Tai liệu chuẩn ôn thi vào 10

Là ngời thầy giáo nên đa học sinh đi tìm chân lý hơn là đ a chân lý đến cho học sinh Luyện Thi vào lớp 10 Tài liệu lu hành nội bộ Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp Chuyên đề 1: Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử A. biến đổi đẳng thức I. Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 a 2 - b 2 = (a + b)(a - b) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab +b 2 ) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a - b - c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2ac + 2bc a n - b n = (a - b)(a n-1 + a n-2 b + + ab n-2 + b n-1 ), mọi n là số tự nhiên a n + b n = (a + b)(a n-1 - a n-2 b + - ab n-2 + b n-1 ), mọi n lẻ II. Bài tập Bài 1 So sánh hai số A và B biết: A = 2004.2006 và B = 2005 2 Giải Ta có A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 2005 2 - 1 < 2005 2 =B. Vậy A < B. Bài 2 So sánh hai số A và B biết: A = (2 + 1)(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1) và B = 2 32 Giải Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1) = 2 32 -1 < 2 32 = B. Vậy A < B. Bài 3 So sánh hai số A và B biết: A =(3 + 1)(3 2 +1)(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 +1) và B =3 32 -1 Giải Ta có 2A = (3 - 1)(3 + 1)(3 2 +1)(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 +1) = 3 32 - 1 = B. Vậy A < B. Bài 4 Chứng minh rằng: (m 2 + m - 1) 2 + 4m 2 + 4m = (m 2 + m + 1) 2 , với mọi m. Giải VT: (m 2 + m - 1) 2 + 4m 2 + 4m = m 4 + m 2 + 1 + 2m 3 - 2m 2 - 2m + 4m 2 + 4m = m 4 + 2m 3 + 3m 2 + 4m + 1. VP: (m 2 + m + 1) 2 = m 4 + m 2 + 1 +2m 3 + 2m 2 + 2m = m 4 + 2m 3 + 3m 2 + 2m +1. Bài 5 Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 -3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab -ac -bc). Giải Ta có a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab(a + b) thay vào VT VT = (a + b) 3 - 3ab(a + b) + c 3 -3abc = [(a + b) 3 + c 3 ] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b) 2 + c 2 - c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a 2 + b 2 + c 2 + 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc) = VP. Bài 6 Cho ab = 1. Chứng minh rằng: a 5 + b 5 = (a 3 + b 3 )(a 2 + b 2 ) - (a + b) - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 2 Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp Giải (a 3 + b 3 )(a 2 + b 2 ) - (a + b) = a 5 + a 3 b 2 + a 2 b 3 + b 5 - (a - b)= a 5 + b 5 +a 2 b 2 (a + b) - (a - b) = a 5 + b 5 Bài 7 Cho a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc = 0. Chứng minh rằng: a = b = c Hỡng dẫn Từ: a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc = 0 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0 (a - b) 2 +(a - c) 2 + (b - c) 2 = 0 a = b = c.(đpcm) Bài 8 Cho a, b, c đôi một khác nhau, thoả mãn: ab + bc + ca = 1. CMR + + + = + + + 2 2 2 2 2 2 (a b) (b c) (c a) 1 (1 a )(1 b )(1 c ) Hỡng dẫn Ta có: 1 + a 2 = ab + bc + ca +a 2 = b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b). Tơng tự: 1 + b 2 = (b + a)(b + c). 1 + c 2 = (c +a)(c + b). Thay vào trên suy ra (đpcm). Bài 9 Cho a > b > 0, thoả mãn: 3a 2 + 3b 2 =10ab. Chứng minh rằng: = + a b 1 a b 2 . Giải Đặt P = ba ba + thì P > 0 nên P = 2 P . Ta có P 2 = + + = = = + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 1 a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4 . Vậy P = 1/2. Bài 10 Cho a + b + c = 1 và + + = 1 1 1 0 a b c . Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 =1. Giải Từ: a + b + c = 1 a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) = 1 a 2 + b 2 + c 2 = 1- 2(ab + ac + bc) . Mặt khác: + + + + = = + + = 1 1 1 ab ac bc 0 0 ab ac bc 0 a b c abc . Vậy: a 2 + b 2 + c 2 =1. Bài 11 Cho + + = 1 1 1 2 a b c (1) và a + b + c = abc. Chứng minh rằng: + + = 2 2 2 1 1 1 2 a b c Giải (1) + + + + + + + = + + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 2( ) 4 2( ) 4 a b c ab ac bc a b c abc . Thay a + b + c = abc vào ta có + + + = + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 2 a b c a b c . Bài 12 - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 3 Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp Cho + + = x y z 1 a b c (1) , và + + = a b c 1 x y z (2) . CMR: = + + = 2 2 2 2 2 2 x y z A 1 a b c Giải + + + + + + + = = + + = 2 2 2 2 2 2 x y z xy xz yz xy xz yz cxy bxz ayz 2( ) 1 A 1 2( ) 1 2( ) a b c ab ac bc ab ac bc abc (2) : + + = cxy bxz ayz 0 xyz . Vậy A = 1. Bài 13 Cho + + = 1 1 1 0 a b c . (1) Chứng minh rằng: + + = 3 3 3 1 1 1 3 a b c abc . Giải . (1) = + = + + + = + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 3 ( ) [ 3 ( )] a b c a b c bc b c a b c bc a Vậy + + = 3 3 3 1 1 1 3 a b c abc . Bài 14 Cho a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 =14. Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 = 98. Giải Từ: a + b + c = 0 a = -(b + c) a 2 = (b + c) 2 a 2 = b 2 + c 2 +2bc a 2 - b 2 - c 2 = 2bc (a 2 - b 2 - c 2 ) 2 = 4b 2 c 2 a 4 + b 4 + c 4 - 2a 2 b 2 - 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 = 4b 2 c 2 a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ) = a 4 + b 4 + c 4 + 2a 2 b 2 - 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ) = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 14 2 =196. Vậy a 4 + b 4 + c 4 = 98. Bài 15 Cho xyz = 1, Chứng minh rằng: + + = + + + + + + 1 1 1 1. 1 x xy 1 y yz 1 z zx Giải Ta có: + + = + + = + + + + + + + + + + + + 1 1 1 z x 1 1 x xy 1 y yz 1 z zx z xz xyz x yx xyz 1 z zx = + + + + = + = + + + + + + + + + + + + + + + z x 1 z 1 x z 1 xz z xz 1 x yx 1 1 z zx 1 x xz x xy 1 1 x xz xz xyz z + + + = + = = + + + + + + z 1 xz z 1 xz 1. 1 x xz xz 1 z 1 x xz B. Phân tích đa thức thành nhân tử Bài 1 Phân tích tam thức bậc hai x 2 - 6x + 8 thành nhân tử. Giải - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 4 Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của hai bình ph- ơng. x 2 - 6x + 8 =(x - 3) 2 - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2). Cách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung. x 2 - 6x + 8 = x 2 - 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4). Bài 2 Phân tích đa thức x 3 + 3x 2 - 4 thành nhân tử. Giải Nhẩm thấy x = 1 là nghiệm đa thức chứa nhân tử x - 1 ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử x - 1. C 1 : x 3 + 3x 2 - 4 =x 3 -x 2 +4x 2 - 4=x 2 (x - 1)+4(x 2 -1)=(x-1)(x 2 + 4x + 4)=(x-1)(x+2) 2 . C 2 : x 3 +3x 2 - 4 =x 3 -1+3x 2 - 3 = (x-1)(x 2 +x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x 2 + 4x + 4). Bài 3 Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử. Giải (x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x 2 +8x+7)(x 2 +8x +15) +15 Đặt: t = x 2 +8x+7 x 2 +8x+15 = t + 8 ta có: t(t + 8) +15 = t 2 + 8t +15 =(t + 4) 2 - 1 = (t + 4 + 1)(t + 4 - 1) = (t + 5)(t + 3). Vậy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x 2 + 8x + 12)(x 2 + 8x + 10) = (x 2 + 6x + 2x + 12)(x 2 + 8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x 2 + 8x + 10). BTVN. Bài 1 Cho x > y > 0 và 2x 2 + 2y 2 = 5xy, Tính: x y P x y + = . (tơng tự bài 9) Bài 2 Cho x + y + z = 0, Chứng minh rằng: x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz. (tơng tự bài 13) Bài 3 Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 = 2 1 (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 . (tơng tự bài 14) Bài 4 Cho a, b, c khác không và a + b + c = 0. Chứng minh rằng: + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0. a b c b c a a c b Từ: a + b + c = 0 a = - (b + c) a 2 = (b + c) 2 a 2 =b 2 + c 2 + 2bc b 2 + c 2 - a 2 = - 2bc Bài 5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a/ 4x 2 - 3x - 1 b/ x 3 + 6x 2 + 11x +6 c/ (x-y) 3 + (y-z) 3 + (z-x) 3 - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 5 Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp Hỡng dẫn: x + y + z = 0 x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 6 Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất A. Bất đẳng thức I. Một số tính chất của bất đẳng thức 1/ a > b và b > c a > c (t/c bắc cầu) 2/ a > b a + c > b + c (t/c cộng vào hai vế cùng một số) 3/ a > b > > < < ac bc nếu c 0 ac bc nếu c 0 (t/c nhân hai bđt với một số âm, dơng) 4/ a > b và c > d a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều) 5/ > > > > > a b 0 ac bd c d 0 (t/c nhân hai bất đẳng thức dơng cùng chiều) 6/ a > b > 0 > > n n n n a b a b (n nguyên dơng) 7/ + > + + + a a a,b,c R a b a b c 8/ + + > > > + a c a a c c a,b, c,d R b d b b d d 9/ Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì ta có: */ a > 0, b > 0, c > 0. */ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b */ Nếu a > b > c thì A > B > C II. Bài tập Bài 1 Cho 5 số a, b, c, d, e bất kỳ. CMR: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a( b + c + d + e) (1) . Giải (1) 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0 (a - 2b) 2 + (a - 2c) 2 + (a - 2d) 2 + (a - 2e) 2 0. (đpcm) Bài 2 Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: a/ a 2 + b 2 1/2, b/ a 3 + b 3 1/4, c/ a 4 + b 4 1/8 Giải a/ Từ (a - b) 2 0 a 2 + b 2 2ab 2(a 2 + b 2 ) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 = 1. Vậy a 2 + b 2 1/2. b/ Ta có a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 2 - ab + b 2 2(a 3 + b 3 ) = 2a 2 - 2ab + 2b 2 = (a - b) 2 + a 2 + b 2 a 2 + b 2 mà a 2 + b 2 1/2 2(a 3 + b 3 ) 1/2 a 3 + b 3 1/4. (đpcm) - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 7 Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp c/ Từ (a 2 - b 2 ) 2 0 a 4 + b 4 2a 2 b 2 2(a 4 + b 4 ) a 4 + b 4 + 2a 2 b 2 = (a 2 + b 2 ) 2 a 4 + b 4 1 2 (a 2 + b 2 ) 2 (1) . Mặt khác: (a - b) 2 0 a 2 + b 2 2ab 2(a 2 + b 2 ) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 = 1 a 2 + b 2 1/2 (a 2 + b 2 ) 2 1/4 thay vào (1) ta có a 4 + b 4 1 8 . Bài 3 Cho a,b > 0, và a + b = 1. Chứng minh rằng: a/ + + 1 1 (1 )(1 ) 9 a b ; b/ + + + 1 1 4 a 1 b 1 3 Giải a/ + + + + + + + + 1 1 a 1 b 1 ab a b 1 2 (1 )(1 ) 9 ( )( ) 9 9 1 9 a b a b ab ab 1 4ab (a + b) 2 4ab đúng (đpcm). b/ + + + 1 1 4 a 1 b 1 3 3(a + 1 + b +1) 4(a + 1)(b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b) 2 4ab đúng (đpcm) Bài 4 Cho a, b, c R + . Chứng minh rằng: < + + < + + + a b c 1 2 a b b c c a Giải > + + + > + + + > + + + a a a b a b c b b b c a b c c c c a a b c + + > + + + a b c 1 a b b c c a . Mặt khác: + < < + + + + + < < + + + + + < < + + + + a c a a c a b c a b a b c b a b b a b c a b c a b c c b c b c c a b c a a b c + + < + + + a b c 2 a b b c c a . Vậy: < + + < + + + a b c 1 2 a b b c c a Bài 5 - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 8 Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp Cho a, b, c, d R + . CMR: < + + + < + + + + + + + + a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Giải < < + + + + + + < < + + + + + + < < + + + + + + < < + + + + + + a a a a b c d a b c a c c c c 1 a b c d c d a c a b b b 2 a b c d b c d b d d d d a b c d d a b d b < + + + < + + + + + + + + a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Bài 6 Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác, CMR: ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) Giải */ CM: ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 , nhân cả hai vế với 2 ta có: 2ab + 2bc + 2ca 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 (a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2 0, đúng (đpcm) */ CM: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca), Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên ta có: a < b + c a 2 < ab + ac b < a + c b 2 < ab + bc c < a + b c 2 < ac + bc a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). Vậy: ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). Bài 7 Chứng minh rằng: + 4 2 ab ab a b với a > 0, b > 0. Giải ( ) + + + 2 4 4 4 4 4 2 1 2 ab a b 0 a b 2 ab ab a b ab a b . III/ Bất đẳng thức Côsi (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân) */ Với 2 số thực a, b không âm ta có: + a b ab 2 , dấu bằng xảy ra a = b. */ Với 3 số thực a, b, c không âm ta có: + + 3 a b c abc 3 , dấu bằng xảy ra a = b = c. */ Với n số thực a 1 , a 2 , a n không âm ta có: - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 9 Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp + + + 1 2 n n 1 2 n a a a a a a n , dấu bằng xảy ra a 1 = a 2 = = a n . IV/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki */ với 4 số thực a, b, c, d ta có: (ab + cd) 2 (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ), dấu bằng xảy ra = a c b d . */ Với 6 số thực a, b, c, d, e, f ta có: (ab + cd + ef) 2 (a 2 + c 2 + e 2 )(b 2 + d 2 + f 2 ), dấu bằng xảy ra = = a c e b d f . */ với n cặp số thực a 1 , a 2 , a n , b 1 , b 2 , b n ta có: (a 1 b 1 +a 2 b 2 + + a n b n ) 2 (a 1 2 + a 2 2 + + a n n )(b 1 2 + b 2 2 + + b n n ). Dấu bằng xảy ra = = = 1 2 n 1 2 n a a a b b b . Bài 8 Cho x, y, z là các số dơng, Chứng minh rằng: a/ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz. b/ + + 1 1 4 x y x y . c/ + + + + 1 1 1 9 x y z x y z . Giải a/ + + + x y 2 xy y z 2 yz z x 2 xz (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz. b/ + + + + 1 1 4 1 1 (x y)( ) 4 x y x y x y mà + + x y 2 xy 1 1 2 x y xy + + 1 1 (x y)( ) 4 x y . c/ + + + + + + + + 1 1 1 9 1 1 1 (x y z)( ) 9 x y z x y z x y z . (làm tơng tự) B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất của: P = + + 2 2 2x 4x 5 x 2x 2 Giải Ta có: - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 10 [...]... B = 4 + 5 3 + 5 48 10 7 + 4 3 ( 3 1) 6 + 2 2 3 2 + 12 + 18 128 c/ C = 2 3 + 5 13 + 48 6 2 Giải a/ Ta có: 7 + 4 3 = (2 + 3)2 10 7 + 4 3 = 10( 2 + 3) = 20 10 3 48 10 7 + 4 3 = 48 20 10 3 = 28 10 3 = (5 3) 2 5 48 10 7 + 4 3 = 5(5 3) = 25 5 3 Vậy A = 4 +5 = 3 b/ Ta có: 18 128 = 18 8 2 = (4 2 )2 Trang 18 - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242 Không có học sinh học... - 5 + x- 10 Hỡng dẫn Ta có: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x (x - 5) + (10 - x) = 5 áp dụng a + b = a + b ab 0 Vậy Pmin = 5 (x - 5) (10 - x) 0 5 x 10 Bài 2 Cho x, y R, Chứng minh rằng: x2 + y2 + 1 xy + x + y Bài 3 Cho a, b, c, d R+ Chững minh rằng : 2 < Trang 12 a+b b+c c+d d +a + + + . của: P = x - 5 + x- 10. Hỡng dẫn Ta có: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x (x - 5) + (10 - x) = 5 áp dụng a + b = a + b ab 0. Vậy P min = 5 (x - 5) (10 - x) 0 5 x 10. Bài 2 Cho x, y . luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 12 Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 13 Không. 20 10 3 28 10 3 (5 3) 5 48 10 7 4 3 5(5 3) 25 5 3 Vậy A = + = 4 5 3 . b/ Ta có: = = 2 18 128 18 8 2 (4 2) - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1 0 -: 0972946242 Trang 18 Không