Cấu trúc cực biên của tập lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN GIÁP THỊ LĨNH CẤU TRÚC CỰC BIÊN CỦA TẬP LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học tô pô Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN GIÁP THỊ LĨNH CẤU TRÚC CỰC BIÊN CỦA TẬP LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học tô pô Mã số: 60.46.01.05 Cán hướng dẫn: TS Phạm Hoàng Hà Hà Nội - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết làm việc hướng dẫn Tiến sĩ Phạm Hoàng Hà Các số liệu tài liệu trích dẫn luận văn trung thực Kết luận văn không trùng với công trình công bố Tôi chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày 01 tháng 03 năm 2017 Học viên Giáp Thị Lĩnh LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Hoàng Hà người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo suốt trình thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, gửi lời kính chúc sức khỏe đến toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Tin, trường Đại học sư phạm Hà Nội − dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 01 tháng 03 năm 2017 Học viên Giáp Thị Lĩnh Mục lục Kiến thức chung 1.1 Đa tạp affine 1.2 Tập lồi 10 1.2.1 Phép toán tập lồi 11 1.2.2 Tiêu chuẩn cho tính lồi 12 1.3 Bao lồi 15 1.4 Sự phân tách siêu phẳng tựa 17 Cấu trúc cực biên tập lồi 22 2.1 Mặt cực biên 22 2.1.1 Định nghĩa tính chất 22 2.1.2 Mặt cực biên sinh tập 27 2.1.3 Mặt cực biên tính chất đại số tập lồi 31 Phép biểu diễn theo cực biên 34 2.2.1 Tập lồi compact 34 2.2.2 Tập lồi đóng không chứa đường 36 2.2.3 Các tập lồi đóng 43 2.2.4 Các tập r- cực biên 46 2.2 Tài liệu tham khảo 52 LỜI MỞ ĐẦU HÌnh học nghiên cứu tính chất tập lồi (hình học lồi) phần quan trọng toán học nói chung hình học nói riêng Hình học lồi tập trung nghiên cứu tính chất đại số, tô- pô, tổ hợp, tập lồi không gian Euclide, không gian vecto không gian trừu tượng khác Về mặt lý thuyết, hình học lồi có nhiều vai trò quan trọng cho ngành Toán khác như: giải tích lồi, lý thuyết tối ưu, hình học tổ hợp, hình học đại số, Về mặt ứng dụng, cấu trúc lồi đối tượng hình học tồn nhiều toán thực tế, chẳng hạn toán vận tải, toán tối ưu Đặc biệt đối tượng hình học chương trình toán phổ thông hành tập lồi đa giác lồi, hình tròn mặt phẳng Euclide khối chóp, khối lăng trụ, khối cầu không gian Euclide Với mục đích tìm hiểu sâu sắc tập lồi, chọn đề tài: " Cấu trúc cực biên tập lồi" Nghiên cứu cấu trúc cực biên tập lồi giúp ta hiểu rõ sâu sắc toán hình học chương trình toán học phổ thông toán ứng dụng tập lồi lý thuyết tối ưu, giải tích lồi, chương trình toán đại học, cao học toán kinh tế đời sống Trong đó, luận văn tập trung nghiên cứu " Cấu trúc cực biên tập lồi" Nội dung luận văn bao gồm: Chương 1: Kiến thức chung Trong chương này, trình bày kiến thức sở tập lồi, bao lồi, tiêu chuẩn cho tính lồi, chiều tô pô tập lồi Đồng thời, trình bày khái quát định lý phân tách số tính chất ban đầu định lý phân tách Chương 2: Cấu trúc cực biên tập lồi Trong chương này, trình bày chi tiết định nghĩa, tính chất điểm cực biên; mặt cực biên tính chất đại số tập lồi phép biểu diễn mặt cực biên Đồng thời trình bày định lý mặt cực biên phép biểu diễn cực biên Mặc dù cố gắng thời gian thực luận văn không nhiều nên luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tôi mong nhận góp ý bảo thầy giáo, cô giáo anh chị nghiên cứu sinh, anh chị bạn học viên Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 03 năm 2017 Học viên Giáp Thị Lĩnh Chương Kiến thức chung Trong chương này, tác giả trình bày hệ thống kiến thức quan trọng hình học lồi 1.1 Đa tạp affine Cho X không gian vecto không gian Rn , ta kí hiệu L( x, y), [ x, y], ( x, y) đường thẳng qua x y; đoạn thẳng đoạn thẳng mở nối hai điểm x y Nghĩa L( x, y) = {λx + (1 − λy) | λ ∈ R} (1.1.1) [ x, y] = {λx + (1 − λy) | λ ∈ [0, 1]} (1.1.2) ( x, y) = {λx + (1 − λy) | λ ∈ (0, 1)} (1.1.3) Định nghĩa 1.1.1 Một tập M ⊂ X gọi đa tạp affine hay tập affine với cặp điểm x, y ∈ M, ta có L[ x, y] ⊂ M Định nghĩa 1.1.2 Một tổ hợp affine điểm a1 , , am Rn tổ hợp tuyến tính λ1 a1 + + λm am , λi ∈ R : m ∑ λi = i =1 Định nghĩa 1.1.3 Một tập ∅ = L ⊂ Rn gọi mặt phẳng phép tịnh tiến không gian L = a + S = { a + x | x ∈ S }, a ∈ R, S ⊂ Rn Một tập ∅ định nghĩa mặt phẳng Một mặt phẳng L ⊂ Rn gọi mặt phẳng thực ∅ = L = Rn Định nghĩa 1.1.4 Mỗi tập X ∈ Rn , giao tất mặt phẳng chứa X gọi tổ hợp affine X, kí hiệu a f f X Ví dụ 1.1.5 •Tổ hợp affine x ∈ Rn x •Tổ hợp affine hai điểm x, y ∈ Rn đường thẳng L( x, y) Từ định nghĩa ta suy số tính chất sau: Tính chất Giao họ đa tạp affine đa tạp affine Nếu M ⊂ X tập X Ta gọi bao affine M, kí hiệu A f f M, giao tất đa tạp affine chứa M Và A f f M đa tạp affine nhỏ chứa M Tính chất A f f M = x | x tổ hợp affine vecto ∈ M Tính chất M đa tạp affine M = A f f M, nghĩa M= m m i =1 i =1 ∑ λi | m ∈ N, ∈ M, λi ∈ R : ∑ λi = (1.1.4) Tính chất M đa tạp affine ∀m ∈ M, ta có M − m X, nghĩa M = m + V, với V không gian X Khi đó, ta gọi chiều đối chiều M chiều đối chiều V, tức  dimM = dimV codimM = codimV Nếu codimM = 1, ta nói M siêu phẳng hay M siêu phẳng dimM = n − Định nghĩa 1.1.6 Nếu Y không gian vecto, kí hiệu L( X, Y ) không gian ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Nếu Y = R, ta đặt X TT = L( X, R) không gian phiếm hàm tuyến tính X 1.2 Tập lồi Định nghĩa 1.2.1 Một tập ∅ = L ⊂ Rn gọi lồi ∀ x, y ∈ X ( x, y) ⊂ X Tập ∅ tập lồi 10 Chú ý rằng, K ⊂ Rn tập lồi đóng, theo định lý 2.1.4 2.1.5 cho ta thấy nửa đường thẳng cực biên h K đóng, điểm cuối h điểm cực biên K Bổ đề 2.2.7 Cho ∅ = K ⊂ Rn tập lồi đóng, điều kiện sau tương đương (1) Có đường thẳng l cho K hợp "parallel to l segments" [u, v], u, v ∈ rbdK; (2) K bao lồi rbdK; (3) K không mặt phẳng không nửa mặt phẳng đóng a f f K Chứng minh Khẳng định (1) ⇒ (2) tầm thường (2) ⇒ (3) Tập K mặt phẳng, không rbdK = ∅ Tương tự, K nửa mặt phẳng đóng K, không rbdK trở thành mặt phẳng thực a f f K, từ cho K = rbdK = conv(rbdK ) (3) ⇒ (1) Ta biết rbdK không rỗng không lồi Do đó, với điểm x = y ∈ rbdK rintK ∩ ( x, y) = ∅ Chọn điểm w ∈ rintK ∩ ( x, y) giả sử đường thẳng l =< x, y > Ta cần chứng minh K ∩ l = [ x, y] Thật vậy, ta có [ x, y] ⊂ K ∩ l hiển nhiên Ta chứng minh bao hàm ngược lại Giả sử tồn điểm p ∈ K ∩ l \ [ x, y] Thế hai điểm x, y, giả sử x thuộc ( p, w) Trong trường hợp x ∈ rintK : mâu thuẫn với giả sử x ∈ rbdK Do K ∩ l ⊂ [ x, y] Tiếp theo, ta cần với điểm z ∈ K, đường thẳng l = (z − x ) + l qua z có điểm chung với K dọc theo đoạn đóng Thật vậy, K ∩ l không bị chặn, nửa đường thẳng h với điểm cuối z nằm K ∩ l , điều có nghĩa h = ( x − z) + h nằm K ∩ l, điều xảy K ∩ l = [ x, y] Do K ∩ l đoạn đóng, ta gọi [u, v] Từ kết 38 của tập lồi ta có u v thuộc vào rbdK Do z ∈ [u, v] Vậy (1) chứng minh Định nghĩa 2.2.8 Hình nón suy thoái (recession cone) tập khác rỗng X ⊂ Rn , kí hiệu recX, xác định recX = {e ∈ Rn | λe + x ∈ X với λ≥0 x ∈ X } Ta đặt rec∅ = ∅ Hình 2.1: Hình ảnh tập X hình nón suy thoái X Chú ý rằng, với vecto e ∈ Rn , vecto λe với λ ≥ 0, nửa đường thẳng [o, e >, điểm đơn {o} e = o Từ hình nón suy thoái tập khác rỗng {o} hợp nửa đường thẳng đóng với chung điểm cuối {o} Định lý 2.2.9 Cho K ⊂ Rn tập lồi đóng, điều kiện sau tương đương (1) K không chứa đường; (2) K = conv(extK ∪ extrK ); (3) K = conv(extK ) + recK Chứng minh Trường hợp K = ∅ hiển nhiên Ta giả sử K = ∅ (1) ⇒ (2) Hiển nhiên conv(extK ∪ extrK ) ⊂ K Ta chứng minh bao hàm ngược lại Đặt dimK = m Nếu m = K điểm đơn 39 K = extK Nếu m = K đoạn đóng nửa đường thẳng đóng Giả sử khẳng định cần chứng minh cho trường hợp r ≤ m − 1, m ≥ 2, đặt K ⊂ Rn tập lồi đóng không chứa đường với chiều m Thế K không mặt phẳng không nửa mặt phẳng đóng (theo bổ đề 2.2.7) Chọn điểm x ∈ K Theo bổ đề 2.2.7, tồn đường thẳng l qua x cho K ∩ l đoạn [y, z], y z thuộc rbdK Định lý 2.1.10 FK (u) FK (v) nằm rbdK, định lý 2.1.5 mặt cực biên tập lồi đóng có chiều nhỏ m Rõ ràng, FK (u) FK (v) không chứa đường Từ giả thiết, ta có FK (y) ⊂ conv(extFK (y) ∪ extrFK (y)), FK (z) ⊂ conv(extFK (z) ∪ extrFK (z)) Theo định lý 2.1.4, điểm cực biên nửa đường thẳng cực biên hai tập FK (y) FK (z) điểm cực biên nửa đường thẳng cực biên K Do đó, FK (y) ∪ FK (z) ⊂ conv(extK ∪ extrK ), từ cho ta x ∈ conv{y, z} ⊂ conv( FK (y) ∪ FK (z)) ⊂ conv(extK ∪ extrK ) Do K ⊂ conv(extK ∪ extrK ) (2) ⇒ (3) Ta có conv(extK ) ⊂ K kết luận conv(extK ) + recK ⊂ K Ta chứng minh bao hàm ngược lại Chọn x ∈ K = conv(extK ∪ extrK ) Khi x viết dạng x = λ1 x1 + + λ p x p + λ p+1 z p+1 + + λq zq , 40 x1 , , x p ∈ extK z p+1 , , zq ∈ extrK \ extK Nếu [ui , vi > nửa đường thẳng cực biên K chứa zi , zi = ui + γi wi , γi > wi = vi − ui ∈ recK, p + ≤ i ≤ q Do x = z + w, z = λ1 x1 + + λ p x p + λ p+1 u p+1 + + λq uq tổ hợp lồi điểm từ extK, w = λ p+1 γ p+1 w p+1 + + λq γq wq tổ hợp lồi dương điểm từ recK Rõ ràng, z ∈ conv(extK ), w ∈ recK recK nón lồi với đỉnh o Như x ∈ conv(extK ) + recK (3) ⇒ (1) Giả sử K chứa đường thẳng l Thế thì, với điểm x ∈ K, đường thẳng l song song với l chứa x nằm hoàn toàn K Chọn điểm y, z ∈ l \ {x} cho x ∈ (y, z), kết luận x ∈ / extK Do extK = ∅ Từ điểm cuối nửa đường thẳng cực biên điểm cực biên K, nên ta có extrK = ∅ Do K = conv(extK ) + recK = ∅ : trái với giả sử K = ∅ Do K phải không chứa đường Kết mở rộng định lý 2.2.3 cho trường hợp tập lồi đóng không chứa đường Chúng ta nói tập X ⊂ Rn tiếp giáp (coterminal) với nửa đường thẳng h = {u + λv | λ ≥ 0} sup{λ | u + λv ∈ X } = ∞ Định lý 2.2.10 Cho K ⊂ Rn tập lồi đóng không đường X tập K Khi ta có khẳng định sau (1) K = convX extK ⊂ X X tiếp giáp với nửa đường thẳng cực biên K; (2) K = convX extK ⊂ X h = conv(h ∩ X ) với nửa đường thẳng cực biên K; (3) K = convX + recK extK ⊂ X Chứng minh 41 (1) Đặt K = convX Giả sử tồn điểm x ∈ extK \ X Thế X ⊂ extK \ {x} Từ K \ {x} tập lồi, ta có K = convX ⊂ K \ {x} : mâu thuẫn Vậy extK ⊂ K Tiếp theo, giả sử ngược lại X không tiếp giáp với nửa đường thẳng cực biên h K Khi có điểm v ∈ h cho nửa đường thẳng mở h ⊂ h với điểm cuối v không chứa điểm X Giả sử tập M = (K \ h) ∪ [u, v], với u điểm cuối h Dễ dàng thấy M chứa X tập lồi thực K Do convX ⊂ M = K : mâu thuẫn Vậy X tiếp xúc với nửa đường thẳng cực biên K Ngược lại, giả sử tập X K chứa extK tiếp xúc với nửa đường thẳng cực biên K Thế convX chứa extK ∪ extrK Theo định lý 2.2.9 trên, ta có K = conv(extK ∪ extrK ) ⊂ convX ⊂ K, từ K = convX (1) ⇔ (2) Trước hết ta giả sử extK ⊂ X X tiếp giáp với nửa đường thẳng cực biên K Giả sử h nửa đường thẳng cực biên K Thế điểm cuối h thuộc vào X điểm cực biên K, điều kiện tiếp giáp h = conv(h ∩ X ) Ngược lại, nửa đường thẳng cực biên h K thảo mãn điều kiện h = conv(h ∩ X ) hiển nhiên X tiếp giáp với h (3) Đặt K = convX + recK Giả sử x ∈ extK \ X Với x ∈ K, ta viết x = u + v, u ∈ convX v ∈ recK Ta nói v = o Thật vậy, giả sử v = o Thế x = u ∈ convX Mặt khác, X ⊂ extK \ {x} ⊂ K \ {x} Do K \ {x} tập lồi nên x ∈ convX ⊂ K \ {x} : mâu thuẫn Vậy v = o Các lập luận nửa đường thẳng [o, v > nằm recK, từ [u, x >= [u, u + v >= u + [o, v >⊂ K Do x không điểm cuối nửa đường thẳng [u, x >, điểm cực biên K : trái với giả sử x ∈ extK \ X Do extK ⊂ X 42 Ngược lại, giả sử extK ⊂ X Khi conv(extK ) ⊂ convX Theo định lý 2.2.9 ta có K = conv(extK ) + recK ⊂ convX + recK ⊂ K + recK = K Do K = convX + recK Hệ 2.2.11 Một tập lồi đóng K ⊂ Rn bao lồi extK K không chứa đường nửa đường thẳng cực biên Và cho X ⊂ Rn , K = convX extK ⊂ X 2.2.3 Các tập lồi đóng Hệ 2.2.12 Giả sử K ⊂ Rn tập lồi đóng khác rỗng Nếu S ⊂ Rn nửa không gian bổ sung linK K = conv(ext(K ∩ S) ∪ extr (K ∩ S)) ⊕ linK, K = (conv(ext(K ∩ S)) + rec(K ∩ S)) ⊕ linK, K = conv(ext(K ∩ S)) + recK Định nghĩa 2.2.13 Giả sử K ⊂ Rn tập lồi đóng khác rỗng Một mặt cực biên khác rỗng F K gọi phẳng (tương ứng, nửa phẳng) F mặt phẳng (tương ứng, nửa mặt phẳng) Nhận xét 2.2.14 Các mặt phẳng cực biên tập lồi đóng không chứa đường K ⊂ Rn điểm cực biên nó, nửa phẳng cực biên K nửa đường thẳng cực biên Định lý 2.2.15 Giả sử K ⊂ Rn tập lồi đóng khác rỗng biểu diễn dạng K = (K ∩ S) ⊕ linK, với S không gian Rn bổ sung cho linK Khi ta có khẳng định sau (1) Một mặt cực biên F K phẳng F = x + linK, 43 x ∈ ext(K ∩ S); (2) Một mặt cực biên F K nửa phẳng F = h + linK, với h nửa đường thẳng cực biên K ∩ S Chứng minh Theo định lý 2.1.6, mặt cực biên F K biểu diễn dạng F = G ⊕ linK, với G mặt cực biên K ∩ S (1) Nếu F = x + linK, với x ∈ ext(K ∩ S), F mặt phẳng, mặt cực biên K lập luận Ngược lại, F phẳng cực biên K Chọn x ∈ G Thế x + linK ⊂ G ⊕ linK = F Mặt khác ta có F ⊂ x + linK Vì F = x + linK (2) Nếu F = h + linK, với h nửa đường thẳng cực biên K ∩ S, F nửa mặt phẳng, mặt cực biên K Ngược lại, giả sử F nửa phẳng cực biên K Khi F = g + L, g nửa đường thẳng với điểm cuối o L mặt phẳng Kí hiệu h phép chiếu g S dọc theo linK Từ F = G ⊕ linK, ta dễ dàng thấy G nửa đường thẳng đóng, h, với điểm cuối o (nếu không G = o L tịnh tiến linK ) Bởi lập luận trên, ta có F = h + linK Định lý 2.2.16 Một tập lồi đóng khác rỗng K ⊂ Rn bao lồi hợp phẳng nửa phẳng cực biên Tương tự, K tổng recK bao lồi hợp phẳng cực biên Chứng minh Biểu diễn K dạng K = (K ∩ S) ⊕ linK, S nửa không gian bổ sung linK Theo hệ 2.2.12 , ta có K = conv(ext(K ∩ S) ∪ extr (K ∩ S)) ⊕ linK = conv(∪(x + linK | x ∈ ext(K ∩ S)) ∪ (h + linK | h nửa đường thẳng cực biên củaK ∩ S)) 44 (2.2.2) Từ lập luận định lý 2.2.15 ta có K = conv(∪( F : F phẳng nửa phẳng cực biên K)) Tương tự, theo định lý 2.2.9 ta có recK = rec(K ∩ S) ⊕ linK, K ∩ S = conv(ext(K ∩ S)) + rec(K ∩ S), điều chứng tỏ K = (conv(ext(K ∩ S)) + rec(K ∩ S)) ⊕ linK = conv(∪(x + linK : x ∈ ext(K ∩ S))) + rec(K ∩ S) ⊕ linK (2.2.3) = conv(∪( F : F phẳng cực biên K)) + recK Kết mở rộng định lý 2.2.10 cho trường hợp tập lồi đóng tùy ý Định lý 2.2.17 Cho K ⊂ Rn tập lồi đóng khác rỗng X tập K Khi ta có khẳng định sau (1) K = convX F = conv( F ∩ X ) với phẳng nửa phẳng cực biên F K (2) K = convX + recK F = conv( F ∩ X ) với phẳng cực biên F cuả K Chứng minh Giả sử K = convX, chọn mặt cực biên F K Theo định lý 2.1.5, ta có F = F ∩ K = F ∩ convX = conv( F ∩ X ) Ngược lại, giả sử X thỏa mãn giả thiết (1) Theo định lý 2.2.16 ta có K = conv(∪( F : F phẳng nửa phẳng cực biên K)) = conv(∪(conv( F ∩ X ) : F phẳng nửa phẳng cực biên K)) ⊂ conv(convX ) = convX ⊂ K, (2.2.4) 45 từ ta có K = convX (2) Chứng minh tương tự khẳng định (1) 2.2.4 Các tập r- cực biên Định nghĩa 2.2.18 Giả sử K ⊂ Rn tập lồi khác rỗng r số nguyên thỏa mãn bất đẳng thức ≤ r ≤ dimK Hợp tất mặt cực biên K có chiều nhỏ r gọi tập r − cực biên K, kí hiệu extr K Các phần tử extr K gọi r − điểm cực biên K Rõ ràng, ext0 K = extK Định lý 2.2.19 Nếu k ⊂ Rn tập lồi khác rỗng có chiều m số nguyên r thỏa mãn bất đẳng thức ≤ r ≤ m Khi ta có khẳng định sau (1) ext0 K ⊂ ext1 K ⊂ ⊂ extm−1 K = K ∩ rbdK ⊂ extm K (2) Tập K \ extr K lồi Hơn nữa, K \ extr K hợp phần tương đối mặt cực biên K, chiều r + (3) Với x ∈ extr K, điều kiện sau tương đương (a) x ∈ extr K (b) dimFK ( x ) ≤ r (c) Không có (r + 1)− đơn hình ∆ ⊂ K thỏa mãn x ∈ rint∆ (d) x ∈ extr ( Bρ ( x ) ∩ K ) với hình cầu Bρ ( x ) ⊂ Rn , ρ > Chứng minh (1) Bao hàm ext0 K ⊂ ext1 K ⊂ ⊂ extm−1 K = K ∩ rbdK đẳng thức extm K = K suy từ định nghĩa định lý 2.1.5 Bao hàm ngược lại K ∩ rbdK ⊂ extm−1 K hệ định lý 2.1.10 (2) Đặt FFr họ tất mặt cực biên K, mặt cực biên có số chiều nhỏ r Theo định nghĩa extr (K ) = ∪( F : F ∈ FFr ) Đẳng thức K \ extr K = K \ (∪( F : F ∈ FFr )) = ∩(K \ F : F ∈ FFr ) 46 chứng tỏ K \ extr K lồi giao tập lồi K \ F, F ∈ FFr (định lý 2.1.3) Phần lại khẳng định (2) suy từ hệ 2.1.13 (3) ( a) ⇒ (b) Đặt x ∈ extr K Khi tồn mặt cực biên F K có số chiều nhỏ r cho x ∈ F Theo hệ 2.1.9 FK ( x ) mặt cực biên nhỏ K chứa x Do dimFK ( x ) ≤ dimF ≤ r (b) ⇒ (c) Đầu tiên ta giả sử dimFK ( x ) ≤ r Chọn đơn hình ∆ ⊂ K cho x ∈ rint∆ Từ FK ( x ) mặt cực biên K, theo định lý 2.1.5 ta có ∆ ⊂ FK ( x ) Do dim∆ ≤ dimFK ( x ) ≤ r (c) ⇒ ( a) Giả sử x ∈ K cho (r + 1)− đơn hình từ K chứa x nằm phần tương đối Đặt p = dimFK ( x ) Theo định lý 2.1.10 x ∈ rintFK ( x ) Do đó, tồn đơn hình ∆ ⊂ FK ( x ) cho x ∈ rint∆ dim∆ = dimFK ( x ) Bởi giả định dim∆ ≤ r nên p ≤ r, từ ta có x ∈ extr K ( a) ⇔ (d) Trước hết ta giả sử x ∈ extr K Bởi điều kiện (c) trên, (r + 1)− đơn hình ∆ ⊂ Bρ ( x ) ∩ K chứa x nằm phần tương đối Do x ∈ extr ( Bρ ( x ) ∩ K ) Ngược lại, giả sử x ∈ extr ( Bρ ( x ) ∩ K ) Giả sử tồn (r + 1)− đơn hình ∆ = ∆( x1 , , xr+2 ) ⊂ K thỏa mãn x ∈ rint∆ Khi x viết dạng tổ hợp lồi dương x = λ1 x1 + + λr+1 xr+2 Đặt δ = max { x − xi : ≤ i ≤ r + 2} ρ x i = x + ( x i − x ), δ ≤ i ≤ r + Ta có x1 , , xr+2 độc lập affine Hơn nữa, r +2 ∑ i =1 r +2 λi xi = r +2 ρ r +2 ρ λ x + ( λ x − ∑ i i δ ∑ i i ∑ λi x) = x + δ (x − x) = x, i =1 i =1 i =1 47 x ∈ rint∆ , với δ = ∆( x1 , , xr+2 ) Từ { x1 , , xr+2 } ⊂ ∆, ta có ∆ = conv{ x1 , , xr+2 } ⊂ ∆ ⊂ K Tương tự, từ bất đẳng thức x − xi ≤ ρ x − xi ≤ p, δ ≤ i ≤ r + 2, cho ta ∆ ⊂ Bρ ( x ) Tóm lại, ∆ ⊂ Bρ ( x ) ∩ K, từ x ∈ / extr ( Bρ ( x ) ∩ K ) : trái với giả thiết x Vậy ta có điều phải chứng minh Hệ 2.2.20 Giả sử K ⊂ Rn tập lồi có chiều m biểu diễn dạng K = (K ∩ S) ⊕ linK, với S nửa không gian bổ sung linK Nếu dim(linK ) = p, extr K = ∅ với ≤ r ≤ p − 1, ext p+q K = extq (K ∩ S) ⊕ linK, ≤ q ≤ m − p Bổ đề 2.2.21 Giả sử K ⊂ Rn tập lồi có chiều m ≥ F tập lồi rbdK có chiều (m − 1) Với điểm z ∈ rintF, có hình cầu đóng Bρ (z) ⊂ Rn thỏa mãn Bρ (z) ∩ rbdK ⊂ rintF Hệ tập rbdK \ rintF tập đóng Định lý 2.2.22 Cho k ⊂ Rn tập lồi có số chiều m ≥ Khi extm−1 K = K ∩ extm−1 K, extm−2 K = K ∩ extm−2 K Từ hai tập extm−1 K extm−2 K tập đóng K tập đóng Chứng minh Theo định lý 2.2.19, ta có extm−1 K = K ∩ rbdK Do rbdK tập đóng nên ta có extm−1 K ⊂ K ∩ extm−1 K ⊂ K ∩ rbdK = K ∩ rbdK = extm−1 K 48 (2.2.5) Do extm−1 K = k ∩ extm−1 K Hiển nhiên extm−2 K ⊂ K ∩ extm−2 K, ta chứng minh bao hàm ngược lại Giả sử tồn điểm x ∈ K ∩ extm−2 K \ extm−2 K Theo định lý 2.2.19 ta có dimFK ( x ) ≥ m − Mặt khác, x ∈ extm−2 K ⊂ rbdK, từ định lý 2.1.5 2.1.10 FK ( x ) tập lồi rbdK dimFk ( x ) ≤ m − Vì dimFK ( x ) = m − Theo bổ đề 2.2.21, tồn hình cầu đóng Bρ ( x ) cho Bρ ( x ) ∩ rbdK ⊂ rintFK ( x ) Từ ta thu x thuộc vào extm−2 K : mâu thuẫn với việc chọn x Vậy K ∩ extm−2 K ⊂ extm−2 K Định lý 2.2.23 Cho K ⊂ Rn tập lồi đóng khác rỗng có chiều m số nguyên ≤ r ≤ m Khi ta có khẳng định sau (1) Nếu dim(linK ) ≤ r K = conv(extr+1 K ) (2) K = conv(extr K ) dim(linK ) ≤ m K nửa mặt phẳng cực biên có chiều lớn r Chứng minh Đặt K = (K ∩ S) ⊕ linK, S không gian bổ sung linK K ∩ S tập đóng không chứa đường (1) Đặt p = dim(linK ), với p ≤ r Theo định lý 2.2.9 ta có K ∩ S = conv(ext(K ∩ S) ∪ extr (K ∩ S)) Theo định nghĩa ext(K ∩ S) ∪ extr (K ∩ S) ⊂ ext1 (K ∩ S), Do từ hệ 2.2.20 ta có K = (K ∩ S) ⊕ linK ⊂ conv(ext1 (K ∩ S)) ⊕ linK conv(ext p+1 K ) ⊂ conv(extr+1 K ) (2.2.6) (2) Trước hết ta giả sử dim(linK ) ≤ r K nửa mặt phẳng cực biên lớn r Khi K ∩ S nửa đường thẳng cực biên nào, theo hệ 49 2.2.11 ta có K = (K ∩ S) ⊕ linK ⊂ conv(ext0 (K ∩ S)) ⊕ linK conv(ext p K ) ⊂ conv(extr K ) (2.2.7) Ngược lại, đặt K = conv(extr K ) Trước hết ta chứng minh dim(linK ) ≤ r Thật vậy, giả sử dim(linK ) ≥ r + Thế với mặt cực biên F K, ta viết F = E ⊕ linK (theo định lý 2.1.6), có số chiều r + Trong trường hợp extr K = ∅ (hệ 2.2.20), K = conv(extr K ) = ∅ : mâu thuẫn với giả thiết K = ∅ Vậy dim(linK ) ≤ r Tiếp theo, ta nửa phẳng cực biên K có chiều lớn r Thật vậy, gọi D nửa phẳng cực biên K Theo chứng minh trên, D = ( D ∩ S) ⊕ linK Từ K ∩ S tập lồi đóng không chứa đường, mặt cực biên D ∩ S nửa đường thẳng đóng Do đó, dimD = dim(linK ) + ≤ r + Ta dimD ≤ r Giả sử dimD = r + Trong trường hợp này, dim(linK ) = r D ∩ S nửa đường thẳng Bởi hệ 2.2.20: extr K = ext(K ∩ S) ⊕ linK, ta thấy (K ∩ S) ⊕ linK = K = conv(extr K ) = conv(ext(K ∩ S)) ⊕ linK Do K ∩ S = conv(ext(K ∩ S)) (hệ 2.2.11), từ ta thu mâu thuẫn Điều chứng tỏ dimD ≤ r 50 Kết luận Trong luận văn này, trình bày cấu trúc cực biên tập lồi Luận văn khái quát số tính chất tập lồi, mặt cực biên, phép biểu diễn cực biên tập lồi thông qua định lý, hệ có chứng minh tương đối rõ ràng 51 Tài liệu tham khảo [1] M Berger, Geometry I, II, Springer, (2009) [2] Valeriu Soltan, Lectures on Convex Sets, NXB World Scientific, (2015) [3] W Weil, A course on Complex Geometry, (2005) 52