34 Bài tập phương trình và hệ phương trình Toán nâng cao 9

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 34 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN NÂNG CAO LỚP Bài toán 1: Giải phương trình x   10  x  x2  12 x  40 a  b Bổ đề : Với a  0; b  a  b   a  b  a  b 2   a  b  a  b2  x   10  x   x   10  x   mà Giải: Điều kiện :  x  10 , Ta có   x  12 x  40  x  12 x  36    x     Dấu xảy  x   10  x  x  Vậy phương trình có nghiệm x =  x   Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có  x   x   10  x  10  x    x   10  x    4 x    x6 10  x  Dấu xảy  Bài toán 2: Giải phương trình: x2  x   x  x   x  x  Vì x2  x   x  x2   nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si số hạng vế trái ta được:   x  x  1  x  x   1  x2  x   x2  x  2 x  x2   x  x2   2 Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: (1) (2) x2  x 1  x  x2   x2  x x  x2    x  nên theo đề 2 ta có : x2  x   x    x  1  Đẳng thức xảy x = Thử lại ta thấy x = thoả Vậy phương trình có nghiệm x = Bài toán 3: Giải phương trình: W: www.hoc247.net x    x  3x  12 x  14 (1) F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  x  2 x    Điều kiện tồn phương trình:    x   x    x  (*) 2  Vế phải (1): 3x2  12 x  14   x  x      x     Đẳng thức xảy x = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) vế trái phương trình (1): 2x    2x  1   12  x    x    Đẳng thức xảy 2x    x  x  Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm phương trình Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có:  x  3  5  x   2x  1  2x 1   Đẳng thức xảy 2 2 x    x  Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm  5  x  phương trình Bài toán 4: Giải phương trình: x2  x   x  x   3x  3x (1) 2 x  x    1  3x  3x  Giải: Điều kiện  (2) Vế trái phương trình (1): x2  x    x  1   với x  đẳng thức xảy x = Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với x thoả mãn (2) vế phải phương trình (1) thoả: x  x   3x  3x  1    12 x  x   3x  3x   x  x    x  1  đẳng thức xảy x2  x   3x  3x2 Để đẳng thức xảy phương trình (1) hai vế phương trình (1) Nên x = Thử lại thấy x = nghiệm phương trình Bài toán 5: Giải phương trình:  x3   x   (1) Giải: Điều kiện  x3    x  1  x2  x  1  Do x2  x   với x nên x    x  1 Đặt a  x  ; b  x  x  với a  ; b  Nên phương trình (1) trở thành : W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  5ab  a  b 2  a a a a         Giải phương trình   b b b b Với a  phương trình (1) vô nghiệm b Với  x  1 a Phương trình có hai nghiệm thoả điều  x   x  x    b  x  5x   kiện x1   37 ; x2   37 42 60   (1) 5 x 7x Bài toán 6: Giải phương trình: Phương trình (1) có nghĩa x < nên 1     42   60      0 5 x    x   42  42   3    3  x  x      42 3  5 x   42 60 9 5 x  7x  0     42 60  3  3  5 x   7x       x   42  42  5  x     5 x    60  60      x  7x   60  3  7x     x   60  60  7  x    7x   9 0     1     1  3x    1  3x            x    42    x    60   5 x   x       5  x     42   5 x    7  x    60   7x  > nên x  Thử lại nên nghiệm phương trình x  Bài toán 7: Giải phương trình: x  x    x  x    x  x  3 (1) Điều kiện để phương trình có nghĩa : 3  x  ;0  x  Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: x  x  2  x  x  5  x  x   x  5  x  x  3 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai   x  x   x  5  10 x  x  x  x   x  5  10 x  x     x2  x   x  5  100 x2  20 x3  x  x x  x  10  100 x  20 x3  x  3x  8x3  60 x   10   x 3x  8x  60  Giải phương trình x   ;0;6 Thử lai có hai nghiệm     x = 0; x = thoả mãn đề cho Bài toán 8: Giải phương trình:    (1) x   x   x  x  10  Điều kiện x > -2 x2  x  10   x  2 x  5 Nhân hai vế phương trình (1) với    x   x  ta được:  x     x  5    1  x  2 x  5      x  2 x  5    x2  x5  x2  x5      x  1 x   1 x       x2  x5   x  2 x  5    x  1 1 x    x  1   x    x  4 Do x > -2 nên x = -4 (loại) Vậy nghiệm phương     x    x  1 1  x   trình x = -1 ***Cách giải khác: Đặt a  x   a2  x  ; b  x   b2  x  nên b2  a2  x   x   b2  a  phương trình (1) trở thành:  (b  a)(1  ab)  Do (*) Từ hệ (*) suy b2  a2   b  a 1  ab   b  a  a  b  ab  1  a  b b  a    a  b  ta có x = -1   a  b  ab     a  1 b  1  Bài toán 9: Giải phương trình: 25  x2  10  x2  (1) 25  x   x  25     x  10   10  x  10 (*) Giải: Điều kiện  10  x   x  10   Đặt  a  25  x2 ; 10  x2  b   a2  b2  25  x2  10  x2  15 Nên phương trình (1) trở W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a  b  a  b  a      2 a  b  15 a  b  b  thành  Nếu b = 10  x2   x2   x  3 so với điều kiên (*) x  3 thoả Nếu a = 25  x2  16  x2   x  3 so với điều kiên (*) x  3 thoả Vậy phương trình có nghiệm x  3 Bài toán 10: Giải phương trình: x   x   5x (*) Lập phương hai vế phương trình (*) ta được: 5x  x   x   3  x  1 x  1  x   x  1  5x  x  3 x  5x    x2  5x  x  x3  5x x   x3  5x   x  x   Thử lại ta thấy phương trinh có ba nghiệm Bài toán 11: Giải phương trình  x   x  (1) Điều kiện: x  Đặt  x  a ;  x  b  a3   x ;  b3   x nên phương trình (1) trở thành   a  b  a  b  a  b  a   b     3    2 2 a  b  a  ab  b    a  b  a  ab  b    b   b   b   b       a   b a   b a   b     a  b 1   2 2  b  1  4  4b  b  2b  b  b   b  2b    Nếu a =  x   x   x  Nếu b =  x   x   x  Vậy x = nghiệm phương trình Bài toán 12: Giải phương trình  x  x 1  Giải: TXĐ x 1   x  Đặt  x  a ; W: www.hoc247.net (1) x   b  Nên phương trình cho trở thành: F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  a   b a   b  a  b  a  b   a   b         3 2 2  a  b  a  b   1  b   b  1  3b  3b  b  b   b b  4b     Nên b 0;1;3 Do  a; b   1;0  ;  0;1 ;  2;3 Nếu a   x    x   x  ; b  x 1   x 1   x  Nếu a   x    x   x  ; b  x 1   x 1   x  Nếu a  2  x  2   x  8  x  10 ; b  x    x    x  10 Vậy phương trình có ba nghiệm x 1; 2;10  x 2x  x2  Bài toán 13: Giải phương trình (*) x  x2 Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa x  1 x 2x 1  1 Thử thấy x  nghiệm phương trình (*) x 1 x *   x  x  x 1  Suy 1 x 2x 1   1 x  x2  x    x  x x 1  Suy 1 x 2x 1   1 x  x2 Với  x  Với 1 x  hay  x  x Vậy x = nghiệm phương trình Bài toán 14: Giải phương trình : 3x2  x  2001  3x2  x  2002  x  2003  2002 Giải: Đ ặt : 3x2  x  2001  a  a3  3x  x  2001  3x2  x  2002  b  b3  3x2  x  2002  x  2003  c  c3  6 x  2003 Suy a3  b3  c3  2002 Do phương trình cho  a  b  c   a3  b3  c3 nên a  b  c   (a3  b3  c3 )  Khai triển thu gọn được:  a  b  b  c  c  a   Nếu a  b   3x2  x  2001  3x2  x  2002  3x2  x  2001  3x  x  2002  6x   x  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  Nếu b  c   3x2  x  2002   x  2003  3x2  x  2002  6x  2003 1  13  13    ;  3x2  x   Phương trình có nghiệm x         Nếu a  c   3x2  x  2001  x  2003  3x2  x  2001  6x  2003  3x2  x  4004  Phương trình vô nghiệm  1  13  13    ;  6  6   Vậy phương trình có ba nghiệm x   ; Bài toán 15: Tính giá trị biểu thức: a 1 a  a 1  a a nghiệm phương trình x2  x   Giải : Phương trình x2  x   có ac = -  nên có hai nghiệm phân biệt với a nghiệm dương phương trình nên ta có: 4a2  2a   (1) Vì a > nên từ (1) có : a2  1  a   a a  2a  a    a4  2.2 2 Gọi S   a 1 a  a 1  a  a  1   a4  a   a2   a  1  a4  a   a4 a4  a 1  a2 a  a 1 a 4  a4  a   a2  2a  a 1 a  2a  a  8a   a a  6a   a a   a  a 1          8 2 2 2 2 2 2 Bài toán 16: Giải phương trình: x2  x  1000  8000 x  1000 Giải: Đặt  8000 x   y   8000 x  y 1   8000 x  y  y   y  y  8000 x  y  y  2000 x Do phương trình cho trở thành hệ phương trình:  x  x  2000 y  (1).Từ hệ phương trình (1) ta suy  y  y  2000 x   x2  x  y  y  2000  y  x    x  y  x  y    x  y   2000  x  y   (2)   x  y  x  y   2000    x  y  x  y  1999  Từ hệ phương trình (1) suy ra: x2  y   x  y   2000 x  y  2001 x  y  x2  y2   x  y  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Nên x  y  1999  Do từ (2) suy x  y  hay x = y Thay vào hệ (1) ta x2  x  2000 x  x  x  2001   x  x  2001 Nhưng x = không nghiệm phương trình nên phương trình có nghiệm x = 2001 Bài toán 17: Giải phương trình x  3x   x   x   x  x  Điều kiện phương trình: x  Ta có x2  3x   x   x   x  x   x  x   x   x   x  x   x 1      x 2  x 3    x 2  x3    x2  x3   x 1 1  x   x  x     x   x  x 1   x  1 x   x  nghiệm phương trình Bài toán 18: Giải phương trình 1   2 5x x  x  36 x  x  16 ĐKXĐ: x  Từ phương trình ta có Với x  nên chia hai vế   2 x x  36 x  12 x  36 x  122 phương trình cho x mẫu ta :  Khi ta có  12  2  12  36 Đặt     t  2 x  x 36  12  36  12  4   9   x  x x  x 9   Quy đồng khử mẫu ta được: t  12t  36   t     t  4t 9t 36 Do     Quy đồng khử mẫu ta x2  x  24  x  x Giải phương trình x2  x  24  ta nghiệm: x1,2  3  33 Vậy phương trình có hai nghiệm x1,2  3  33 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  y 20 x  11 y  2009 (1)  z  Bài toán 19: Giải hệ phương trình: 20  11z  2009 (2)  y  x 20  11x  2009 (3)  z     Giải: Từ (1) suy y  20  11  2009  y  Tương tự từ (2) (3) suy x  ; z  Vì x hệ số không đổi ta hoán vị vòng quanh x; y; z giả thiết x = max(x, y, z) Nghĩa x  y ; x  z Trừ tường vế phương trình (3) cho phương trình (1) ta y  x 20     11 x  y    20 x3  yz  11x z  x  y   (4) Vì x  y  ; x  z  nên x  z x  y x  y  x3  yz  Do phương trình (4)    x y z  x  yz   Thay vào phương trình (1) ta được: 2009  4035201 20  11x  2009  11x  2009 x  20  Do x = y = z = 22 x 697  (1) x  y  Bài toán 20: Cho hệ phương trình  81  x  y  xy  3x  y   (2)  a) Nếu có (x; y) thoả (2) Chứng minh  y  b) Giải hệ phương trình Giải: a) Từ phương trình (2) có: x2  y  xy  3x  y    x   y  3 x   y    Phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm:     y  3   y      y   y   y   y     3 y  1  y     y  2 b) Tương tự phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm: x2  y  xy  3x  y    y   x   y  x  3x       x    4( x  3x  4)   x2  8x  16  x  12 x  16   x   3x     x  Do  x  256 49 697 4 7    y  nên x  y        81 81 3 3 3 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Đẳng thức xảy x  y  697 7  x  y  Khi x  y  thay vào phương 81 3 3 trình (2) vô nghiệm Nên hệ cho vô nghiệm     x  y x  y  144  Bài toán 21 : Giải hệ phương trình:  (*) 2 2  x  y  x  y  y  Giải: Từ hệ phương trình suy y >  2   x y (*)    x   y  144 (1) 2   y  x  24 (2) Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta có: x         x2  24 x2  x  24  144  3x2  24 24  x2  144  72 x2  3x4  576  24 x2 144   3x  96 x  720   x  32 x  256   x  16     16  x  20 ; y  16 x2  12 ; y    Thử lại nghiệm:  x; y   5; ; 2 5; 4 ; 3;0 ; 2 3;0 2   x  xy  y  19  x  y  Bài toán 22: Giải hệ phương trình:  2   x  xy  y   x  y  (*) 2 2    x  xy  y  3xy  19  x  y   x  y   3xy  19  x  y   Giải : Hệ (*)   2 x  xy  y  xy  x  y     x  y   xy   x  y     6  x  y   xy   Đặt x  y  x  y  xy        x  y  a   xy  b  6a  b   7a  7a   7a  a  1   a  a   a  a  b  Khi hệ trở thành:  x  y  x    xy  y  Nếu a   b  suy  x  y   x   y   Nên x; (-y) nghiệm phương trình bậc x  y      xy    Nếu a   b  suy  hai k  k    k1  ; k2  2 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Nếu x = k1  y  k2  ; Nếu x = k2  2 y  k1  3 ; Vậy hệ cho có nghiệm là:  x; y    0;0  ; 3;2 ;  3; 2    x  y  y   (1) Tính Q  x2  y 2 (2)  x  x y  y  Bài toán 23: Cho hệ phương trình:  Giải: Từ (1) suy x3  3  y  y  1  1  y  y   1   y  1  1  x  1 (3) Từ x2  x2 y  y  có x  2y   1  x  y2 1 (4) Từ (3) (4) x  1 Do y  Vậy Q  x2  y   1  12  x  3y  Bài toán 24: Giải hệ phương trình:  (1)  x  y  x  y   (2) 2 Giải: Từ phương trình (2) suy  x2  x  1   y  y  1  11    x  1   y  1  11  2 Từ phương trình (1) suy x   y  1 Nên 3 y  1   y 1 2  11   3 y     y  1  11   y  12 y   y  y   11  2  10 y  10 y    y  y   Giải phương trình bậc hai ẩn y hai nghiệm : y 5  85 10 Nếu y  15  85 15  85 5  85 5  85 x   y  1  ; Nếu y  x   y  1  10 10 10 10   15  85 5  85   15  85 5  85 ; ;  ;  10 10 10 10     Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x; y     2 x  x y  Bài toán 25: Giải hệ phương trình:    y  xy  (*) Hệ phương trình (*) tương đương W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807       Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 3 2    2 x  y  8 x  12 x y  20  x   3.4 x y  3.2 xy  y  27  x  y   27        2 3  y 9y    y  xy    y  xy    y  xy  Giải phương trình : y3  y     y  1  y  y    có ba nghiệm y1  ; y2   105 ; y3   105 Nếu y   x  ; Nếu y   105  105 x   ; Nếu y   105  105 x ; Vậy   105  105    105  105    ; ;  ;    8      hệ phương trình có ba nghiệm  x; y   1;1 ;    2 x  xy  y  x  y   (1)  2 x  y  x  y   (2)   Bài toán 26: Giải hệ phương trình  Giải: Từ phương trình (1) suy y   x  1 y  x2  5x   Giải phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1  x  ; y2   x  Nên hệ phương trình tương đương:  y  2x 1  x  y    2  2 x  y  x  y   x  y  x  y     x    y  2x 1  Giải hệ phương trình :  2  13 x  y  x  y    y    x  y   Giải hệ phương trình  x  y  x  y   2 x  y 1 có nghiệm     Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x; y   1;1 ;   ;   13      2 x y  y x  y  Bài toán 27: Giải hệ phương trình   2 y x  x y  x  (Đề thi chuyên Lê Khiết năm học 2008- 2009) Điều kiện hệ: x  ; y  W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai  2 x y  y x  y   x y  y x  y   x    2 y x  x y  y    2 x y  y x  y  Khi ta có:  2 x y  y x  y     x yy x x yy x   x yy x        y   4x    y   4x  4x   y     2 x y  y x  y  2 x y  y x  y      x y  y2 x  y   x  3   xy  x  y  12  x  y    0   4x   y  4x   y  x y  y x x y  y x 2 x y  y x  y      xy 12    (*)  x  y   x   y    x y  y x  Do điều kiện x  ; y    xy 12   > hay x = y x   y    x y  y x nên phương trình(*) x  y  Do  Thay x = y vào phương trình ta có: 3x x  x   x3  x   x3  x   x   x 1    x  1 x  x       x  1  13 x  x   1,2    x  y  1  13  So với điều kiện x  (loại) V ậy hệ phương trình cho có nghiệm  1  13 x  y   Cách giải khác: Điều kiện hệ x  ; y   2 x y  y x  y  Ta có:   2 y x  x y  x         xy x  y  y     xy y  x  x   Giả sử x  y suy x   y  nên        xy y  x  xy x  y  y  x  x  y  y  x  y  x (vô lý)   Giả sử x  y suy y   x  nên        xy x  y  xy y  x  x  y  y  x  x  y  x  y (vô lý) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Nên suy x  y Thay x = y vào hệ ta có phương trình: 3x x  x   x  x   x  x   x   x 1    x  1 x  x       x  1  13 x  x    1,2   1  13 So với điều kiện x  (loaị) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x  y    1  13 x  y    x  y  z  (1)  Bài toán 28: Giải hệ phương trình:  y  z  x  (2)   z  x  y  (3) Giải: Điều kiện x; y; z  Nhân phương trình với ta có: 2 x  y  z   2 y  z  x   x  y  z  x   y   z 1   2 z  x  y         4x 1  4x 1   y 1  y 1   4z 1  4z 1       4x 1 1    y 1 1   4z 1 1   x  y  z  Bài toán 29 Giải hệ phương trình sau: 12 x  48 x  64  y (1)  12 y  48 y  64  z (2) 12 z  48 z  64  x3 (3)  Giải: Giả sử ba số  x; y; z  nghiệm hệ phương trình  y; z; x   z; x; y  nghiệm phương trình Giả sử x số lớn x  y ; x  z (4) Từ (1) ta có 12 x2  48x  64  y3  y3  12  x2  x    16  12  x    16  16  y  Tương tự W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai từ phương trình (2) (3) ta có x  ; z  (5) Trừ vế (1) (3) ta được: x3  y3  12  z  x2   48  z  x   12  z  x  x  z  4 (6) Theo (4) (5) suy x3  y3  ; z  x  ; x  z   Nên từ (6) suy x  y  z (7) Thay (7) vào (1) ta được: x3  12 x2  48x  64    x     x  Vậy hệ có nghiệm  x; y; z    4; 4;  Bài toán 30: Tìm x, y, z biết x yz  x  y  z Điều kiện: x; y; z  ; x  y  z  Đặt x  a ; y  b2 ; z  c2 Do a.b.c  nên ta có a  b2  c2  a  b  c  a2  b2  c2   a  b  c  a2  b2  c2  a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc  2b2  2ab  2ac  2bc   2b  a  b   2c  a  b    a  b b  c  a  b  a  b   b  c  b  c Do x = y z tuỳ ý ; y = z x tuỳ ý Hoặc cách giải khác: x yz  x  y  z  x yz  y  x  z  x  y  z  y  y  x  y  x   x  z  xz  y  x  y  z   xz  y  x  y  z   xz  y  x  y   yz  xz   y  x  y   z  x  y     x  y  y  z   Do x = y z tuỳ ý y = z x tuỳ ý x Bài toán31: Cho x > , y >  Từ  Chứng minh rằng: y 1   (1) Suy x > ; y > thức x y x  y  xy  xy  x  y     x  1 y  1    x y  x y2  x  1 y  1    x  y  x 1  y 1 x  ; y  tồn Từ (1) suy  x 1 y 1    x  1 y  1   x   y   x  y  x   y  (đpcm) Bài toán 32: Cho tam giác có số đo đường cao số nguyên, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Giải: Gọi x, y, z độ dài đường cao ứng với cạnh a, b, c tam giác, đường cao tam giác lớn đường kính đường tròn nội tiếp tam giác đó, nghĩa x  2; y  2; z  Vì x, y, z số nguyên dương nên x  3; y  3; z   1 1 1       Mặt khác ta lại có: x y z 3 1 a b c a bc          x  y  z  nên tam giác ABC x y z ax by cz 2S ABC r Bài toán 33: Cho phương trình x4  2mx2   (*) Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn x14  x24  x34  x44  32 Giải: Đặt x2  t  phương trình (*) trở thành t  2mt   (1) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 ngh ĩa l à: m 2  '  m    m   m  2   m  2 t1  t2  2m   m    m   t t   1 t1.t2  Khi m