Đang tải... (xem toàn văn)
PHẦN I: HỆ THỐNG CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9 VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A. Kiến thức cần nhớ: A.1. KiÕn thøc c¬ b¶n A.1.1. C¨n bËc hai a. C¨n bËc hai sè häc Víi sè d¬ng a, sè ®îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña a Sè 0 còng ®îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña 0 Mét c¸ch tæng qu¸t: b. So s¸nh c¸c c¨n bËc hai sè häc Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m ta cã: A.1.2. C¨n thøc bËc hai vµ h»ng ®¼ng thøc a. C¨n thøc bËc hai Víi A lµ mét biÓu thøc ®¹i sè , ngêi ta gäi lµ c¨n thøc bËc hai cña A, A ®îc gäi lµ biÓu thøc lÊy c¨n hay biÓu thøc díi dÊu c¨n x¸c ®Þnh (hay cã nghÜa) A 0 b. H»ng ®¼ng thøc Víi mäi A ta cã Nh vËy: + nÕu A 0 + nÕu A < 0 A.1.3. Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng a. §Þnh lÝ: + Víi A 0 vµ B 0 ta cã: + §Æc biÖt víi A 0 ta cã b. Quy t¾c khai ph¬ng mét tÝch: Muèn khai ph¬ng mét tÝch cña c¸c thõa sè kh«ng ©m, ta cã thÓ khai ph¬ng tõng thõa sè råi nh©n c¸c kÕt qu¶ víi nhau c. Quy t¾c nh©n c¸c c¨n bËc hai: Muèn nh©n c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè kh«ng ©m, ta cã thÓ nh©n c¸c sè díi dÊu c¨n víi nhau råi khai ph¬ng kÕt qu¶ ®ã A.1.4. Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng a. §Þnh lÝ: Víi mäi A 0 vµ B > 0 ta cã: b. Quy t¾c khai ph¬ng mét th¬ng: Muèn khai ph¬ng mét th¬ng ab, trong ®ã a kh«ng ©m vµ b d¬ng ta cã thÓ lÇn lît khai ph¬ng hai sè a vµ b råi lÊy kÕt qu¶ thø nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai. c. Quy t¾c chia c¸c c¨n bËc hai: Muèn chia c¨n bËc hai cña sè a kh«ng ©m cho sè b d¬ng ta cã thÓ chia sè a cho sè b råi khai ph¬ng kÕt qu¶ ®ã. A.1.5. BiÕn ®æi ®¬n gi¶n biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai a. §a thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n Víi hai biÓu thøc A, B mµ B 0, ta cã , tøc lµ + NÕu A 0 vµ B 0 th× + NÕu A < 0 vµ B 0 th× b. §a thõa sè vµo trong dÊu c¨n + NÕu A 0 vµ B 0 th× + NÕu A < 0 vµ B 0 th× c. Khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ A.B 0 vµ B 0, ta cã d. Trôc c¨n thøc ë mÉu Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ B > 0, ta cã Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ vµ , ta cã Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ vµ , ta cã A.1.6. C¨n bËc ba a. Kh¸i niÖm c¨n bËc ba: C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x sao cho x3 = a Víi mäi a th× b. TÝnh chÊt Víi a < b th× Víi mäi a, b th× Víi mäi a vµ th× A.2. KiÕn thøc bæ xung () Dµnh cho häc sinh kh¸ giái, häc sinh «n thi chuyªn A.2.1. C¨n bËc n a. C¨n bËc n ( ) cña sè a lµ mét sè mµ lòy thõa n b»ng a b. C¨n bËc lÎ (n = 2k + 1) • Mäi sè ®Òu cã mét vµ chØ mét c¨n bËc lÎ • C¨n bËc lÎ cña sè d¬ng lµ sè d¬ng • C¨n bËc lÎ cña sè ©m lµ sè ©m • C¨n bËc lÎ cña sè 0 lµ sè 0 c. C¨n bËc ch½n (n = 2k ) • Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n • C¨n bËc ch½n cña sè 0 lµ sè 0 • Sè d¬ng cã hai c¨n bËc ch½n lµ hai sè ®èi nhau kÝ hiÖu lµ vµ d. C¸c phÐp biÕn ®æi c¨n thøc.
PHN I: H THNG CC VN C BN CA TON -*** VN I: RT GN BIU THC CHA CN BC HAI A Kin thc cn nh: A.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học - Với số dơng a, số a đợc gọi bậc hai số học a - Số đợc gọi bậc hai số học x - Một cách tổng quát: x = a x = a b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b không âm ta có: a < b a < b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A2 = A a Căn thức bậc hai - Với A biểu thức đại số , ngời ta gọi A thức bậc hai A, A đợc gọi biểu thức lấy hay biểu thức dới dấu A xác định (hay có nghĩa) A b Hằng đẳng thức A2 = A - Với A ta có A2 = A - Nh vậy: + A2 = A A + A2 = A A < A.1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phơng a Định lí: + Với A B ta có: A.B = A B + Đặc biệt với A ta có ( A )2 = A2 = A b Quy tắc khai phơng tích: Muốn khai phơng tích thừa số không âm, ta khai phơng thừa số nhân kết với c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số không âm, ta nhân số dới dấu với khai phơng kết A.1.4 Liên hệ phép chia phép khai phơng a Định lí: Với A B > ta có: A = B A B b Quy tắc khai phơng thơng: Muốn khai phơng thơng a/b, a không âm b dơng ta lần lợt khai phơng hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dơng ta chia số a cho số b khai phơng kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đa thừa số dấu - Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có A2 B = A B , tức + Nếu A B A2 B = A B + Nếu A < B A2 B = A B b Đa thừa số vào dấu + Nếu A B A B = A2 B + Nếu A < B A B = A2 B c Khử mẫu biểu thức lấy - Với biểu thức A, B mà A.B B 0, ta có A = B AB B d Trục thức mẫu - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có A A B = B B - Với biểu thức A, B, C mà A A B , ta có C C ( A B) = A B2 AB - Với biểu thức A, B, C mà A 0, B A B , ta có C ( A B) C = A B A B A.1.6 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a số x cho x3 = a - Với a ( a )3 = a3 = a b Tính chất - Với a < b a < b - Với a, b ab = a b - Với a b a 3a = b 3b A.2 Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh giỏi, học sinh ôn thi chuyên A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n ( n N ) số a số mà lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) Mọi số có bậc lẻ Căn bậc lẻ số dơng số dơng Căn bậc lẻ số âm số âm Căn bậc lẻ số số c Căn bậc chẵn (n = 2k ) Số âm bậc chẵn Căn bậc chẵn số số Số dơng có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu 2k a 2k a d Các phép biến đổi thức A xác định với A 2k A xác định với A k +1 A2 k +1 = A với A k +1 2k A.B = k A k B với A, B mà A.B A2 k +1.B = A.2 k +1 B với A, B k +1 2k A.B = k +1 A.2 k +1 B với A, B k +1 2k A2 k = A với A A2 k B = A k B với A, B mà B A = B k +1 2k A = B m n m k +1 k +1 2k A 2k B A với A, B mà B B với A, B mà B 0, A.B A = mn A với A, mà A A =A n m n với A, mà A B MT S BI TP Cể LI GII Bi 1: Tớnh: a A = 3- 2- + 2 b B = + c C = + + + 3+ 2+ - 2 HNG DN GII: a A = 3- 2= 3+ + 3+ 2 2( - 3) + 2+ - 2 2( + 3) 4- + 4+ - 2( - 3) 2( + 3) = + - 1+ + 1- 2( - 3) + 2( + 3) = 3- 24 = =- - b B = + = = = =3 c C = + + = + + = + + =3 Bi 2: Cho biu thc A = x x + : x 1 ( x +1 ) x a) Nờu iu kin xỏc nh v rỳt biu thc A b) Tim giỏ tr ca x A = c) Tỡm giỏ tr ln nht cua biu thc P = A - x HNG DN GII: a) iu kin < x Vi iu kin ú, ta cú: A = x b) A = Vy x = thỡ x x = ( x +1 : ) ( x x +1 ) x = x x x = x = (tha iu kin) thỡ A = c) Ta cú P = A - x = x = x + ữ+ x x x p dng bt ng thc Cụ si cho hai s dng ta cú: x + Suy ra: P + = ng thc xy x = x x= x x x =6 Vy giỏ tr ln nht ca biu thc P = x = x +4 Tớnh giỏ tr ca A x = 36 x +2 Bi 3: 1) Cho biu thc A = x x + 16 + 2) Rỳt gn biu thc B = ữ: (vi x 0; x 16 ) x 4ữ x +4 x +2 3) Vi cỏc ca biu thc A v B núi trờn, hóy tỡm cỏc giỏ tr ca x nguyờn giỏ tr ca biu thc B(A 1) l s nguyờn HNG DN GII: 36 + 10 = = 36 + 1) Vi x = 36 (Tha x >= 0), Ta cú : A = 2) Vi x 0, x 16 ta cú : x( x 4) 4( x + 4) x + (x + 16)( x + 2) x +2 + = ữ = ữ x 16 x + 16 (x 16)(x + 16) x 16 x 16 B = 3) Ta cú: B( A 1) = x +2 x +4 x +2 2 1ữ = = ữ x 16 x + x 16 x + x 16 B( A 1) nguyờn, x nguyờn thỡ x 16 l c ca 2, m (2) = { 1; } Ta cú bng giỏ tr tng ng: x 16 1 2 x 17 15 18 14 Kt hp K x 0, x 16 , B( A 1) nguyờn thỡ x { 14; 15; 17; 18 } Bi 4: Cho biểu thức: P= x ( x + y )(1 y ) y x + ( xy ) ( y) x +1 )( x + 1 y ) a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = HNG DN GII: a) Điều kiện để P xác định :; x ; y ; y ; x + y P= = = ( x(1 + ( x + x ) y (1 ( ) (1 + x + y )( x y y ) xy x + ) (1 y ) y +x y ) xy + y xy = ) ( ) ( x y ) + x x + y y xy ( x + )( y 1+ )( ( x x + y ) y ) )( y) x ( x + 1) y ( x + 1) + y ( + x ) ( x ) (1 + x ) (1 y ) x + )( x ( y 1+ x = x y + y y x (1 y ) ( )( x = y 1+ y ) (1 y ) ( y y ) = x + xy y Vậy P = x + xy y b) KX: x ; y ; y ; x + y P = x + xy y = ( ( x1+ ) ( y )( x 1 + ) ) y +1 =1 y =1 Ta có: + y x x x = 0; 1; 2; ; Thay x = 0; 1; 2; 3; vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 x=2, y=2 (thoả mãn) x Bi 5:Cho biểu thức M = x5 x +6 + x +1 x + x+3 x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z HNG DN GII: M= x x5 x +6 + x +1 x x +3 + x a.ĐK x 0; x 4; x Rút gọn M = x ( 0,5đ ( Biến đổi ta có kết quả: M = M= x b M =5 ( x )( ) ( )( x + x + x +1 x x ( ( ( )( ) x ) x x )( x 3) x +1)( x ) M x 3)( x ) x = x +1 x =5 ) x +1 =5 x x +1 =5 x 15 16 =4 x 16 x = =4 x =16 Đối chiếu ĐK: x 0; x 4; x c M = x +1 x = x + x Vậy x = 16 M = =1 + Do M z nên x ớc x x nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; Lập bảng giá trị ta đợc: x {1;4;16;25;49} x x {1;16;25;49} Bi 6: Cho biu thc P = ( - )2 ( - ) Vi a > v a a) Rỳt gn biu thc P b) Tỡm a P < HNG DN GII: a) P = ( - )2 ( - ) Vi a > v a P =( a a a +1 ) ( ) 2 a a +1 a a a ( a 1)2 ( a + 1)2 P =( ) a ( a + 1)( a 1) P =( P= a a a +1 a a ) a a (a 1)4 a a = 4a a Võy P = a Với a > v a a b) Tỡm a P < Vi a > v a nờn > P = < - a < a > ( TMK) Bi 7: Cho biu thc: Q = - ( + ) : a) Rỳt gn Q b) Xỏc nh giỏ tr ca Q a = 3b HNG DN GII: a) Rỳt gn: Q= -(1+): = - = - = = = b) Khi cú a = 3b ta cú: Q= = = Bi 8: Cho biu thc 1 A = + + + y x + y x x 3 x + y x + x y + y : y x y + xy a ) Rut gon A; b) Biờt xy = 16 Tim cac gia tri cua x, y A co gia tri nho nhõt, tim gia tri o HNG DN GII: kx : x > , y > 1 A = + + + a) y x + y x x : y x+ y x + y = + : xy xy x + y ( x + y = + : xy xy ( = x+ y xy b) Ta co ) A= xy ) x+ y x+ = xy y y xy Võy A = ) ( x+ y ) ( x+ y ) y x + y x x+ )( x + y x xy + y + xy xy ( x + y ) Do o x y + xy y ( x + y) x+ xy ( x3 + y x + x y + y3 xy xy = x+ 16 16 xy y =1 xy ( vi xy = 16 ) x= y x = y = xy = 16 Bi 9: Cho biu thc: x x+ P = x x x 2 x x x a) Tim iờu kiờn P co nghia c) Tinh gia tri cua P vi x = 2 b) Rut gon biờu thc P HNG DN GII: a Biờu thc P co nghia va chi : x > x x x x x x x >0 x x x b) kx : x 1; x 2; x P = = ( x x ( x x x x + x x x )( ) x + x ( ( x 3) ( ) ( x+ 2x x x ) ) x + x x + )( ) x x + x ( x 3) x + x x = x ( x ) ( x ) x x ( ) ( ( ) x + x ( x 3) x + x = x x x x + x = ( ) x1 = ( x + x x c) Thay x = 2 = P= ( ( ( ) ) 2 ) ( ) x ( 1) x = ) = 2 2 = ) ) vao biờu thc P = ( x x+ 2 x x x , ta co: x +1 = = +1 Bai 10: Cho biờu thc: x 8x x + ):( ) P =( 2+ x 4x x x x a) Rut gon P b) Tim gia tri cua x P = -1 c) Tim m vi moi gia tri x > ta co: m( x 3) P > x + HNG DN GII: a) Ta co: x x = x ( x 2) x x > x KX: x 4 x x Vi x > va x ta co: P= ( x 8x x ):( ) 2+ x x x ( x 2) x = x ( x 2) x : ( x 2)( x + 2) = x 8x 8x : ( x 2)( x + 2) = x x : ( x 2)( x + 2) = x 2( x 2) x ( x 2) x x + x ( x 2) x +3 ( k: x 9) x ( x 2) x ( x + 2) x ( x 2) ( x 2)( x + 2) x x x ( x 2) (3 x )( x 2) 4x = x = Vi x > , x 4, x thi P = 4x x b) P = - 4x = ( K: x > 0, x 4, x ) x 4x = x 4x x = t x = y k y > Ta co phng trinh: y y = Cac hờ sụ: a + b + c = 4- 1-3 =0 y1 = ( khụng thoa man KX y > 0), y2 = ( thoa man KX y > 0) 10 Lỳc ú phng trỡnh honh giao im ca ( P ) v ( d ) l: x = x x + x = cú a + b + c = + = nờn cú hai nghim l x1 = 1; x2 = Vi x1 = y1 = Vi x2 = y2 = Vy ta giao im ca ( P ) v ( d ) l ( 1; 1) v ( 2; ) b) Phng trỡnh honh giao im ca ( P ) v ( d ) l: mx = ( m ) x + m mx ( m ) x m + = ( *) Vi m thỡ ( *) l phng trỡnh bc hai n x cú = ( m ) 4m ( m + 1) = m 4m + + 4m 4m = 5m + > vi mi m Suy ( *) luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m Hay vi mi m ng thng (d) luụn ct parabol (P) ti hai im phõn bit Bi 3: i 1h30' = 1,5h t a im : - Quy Nhn l A 100-1,5x A - Hai xe gp l C - Bng Sn l B Gi tc ca xe mỏy l x ( km / h ) K : x > 1,5x C B Suy : Vn tc ca ụ tụ l x + 20 ( km / h ) Quóng ng BC l : 1,5x ( km ) Quóng ng AC l : 100 1,5x ( km ) 100 1,5x ( h) x 1,5 x ( h) Thi gian ụ tụ mỏy i t B n C l : x + 20 Thi gian xe mỏy i t A n C l : Vỡ hai xe hnh cựng lỳc, nờn ta cú phng trỡnh : Gii pt : 100 1,5 x 1,5 x = x x + 20 100 1,5 x 1,5 x = ( 100 1,5 x ) ( x + 20 ) = 1,5 x 100 x + 2000 1,5 x 30 x = 1,5 x x x + 20 3x 70 x 2000 = ' = 35 + 3.2000 = 1225 + 6000 = 7225 > ' = 7225 = 85 35 + 85 = 40 (tha K) K Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit : x1 = M 35 85 50 x2 = = E (khụng tha K) 3 H I Vy tc ca xe mỏy l 40 km / h Vn tc ca ụ tụ l 40 + 20 = 60 ( km / h ) A Bi 4: C O 118 N B a) T giỏc BCHK l t giỏc ni tip Ta cú : ãAKB = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) ã ã = 900 ; HCB = 900 ( gt ) hay HKB ã ã + HCB = 900 + 900 = 1800 T giỏc BCHK cú HKB t giỏc BCHK l t giỏc ni tip b) AK AH = R D thy ACH AKB ( g.g ) AC AH R = AK AH = AC AB = ì2 R = R AK AB c) NI = KB OAM cú OA = OM = R ( gt ) OAM cõn ti O ( 1) OAM cú MC l ng cao ng thi l ng trung tuyn (gt) OAM cõn ti M ( 2) ( 1) & ( ) OAM l tam giỏc u ã ã ã MOA = 600 MON = 1200 MKI = 600 ã KMI l tam giỏc cõn (KI = KM) cú MKI = 600 nờn l tam giỏc u MI = MK ( 3) 1ã ã = MON = ì1200 = 600 nờn l tam giỏc u D thy BMK cõn ti B cú MBN 2 MN = MB ( ) Gi E l giao im ca AK v MI ã ã NKB = NMB = 600 ã ã D thy ã NKB = MIK KB // MI (vỡ cú cp gúc v trớ so le MIK = 60 ã ã bng nhau) mt khỏc AK KB ( cmt ) nờn AK MI ti E HME = 900 MHE ã HAC = 900 ãAHC ã ã ã ã ã ã HME = 90 MHE cmt = HME ( ) HAC Ta cú : mt khỏc HAC (cựng chn = KMB ãAHC = MHE ã ( dd ) ằ ) KB ã ã ã ã = KMB ( 5) hay NMI HME = KMB ( 3) , ( ) & ( 5) IMN = KMB ( c.g.c ) NI = KB (pcm) 119 K THI TUYN SINH THPT MễN THI: TON (Thi gian lm bi 120 phỳt khụng k thi gian giao cho thớ sinh) S -*** Cõu (2 im) 1.Tớnh 2- 2 Xỏc nh giỏ tr ca a,bit th hm s y = ax - i qua im M(1;5) Cõu 2: (3 im) 1.Rỳt gn biu thc: A = ( a- a + ).( + 1) vi a>0,a a - a- a a- ùỡ x - y = 2.Gii h pt: ùớù ùợ 3x + y = Chng minh rng pt: x + mx + m - = luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m Gi s x1,x2 l nghim ca pt ó cho,tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc B = x 21 + x 2 - 4.( x1 + x2 ) Cõu 3: (1,5 im) Mt ụtụ ti i t A n B vi tc 40km/h Sau gi 30 phỳt thỡ mt ụtụ taxi cng xut phỏt i t A n B vi tc 60 km/h v n B cựng lỳc vi xe ụtụ ti.Tớnh di quóng ng AB Cõu 4: (3 im) Cho ng trũn (O) v mt im A cho OA=3R Qua A k tip tuyn AP v AQ ca ng trũn (O),vi P v Q l tip im.Ly M thuc ng trũn (O) cho PM song song vi AQ.Gi N l giao im th ca ng thng AM v ng trũn (O).Tia PN ct ng thng AQ ti K 1.Chng minh APOQ l t giỏc ni tip 2.Chng minh KA2=KN.KP 120 3.K ng kớnh QS ca ng trũn (O).Chng minh tia NS l tia phõn giỏc ca ã gúc PNM Gi G l giao im ca ng thng AO v PK Tớnh di on thng AG theo bỏn kớnh R Cõu 5: (0,5im) Cho a,b,c l s thc khỏc khụng v tho món: ỡù a (b + c ) + b (c + a ) + c ( a + b) + 2abc = ùớ ùù a 2013 + b 2013 + c 2013 = ợ 1 Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc Q = 2013 + 2013 + 2013 a b c Cõu í 1 P N GI í GII S Ni dung 2- 2= 2+1 ( - 1).( + 1) 2= 2+1 ( 2) - 1) = + 1- =1 im KL: 2 Do th hm s y = ax-1 i qua M(1;5) nờn ta cú a.1-1=5 a=6 KL: a a ( a - 2) A=( =( ( a - 1).( a - 2) ).( + 1) = a ( a - 2) a- a- ).( a - + 1) = a =1 a ( a - 2) a 0,5 0,5 KL: ỡùù x - y = ùợù 3x + y = KL: ỡùù x - y = ùợù 15 x + y = 25 ỡùù x - y = ùợù 17 x = 34 0,25 Xột Pt: x + mx + m - = 2 ỡùù y = - ùợù x = 2 = m - 4(m - 1) = m - 4m + = (m - 2) Vy pt luụn cú nghim vi mi m ùỡ x1 + x2 = - m ùợ x1 x2 = m - Theo h thc Viet ta cú ùớù 0,25 Theo bi 121 B = x 21 + x 2 - 4.( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) - x1 x2 - 4.( x1 + x2 ) 0,5 = m - 2( m - 1) - 4(- m) = m - 2m + + 4m = m + 2m + + = (m + 1) + Vy minB=1 v ch m = -1 KL: Gi di quómg ng AB l x (km) x>0 0,25 x Thi gian xe ti i t A n B l h 40 x Thi gian xe Taxi i t A n B l : h 60 Do xe ti xut phỏt trc 2h30phỳt = nờn ta cú pt x x = 40 60 3x - x = 300 x = 300 0,25 0,25 0,25 0,25 Giỏ tr x = 300 cú tho K 0,25 Vy di quóng ng AB l 300 km Xột t giỏc APOQ cú ãAPO = 900 (Do AP l tip tuyn ca (O) P) ãAQO = 900 (Do AQ l tip tuyn ca (O) Q) ị ãAPO + ãAQO = 1800 ,m hai gúc ny l gúc i nờn t giỏc APOQ l t giỏc ni tip P 0,75 S M N A I G O K Q Xột AKN v PAK cú ãAKP l gúc chung ãAPN = ãAMP ( Gúc ntcựng chn cung NP) ã M NAK = ãAMP (so le ca PM //AQ AKN ~ PKA (gg) ị 0,75 AK NK = ị AK = NK KP (pcm) PK AK K ng kớnh QS ca ng trũn (O) 122 Ta cú AQ ^ QS (AQ l tt ca (O) Q) M PM//AQ (gt) nờn PM ^ QS ng kớnh QS ^ PM nờn QS i qua im chớnh gia ca cung PM nh ằ = sd SM ẳ ị PNS ã ã (hai gúc nt chn cung bng nhau) sd PS = SNM 0,75 Hay NS l tia phõn giỏc ca gúc PNM Chng minh c AQO vuụng Q, cú QG ^ AO(theo Tớnh cht tip tuyn ct nhau) 0,75 Theo h thc lng tam giỏc vuụng ta cú OQ R = = R OA 3R ị AI = OA - OI = 3R - R = R 3 Do KNQ ~ KQP (gg) ị KQ = KN KP m AK = NK KP nờn OQ = OI OA ị OI = AK=KQ Vy APQ cú cỏc trung tuyn AI v PK ct G nờn G l trng tõm ị AG = 2 16 AI = R = R 3 Ta cú: a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b ) + 2abc = a 2b + a c + b c + b a + c a + c 2b + 2abc = ( a 2b + b a ) + (c a + c 2b) + (2abc + b 2c + a c ) = ab(a + b) + c (a + b) + c(a + b) = ( a + b)(ab + c + ac + bc ) = ( a + b).(a + c ).(b + c ) = 0,25 *TH1: nu a+ b=0 ùỡ a = - b Ta cú ùớù 2013 ùớỡù a = - b 2013 2013 ùợ a + b + c = ùùợ c = 1 1 Q = 2013 + 2013 + 2013 = a b c ta cú 0,25 Cỏc trng hp cũn li xột tng t Vy Q = a 2013 + b 2013 + c 2013 =1 123 K THI TUYN SINH THPT MễN THI: TON (Thi gian lm bi 120 phỳt khụng k thi gian giao cho thớ sinh) S 10 -*** - Bài 1: Cho biểu thức: P = ( ) x x x x +1 x x +1 x x x+ x : x a,Rút gọn P b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 x2 =50 Cõu 3: Quảng đờng AB dài 156 km Một ngời xe máy tử A, ngời xe đạp từ B Hai xe xuất phát lúc sau gặp Biết vận tốc ngời xe máy nhanh vận tốc ngời xe đạp 28 km/h Tính vận tốc xe? Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn 124 P N GI í GII S 10 Bài 1: (2 điểm) ĐK: x 0; x ( x 1z a, Rút gọn: P = x( x 1) : x( x 1) x ) P= x ( x 1) x = b P = x +1 = 1+ x = x +1 x x =2 x=4 x = x = x = Để P nguyên x x = x = x = x = x = 1( Loai ) Vậy với x= { 0;4;9} P có giá trị nguyên Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì: ( ) = ( 2m + 1) m + m x1 x = m + m > x + x = 2m + < = 25 > (m 2)(m + 3) > m < m < 3 b Giải phơng trình: ( m 2) (m + 3) = 50 5(3m + 3m + 7) = 50 m + m = 1+ m1 = m = 2 Bài Gi võn tc ca xe p l x (km/h), iu kin x > Thỡ tc ca xe mỏy l x + 28 (km/h) Trong gi: + Xe p i c quóng ng 3x (km), + Xe mỏy i c quóng ng 3(x + 28) (km), theo bi ta cú phng trỡnh: 3x + 3(x + 28) = 156 Gii tỡm x = 12 (TMK) 125 Tr li: Vn tc ca xe p l 12 km/h v tc ca xe mỏy l 12 + 28 = 40 (km/h) Bài a Giả sử tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên A CH AB BH AC => BD AB CD AC Q Do đó: ABD = 900 ACD = 900 Vậy AD đờng kính đờng tròn tâm O Ngợc lại D đầu đờng kính AD đờng tròn tâm O H O P C B tứ giác BHCD hình bình hành b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB D nhng ADB = ACB nhng ADB = ACB Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB Mà PAB = DAB đó: PHB = DAB Chứng minh tơng tự ta có: CHQ = DAC Vậy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c) Ta thấy APQ tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn AP AQ lớn hay AD lớn D đầu đờng kính kẻ từ A đờng tròn tâm O 126 PHN III: MT S T LUYN (THEO CU TRC THI THNG GP) K THI TUYN SINH THPT MễN THI: TON (Thi gian lm bi 120 phỳt khụng k thi gian giao cho thớ sinh) S -*** Bài 1Cho biểu thức A = ( x 3) + 12 x + x2 ( x + 2) x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Cho đờng thẳng: y = x-2 (d1) y = 2x (d2) y = mx + (m+2) (d3) a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) qua với giá trị m b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy Bài 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1) a Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m c Tìm giá trị nhỏ P = x 21 + x22 (với x1, x2 nghiệm phơng trình (1)) Bài 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với CD; AD CE a Chứng minh DE// BC b Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp c Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh hệ thức: Bài 5: 1 = CQ + CE CE Cho số dơng a, b, c Chứng minh rằng: < a b c + + 0), y2 = ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0) 10 Với y = = x thi x = ( thoả mãn đkxđ) 16 Vậy với x = c) m( x − 3) P > x +1 thi P = - 16 (đk: x > 0; x ≠ 4, x ≠ ) 4x > x +1 x −3... có mẫu sớ lớn thi nhỏ hơn) x 1 ⇔ < 4x 36 1 1 ⇔ + < + 4x 36 1 ⇔ + < 4x 18 x +1 > 18 4x ⇒m≥ Theo kết quả phần ta có : 18 m > x + 4x Kết ḷn: Với m ≥ , x > thi m( x − 3) P... = x1.x2 = - (m+3) Khi ®ã A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bµi A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ ⇔ 2m(2m-3) ≥ m ≥ m ≥ m ≥ m≥ 2 m − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ m