Luận văn thạc sĩ toán học Ma trận vuông thực

ì ì P ì ĩ P ữớ ữợ P ỡ rữợ tr õ tọ ỏ ỡ tợ t ổ rữớ ữ P t ổ tr tờ ổ ụ ữ t ổ t t t tr t ỳ tr tự qỵ t t ủ t tốt õ õ t tọ sỹ trồ ỏ t ỡ s s tợ t ữớ trỹ t ữợ t t ú ù õ t t õ tớ ỹ t ỏ õ ổ t tr ọ ỳ s sõt rt ữủ ỳ ỵ õ ỵ qỵ t ổ t ỡ t ữỡ r õ tốt ữủ t t q ự t tỏ t tr tr tỹ tứ t t ũ ợ sỹ ữợ t t t õ ợ t tr ổ tỹ ổ trũ ợ t q t ổ tr ự s t tr t ữỡ ử tr ổ t ỡ tr tr t P tr P ởt số ợ ởt tr P tr P ởt số tr ổ t tr tr t tr ỡ tr ố ự tr ố ự tr õ tr trỹ tự P t tự t t tự ỵ ữỡ t tự tự ệ ệ õ tr ổ ự t tr tỹ ỗ õ trỹ Pữỡ õ tr t t ữ t ữỡ t t t ữỡ ữ t ữỡ t tr ổ tỡ t ỵ t õ t õ ố ợ s t õ s t õ r số t t ởt ổ q trồ õ t ổ t ữ tr ổ ởt số t t õ õ rt ự tú tr t tứ ũ sỹ ú ù t t t t tr ổ tỹ ự ữ r tự q tr ổ tự õ tr ổ ự t tr ổ tự ữỡ t tự ự õ Pữỡ õ tr ổ ự õ ỗ tớ ữ r ố tữủ ự ố tữủ ự tr ổ tỹ P ự tr ổ t ỡ tr tr tr ổ t tự õ tr ổ ự Pữỡ ự s ự t t ủ tự ự trú õ t t t õ ỗ ệ ệ ữỡ ữỡ tr ổ t ỡ tr tr ữỡ tự ữỡ õ tr ổ ự ữỡ tr ổ t ỡ tr tr ữỡ tr tr ổ t tr tr ởt số tr ổ t ỹ tố tự t tr ố s tr số t t t t ý (1996) ố K ởt trữớ tũ ỵ tỹ ự ởt ỗ n ì n tỷ a tở K õ ij a11 a21 A= am1 a12 a22 am2 a1n a2n amn ữủ ởt tr m ì n ộ a ; i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n ữủ ởt t tr tữớ tr ỳ A, B, tr (1) õ t ỡ A = (a ) õ tr õ ỏ ởt ủ tt tr (m, n) ợ tỷ tở trữớ K ữủ M at(m ì n, K) m = n t tr A = (a ) ữủ tr ổ ij ij mìn ij nìn ữỡ tr ổ t ỡ tr tr a11 a21 A= an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann ữủ ỡ A = (a ) m = n a R t tr A = (a ) ữủ tr ổ tỹ ủ tt tr ổ ợ tỷ tở trữớ R ữủ M (R) ữớ t q tỷ a , a , , a ữủ ữớ tr ij n ij ij nìn n 11 22 nn A = 2 õ ữủ tr ổ tỷ tr ữớ 0, 2, t P tr A = (aij )mìn, B = (bij )mìn tr ũ tở M at(m ì n, K) tờ tr A B ởt tr C = (c cij = aij + bij , i = 1, , m; j = 1, , n C = A + B A = , B = ij )mìn ữỡ tr ổ t ỡ tr tr õ C = A + B = 0 8 P ởt số ợ ởt tr A = (aij )mìn tr tở M at(m ì n, K) K t tr A ợ ổ ữợ ởt tr D = (d ) ij mìn dij = .aij , i = 1, , m : j = 1, , n D = .A A = 2 = õ D = .A = P tr A = (aij )mìn M at(m ì n, K), t tr ợ tr B ởt tr C = (c B = (aij )nìp M at(n ì p, K) A n cik = C = A.B aij bjk , i = 1, , m; k = 1, , p j=1 ij )mìn ữỡ tự t trữớ ủ a = b = c õ ữỡ tr tữỡ ữỡ ợ x + ay + a z = a x + ay = a a z x + cy + c z = c x + cy = c c z + 3 3 2 t detB = a = c a = c ữỡ tr rr õ detB1 = a3 a2 z a a2 az = ac = = ac(c a)(z a c) c3 c2 z c c2 c detB2 = x= a3 a2 z = (c a)[a2 + ac + c2 z(a + c)] c c z detB2 detB1 = ac(z a c); y = = a2 + ac + c2 z(a + c) detB detB ữỡ tr õ tở ởt t số (ac(u a c), a + ac + c u(a + c), u ợ u tũ ỵ + rữớ ủ a = b = c ữỡ tr tữỡ ữỡ ợ 2 x + ay + a2 z = a3 (a au a v, u, v) ợ u, v tũ ỵ t a = b = c õ t (abc, (ab + bc + ac), a + b + c) a = b = c õ tở ởt t số (ac(u a c), a + ac + c u(a + c), u)ợ u tũ ỵ a = b = c õ tở t số (a au a v, u, v) ợ u, v tũ ỵ 2 ữỡ tự tr r tỡ r sỷ f : V V tỹ ỗ K ổ tỡ V õ tỡ = V ổ ữợ K s f () = t ữủ ởt tr r ỏ ữủ ởt tỡ r f ự ợ tr r A tr tỹ ỗ f t , ụ ữủ tr r tỡ r tr A t t t tr r tỡ r tỹ ỗ f ữợ ởt ỡ s (e) = {e , e , , e , } V t tr A f tr ỡ s õ ữợ tự trữ det(A I) tr A ữỡ tr tự n ố ợ n det(A I) = ữỡ tr t tr r ữợ ợ ộ tr r ữỡ tr tr t ữỡ tr t t t t s (a11 ).x1 + a12 x2 + + a1n xn = a x + (a ).x + + a x = 21 22 2n n an1 x1 + an2 x2 + + (ann ).xn = ợ ộ ổ t tữớ (c , c , , c ) t õ = c e + c e + + c e tỡ r ự ợ tr r tr r tỡ r tỹ ỗ f õ tr ữ s tr ỡ s {e , e , e } V 1 2 n n n 2 A = 3 tự trữ tr A tr ỡ s {e , e , e } 2 det(A I) = = ( 1)3 ữỡ tự det(A I) = ( 1)3 = = f = = 3.x1 x2 + 2.x3 = 5x1 2x2 + 3x3 = x x = õ ởt tr r ợ ữỡ tr õ t tữớ (x = a, x = a, x = a) ợ a = tỡ = a(e , e , e ) ợ a = tỡ r f ự ợ tr r = 1 2 3 t tự s 5 a) 0 x a b c a x c b b) b c x a c b a x t t tở t t tỡ tr tr R a) a = (0, 1, 1); a = (2, 3, 0); a = (1, 0, 1) b) b = (1, 1, 2); b = (1, 2, 5); b = (5, 3, 4) tỡ s a) a = (1, 2, 1, 3); a = (0, 3, 3, 7); a = (2, 1, 1, 1); a = (7, 5, 2, 0) b) a = (4, 1, 3, 2); a = (8, 2, 6, 4); a = (3, 1, 4, 2); a = (6, 2, 8, 4) ữỡ tr t t s 1 1 3 4 x 1 y = 1 z ữỡ õ tr ổ ự ữỡ tr tự q õ tr tỹ ỗ õ trỹ ữỡ õ tr ự õ tr ổ õ ữ t ữỡ t ỹ tố tự t tr ố s tr số t t t t r rồ ố tr tỷ tr A ữớ t A ữủ tr a11 a22 A= 0 ann tr tỹ ỗ tr A Mn(R) õ ữủ tỗ t tr C M (R) ổ s C n C A.C = 0 n A.C õ ữỡ õ tr ổ ự t ởt tr C õ C õ tr A A.C õ tr A n õ ữủ A õ n tỡ r t t tr A n õ ữủ A õ n tr r số tỡ r t t ự ợ ộ tr r số tr r õ q A tr ổ n õ n tr r t t A õ ữủ tr A n õ k tr r 1, 2, , k sỷ , , , k õ ữủt n1 , n2 , , nk õ tr A õ ữủ õ tọ s n1 + n2 + + nk = n rank(A t I) = n nt , t = 1, 2, , k õ trỹ ởt tr A ổ n ợ số tỹ õ trỹ ữủ tỗ t ởt tr trỹ C ợ số tỹ s C A.C = C AC tr ợ tỷ tỹ C tr õ trỹ tr A T tr ổ A ố ự t tỡ r tữỡ ự ợ tr r ổ ởt s trỹ ợ tr ổ A õ trỹ ữủ A õ n tỡ r trỹ Pữỡ õ tr õ tr A trữợ t ởt tr C õ C A.C ởt tr t t r tr C tr C õ t t t tở tr A õ õ A tr t A ổ ố ự t C ởt tr õ tỡ ởt tỡ r A õ tr ổ ự ữỡ A tr ố ự t C ởt tr trỹ ợ tỡ ởt ởt ỡ s trỹ ỗ t tỡ r A ú t ự t õ ỡ ữ s t tr A M (R) tr C M at(n ì n, R) tr B M at(n ì n, R) s B = C A.C tr t t t tr ữ s ữợ ữỡ tr tự trữ det(A .I ) = t tr r A sỷ tr r , , , õ tữỡ ự n , n , , n ữợ tr õ + n + n + + n = n t tr A ổ õ ữủ t t tú tt t + n + n + + n = n t t tr rank(A I) = n n , n > 1, t = 1, 2, , k t A ổ õ ữủ t t tú tt t rank(A I) = n n , n > 1, t = 1, 2, , k, t A õ ữủ t s ữợ ữợ tr C õ A ữ s ợ ộ tr t ữỡ tr (A I).X = t ỡ C , t = 1, , 2, , k õ tr C õ ởt tỡ tr S õ tr n n 1 2 k k k t t t t t t t t t A = 0 Pữỡ tr trữ tr A det(A .I3 ) = =0 0 k ữỡ õ tr ổ ự ( 1)( 5)2 = = (n1 = 1) = (n2 = 2) tr õ t n + n = + = = n ợ = 5(n = 2) t õ 2 2 2 rank(A I) = rank 2 = rank 0 = = n n2 0 0 0 tr A õ ữủ ợ = t õ 2x 2y = 4z = x=y z=0 = (1, 1, 0) tỡ r ự ợ tr r = ợ = t õ x = y 2x 2y = ; m, y tũ ỵ z=m 1 = (1, 1, 0); = (0, 0, 1) tỡ r ự ợ tr r = tr C õ A 1 C = 1 0 tr ỗ ợ tr A 0 B = C A.C = 0 ữỡ õ tr ổ ự t tr A tr ố ự tr trỹ C M at(n ì n, R) tr B M at(n ì n, R) s B = C A.C tr t t t tr ữ s ữợ ữỡ tr tự trữ det(A .I ) = t tr r A sỷ tr r , , , õ tữỡ ự n , n , , n ữợ ởt ỡ s trỹ ổ r ự ợ ộ tr r a n = t ởt tỡ t tữỡ ự ợ rỗ õ õ b n = t t õ t t ởt ỡ s trỹ ổ r tữỡ ự ợ ởt tr s ởt ỡ s ừổ r tữỡ ự ợ s õ q tr õ t ữủ ởt ỡ s trỹ ứ ổ tự (A I).X = t ởt tỡ õ õ s õ t ởt tỡ tọ n 1 k k k k k k k k k , = , = tử q tr ữ s tỡ s trỹ ợ tỡ trữợ õ õ ố ũ t ữủ ỡ s trỹ ổ r ự ợ tr r , k = 1, 2, , n ú t ữủ ỡ s trỹ ỗ tỡ r ữợ tr C õ ởt tự j tồ tỡ tự j tr ỡ s ứ t ữủ ữợ tr B õ tỷ tr ữớ tr r A ỏ tỷ tr A t tr trỹ C ữ tr A ữớ B = C A.C k A= 2 2 ữỡ õ tr ổ ự Pữỡ tr trữ tr A det(A .I3 ) = 2 =0 2 ợ = 92 + 108 = = ( 1) = ( 2) ở t õ 2x + 4y z = 4x + 5y + 2z = 2x + 2y + 8z = y = x y = 2z = (2, 2, 1) tỡ r ự ợ tr r õ = (2, 2, 1) t ữủ = ( , , ) ợ = = t õ 1 = 2 3 3 2x 2y + z = z = 2x + 2y ữỡ tr õ tờ qt (x, y, 2x + 2y), x, y tũ ỵ t ỡ s trỹ ổ r ự ợ = = t õ t t x = 0, y = t ữủ ởt = (0, 1, 2) x = 1, y = t ữủ ởt = (1, 0, 2) ữ t ữủ ởt ỗ tỡ r t t ự ợ tr r = = rỹ õ t { , } 2 3 e2 = = (0, 1, 2) , e2 = e , e2 4 e3 = (0, 1, 2) + (1, 0, 2) = (1, , ) 5 e3 = b1 e2 + , b1 = ữỡ õ tr ổ ự õ e , e t ữủ 2 = (0, , ) 5 = ( , , ) 5 tỡ r õ = (x, y, 2x + 2y) = (0, 1, 2) õ e t ữủ = ( , , ) s tọ 2 2 = (0, 15 , 25 ) , = , = = + + = 1 = ( , , ) tr trỹ õ tr A 5 C = 23 tr B 5 25 32 0 B = 0 ữ t ữỡ t t t ữỡ t ữỡ Q(x) tr ởt ỡ s (e) = (e1 , e2 , , en ) ổ t t n V õ Q(x) = x21 + x22 + + n x2n (1) ữỡ õ tr ổ ự tr õ , k = 1, 2, , n sốõ t t (1) t t ữỡ , k = 1, 2, , n số t ỡ s (e) Q(x) õ t (1) ỡ s t tữỡ ự k k q ố số t t t ữỡ ữ t ữỡ t tr ổ tỡ Pữỡ trỹ tr A t ữỡ tr ố ự tỹ t ữ t ữỡ t õ t q t ữ tr ố ự A ữớ ữỡ tr trữ |A E| = số trữ ỏ tỡ r tữỡ ự ợ số trữ õ ữợ t ữỡ t A tr ố ự tỹ õ õ n số trữ tỹ ộ số õ ữủ t ởt số õ ứ õ t t ữủ n tỡ r t t trỹ õ t t ữủ ởt ỡ s ỗ tứ tỡ r A tr T tứ ỡ s trỹ (e) s trỹ () tứ tỡ r ố ự tr trỹ ỡ s trỹ ữ ố ợ tr ố ự tỹ A õ t t ữủ ởt tr trỹ T ũ s B = T AT tr õ ụ tr t ữỡ tr ỡ s () ứ õ t õ q t t trỹ ữ t ữỡ t t tr A t ữỡ t số trữ õ tỡ r trỹ A trỹ ữ t ữỡ Q(x) = 27x21 10x1 x2 + 3x22 ữỡ õ tr ổ ự t t tr A t ữỡ 27 5 A= ữỡ tr trữ |A E| = 27 =0 30 + 56 = = = 28 tỡ r t ợ = t õ 251 52 = 51 + = t ợ 1 õ t õ = = 28 = = 51 õ tỡ r õ u = e + 5e 1 52 = 51 252 = = 52 t = õ = õ tỡ r õ v = e + e t ữủ tỡ r õ 2 1 = e + e , 26 26 = e1 + e2 26 26 trỹ rữợ t t tr T tứ ỡ s (e) s ỡ s () 26 26 526 26 ữỡ õ tr ổ ự (e) () ỳ ỡ s trỹ T tr trỹ õ tữỡ ự ợ trỹ x x x1 = x1 x2 26 26 ứ õ t õ x2 = x1 x2 26 26 Q(x) = 27( 126 x1 526 x2 )2 10( 126 x1 + 3( 526 x1 126 x2 )2 = 2x12 + 28x22 x )( x 26 26 x ) 26 Q(x) = 2x12 + 28x22 t tr tr s tr õ ữủ õ ữủ t ữ õ 0 a)A = 1 0 b)B = 0 0 0 0 0 tr A= a b c d ; a; b; c; d R ừ a, b, c, d tr A õ ữủ t r õ tốt ợ t tr ổ tỹ ự ởt số ỡ s tr ổ tự ữỡ õ tr ổ r õ ụ r ởt số t ử t ró ỡ tr õ r õ s t ỳ q t tr ổ tỹ tỹ ự t ữủ rở t t tr ổ q ợ ự tớ õ q ợ ự ố tự t ỏ õ t õ ỏ t sõt ữủ sỹ õ õ ỵ t ổ t r rồ (1996) tr số t t t ố ý (1996) tr số t t t ố P ỗ rữớ (2001) tr số t t rữớ ữ