Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương Chuyên ñ 01 Hình h c khơng gian BÀI GI NG 02 CÁC V N ð V GÓC ( Ph n III) ðÁP ÁN BÀI T P T LUY!N Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD c nh a, tâm O C nh SA = a SA ⊥ (ABCD) G(i E, F l,n lư.t hình chi/u vng góc c0a A lên c nh SB SD a) Ch2ng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD) b) Ch2ng minh (AEF) ⊥ (SAC) c) Tính tan ϕ v5i ϕ góc gi6a c nh SC v5i (ABCD) Gi i: a Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC , BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB) SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) b SA ⊥ ( ABCD ), SA = a , tam giác SAB, SAD vuông cân ⇒ FE đư8ng trung bình tam giác SBD ⇒ FE BD BD ⊥ AC ⇒ FE ⊥ AC , SA ⊥ ( ABCD) ⇒ BD ⊥ SA ⇒ FE ⊥ SA FE ⊥ ( SAC ), FE ⊂ ( AEF ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( AEF ) c SA ⊥ ( ABCD) nên AC hình chi/u c0a SC (ABCD) ⇒ ϕ = SCA ⇒ tan ϕ = SA a = = ⇒ ϕ = 450 AC a 2 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD hình vng c nh a ; SA = a G(i AH, AK l,n lư.t ñư8ng cao c0a tam giác SAB SAD Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58 58 12 Trang | Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương 1) Ch2ng minh : SAD ; Chun đ 01 Hình h c khơng gian SDC nh6ng tam giác vuông 2) Ch2ng minh: AK ⊥ (SDC) ; HK ⊥ (SAC) 3) Tính góc gi6a ñư8ng thCng SD mDt phCng (SAC) Gi i: S K H A D o B 1) C/m: C SAD tam giác vng Ta có : SA ⊥ (ABCD) ; AD ⊂ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD ⇒ SAD vuông t i A C/m: SDC tam giác vuông Ta có : SA ⊥ (ABCD) ; DC⊂(ABCD) ⇒ DC ⊥ SA DC ⊥ AD (do ABCD vuông) ⇒ DC ⊥ (SAD) SD ⊂ (SAD) ⇒ DC ⊥ SD ⇒ SDC vuông t i D 2) C/m: AK ⊥ (SDC) Ta có: DC ⊥ (SAD) ; AK ⊂ (SAD) ⇒ AK ⊥ DC AK ⊥ SD (giG thi/t) ⇒ AK ⊥ (SDC) (đpcm) C/m: HK ⊥ (SAC) Ta có : SAB = SAD (c g c) ⇒SB=SD Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58 58 12 Trang | Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương Chun đ 01 Hình h c khơng gian Mà H, K hình chi/u c0a A lên SB, SD ⇒ SH SK = SB SD ⇒ HK // BD (1) Xét tam giác cân SBD OB=OD (O tâm hvuông ABCD) ⇒SO ⊥ BD (2) TK (1),(2) ⇒ HK ⊥ SO (*) AO ⊥ BD (3) MDt khác: TK (1),(3) ⇒ HK ⊥ AO (**) TK (*),(**) HK ⊥ (SAO) Hay HK ⊥ (SAC) (đpcm) 3) Tính góc gi6a SD mp (SAC) Ta có: SO ⊥ OD ⇒ SO hình chi/u c0a SD mp (SAC) ⇒ góc gi6a SD mp (SAC) góc h.p bNi SD SO DO= a , SD= a 2 a DO ⇒Sin DSO = = = SD 7a 14 VPy DSO = arcsin 14 Bài 3: Cho hình chóp đRu S.ABCD, đáy có c nh bSng a có tâm O G(i M,N l,n lư.t trung điUm SA;BC.Bi/t góc gi6a MN (ABCD) bSng 600.Tính MN, SO, góc gi6a MN mDt phCng (SAO) Gi i: G(i P trung ñiUm AO Khi ñó MP // SO SO ⊥ (ABCD) Do ñó (MN;(ABCD)) = ∠ MNP = 600 Trong NCP , theo ñXnh lý hàm sZ Cosin ta có: NP = CN + CP − 2CN CP.cos450 = 5a 2 Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58 58 12 Trang | Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương Trong tam giác vuông MNP ta có MN = PM = PN tan 600 = a Chun đ 01 Hình h c khơng gian PN =a cos60 15 15 ⇒ SO = MP = a G(i H trung ñiUm OC Suy NH // BD mà BD ⊥ (SAC), (MN;(SAC)) = ∠ NMH a Ta có NH = OB = , MN = a Suy tam giác vuông MNH ta có sin ∠NHM = NH = MN VPy góc gi6a MN mDt phCng (SAC) góc có giá trX α th\a mãn sin α = ;0 ≤ α ≤ π Bài 4: Cho hình vng ABCD tam giác ñRu SAB c nh a nSm mDt phCng vng góc G(i I trung điUm AB CMR: SI ⊥ (ABCD) tính góc h.p bNi SC v5i (ABCD) Gi i: S` dang tính chbt mp vng góc ta có: SI ⊂ ( SAB) ( SAB) ∩ ( ABCD ) = AB → SI ⊥ ( ABCD) SI ⊥ AB Khi đó, I hình chi/u c0a S lên (ABCD) suy SC có hình chi/u lên (ABCD) IC ⇒ ∠( SC , ( ABCD)) = ∠( SC , IC ) = ∠SCI ( tam giác SIC vuông t i I nên góc SCI góc nh(n) SI ñư8ng cao c0a tam giác ñRu ABC nên SI = a Trong tam giác vuông ICB: IC = IB + BC = a2 a + a2 = a SI 15 ⇒ tan ∠SCI = = = CI a 2 VPy ∠( SC , ( ABCD )) = ∠SCI = arctan( 15 ) Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58 58 12 Trang | Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương Chuyên ñ 01 Hình h c khơng gian Bài 5: Cho hình chóp t2 giác S.ABCD có đáy hình ch6 nhPt v5i SA vng góc v5i đáy, G tr(ng tâm tam giác SAC, mDt phCng (ABG) cct SC t i M, cct SD t i N Tính thU tích c0a khZi đa didn MNABCD bi/t SA=AB=a góc h.p bNi ñư8ng thCng AN mp(ABCD) bSng 300 Gi i: + Trong mp(SAC) kf AG cct SC t i M, mp(SBD) kf BG cct SD t i N + Vì G tr(ng tâm tam giác ABC nên dg có SG = suy G tr(ng tâm tam giác SBD SO TK suy M, N l,n lư.t trung ñiUm c0a SC, SD 1 + Dg có: VS ABD = VS BCD = VS ABCD = V 2 Theo cơng th2c ti sZ thU tích ta có: VS ABN SA SB SN 1 = = 1.1 = ⇒ VS ABN = V VS ABD SA SB SD 2 VS BMN SB SM SN 1 1 = = = ⇒ VS ABN = V VS BCD SB SC SD 2 TK suy ra: VS ABMN = VS ABN + VS BMN = V + Ta có: V = SA.dt ( ABCD ) ; mà theo giG thi/t SA ⊥ ( ABCD) nên góc h.p bNi AN v5i mp(ABCD) góc NAD , l i có N trung điUm c0a SC nên tam giác NAD cân t i N, suy NAD = NDA = 300 Suy SA ra: AD = =a tan 300 1 3 Suy ra: V = SA.dt ( ABCD) = a.a.a = a 3 TK ta có: 3 3 VMNABCD = VSABCD − VSABMN = V − V = a = a 8 24 Bài 6: Cho hình lăng tra tam giác ABC.A’B’C’ v5i A’.ABC hình chóp tam giác ñRu c nh ñáy AB = a; c nh bên AA’ = b G(i α góc gi6a hai mp(ABC) mp(A’BC) Tính tan α thU tích chóp A’.BCC’B’ Gi i: Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58 58 12 Trang | Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương Chun đ 01 Hình h c khơng gian G(i O tâm đáy suy A ' O ⊥ ( ABC ) góc α = AIA ' *)Tính tan α tan α = A'O 1a a v5i OI = AI = = 3 OI A' C' B' a 3b − a A ' O = A ' A − AO = b − = 3 2 2 A C 3b − a ⇒ tan α = a O I B *)Tính VA ' BCC ' B ' VA ' BCC ' B ' = VABC A ' B 'C ' − VA ' ABC = A ' O.S ABC − A ' O.S ABC 3b − a a a 3b − a a = = ( dvtt ) 2 Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O c nh a SA ⊥ ( ABCD), SA = a A Tính góc gi-a đư1ng th3ng m6t ph3ng sau: a SB; (ABCD) b SD; (ABCD) d SO; (SAD) c SC; (SAB) e SA; (SBC) B Tính góc gi-a m6t ph3ng sau: a (SBC); (ABCD) b (SBD); (ABCD) c (SCD); (SAD) d (SBC); (SCD) Gi i: A Tính góc gi-a đư1ng th3ng m6t ph3ng a SA ⊥ ( ABCD) ⇒ AB hình chi/u c0a SB (ABCD) ⇒ ∠( SB, ( ABCD )) = ∠SBA Vì tan ∠SBA = SA = ⇒ ∠SBA = 600 AB b SA ⊥ ( ABCD) ⇒ AD hình chi/u c0a SD (ABCD) Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58 58 12 Trang | Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương Chun đ 01 Hình h c không gian ⇒ ∠( SD, ( ABCD )) = ∠SDA Vì tan ∠SDA = SA = ⇒ ∠SDA = 600 AD c BC ⊥ AB (giG thi/t ABCD hình vng) BC ⊥ SA (do giG thi/t SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ SB hình chi/u c0a SC (SAB) ⇒ ∠( SC , ( SAB )) = ∠( SC , SB ) = ∠CSB Vì tan ∠CSB = BC 1 = ⇒ ∠CSB = arctan SB 2 d G(i N trung ñiUm AD, ta có ON//AB mà AB ⊥ (SAD) nên ON ⊥ ( SAD) ⇒ SN hình chi/u c0a SO (SAD) ⇒ ∠( SO, ( SAD )) = ∠( SO, SN ) = ∠OSN ON Vì tan ∠OSN = = SN a 13 13 = ⇒ ∠OSN = arctan 2 13 13 SA + AN e G(i H hình chi/u c0a A SB Ta có: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do theo câu c ta có BC ⊥ (SAB) mà AH ⊂ (SBC) ) ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ SH hình chi/u c0a SA (SBC) ⇒ ∠( SA, ( SBC )) = ∠( SA, AH ) = ∠ASH a AH = = ⇒ ∠ASH = 300 Vì tan ∠ASH = 3a SH B Tính góc gi-a m6t ph3ng a (SBC) ⊥ (ABCD) = BC (*), BC ⊥ AB (**) BC ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD)), BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB (***) TK (*), (**), (***) ta có: ((SBC),(ABCD))=(AB,SB)= ∠ SBA=arctan(tan ∠ SBA)=600 b (SBD) ⊥ (ABCD) = BD (*), BD ⊥ AC (**) SAB = SAD (c.g c) ⇒ SBD cân t i S O trung ñiUm BD ⇒ SO ⊥ BD (***) TK (*), (**), (***) ta có: ( ( SBD ) , ( ABCD ) ) = ( AO,SO ) = ∠SOA = arctan(tan∠SOA) = arctan Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58 58 12 Trang | Khóa h c LTðH đ m b o mơn Tốn – Th y Lê Bá Tr n Phương Chun đ 01 Hình h c khơng gian c SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD mà CD ⊥ AB nên CD ⊥ (SAD) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD) hay ∠ ((SAD),(SCD))=900 d BD ⊥ (SAC) (do BD ⊥ SA BD ⊥ AC) nên SC ⊥ BD mà SC ⊥ BJ (g(i J hình chi/u c0a B lên SC) ⇒ SC ⊥ (JBD), k/t h.p (SBC) cct (SCD) t i SC ta có: OB 15 ∠ ( ( SBC ) , ( SCD ) ) = ∠BJD = 2∠BJO = 2arctan(tan∠BJO) = 2arctan( ) = arctan JO Giáo viên : Lê Bá Tr n Phương Ngu@n Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58 58 12 : Hocmai.vn Trang | ... IC = IB + BC = a2 a + a2 = a SI 15 ⇒ tan ∠SCI = = = CI a 2 VPy ∠( SC , ( ABCD )) = ∠SCI = arctan( 15 ) Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58 58 12 Trang | Khóa... VS ABCD = V 2 Theo cơng th2c ti sZ thU tích ta có: VS ABN SA SB SN 1 = = 1.1 = ⇒ VS ABN = V VS ABD SA SB SD 2 VS BMN SB SM SN 1 1 = = = ⇒ VS ABN = V VS BCD SB SC SD 2 TK suy ra: VS... AO = b − = 3 2 2 A C 3b − a ⇒ tan α = a O I B *)Tính VA ' BCC ' B ' VA ' BCC ' B ' = VABC A ' B 'C ' − VA ' ABC = A ' O.S ABC − A ' O.S ABC 3b − a a a 3b − a a = = ( dvtt ) 2 Bài 7: Cho hình