Luận văn thạc sĩ Vật lý

1 BỘ GIÁO DỤCVÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN THỊ HỒNG KÉO LƯỢNG TỬ HAI CHIỀU TẠO RA CÁC TRẠNG THÁI HAI QUBIT CÓ ĐỘ ĐAN RỐI CAO TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ MẤT MÁT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC VẬT LÝ Thanh Hóa, năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án công trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Nguyễn Thị Hồng LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành nổ lực thân, nhận nhiều giúp đỡ, động viên thầy cô, gia đình bè bạn Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo – GS.TSKH Cao Long Vân giúp đỡ nhiều mặt tài liệu dành cho hướng dẫn tận tình suốt thời gian tìm hiểu, nghiên cứu thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo – TS Đoàn Quốc Khoa tận tình giúp đỡ nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy giáo, cô giáo Bộ môn Vật Lý – Khoa KHTN, Khoa Kỹ Thuật Công Nghệ Trường Đại học Hồng Đức, quý thầy giáo, cô giáo Trường ĐHSP Hà Nội, Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội - người trực tiếp giảng dạy; xin cảm ơn thầy cô Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại Học Hồng Đức giúp đỡ nhiều mặt năm tháng học tập vừa qua trường Xin gửi lời cảm ơn đến, Ban giám hiệu,các thầy cô Tổ Vật lý đồng nghiệp Trường Đại học Hồng Đức cho có hội học tập tạo điều kiện thuận lợi thời gian để hoàn thành khóa học Trong trình học tập, nhận động viên, khích lệ giúp đỡ nhiệt tình anh chị, bạn học viên Cao học Vật lý lý thuyết Vật lý toán K1 củaTrường Đại học Hồng Đức Tôi xin chân thành cảm ơn Cuối cùng, xin gửi lời tri ân thành kính đến gia đình, bố mẹ, anh chị người bạn thân tôi; xin gửi tặng thành hôm cho tất người mà yêu quý Thanh Hóa, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hồng MỤC LỤC Trang phụ bìa ……………………………………………………………… … i Lời cam đoan ……………………………………………………………… .ii Lời cảm ơn …………………………………………………… ………….… iii Mục lục ……………………………………………………………………… iv MỞ ĐẦU .1 Chương 1- MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI ĐAN RỐI .4 1.1 Tiên đề trạng thái hệ.Trạng thái trạng thái hỗn hợp .4 1.1.1 Tiên đề trạng thái hệ Toán tử mật độ…………………… 1.1.2 Trạng thái (pure state)………………………………………… 1.1.3 Trạng thái hỗn hợp (mixed state)……………………….……………… .7 1.2 Trạng thái đan rối lượng tử……………………………………… ……… 1.2.1 Điều kiện chia tách trạng thái thuần…………………… … .8 1.2.2 Điều kiện chia tách trạng thái hỗn hợp……………………… 1.2.3 Tiên đề hệ phức hợp Trạng thái đan rối lượng tử…….……… 1.3 Tính độ đan rối thông qua độ tụ hợp (concurrence)……………………… 10 1.3.1 Tính độ đan rối cho trạng thái thuần…………………………… … .11 1.3.2 Độ đan rối cho trạng thái hỗn hợp………………………………… .13 1.4 Tính độ đan rối entropy von Neumann……………………… 15 Chương – CÁC HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN KIỂU KERR……… 17 2.1 Hiệu ứng Kerr quang học phi tuyến………………………………… 17 2.2 Môi trường phi tuyến kiểu Kerr Hamiltonian……………………… 20 Chương 3- TIẾN TRIỂN THEO THỜI GIAN CỦA HỆ LƯỢNG TỬ VÀ MÔ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ……………………………………………… .26 3.1 Tiến triển theo thời gian hệ lượng tử………………….……… … 26 3.1.1 Bức tranh Schrodinger………………………………… …………… .26 3.1.2 Bức tranh Heisenberg………………………………… …………… 27 3.1.3 Sự tiến triển theo thời gian trạng thái hỗn hợp………………… 28 3.2 Mô hình kéo lượng tử tạo không gian Hilbert hữu hạn chiều…… … 29 3.2.1 Hình thức luận kéo lượng tử………… .………………………… 29 3.2 Mô hình kéo lượng tử tuyến tính cắt chùm tia……………………… 31 3.2 Kéo lượng tử phi tuyến…………………………………………… 35 3.2.3.1 Trạng thái Bell ứng dụng…………………………………… 35 3.2.3.2 Kéo lượng tử phi tuyến tạo trạng thái Bell……………… .40 Chương 4- CƠ CHẾ TẠO RA CÁC TRẠNG THÁI BELL CÓ ĐỘ ĐAN RỐI CAO TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ MẤT MÁT…………………… 49 4.1 Tiến triển toán tử mật độ kéo lượng tử phi tuyến có mát 49 4.2 Biên độ tắt dần………………………………………………………… 50 4.3 Pha tắt dần……………………………………………………………… .56 KẾT LUẬN ………………………………………………………………… 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………… 61 PHỤ LỤC……………………………………………………………….… … P1 Độ đan rối trường hợp α = β ……………………………………… P1 Độ đan rối trường hợp α = − β ……………………………………… P3 Độ xác trường hợp α = β .P5 Tính độ xác trường hợp α = − β ……………………………… P6 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ STT Tên hình vẽ, đồ thị Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn thiết bị kéo lượng tử tuyến tính với hai chùm tia BS1 BS2 dò photon D1 D2 Hình 3.2: Mô hình kéo lượng tử phi tuyến hai chế độ Hình 3.3: Tiến triển độ đan rối trạng thái ψ ( t ) tạo (các dấu chấm) trạng thái cắt ngắn theo mong muốn ψ ( t ) cut (đường liền nét) bới ghép bơm mode β = α Hình 3.4: Tiến triển độ đan rối trạng thái ψ ( t ) tạo (đường chấm) trạng thái cắt ngắn theo mong muốn ψ ( t ) cut (đường liền nét) bới ghép bơm mode β = −α Hình 3.5: Độ xác trạng thái thực tạo ψ ( t ) trạng thái cắt ngắn lý tưởng ψ ( t ) cut bới ghép bơm mode β = α Hình 3.6: Độ xác trạng thái thực tạo ψ ( t ) trạng thái cắt ngắn lý tưởng ψ ( t ) cut bới ghép bơm mode β = −α Hình 4.1: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp biên độ giảm dần với χa , 40 Hình 4.2: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp biên độ giảm dần với χa χ , ε= a 20 40 Hình 4.3: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp pha giảm dần với 10 χa 40 Hình 4.4: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp pha giảm dần với na = nb = na = nb = , χ a = χ b = 108 rad / s, ε = na = nb = 0.1 , χ a = χ b = 108 rad / s, α = na = nb = , χ a = χ b = 108 rad / s, ε = χ a = χ b = 108 rad / s, ε = χa , 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết kỷ XX kỷ tin học thuyết lượng tử Trong năm cuối kỷ XX, ngành tin học phát triển nhanh chóng nói bắt nguồn từ nhà toán học Alan Turing với công trình công bố xác giới hạn khả máy tính vấn đề giải máy tính Ông nghĩ máy tính ảo -Máy tính tổng hợp Turing mô hình trừu tượng tất máy tính để vấn đề không tính toán Trong thông tin cổ điển dùng đơn vị nhỏ bit, đòi hỏi liệu phải mã hóa thành chữ số nhị phân (bit), mà số gán cho hai trạng thái định (0 1) Các tính toán dựa khái niệm bit, cài đặt hệ vật lý bóng bán dẫn dẫn đến việc phát triển vũ bão công nghệ máy tính ,đưa đến cách mạng tin học kỷ XX Do nhu cầu tính toán ngày tăng, máy tính vi tính hóa liên tục, dẫn đến giới hạn vượt qua chất vật lý hệ tính toán Có nhiều vấn đề giải khuôn khổ máy tính thời xây dựng theo mô hình Turing Trong khoảng đầu năm tám mươi kỷ trước, để tìm lối thoát khỏi tình này, nhà bác học tiếng Richard Feynman đưa ý tưởng tính toán hệ vật lý không cài đặt hệ vật lý mô hình máy Turig cổ điển Năm 1983, nhà toán học Anh David Deutch đưa mô hình máy Turing lượng tử, mở đầu cho kỷ nguyên tính toán lượng tử Sau hiệu ứng viễn tải thuật toán phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố tìm ra, tính toán lượng tử phát triển vũ bão, đề tài nóng hổi vật lý lý thuyết, hứa hẹn ứng dụng lớn lao tạo cách mạng tin học kỷ XXI Đơn vị tính toán thông tin lượng tử qubit (bit lượng tử), hệ hai trạng thái mà để liên hệ với tin học cổ điển, người ta thường ký hiệu chúng Trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử, chúng trạng thái chồng chập lượng tử, tức tổ hợp tuyến tính hai trạng thái Như qubit có continuum trạng thái Người ta thực qubit qua hệ vật lý cụ thể hai trạng thái phân cực photon, nhờ hai hình chiếu spin electron Máy tính lượng tử quy mô lớn có khả giải vấn đề phức tạp cách nhanh máy tính cổ điển sử dụng thuật toán tốt Ta xét hệ phức hợp đơn giản hệ hai qubit Trong trạng thái chồng chất, tồn tập phân tích tenxơ hai trạng thái mô tả hệ thành phần Trạng thái kiểu gọi trạng thái đan rối Tính chất đan rối hệ đóng vai trò vô quan trọng, trạng thái hệ đan rối đọc qubit riêng biệt hai kết với xác suất ta đo qubit thứ hai thu kết qubit thứ (thậm chí khoảng cách xa nhau) Tính chất đan rối hệ ứng dụng giao thức lượng tử mật mã lượng tử, viễn tải lượng tử Hiệu ứng này, khẳng định quan sát thực nghiệm, gây thay đổi nhận thức thông tin vật thể thay đổi tương tác với vật gần Einstein gọi tượng tác động ma quái khoảng cách (spooky action at a distance) Một lớp trạng thái đan rối gọi trạng thái Bell Những tương quan phép đo trạng thái Bell lớn tương quan hệ cổ điển Như tính chất đan rối hệ lượng tử đóng vai trò tiên việc cài đặt thuật toán lượng tử, tiến tới thực máy tính lượng tử tương lai với khả tính toán mà không máy tính thời thực Có nhiều hệ vật lý thực qubit, chẳng hạn như: hệ hai phân cực khác photon, hai trang thái điện tử nguyên tử, hướng spin hạt nhân từ trường… Hệ cài đặt qubit tốt hệ hai phân cực khác photon Trước photon coi khó nắm bắt, khó giam cầm đặc thù không khối lượng, chuyển động với vận tốc ánh sáng Tuy nhiên, người ta nắm bắt, quan sát chúng Ngoài hệ lượng tử có hai trạng thái hệ thực qubit Vấn đề đặt ta phải cài đặt hệ vật lý để tạo trạng thái hai qubit có độ đan rối cao trường hợp có mát (có tính đến sư tiêu hao, tiêu tán) trạng thái đan rối thường có thời gian tồn ngắn phá vỡ lượng tử Vì vậy, luận văn đề tài: “Kéo lượng tử hai chiều sinh trạng thái hai qubit có độ đan rối cao có mát” lựa chọn, đề tài mang tính thời cao có nhiều ứng dụng tiềm tàng, thực hệ vật lý cụ thể tạo nguồn tài nguyên đan rối cho tính toán lượng tử, hệ dao động tử kiểu Kerr Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tìm trạng thái hai qubit kiểu Bell – trạng thái có độ đan rối cao việc dùng kéo lượng tử, phương pháp cắt không gian Hilbert từ vô hạn chiều xuống số chiều thấp, tạo điều kiện lọc trạng thái hai qubit kiểu Mô hình thực hệ dao động tử kiểu Kerr Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng hình thức luận Hamiltonian để mô tả hệ lượng tử - Sử dụng ma trận mật độ để mô tả hệ lượng tử có mát - Sử dụng phần mềm Mathematica, Matlab để thực tính toán số Phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu đưa trạng thái hai qubit kiểu Bell – trạng thái có độ đan rối cao đặc trưng định tính độ đan rối xấp xỉ 10 Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI ĐAN RỐI 1.1 Tiên đề trạng thái hệ Trạng thái trạng thái hỗn hợp 1.1.1 Tiên đề trạng thái hệ Toán tử mật độ Mỗi trạng thái hệ lượng tử biểu diễn toán tử mật độ (hay ma trận độ) ρˆ Toán tử mật độ toán tử tự liên hợp, không âm pi ψ i ψ i Tất thông tin liên quan đến trạng thái có vết 1: ρ = ∑ i hệ chứa đựng toán tử mật độ Đây xem cách mô tả tổng quát hệ vật lý học lượng tử Với cách mô tả này, cách mô tả nằng hàm sóng trường hợp riêng để biểu diễn trạng thái mà phần đề cập đến Nếu hệ trạng thái biểu diễn toán tử mật độ ρ giá trị trung bình ( ) biến số động lực A liên quan tới thời điểm t là: A = Tr ρˆ Aˆ Trong trường hợp không gian Hilbert trạng thái hữu hạn chiều, toán tử tuyến tính quan tâm biểu diễn ma trận mật độ Ma trận mật độ thực chất ma trận toán tử thống kê (hay toán tử mật độ) toán tử thống kê thường cho dạng ma trận mà thân thành phần ma trận toán tử xác định mật độ xác xuất Ma trận mật độ toán tử tác dụng lên không gian Hilbert hệ biết Trong trường hợp hệ vật lý cho tồn vectơ trạng thái ψ chứa thông tin có hệ, muốn biết thông tin đại lượng động lực học A, ta phải tính toán giá trị trung bình toán tử A tương ứng là: A = ψ Aψ (1.1) Trong nhiều trường hợp hệ vật lý cho biết vectơ trạng thái ψ hệ mà biết xác suất pi để hệ trạng thái ψ i Trong trường hợp ta không tính giá trị trung bình mà phải tính trung bình theo tập hợp thống kê sau: 55 Chương CƠ CHẾ TẠO RA CÁC TRẠNG THÁI BELL CÓ ĐỘ ĐAN RỐI CAO TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ MẤT MÁT 4.1 Tiến triển toán tử mật độ kéo lượng tử phi tuyến có mát Các tiến vượt bậc tính toán lượng tử xử lý thông tin lượng tử thập kỷ qua kích thích tiến việc tạo trạng thái quang lượng tử đặc biệt trạng thái đan rối Trong số đề án khác đề án kéo lượng tử phi tuyến Leo´nski Miranowicz việc cắt ngắn trạng thái quang học thu hút quan tâm đáng kể Tuy nhiên, đếm quang detector nguồn đơn photon không lý tưởng, chế độ đưa không phù hợp hay tong tách chùm tia gây tổn hao, mát định Hơn nữa, thực tế, hệ vật lý hoàn toàn bị cô lập Chúng ta cần phải xem xét tác động môi trường đến trình tạo tiến triển theo thời gian trạng thái đan rối Do đó, phần này, phân tích ảnh hưởng mát lên việc cắt ngắn trạng thái liên kết vô hạn chiều thành chồng chập trạng thái chân không trạng thái photon đơn (trạng thái liên kết hai chiều) kéo lượng tử phi tuyến việc áp dụng phương pháp gần từ phương trình tổng quát Trong trường hợp này, Hamiltonian mô tả hệ có dạng: Hˆ = Hˆ + Hˆ loss (4.1) đó: Hˆ cho (3.40) với biểu thức (3.41), (3.42), (3.43), (3.44) (3.45) ( ) Hˆ loss = Γˆ a fˆ ( aˆ , aˆ + ) + Γˆ +a fˆ bˆ, bˆ + , ∞ ∞ j =0 j =0 Γˆ a = ∑ g (ja ) cˆ(ja ) , Γˆ b = ∑ g (jb ) cˆ(jb ) toán tử trường (4.2) (4.3) 56 cˆ(ja ,b ) toán tử hủy boson dao động tử trường liên kết với chế ( a ,b ) độ a b tương ứng, g j số liên kết tương tác với + + trường fˆ ( aˆ , aˆ ) , fˆ ( bˆ, bˆ ) mô tả mát tiêu chuấn mát pha Ta mô tả mát xấp xỉ tiêu chuẩn Born Markov Ta có phương trình tổng quát cho toán tử mật độ: d ρˆ = −i  Hˆ , ρˆ  + Lˆloss ρˆ , dt (4.4) đó: Hˆ xác định theo (3.40) Lˆloss ρˆ Liouvillian Bây ta xét trường hợp sau với dạng Liouvillian 4.2 Biên độ tắt dần Quá trình giảm biên độ có liên quan đến mát lượng Trong + + trường hợp này, mát hệ tắt dần cho (4.2) với fˆ ( aˆ , aˆ ) = aˆ + + fˆ ( bˆ, bˆ ) = bˆ Khi đó: γ γ Lˆloss ρˆ = a  2aˆ ρˆ aˆ + − ρˆ aˆ + aˆ − aˆ + aˆ ρˆ  + b  2b ρ b + − ρˆ bˆ + bˆ + bˆ+bˆρˆ  + 2 + + + ˆ ˆ+ , ˆ ˆ + ) + γ b nb bˆ + ρˆ bˆ + bˆρˆ bˆ + − bˆ +bˆρˆ − ρˆ bb + γ a na ( aˆ ρˆ aˆ + aˆ ρˆ aˆ − aˆ aˆ ρˆ − ρˆ aa ( ) −1 (4.5) −1  hkωTa   hkωTb  B γ , γ với a b số mát, na =  e − 1÷÷ , nb =  e B − 1÷÷ số photon trung     bình nhiễu chế độ a b nhiệt độ môi trường T Theo [10] sử dụng yếu tố toán tử thống kê là: ρn m,k l = k n ρ m l kết hợp tính chất toán tử hủy toán tử sinh ta có dạng vi phân phương trình tiến triển theo thời gian toán tử mật độ (4.4): 57 d ρ n m , k l = − {iχ a [n ( n − 1) − m ( m − 1) ] + i χb [k ( k − 1) − l ( l − 1) ]+ dt + γ a [n + m − 2na ( n + m + 1) ] + γ b [k + l − 2nb ( k + l + 1) ]}ρ n m ,k l + + i{ε n ( k + 1) ρ n −1 m, k +1 l + ε * k ( n + 1) ρ n +1 m, k −1 l − − ε l ( m + 1) ρ n m +1,k l −1 − ε * m ( l + 1) ρ n m −1, k l +1 + +α +β ( ( ) n ρ n −1 m,k l − m ρ n m −1, k l + α * ) k ρ n m,k −1 l − l ρ n m ,k l −1 + β * ( ( ) n + 1ρ n +1 m, k l − m + 1ρ n m +1,k l + ) (4.6) k + 1ρ n m ,k +1 l − l + 1ρ n m ,k l +1 } + γ a [ ( + na ) ( n + 1) ( m + 1) ρ n+1 m+1,k l + na nm ρ n −1 m −1,k l ]+ + γ b [ ( + nb ) ( k + 1) ( l + 1) ρ n m,k +1 l +1 + nb kl ρ n m ,k −1 l −1 ] Từ hệ phương trình tổng quát cho toán tử mật độ, ta lập hệ phương trình mà biến phần tử ma trận mật độ: d ρ 0000 = ( γ a na + γ b nb ) ρ 0000 + i α * ( ρ1000 − ρ0100 ) + β * ( ρ 0010 − ρ 0001 )  + γ a ( + na ) ρ1100 + dt + γ b ( + nb ) ρ 0011 , d ρ 0001    = γ a na + γ b  − + 2nb ÷ ρ 0001 − i ερ 0100 + α * ( ρ1001 − ρ 0101 ) − βρ0000 + β * ρ 0011  + dt    + γ a ( + na ) ρ1101 , d ρ 0010    = γ a na + γ b  − + 2nb ÷ ρ 0010 + i ε * ρ1000 + α * ( ρ1010 − ρ 0110 ) + βρ 0000 − β * ρ0011  + dt    + γ a ( + na ) ρ1110 , d ρ0011 = γ a na + γ b ( −1 + 3nb )  ρ0011 + ε * ρ1001 − i ερ0100 + α * ( ρ1011 − ρ0111 ) + β ( ρ0001 − ρ0010 )  + dt + γ a ( + na ) ρ1111 + γ b nb ρ0000 , d ρ0100     = γ a  − + 2na ÷+ γ b nb  ρ0100 − i ε * ρ0001 − αρ0000 + α * ρ1100 + β * ( ρ 0110 − ρ 0101 )  + dt     + γ b ( + nb ) ρ0111 , d ρ 0101      = γ a  − + 2na ÷+ γ b  − + 2nb ÷ ρ0101 − i αρ 0001 + α * ρ1101 − βρ0100 + β * ρ 0111  , dt      58 d ρ 0110      = γ a  − + 2na ÷+ γ b  − + 2nb ÷ ρ 0110 + i ε * ρ1100 − ε * ρ 0011 − αρ0010 + α * ρ1110 + dt      + βρ 0100 − β * ρ 0111  , d ρ 0111     = γ a  − + 2na ÷+ γ b ( −1 + 3nb )  ρ0111 + i ε * ρ 0111 − αρ 0011 + α * ρ1111 + β ( ρ 0101 − ρ0110 )  + dt     + γ b nb ρ0100 , d ρ1000     = γ a  − + 2na ÷+ γ b nb  ρ1000 + i ερ1000 + αρ 0000 − α * ρ1100 + β * ( ρ1010 − ρ1001 )  dt     + γ b ( + nb ) ρ1011 , d ρ1001      = γ a  − + 2na ÷+ γ b  − + 2nb ÷ ρ1001 + i ερ 0011 − ερ1100 + αρ 0001 − α * ρ1101 − dt      − βρ1000 + βρ1011 ] , d ρ1010      = γ a  − + 2na ÷+ γ b  − + 2nb ÷ ρ1010 + i αρ0010 − α * ρ1110 + βρ1000 − β * ρ1011  , dt      d ρ1011     = γ a  − + 2na ÷+ γ b ( −1 + 3nb )  ρ1011 − i ερ1110 + αρ 0011 − α * ρ1111 + β * ( ρ1001 − ρ1010 )  + dt     + γ b nb ρ1000 , d ρ1100 = γ a ( −1 + 3na ) + γ b nb  ρ1100 + i ερ 0110 − ε * ρ1001 + α ( ρ 0100 − ρ1000 ) + β * ( ρ1110 − ρ1101 )  + dt + γ a na ρ0000 + γ b ( + nb ) ρ1111 , d ρ1101    = γ a ( −1 + 3na ) + γ b  − + 2nb ÷ ρ1101 + i ερ 0111 + α ( ρ0101 − ρ1001 ) − βρ1100 + β * ρ1111  + dt    + γ a na ρ0001 , d ρ1110    = γ a ( −1 + 3na ) + γ b  − + 2nb ÷ ρ1110 − i ε * ρ1011 + α ( ρ0111 − ρ1011 ) + βρ1100 − β * ρ1111  + dt    + γ a na ρ0010 , d ρ1111 = γ a ( −1 + 3na ) + γ b ( −1 + 3nb )  ρ1111 + i α ( ρ 0111 − ρ1011 ) + β ( ρ1101 − ρ1110 )  + dt + γ a na ρ0011 + γ b nb ρ1100 59 Trên hệ phương trình tổng quát mà từ ta tính độ đan rối tất trường hợp Cả trường hợp mát, tức γ a = γ = không mát mát γ a , γ b ≠ Quá trình xử lý phân tích cho thấy b sở đặc tính quan sát có phạm vi định Nếu hệ không mát trạng thái tạo chồng chập liên kết trạng thái chứa i cặp photon Nếu hệ mát có dự suy giảm mật độ ia ib phát xạ tự phát mở ra, kết hệ mô tả toán tử thống kê ρˆ Theo [12] toán tử thống kê đưa không gian qubit- qubit có dạng tổng quát sau:  a11 a ρˆ =  21  a31   a41 a12 a13 a22 a23 a32 a33 a42 a43 a14  a24  , a34   a44  (4.7) akl phần tử ma trận mật độ cho thấy hệ xem xét tình cụ thể xác định dạng trạng thái ban đầu Các yếu tố ma trận khác không giảm đáng kể Trong thực tế ma trận mật độ mô tả hệ có dạng sau: ρˆ1red  a11 0 = 0   a41 0 a22 0 a33 0 a14   a11 0  red ˆ ρ = ,   0   a44   a41 0 a22 a23 a32 a33 0 a14     a44  (4.8) Trong ρˆ1red (ma trận mật độ kiểu “X”) tương ứng với trạng thái Bell: B1 = (0 a 0b± i a i b ), ρˆ 2red tương ứng với trạng thái B2 = (4.9) (0 a i b± i a b ) Bây ta tính độ đan rối trường hợp ma trận mật độ biểu diễn red hệ ρˆ1 để phân tích tiến triển hệ ta áp dụng phương pháp Wooters Ta tính ma trận sau: 60 ( ) ( ) R = ρˆ σˆ (ya ) ⊗ σˆ y( b ) ρˆ * σˆ y( a ) ⊗ σˆ y( b ) , (4.10) a ,b σˆ (y ) ma trận Pauli qubit a b Thực việc tính trị riêng ma trận thu bốn trị riêng λ1 = λ2 = a22 a33 , 2 λ3,4 = a142 + a41 + 2a11a44 ± ( a14 + a41 ) a142 − 2a14 a41 + a41 + 4a11a44 ) ( (4.11) Bây ta tính cụ thể giá trị aij ma trận mật độ (4.7) cách áp dụng hệ phương trình (4.5) Vì ma trận (4.7) có 12 phần tử không phần tử khác không nên ta lập hệ phương trình sau: da11 = ( γ a na + γ b nb ) a11 + γ a ( + na ) a41 + γ b ( + nb ) a14 , dt da14 = γ a na + γ b ( −1 + 3nb )  a14 + γ a ( + na ) a44 + γ b nb a11 , dt da22      = γ a  − + 2na ÷+ γ b  − + 2nb ÷ a22 , dt      (4.12) da33      = γ a  − + 2na ÷+ γ b  − + 2nb ÷ a33 , dt      da41 = γ a ( −1 + 3na ) + γ b nb  a41 + γ a na a11 + γ b ( + nb ) a44 , dt da44 = γ a ( −1 + 3na ) + γ b ( −1 + 3nb )  a44 + γ a na a14 + γ b nb a41 dt Các nghiệm hệ xác định từ dạng ma trận sau:  a11   x01  a   x   14   02   a   x03  X =  22  =   e At ,  a33   x04  a   x   41   05   a44   x06  (4.13) đó: x01 , x02 , x03 , x04 , x05 , x06 xác định điều kiện ban đầu: 61 0 γ a ( + na ) γ a na + γ b nb γ b ( + nb )    γ a na + γ b ( −1 + 3nb ) 0 γ a ( + na ) γ b nb        0  γ a  − + 2na ÷+ γ b  − + 2nb ÷ 0       A=       0  0 γ a  − + 2na ÷+ γ b  − + 2nb ÷ 0    2        0 γ a ( −1 + 3na ) + γ b nb γ b ( + nb ) γ a na    γ a na 0 γ a ( −1 + 3na ) + γ b ( −1 + 3nb )  γ b nb At At At Sử dụng biếu thức: e = + At + ( ) + ( ) + + ( ) + Ta tìm 1! 2! 3! n! n At nghiệm hệ (4.12) Từ tính được: ( ) C ( ρ AB ) = max 0, max λi − ( 2a22 a33 + a142 + a41 + 2a11a44 ) , suy độ đan rối theo công thức (1.26): E ( ψ AB ) = − x log x − ( − x ) log ( − x ) , với x = + − C ( ρ AB ) Hình 4.1 Hình 4.2 kết tính toán độ đan rối trạng thái hệ độ xác Fˆ ( ρˆ , ρˆ cut ) trạng thái tạo (theo [20]) trường hợp biên độ tắt dần Trên hai hình với hệ số tắt dần γ a = γ b = (đường nét liền), γ a = γ b = χa χ (đường nét gạch ngang), γ a = γ b = a (đường 500 200 nét chấm-gạch ngang) So sánh kết tính số (đường chấm) kết giải tích (đường liền nét) 62 Hình 4.1: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp biên độ giảm dần với na = nb = , χ a = χ b = 108 rad / s, ε = χa , 40 Hình 4.2: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp biên độ giảm dần với na = nb = 0.1 , χ a = χ b = 108 rad / s, α = χa χ , ε= a 20 40 Trên Hình 4.1 Hình 4.2 ta nhận thấy độ đan rối trạng thái đạt từ việc sử dụng kéo lượng tử phi tuyến trường hợp có ảnh hưởng tắt dần thấp đáng kể so với trường hợp tắt dần (đường nét liền) độ đan rối thấp hệ số tắt dần cao Trong tắt dần ta 63 thu trạng thái đan rối tối đa tức có độ đan rối khó để thu điều có ảnh hưởng tắt dần Tuy nhiên trạng thái thu có độ đan rối tương đối cao xấp xỉ Ta nhận thấy mát không mát lượng làm tắt dần biên độ hay tắt dần pha mà bao gồm nhiễu khoang chứa số photon nhiệt trung bình na = nb Số photon hệ tăng lên cách hấp thụ photon nhiệt từ khoang chứa Tuy nhiên, giới hạn hấp thụ không vượt mát photon hệ hai hình 4.1 hình 4.2 ta nhận thấy điều không tạo suy giảm đáng kể độ đan rối so với mát khác 4.3 Pha tắt dần Mô hình thứ hai mát trường hợp mát lương mật độ trạng thái đặc trưng yếu tố ma trận đường chéo không bị phân rã có hiệu ứng liên kết đan rối bị giảm dần Sự bất liên kết gây mát pha liên quan tới thay đổi ngẫu nhiên tương quan pha trạng thái suốt qua trình tiến triển theo thời giam hệ Trong trường hợp này, mát hệ tắt dần cho (4.2) với ( ) ( fˆ ( aˆ , aˆ + ) = aˆ + aˆ ( ) fˆ bˆ, bˆ + = bˆ + bˆ Khi đó: ) Hˆ loss = Γˆ a + Γˆ a + aˆ + aˆ + Γˆ b + Γˆ b + bˆ +bˆ Tương tác hiểu trình tán xạ Trong số lượng photon không thay đổi Bây mô tả tắt dần pha hệ phi tuyến hai mode phương trình tiến triển ma trận mật độ (4.4) cho Liovillian sau: 2 γ Lˆloss ρˆ = a ( 2na + 1)  2aˆ + aˆ ρˆ aˆ + aˆ − ( aˆ + aˆ ) ρˆ − ρˆ ( aˆ + aˆ )  +   2 γ + b ( 2nb + 1)  2bˆ + bˆρ bˆ +bˆ − bˆ +bˆ ρˆ − ρˆ bˆ +bˆ    ( ) ( ) (4.14) Phương trình tiến triển theo thời gian toán tử mật độ (4.4) trở thành: 2 γ d ρˆ = −i  Hˆ , ρˆ  + a ( 2na + 1)  2aˆ + aˆ ρˆ aˆ + aˆ − ( aˆ + aˆ ) ρˆ − ρˆ ( aˆ + aˆ )  +   dt 2 γ + b ( 2nb + 1)  2bˆ + bˆρ bˆ +bˆ − bˆ +bˆ ρˆ − ρˆ bˆ +bˆ    ( ) ( ) (4.15) 64 Trong trường hợp ma trận mật độ mô tả hệ có dạng sau: red ρˆ ph  a11 0 = 0   a41 0 0 0 0 a14  0 0  red ˆ ρ = , ph   0   a44  0 a22 a23 a32 a33 0 0  0  0 (4.16) Tương tự trường hợp ta tính độ đan rối trường hợp ma trận mật red độ biểu diễn hệ ρˆ ph1 Để phân tích tiến triển hệ ta áp dụng phương pháp Wooters Ta tính ma trận sau: ( ) ( ) R ph = ρˆ σˆ y( a ) ⊗ σˆ y( b ) ρˆ * σˆ y( a ) ⊗ σˆ y( b ) , (4.17) ( a ,b ) σˆ y ma trận Pauli qubit a b Thực việc tính trị riêng ma trận thu bốn trị riêng: λ1 = λ2 = 0, 2 λ3,4 = a142 + a41 + 2a11a44 ± ( a14 + a41 ) a142 − 2a14 a41 + a41 + 4a11a44 ) ( (4.18) 2 Ta tính C ( ρ AB ) = max ( 0, max λi − ( a14 + a41 + 2a11a44 ) ) từ tính độ đan rối theo công thức (1.26) Hình 4.3 Hình 4.4 kết tính toán độ đan rối trạng thái hệ trường hợp (theo [20]) Trên hai hình hệ số tắt dần γ a = γ b = (đường nét liền), γ a = γ b = χa χ (đường nét gạch ngang), γ a = γ b = a (đường 500 200 nét chấm-gạch ngang) So sánh kết tính số (đường chấm) kết giải tích (đường liền nét) 65 Hình 4.3: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp pha giảm dần với na = nb = , χ a = χ b = 108 rad / s, ε = χa 40 Hình 4.4: Ảnh hưởng tắt dần trường hợp pha giảm dần với na = nb = χ a = χ b = 108 rad / s, ε = χa , 40 So sánh kết thu cặp Hình 4.3 Hình 4.1, Hình 4.4 Hình 4.2 ta nhận thấy với tham số độ đan rối độ xác trạng thái đạt trường hợp biên độ tắt dần thấp đáng kể so với trường hợp pha tắt dần Ta nhận thấy phân tích so sánh kết Hình 4.3 Hình 4.4 với tham số trường hợp pha tắt dần, số photon nhiệt trung bình na = nb khác gây ảnh hưởng định đến độ đan rối độ xác trạng thái tạo 66 67 KẾT LUẬN Trong luận văn, giới thiệu tổng quan trạng thái đan rối lượng tử, phân tích tính toán độ đan rối theo hai cách khác Chúng giới thiệu hệ quang học phi tuyến kiểu Kerr mô hình kéo lượng tử tuyến tính kéo lượng tử phi tuyến Chúng tập trung nghiên cứu mô hình kéo lượng tử phi tuyến có mode tương tác tuyến tính bơm mode tạo không gian Hilbert hữu hạn chiều trường hợp mát thu trạng thái có độ đan rối Cuối cùng, mở rộng cho trường hợp có tính đến mát Qua nghiên cứu, khảo sát, thu số kết sau: Trong trường hợp mát, thu trạng thái lượng tử hai qubitcó độ đan rối xấp xỉ chí từ việc sử dụng kéo lượng tử phi tuyến để cắt trạng thái không gian Hilbert vô hạn chiều Chất lượng trạng thái tạo tương đối cao đánh giá qua đồ thị độ xác trạng thái thực tạo trạng thái lý tưởng theo mong muốn Độ xác xấp xỉ sai lệch cỡ 2.10-4 Các kết tính toán so sánh phương pháp tính số phương pháp giải tích xác nhận giá trị phương pháp giải tích mà đưa Trong trường có mát, phân tích đồ thị độ đan rối trạng thái tạo độ xác so với trạng thái lý tưởng theo mong muốn rõ ảnh hưởng mát tới kết trạng thái cắt từ không gian Hilbert vô hạn chiều thiết bị kéo lượng tử phi tuyến 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Cao Long Vân, Tạ Phương Hạnh (2005), “Tin học lượng tử máy tính lượng tử (I)”, tạp chí ứng dụng toán học tập III, (số 1), 2005, 83-102 Cao Long Vân (2005), “Tin học lượng tử máy tính lượng tử (II)”, tạp chí ứng dụng toán học tâp III, (số 2), 2005, 77-100 Cao Long Vân (2006), “Tin học lượng tử máy tính lượng tử (III): Các thuật toán lượng tử”, tạp chí ứng dụng toán học tâp IV, (số 1), 73-90 Cao Long Vân (2008), Vật lý đại cương (tập 1), NXBGD Tiếng Anh Babichev S A., Ries J and Lvovsky A I (2003), Europhys Lett 64 Gree Jaeger (2009) Entanglement, information and the interpretation of quantum mechanics, 50-52 Kuang L.M., Wang F.B and Zhou Y.G (1993), Phys Lett A 183, Kuang L.M., Wang F.B and Zhou Y.G (1994), J Mod.opt 41, 1607 Kowalewska-Kudlaszyk A and Leoński W (2006), Phys.Rev A 73 042318 10 Kowalewska-Kudłaszyk A., Leoński W., Jan Peˇ rina Jr (2011), Phys Rev A 83, 052326 11 Pegg D.T and Barnett S.M (1989), Phys.Rev.A 39 1665 12 Kowalewska-Kudłaszyk A and Leoński W (2014), “Nonlinear coupler operating on Werner-like states-entanglemant creation, its enhancement, and preservation”, Opt Soc Am.B/Vol 31, No.6 13 Dakna M (1999), “Quantum state engineering by alternate state displacement and photon adding”, et al Phys.Rev A 59 1658 14 Leoński W., Kowalewska-Kudlaszyk A and Miranowicz A (2010), “Computer Simulations of Entanglement Dynamics for Nonlinear System”, CMST 16, 169-172 69 15 Leoński W and Kowalewska-Kudłaszyk A (2011), “Quantum scissors - finite-dimensional states engineering Prog”, Opt.56 131–85 16 Miranowicz A., Leon´ski W., and Imoto (2001), “Quantum-Optical State in Finite-Dimensional Hilbert Space”, J Mod.opt 155, 193 17 Miranowicz A and Leoński W (2006), “Two-mode optical state truncation and generation of maximally entangled states in pumped nonlinear couplers”, J.Phys B: At Mol Opt Phys 39 18 Ozdemir S.K., Miranowicz A., Koasi M and Imoto N (2001), Phys.Rev A 64 063818 19 Peˇrinov´a V and Lukˇs A (1990) Phys Rev A 41 414 20 Pegg D.T., Philips L.S and Barnett S.M (1998), Phys Rev Lett 81 1604 21 Scott Hill and Wootters W.K (1997), “Entanglemen of a pair of quantum Bits” Phys Rev Lett 26, 78 22 Sebas tian Ahner (2006), “Topics in Quantum Information Theory”, Lent Term 23 Wootters W.K (1998), “Entanglemen of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits”, Phys Rev Lett 26, 78