nhìn thấy 39 3.1 Giả thuyết Dirac 39 3.2 Định lý Beck 43 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 LỜI MỞ ĐẦU Hình học tổ hợp nghiên cứu phân bố, xếp đối tượng hữu hạn hình học xếp điểm, đường thẳng, siêu phẳng không gian Euclid Hình học tổ hợp có liên quan mật thiết đến vấn đề khác toán tô màu, toán tối ưu Để nghiên cứu hình học tổ hợp, cần nắm rõ kiến thức tôpô, lý thuyết đồ thị, lý thuyết số ngành khác Một nội dung nghiên cứu hình học tổ hợp lý thuyết đồ thị, trường hợp đặc biệt đồ thị nhìn thấy, có nhiều ứng dụng lĩnh vực hình học tổ hợp hình học rời rạc Đồ thị nhìn thấy tập hữu hạn điểm mặt phẳng gồm điểm gọi đỉnh đoạn thẳng nối hai đỉnh cạnh cho đoạn thẳng nối hai đỉnh đồ thị không chứa đỉnh khác Gần với việc nhiên cứu đồ thị nhìn thấy, David R Wood đồng đưa nhiều kết có giá trị khẳng định cho giả thuyết Dirac yếu, toán tô màu Với mục đích tìm hiểu sâu sắc đồ thị nhìn thấy, chọn đề tài: " Đồ thị nhìn thấy vấn đề liên quan" Luận văn trình bày chi tiết kết nghiên cứu gần đồ thị nhìn thấy số ứng dụng số toán hình học tổ hợp Nội dung luận văn bao gồm: Chương 1: Đồ thị nhìn thấy Trong chương này, trình bày kiến thức sở lý thuyết đồ thị đồ thị nhìn thấy như: Các khái niệm đỉnh, cạnh, bậc đỉnh, đồ thị vô hướng, có hướng, tính liên thông phép toán đồ thị Chương 2: Tính liên thông đồ thị nhìn thấy Trong chương này, trình bày chi tiết kết nghiên cứu gần tính liên thông đồ thị nhìn thấy như: đỉnh- cạnh- liên thông, giới hạn tốt đỉnh- cạnh-liên thông Chương 3: Một số vấn đề liên quan đến đồ thị nhìn thấy Trong chương này, trình bày chi tiết kết nghiên cứu gần giả thuyết Dirac định lý Beck Mặc dù cố gắng thời gian thực luận văn không nhiều nên luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tôi mong nhận góp ý bảo thầy giáo, cô giáo anh chị nghiên cứu sinh, anh chị bạn học viên Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 03 năm 2017 Học viên Đỗ Thị Tuấn Minh Chương Đồ thị nhìn thấy Trong chương trình bày hệ thống kiến thức quan trọng cần sử dụng nội dung luận văn như: Các khái niệm đỉnh, cạnh, bậc đỉnh, đồ thị vô hướng, có hướng, tính liên thông phép toán đồ thị đồ thị nhìn thấy nói riêng 1.1 Các khái niệm Chúng ta bắt đầu việc định nghĩa số khái niệm sử dụng toàn luận văn: + Mặt phẳng đề cập tới mặt phẳng Euclid R2 + Tập hợp hữu hạn điểm mặt phẳng ký hiệu P + Một đường thẳng gọi xác định P chứa hai điểm thuộc P + Tập điểm gọi thẳng hàng thuộc đường thẳng, ngược lại ta nói chúng không thẳng hàng Ta giới thiệu số kiến thức sở lý thuyết đồ thị Định nghĩa 1.1 Đồ thị G = (V, E) bao gồm V tập hữu hạn đỉnh với E tập hợp gồm phần tử V gọi cạnh Định nghĩa 1.2 Hai đỉnh gọi kề chúng nối cạnh Định nghĩa 1.3 Đồ thị gọi phẳng hình vẽ hai cạnh cắt (trừ cạnh chung đỉnh) Định nghĩa 1.4 Cho P tập hợp hữu hạn điểm Hai điểm phân biệt v w nhìn thấy P điểm thuộc P nằm khoảng mở vw Đồ thị nhìn thấy P có tập hợp đỉnh P , đỉnh lúc kề nhìn thấy P Hình 1.1 đồ thị nhìn thấy tập đỉnh P = { A; B; C; D; E; F } cặp đỉnh kề {( A, B); ( A, D ); ( A, E); ( A, C ); ( F, B); ( F, D ); ( F, E); ( F, C ); ( A, F ); ( B, D ); ( D, E); ( E, C )} Định nghĩa 1.5 Đồ thị G (V, E) gọi đơn đồ thị đỉnh phân biệt u, v V có nhiều cạnh E nối u v Đồ thị G (V, E) gọi đa đồ thị đỉnh phân biệt u, v V có nhiều cạnh E nối u v (ở ta thừa nhận đa đồ thị có vòng) Định nghĩa 1.6 Hai đồ thị G, G’ gọi đẳng cấu có song ánh ϕ : V(G) −→ V(G’) cho xy ∈ E( G ) ϕ( x ) ϕ(y) ∈ E( G ) Một đồ thị H đồ thị G, ký hiệu H ⊂ G, có đồ thị H’ đẳng cấu với H cho V(H’)⊂ V(G) E(H’)⊂ E(G) Định nghĩa 1.7 Cho G = (V, E), v ∈ V, ta đặt: N (V ) = {w ∈ V : vw ∈ E} tập tất đỉnh kề với v (không kể v) Khi d(v)=| N (v)| bậc v Ký hiệu δ( G ) bậc nhỏ đỉnh G, ∆( G ) bậc lớn đỉnh G Định nghĩa 1.8 Đồ thị G gọi liên thông hai đỉnh phân biệt đồ thị có đường nối đỉnh Thành phần liên thông G đồ thị liên thông lớn G chứa thành phần Định nghĩa 1.9 Dưới ta nêu số loại đồ thị thường gặp: , Pn có n cạnh n+1 đỉnh; ta gọi n • Đường đồ thị Pn có dạng độ dài đường • Chu trình Cn đồ thị có dạng Đồ thị Cn có n cạnh n đỉnh Bậc đỉnh Ta gọi n độ dài chu trình • Đồ thị đầy đủ Kn đồ thị có n đỉnh, tất đỉnh đỉnh kề Kn có (n2 ) cạnh Ví dụ K4 • Đồ thị hai phần (bipartite) có phân chia V ( G ) = X ∪ Y cho với cạnh G có đỉnh X đỉnh Y; gọi phân chia phân chia hai phần (bipartition) • Đồ thị hai phần đầy đủ Ks,t đồ thị có V(Ks,t )=X∪ Y Với |X|=s, |Y|=t, cho đỉnh X kề với tất đỉnh Y Không có cạnh nằm X Y Ks,t có st cạnh Ví dụ K2,3 1.2 Một số kết Trong phần này, chứng minh số kết đồ thị Mệnh đề 1.10 Trong đồ thị ta có ∑v∈V (G) d(v) = 2| E( G )| Chứng minh Chúng ta đếm số cặp (v, e) ∈ V ( G ) × E( G ) cho v ∈ e Khi đó, đỉnh v cho ta d(v) cặp Nên tổng số cặp đồ thị G ∑v∈V (G) d(v) Mặt khác, cạnh cho cặp (v, e) Do số cặp tính theo số cạnh 2| E( G )| Vậy ∑v∈V (G) d(v) = 2| E( G )| Mệnh đề 1.11 Một đồ thị G với bậc nhỏ δ( G ) chứa đường có độ dài δ( G ) chu trình có độ dài δ( G ) + Chứng minh Lấy v1 v2 vk đường lớn G, theo nghĩa: đường mở rộng thêm Khi tất đỉnh kề với v1 phải nằm đường này, không mở rộng Từ v1 có δ( G ) đỉnh kề, nên tập {v2 , v3 , , vk } chứa δ( G ) thành phần Do k δ( G ) + Vì đường có độ dài δ( G ) Làm tương tự với cách chứng minh với chu trình Đỉnh kề với v1 , đỉnh mà xa thuộc đường phải vi với i δ( G ) + Như v1 v2 vi v1 chu trình có độ dài δ( G ) + Mệnh đề 1.12 Bất kỳ đồ thị G chứa đồ thị hai phần H với | E( H )| | E( G )|/2 Chứng minh Chúng ta chứng minh kết mạnh là: G có đồ thị hai phần với V ( H ) = V ( G ) d H (v) dG(v) /2 cho tất đỉnh v ∈ V ( G ) Bắt đầu với phân chia tùy ý V ( G ) = X ∪ Y (việc phân chia không cần phân chia hai phần (bipartition) G), thực theo phương pháp sau Chúng ta quy cho X Y "đường" Với đỉnh v ∈ V ( G ), xem đỉnh có nhiều cạnh tới X hay tới Y hơn; có nhiều cạnh kết nối với đỉnh thành phần cạnh tới thành phần khác, di chuyển đỉnh tới thành phần khác Chúng ta lặp lại việc không đỉnh bị di chuyển Có nhiều |V ( G )| bước liên tiếp mà đỉnh bị di chuyển, từ không đỉnh bị di chuyển, hoàn thành Chúng ta di chuyển đỉnh từ phần sang phần khác làm tăng lên số cạnh X Y (chú ý đỉnh di chuyển trở lạị X Y, làm tăng tổng số cạnh X Y bước) Điều thuật toán có tính dừng số cạnh đồ thị hữu hạn Khi thuật toán dừng, đỉnh X có nửa số cạnh tới Y, tương tự, với đỉnh Y 10 chứa rừng giao điểm với n −1 −1 cạnh Đặc biệt, = rừng trải dài Chứng minh Ý tưởng chứng minh để che phủ điểm A ∪ B tập lớn đoạn thẳng rời mà đoạn chứa cạnh G := B( A, B) Bắt đầu với điểm v ∈ A Xét tất tia mở bắt đầu v chứa điểm B Mỗi tia chứa cạnh G nhiều − điểm ( A ∪ B)\v Với tia r, chọn điểm w ∈ B ∩ r Kéo tất phần đường thẳng tối đa với kết thúc mở w kết thúc đóng điểm A vào phần hình quạt theo chiều kim đồng hồ từ r Hình 2.6: Bao phủ A ∪ B tia đoạn (a), tia hay đoạn chứa cạnh đồ thị nhìn thấy hai phần (b) Hình 2.6 ví dụ Nếu hình quạt S có góc tâm lớn π vài điểm A không che phủ Trong trường hợp chia đôi S, đưa phần từ tia biên chúng vào nửa tương ứng S (gán điểm đường chia đôi vào hình quạt tùy ý) Giống tia, tất phần đường chứa cạnh G nhiều − điểm ( A ∪ B)\{v, w} Cùng với tia, chúng cặp không giao bao phủ tất điểm ( A ∪ B)\ Vì cạnh G chứa chúng dạng thức 32 rừng giao điểm với n −1 −1 cạnh Chú ý = có rừng với n − cạnh, ta có trải dài Hệ 2.15 Cho G đồ thị nhìn thấy tập hợp n điểm với nhiều điểm thẳng hàng Khi G có đặc trưng liên thông n −1 −1 , với kết tốt Chứng minh Lấy { A, B, C } phân chia V ( G ) cho C tách rời A B Xét đồ thị nhìn thấy hai phần A ∪ B Áp dụng quan sát 2.1 định lý 2.14 (với n = n − |C | n −1 −1 |C | = − 1) thu |C | n−|C |−1 −2 , với việc áp dụng Như trường hợp cạnh-liên thông, ví dụ hình 2.2 giới hạn tốt Trong trường hợp đồ thị nhìn thấy với nhiều đỉnh thẳng hàng, đơn giản cải thiện giới hạn định lý 2.11 Mệnh đề 2.16 Cho G đồ thị nhìn thấy với bậc nhỏ δ nhiều đỉnh thẳng hàng Khi G có đặc trưng liên thông 2δ+1 Chứng minh Lấy { A, B, C } phân chia V ( G ) cho C tách rời A B Như AB-đường chứa đỉnh A ∪ B Áp dụng định lý 2.14 (với = 2) quan sát 2.1 cho B( A, B) thu |C | w ∈ B, ý δ deg(v) | A| + |C | − δ Kết hợp bất đẳng thức cho ta |C | | A| + |C | − Với v ∈ A deg(w) | B| + |C | − 2δ+1 Trong trường hợp đồ thị nhìn thấy với nhiều đỉnh thẳng hàng, cải thiện tương tự tìm hệ định lý đồ thị nhìn thấy hai phần Bổ đề 2.7 công cụ quan trọng chứng minh Định lý 2.17 Cho A B hai tập hợp rời mặt phẳng với | A| = | B| = n cho A ∪ B có nhiều điểm nằm AB-đường Khi đồ thị nhìn thấy hai phần B( A, B) chứa trải dài giao điểm 33 Chứng minh Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp theo n Định lý với n = Áp dụng định lý 2.8 để tìm đường h cho nửa mặt phẳng đóng xác định h có n điểm tập A B Giả sử h nằm ngang Ý tưởng chứng minh để áp dụng phương pháp quy nạp bên h nhận trải dài, sau tìm cạnh nối chúng với Trong hầu hết trường hợp, cạnh nối tìm thất cách áp dụng bổ đề 2.7 Chúng ta xây dựng tập hợp A+ chứa điểm A mà nằm phía h với điểm thuộc h ta gán cho A+ Chúng ta xây dựng tập A− , B+ , B− tương tự Bởi thuộc tính h, tồn cách gán | A+ | = | B+ | = điểm h ∩ ( A ∪ B) cho tập cho n | A− | = | B− | = n Hình 2.7: Chỉ trường hợp h bị xáo trộn việc phân chia điểm h hay h Xem xét chuỗi sh ký hiệu (+ -) cho việc lựa chọn điểm h từ trái sang phải Nếu sh tất có ký hiệu tương tự luân phiên lần từ ký hiệu sang ký hiệu khác, xáo trộn h cho h A+ ∪ B+ nằm phía h A− ∪ B− nằm phía h Như Chúng ta cần xem xét tập, ví dụ A Giả sử có x điểm phía h, y điểm thuộc n h z điểm phía h Khi x + y x đảm bảo | A+ | = n2 A− n phần bù lại có điểm 34 áp dụng phương pháp quy nạp cho bên để đạt trải dài giao điểm B( A+ , B+ ) B( A− , B− ) Sau áp dụng bổ đề 2.7 để tìm cạnh hai trải dài này, tạo thành trải dài giao điểm B( A, B) Mặt khác sh luân phiêm lần (vì có điểm h) Điều không cần xảy có điểm từ tập h, điểm yêu cầu h lấy từ bên trái điểm yêu cầu h từ bên phải Không tính tổng quát, trường hợp lại cần xem xét h chứa điểm từ A điểm từ B Nếu điểm từ B liên tiếp h, không tính tổng quát sh = (+, −, +) điểm B nằm bên trái Trong trường hợp ký hiệu điểm B đổi chỗ h trở thành (−, +, +) Nếu điểm từ A nằm hai điểm khác, sh phải xen kẽ hai lần Trong trường hợp này, sử dụng giả thiết quy nạp để tìm trải dài B( A+ , B+ ) B( A− , B− ) Những trải dài nạy cạnh dọc theo h, thêm vào cạnh dọc theo h để liên kết chúng, hình 2.7 Định lý 2.18 Cho G đồ thị nhìn thấy với bậc nhỏ δ nhiều đỉnh thẳng hàng Khi G có đặc trưng liên thông 2δ+1 Chứng minh Lấy { A, B, C } phân chia V ( G ) cho C tách rời A B với | A| δ | B| việc xem xét điểm A nhân | A| + |C | − Nếu cần thiết loại bỏ điểm từ B để | A| = | B| Áp dụng định lý 2.17 quan sát 2.1 thu |C | thu |C | 2| A| − Kết hợp bất đẳng thức 2δ+1 Điều nói lên mệnh đề 2.16 định lý 2.18 tốt Có đồ thị nhìn thấy với điểm thẳng hàng đặc trưng liên thông 2δ+1 Công trình phát Roger Alperin, Joe Buhler, Adam Chalcraft Joel Rosenberg để đáp ứng vấn đề đặt Noam Elkies 35 Elkies truyền đạt giải pháp họ cho Todd Trimble người mà xuất blog Ở đề cập đến mô tả rút gon công trình Công trình sử dụng điểm thực đường cong eliptic Với mục đích chung tôi, đường cong eliptic thực C đường cong mặt phẳng xạ ảnh thực (mặt phẳng mà mô mặt phẳng Euclidean với việc thêm đường thẳng gặp vô tận) định nghĩa công thức có dạng y2 = x3 + αx + β Các số α β chọn cho biệt thức ∆ = −16(4α3 + 27β2 ) không 0, với việc đảm bảo đường cong không tầm thường Chúng ta định nghĩa nhóm phép tính + điểm C tuyên bố a + b + c = đường thẳng qua a b giao với C c, là, a, b c thẳng hàng Phần tử tương ứng với điểm vô tận ±y-hướng, cho ví dụ a + b + = đường thẳng qua a b song song với y-trục Hơn a + a + b = tiếp tuyến a giao với C b Điều phép toán định nghĩa cấu trúc nhóm Abelian điểm C Chúng ta sử dụng hai tính chất đường cong elliptic thực cấu trúc nhóm chúng Đầu tiên, đường thẳng giao với đường cong elliptic nhiều điểm Thứ hai, nhóm hoạt động liên tục: việc cộng vào điểm e, điểm mà gần với (rất xa phía vô cực) với điểm a kết điểm gần với a (về khoảng cách dọc theo C ) Mệnh đề 2.19 Alperin, Buhler, Chalcraft Rosenberg Với vô số số nguyên δ, có đồ thị nhìn thấy với nhiều đỉnh thẳng hàng, bậc nhỏ δ, đặc trưng liên thông 2δ+1 Chứng minh Bắt đầu việc chọn ba điểm khác thẳng hàng a, b c đường cong elliptic C , cho c nằm a b Sau chọn điểm e gần với Bây ta định nghĩa A:={ a + ie : i m − 1} B:={b + je : j m − 1} 36 C:={−( a + b + ke) : k 2m − 2} Lấy G đồ thị nhìn thấy A ∪ B ∪ C Vì tất điểm nằm C , G có nhiều đỉnh thẳng hàng Nhận xét điểm a+ie b+je thẳng hàng với -(a+b+(i+j)e) Vì e điểm chọn gần với 0, theo tính liên tục tập hợp A chứa lân cận nhỏ a, tương tự với tập B C Vì thế, điểm từ C điểm nằm điểm thẳng hàng C đỉnh cắt G, tách A B Bằng cách chọn a, b c tránh xa điểm uốn, bảo đảm thêm điểm thẳng hàng tập hợp A, B C Như điểm A nhìn thấy tất điểm khác A ∪ C, điểm B nhìn thấy tất điểm khác B ∪ C điểm C nhìn thấy tất điểm khác Vì bậc nhỏ G δ = 3m − 2, đạt đỉnh A ∪ B Vì (sử dụng mệnh đề 2.16) đặc trưng liên thông G |C | = 2m − = 2δ+1 Hình 2.8:(a) Đường cong elliptic y2 = x3 − x (b) Các điểm đen tách rời điểm màu trắng xám Trong Hình 2.8 chọn C đường cong y2 = x3 − x điểm a, b c x-trục Chúng ta lợi dụng đối xứng vế x-trục để chọn A = { a ± ie} ( 37 tương tự với B C), điều khác biệt với việc xây dựng vạch mệnh đề 2.19 Bây khép lại thảo luận đặc trưng liên thông đồ thị nhìn thấy với đoán sau Giả thuyết 2.20 Mọi đồ thị nhìn thấy có bậc nhỏ δ có đặc trưng liên thông 2δ+1 38 Chương Một số vấn đề liên quan đến đồ thị nhìn thấy 3.1 Giả thuyết Dirac Trong phần ký hiệu P tập gồm điểm không thẳng hàng mặt phẳng L(P ) tập đường xác định P Với điểm P nằm P , ta ký hiệu d( P) số đường L(P ) qua P, d( P) sốđường-liên thuộc P Chúng ta ký hiệu lr số r-đường (là đường qua r điểm P ) Giả thuyết Dirac biết đến vấn đề hay hình học tổ hợp Nó đoán Dirac từ trước năm 60 Năm 1951, Dirac rằng: Định lý 3.1 Mọi tập P gồm n điểm không thẳng hàng mặt phẳng chứa điểm √ thuộc n đường L(P ) Dirac đưa giả thuyết sau kiểm tra với n 14 Trong trường hợp dễ nhìn thấy kết tốt có thể, P phân bố đường thẳng với n số chẵn, vị trí tương tự với n số lẻ, giới hạn chặt Giả thuyết 3.2 (Giả thuyết Dirac) Mọi tập P gồm n điểm không thẳng hàng mặt phẳng chứa điểm thuộc nguyên lớn không vượt x 39 n đường L(P ), [ x ] số Phỏng đoán chắn sai với n nhỏ, vài phản ví dụ tìm Grunbaum số n tương đối nhỏ, cụ thể n ∈ {15, 19, 25, 31, 37} Năm ¨ 2011, Akiyama, Ito, Kobayashi Nakamura xây dựng tập hợp P gồm n điểm không thẳng hàng với số nguyên n mãn d( P) n trừ n = 12k + 23, k 0, thỏa với điểm P P Sau giả thuyết sau đề xuất cách tự nhiên: Giả thuyết 3.3 (Giả thuyết Dirac mạnh) Tồn số c1 cho tập P gồm n n điểm không thẳng hàng chứa điểm thuộc − c1 đường L(P ) n Chú ý rằng: P tập hợp gồm n điểm không thẳng hàng chứa điểm thẳng hàng giả thuyết hiển nhiên Thật vậy, n điểm P n không thuộc đường thẳng nên ta giả sử l đường thẳng chứa n điểm A điểm không thuộc l Do đó, có đường thẳng qua điểm A Năm 1961, Paul Erdos đưa giả thuyết yếu Giả thuyết 3.4 (Giả thuyết Dirac yếu) Tồn số c2 cho tập P gồm n n đường L(P ) điểm không thẳng hàng chứa điểm thuộc c2 Năm 1983, Giả thuyết Dirac yếu chứng minh độc lập Beck Szemerédi Trotter, trường hợp với c2 không cụ thể lớn Năm 2012 dựa vào bổ đề giao điểm, định lý Szemerédi-Trotter bất đẳng thức Hirzebruch, Payne Wood chứng minh giả thuyết 3.4 với c2 = 37 Định lý 3.5 Với tập hợp P gồm n điểm không thẳng hàng chứa điểm thuộc n 37 đường L(P ) Năm 2016, Phạm Hoàng Hà Phi Tiến Cường làm tăng lên kết Payne Wood đưa rằng: Định lý 3.6 Với tập hợp P gồm n điểm không thẳng hàng chứa điểm thuộc n 26 + đường L(P ) 40 Trong chứng minh giả thuyết Dirac, Beck chứng minh giả thuyết Dirac yếu với số c2 yếu sau Định lý 3.7 (Giả thuyết Dirac yếu) Mọi tập P gồm n điểm không thẳng hàng chứa điểm thuộc 2−15 n đường xác định P Để chứng minh định lý trên, Trước tiên, ta cần đến Bất đẳng thức Hirzebruch Như đề cập từ trước, lr số đường thẳng chứa r điểm thuộc P Định lý 3.8 (Bất đẳng thức Hirzebruch) Cho P tập hợp gồm n điểm với nhiều n − điểm thẳng hàng Khi l2 + l3 ≥ n + ∑ (2r − 9)lr r ≥5 Bất đẳng thức Hirzebruch thú vị hoàn toàn không cần đến công thức Euler để chứng minh định lý khác đề cập tới Thay vào ta cần kết sâu sắc khác hình học đại số, ứng dụng rộng rãi mặt phẳng thực (nó trường hợp điểm có tính thứ tự mặt phẳng phức) Năm 1995, Erdos Purdy đặt câu hỏi cách chứng minh tổ hợp cho bất đẳng thức bỏ ngỏ ngày Bây ta đưa kết sau: Định lý 3.9 Lấy α β số dương cho đồ thị H với n đỉnh m ≥ αn m3 Với số nguyên c ≥ tùy ý số thực ∈ (0; ) đỉnh thỏa mãn cr ( H ) ≥ 2 βn c ( c − 2) Đặt h := Khi đó, với tập P gồm n điểm mặt phẳng với nhiều 5c − 18 n điểm thẳng hàng, cách xếp P có δn2 điểm - đường liên thuộc Ở δ= n+1 1− α− β i+1 (c − h − 2)(c + 1) +∑ 3 c i i ≥c Năm 2003, bất đẳng thức loại-Hirzebruch báo cáo luận án A Langer sau: Định lý 3.10 Cho P tập hợp gồm n điểm với nhiều l2 + l3 ≥ n + ∑ ( r4 − r )lr r ≥5 41 3n điểm thẳng hàng Khi Tháng năm 2017, giả thuyết Dirac yếu, Zeye Han rằng: Định lý 3.11 Mọi tập P gồm n điểm không thẳng hàng mặt phẳng chứa điểm thuộc n + đường L(P ), [ x ] số nguyên nhỏ lớn x Trước chứng minh định lý trước tiên việc đếm cặp điểm P , có kết sau: Bổ đề 3.12 Cho P tập hợp gồm n điểm mặt phẳng, L(P ) tập hợp đường xác định P , lr số đường qua r điểm P , ∑ r ≥2 r lr = n Bổ đề 3.13 Cho P tập hợp gồm n điểm mặt phẳng, L(P ) tập hợp đường xác định P , d( P) số đường qua điểm P L(P ), lr số đường qua r điểm P , ∑ d( P) = ∑ rlr r ≥2 P∈P Chứng minh Tổng số đường qua r điểm P đếm r lần, từ đường qua r điểm tham gia vào số đường qua điểm Chứng minh (Định lý 3.11) Chú ý rằng, P không thẳng hàng chứa n +1 nhiều điểm thẳng hàng định lý 3.11 Như có rhể giả sử P không chứa n + điểm thẳng hàng Theo định lý 3.10 , có: (r ) r2 3 l2 + l3 ≥ n + ∑ ( − r )lr ⇔ l2 + l3 ≥ n + ∑ ( lr − ∑ rlr 4 4 r ≥5 r ≥5 r ≥5 Áp dụng bổ đề 3.12 , có: (r ) (n2 ) 3 n ( n + 3) l2 + l3 ≥ n + − ∑ lr − ∑ rlr ⇔ ∑ rlr ≥ 2 r ≥5 r =2 r ≥2 42 Áp dụng bổ đề 3.13 , có: ∑ P∈P ≥ n ( n + 3) Cuối cùng, theo nguyên tắc Pigeonhọle (hay nguyên tắc ngăn kéo Dirichlet), điều có nghĩa rằng: tập n điểm P không chứa mặt phẳng chứa điểm thuộc tia n n + điểm thẳng hàng + đường L(P ) 3.2 Định lý Beck Trong trình tìm cách chứng minh giả thuyết Dirac, Beck đưa định lý liên quan đến số đường thẳng xác định dựa tập hữu hạn điểm Định lý 3.14 (Định lý Beck) Tồn số c3 > cho tập hợp P gồm n điểm với nhiều điểm thẳng hàng, xác định c3 n(n − ) đường Beck chứng minh định lý với c3 = 2−31 Mục tiêu ta làm chặt c3 Payne-Wood sử dụng phương pháp chứng minh định lý trường hợp số bổ đề để chứng minh c3 ≥ (Cũng với phương pháp 98 họ thu c3 ≥ ) 93 Công cụ ta cần bất đẳng thức cổ điển Melchior Chứng minh trình bày báo [5] Bất đẳng thức Melchior sau làm Kelly Moser Định lý 3.15 (Bất đẳng thức Melchior) Cho P tập hợp gồm n điểm không thẳng hàng Khi l2 ≥ + ∑ (r − 3)lr r ≥4 Ta sử dụng hệ trực tiếp bất đẳng thức Như định nghĩa, I tổng số liên thuộc xếp P Đặt E tổng số cạnh đồ thị nhìn thấy P Đặt L tổng số đường trong xếp P Bổ đề 3.16 Cho P tập hợp n điểm không thẳng hàng Khi ta có 3L ≥ + I 2L ≥ + E 43 Chứng minh Áp dụng Bất đẳng thức 3.15, ta có: l2 ≥ + ∑ ( r − ) lr r ≥4 ∑ ( r − ) lr ≤ −3 r ≥2 3+ ∑ rlr r ≥2 ≤ ∑ lr r ≥2 + I ≤ 3L Do I = E + L, dẫn đến + E + L ≥ 3L hay ta có + E ≤ 2L Khi số điểm thẳng hàng lớn, ta cần đến bổ đề sau Bổ đề 3.17 Cho P tập hợp gồm n điểm mặt phẳng cho có đường có điểm thuộc P Khi đó, đồ thị nhìn thấy P có E ≥ (n − ) cạnh Chứng minh Đặt S tập gồm điểm thẳng hàng ∈ P Với điểm v ∈ S điểm w ∈ P \S, ta đếm số cạnh vw Vì S gồm điểm thẳng hàng w ∈ / S nên cạnh vw đếm lần ⇒ E ≥ |S|| P\S| = (n − ) Ta chứng minh kết sau: Định lý 3.18 (Payne-Wood) Mọi tập hợp P gồm n điểm với nhiều hàng xác định n(n − ) đường thẳng 98 điểm thẳng Chứng minh Giả sử có đường thẳng chứa l điểm P n E Nếu ≥ E ≥ n(n − ) bổ đề 3.17 Từ bổ đề 3.16 suy L > > 49 49 n(n − ) 98 n 203 31827 δ Mặt khác, giả sử < , thay α = ;β = ; = c = 67 49 16 1024 1 1 Từ định lý 3.9 cho ≥ ;δ ≥ ⇒I≥ n2 ≥ n(n − ) Bởi bổ 49 32.57 32.57 32.57 đề 3.16, L ≥ n(n − ) 98 44 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày kết đồ thị nhìn thấy, tính liên thông đồ thị nhìn thấy, kết gần giả thuyết Dirac định lý Beck Các kết đạt được: Đưa vài dạng đồ thị thường gặp, số kết đồ thị nhìn thấy như: định lý Menger, điều kiện cần đủ để đồ thị k-liên thông Tìm hiểu cạnh- đỉnh-liên thông đồ thị nhìn thấy, giới hạn tốt số đỉnh- cạnh-liên thông đồ thị nhìn thấy với n đỉnh nhiều đỉnh thẳng hàng Tìm hiểu phương pháp đánh giá số tốt giả thuyết Dirac yếu Kết có chủ yếu dựa báo[3] Zeye Han Tìm hiểu phương pháp để đánh giá số tốt định lý Beck, phát triển số kết liên quan đến số đường thẳng với điểm Các kết có chủ yếu dựa tài liệu Micheal Payne-David Wood[7] 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Hoàng Hà (2015) Tài liệu bồi dưỡng giáo viên THPT: Hình học tổ hợp [2] Nguyễn Thị Nháng (2016) Một số vấn đề hình học tổ hợp hữu hạn điểm mặt phẳng Euclid Luận văn thạc sĩ Trường Đại học sư phạm Hà Nội [3] Zeye Han A note on weak Dirac cọnjecture January 24, 2017 migaoyan@sina.com [4] Jan Kára, Attila Pór, and David R Wood On the chromatic number of the visibility graph of a set of points in the plane Discrete Comput Geom 34(3):497-506, 2005 doi:10.2007/s00454-005-1177-z [5] Eberhard Melchior Uber Vielseite der projektiven Ebene Deutsche Math., 5:461475, 1941 [6] Michael S Payne Combinatorial geometry of point sets with collinearities PhD dissertation, University of Melbourne, Department of Mathematics and Statistics, 2013 [7] Michael S Payne, David R Wood Progress on Dirac’s Conjecture, The electronic journal of combinatorics 21(2) , Page 2-12, 2014 [8] Frank de Zeeuw, Lecture on Graph Theory 2016 - EPFL 46