Bất Đẳng Thức trong đề đại học

February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bất đẳng thức đề đại học Câu 1: (Diễn đàn Toán phổ thông) Cho a , b c số thực dương Tìm giá trị nhỏ của: P (a  b  c)(ab  bc  ca) 4bc  abc (b  c) Hướng đi: (Nhiệm vụ hướng giúp bạn hướng tư dự đoán dấu bằng) Việc ta dự đoán dấu Đối với này, thông thường dấu = xảy b  c Khi P  (a  2b)(ab  b  ab) (a  2b)(b  2a) a b 1  1  2    1 ab ab b a Đến ta dự đoán a  b (theo Cauchy) Từ ta biết a  b  c Giải: P  (a  b  c)(ab  bc  ca) 4bc   abc (b  c) Ta dùng Bất đẳng thức phụ: 1 1 4bc     a b c  (b  c)  a  b  c   (a  b)( x  y)  ax  by  (a  b)( x  y)  ax  by  abxy  ay  bx  abxy (luôn theo Cauchy) Dấu = xảy a x  b y Tiếp theo ta lồng biểu thức 1 1    vào BĐT phụ trên, điều ưu tiên ta khử ẩn a a b c  a  b  c   1 1 bc 1 1     a  (b  c)      a bc a b c b c  a  b  c   Đến ta kiểm tra, dấu = xảy a a a bc     a  bc Điều với bc  b  c a (b  c) b c hướng vạch a  b  c Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( Ở bước ta làm sau 2  b  c   a(b  c)  b  c    b  c   b  c   b  c 1 )  a  b  c        bc bc a bc bc bc a b c  P  1 bc 4bc bc       4t  f (t ), t    0; t b  c   bc  b  c  8t  f '(t )  8t    t t 1 23   f (t ) nghịch biến 22  1  0;   2 1  f (t )  f    Dấu = t   a  b  c 2 Vậy MinP  a  b  c Câu 2: (nguoithay.vn) Cho a , b c số thực dương thỏa mãn a  b  c(a  b)  4c  Tim giá trị lớn 2 a b  c  b  a  c  P    ac bc c Hướng đi: Với đề này, ta mập mờ đoán a  b Khi đó, giả thiết a  ac  2c  2 Dấu = c  ,a  b 1 a a  c a a  c 1 1   P    2a(a  c)    4c     4c     (cauchy số) ac ac c c c 2c 2c    x  y Giải: Chìa khóa bất đẳng thức phụ ab  x2 y2  a b Đây bất đẳng thức mà bạn nên học muốn chinh phục 10 điểm đề thi THPT Quốc gia Nó có nhiều tên gọi, số Schwarz Cách chứng minh BĐT có nhiều mạng, bạn lên google search Vì đất nước đường hội nhập nên cách bạn tự trang bị cho kĩ năng, kĩ tìm kiếm thông tin Tôi xin nói dấu Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC February 22, 2015 Dấu = xảy x y  a b  b2   a2  1 1    c    a  b  c(a  b)    4c     4c     Từ ta có P  a   c   b  c c 2c 2c   a   b  c Dấu xảy c  ,a  b 1 Câu 3: (diendantoanhoc.net) Cho x, y z thực dương thỏa mãn x  y  z  z ( x  y ) Tim giá trị nhỏ P  x3 y  x  z  y3 x y  z  x2  y z Hướng đi: Qua hai câu trên, chắn bạn dự đoán x  y Từ giả thiết suy ( x  z )( x  z )  Đến ta thử trường hợp x  y  z x  y  z vào P Thấy x  y  z P có giá trị nhỏ Vậy dấu x  y  z Giải: Để ý thấy BĐT (có nghĩa đồng bậc) nên ta sử dụng phép đặt sau: Đặt a  x y , b  (từ hướng quy a  b  ) z z  2 x2 y x y 4(a  b)  a  b    a  b   x  y  z  z( x  y)     60 z z z z 4(a  b)  2ab  2  a  b  2( a  b)  ab  P x3 y  x  z  y3 x y  z  x2  y a3 b3    a2  b2 2 z b  a  1 a  b  1 Đến đây, ta thấy tương quan a3 b  a  1 b3 a  b  1 Nhiệm vụ khử mẫu làm cho chúng chung mẫu số Bây ta chia hai hướng Hướng 1: Khử mẫu Ta thấy tử bậc ba, điều liên tưởng cho ta cauchy số Và ta khử theo hai cách sau: Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Cách 1.1: Ta có a3 b  a  1  a  ab  b 3a a3 a  ab  b      nên ta chọn (lưu ý a  b  8 8 b  a  1 thế) Tương tự  b3 a  b  1 a3 b  a  1   b  ab  a 3b   8 b3 a  b  1  2(a  b)  ab  2(a  b)   2(a  b)  3  1   4 1 ab  a2  b2     2 2 Suy P  Cách 1.2: Ta có a3 b  a  1  b a  2a  3a   ; 16  a b  2b  3b   16 b3 a  b  1  a3 b  a  1 Suy P   b3 a  b  1 1 1 1  (a  b)   a  b    (a  b)   4a  4b     (a  b)   16 8 16 8 1 ab  a2  b2     2 2 Hướng 2: Làm cho chúng chung mẫu số a3 b  a  1  b3 a  b  1 Mặt khác: a  b3   2a 2b3 54(a3  b3 ) 27(a  b3 )    2b(a  1)(a  1) 2a (b  1)(b  1) (2a  2b  2)3 4(a  b  1)3 2(a  b)3 (BĐT dễ dàng chứng minh tương đương, bạn thử chứng 27 minh theo hướng khác nhé, toán lớn cần toán nhỏ này)  a b  a  b  (3a  3b)3 (2a  2b  2)3  a  b  1    4.27 27.4 27 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Từ ta suy Suy P  a3 b  a  1  b3 a  b  1 2  a  b  1 27 27    a  b  1 1 ab  a2  b2     2 2 Câu 4: (Boxmath) Cho a , b c số thực dương thỏa 3a ( a  b  c )  bc Tìm GTNN P   bc a  Hướng đi: Ta dự đoán b  c Khi đó, 3a (a  2b)  b  b   a   Vậy dấu b  c   a Giải: Ta thấy BĐT Đặt x   x  y Theo giả thiết:  3( x  y )  xy  b c ; y  (từ ta xoay quanh x  y   ) a a  x y  64 P  x y  64   Dấu = x  y    b  c   a Câu 5: (THTT) Cho số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  Tìm GTNN P x  xy  y  xy  1 z Hướng đi: Ta dự đoán dấu x  y  x   z Thay vào P ta P  1 z2  1 z Giải: Theo giả thiết z   0;1 P x  xy  y  xy   1 z x  xy  y  xy    1 z x  xy  y  Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC February 22, 2015  2 2 2       f ( z) x  y 1 z 1 z2 1 z  x2  y   z f '( z )  2z 1  z  1 z2  1  z    z    0 (1  z )  z  1  z   z  z   z z   1  z   z  z  z  1  z  z  z   (2 z  1)(2 z  z  3)   z  Bảng biến thiên: Z f’(z) f(z) Theo bảng biến thiên, Dấu xảy 3 x y ,z  2 MinP   22 3  Lưu ý nhiều bạn gặp khó khăn tìm lim  x 1  2  1 z  3  Để làm tốt đề thi THPT Quốc Gia, biết  z  bạn phải chọn lọc thứ cần học, dĩ nhiên phần giới hạn lớp 11 bị bỏ qua, nên gặp trường hợp này, bạn làm theo cảm tính, tưởng tượng, z tiến tới  ta tự tin mà cho lim  x 1  2  1 z   z2 lớn Nên 3     z  Câu 6: Cho số thực không âm a , b, c thỏa a  b  c  hai số đồng thời Tìm GTNN: P 1    c  1 a  b  3 (a  b)(b  c) (c a )  a  b  Hướng đi: Ta dự đoán dấu = a  b 2a  c  Khi P  1 4    c  1 2a  3    c  1  c    c  3c  2 a  a  c  2a  a  c  1 c 1  c  c  1 Giải: Theo giả thiết c   0;1 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 P  BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC  1     c  1  c  (thêm lần nữa, ta thấy sức mạnh Schwarz)  a  b  (b  c) (c a)  4  c  3c    c  3c    c  3c   f (c )  c a  b  2c 1 c 1 c  c2 f 'c  8c 2 1  c   1  c    0c   0;1 Suy hàm số nghịch biến  0;1  f  c   f    Vậy MinP  a  b  ,c  Câu 7: (nguoithay.vn) Cho số thực dương x, y, z thỏa 5( x  y  z )  9( xy  yz  zx) Tìm GTLN P x  y  z  x  y  z 3     Hướng đi: Dự đoán y  z Khi x  y  18 xy  y  x  y Do P  1  Khảo sát hàm số ta thấy Pmax y  12 y 216 y Vậy dấu = x  , y  z  12 Giải: Từ giả thiết, ta hướng đến đại lượng đối xứng ( yz y  z y  z ) 5( x  y  z )  9( xy  yz  zx)  x  y  z   x   y  z   18 yz  2  y  z  2   y  z   x ( y  z )  x  (đây bất phương trình đẳng cấp)  2 y  z  x Đó ta có từ giả thiết, ta quy ẩn x để khảo sát hàm số Do ta quy ẩn khác Và chìa khóa ẩn y  z Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 P BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2 y  z x 1 t3       t   f (t ), t  0 3 2 y  z x  y  z 27 yz  y  z  27  y  z  y  z 27  y  z  t2 f '(t )     t  Bảng biến thiên T f’(t)  Theo bảng biến thiên, MaxP  16 Dấu xảy  yz f(t) 1 ,x  12 16 Câu 8: (toanhoc24h) Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn 4ac  b   a  b  c  Tìm GTNN 2 b  8a  8c   b  1 P  ac a  b  c Thoạt nhìn biểu thức P thật phức tạp, nhìn kĩ, biểu thức phân phần, phần đối xứng gồm (a,c) Và phần không đối xứng gồm b Nên bạn đừng lo lắng Cốt lõi toán nằm thứ Hướng đi: Ta tiếp tục dự đoán a  c Và bạn làm thử bước Tôi tin tới bạn vạch hướng đầu mà không cần ghi hướng nháp 2 Giải:  a  b  c   b  2b( a  c)   a  c   4ac  b   a  c   b  b  2(a  c )  (bước tương tự câu trên, ta quy biểu thức ac a  c a  c Và bạn đừng ngại, thử hết đó, có gọn nhất) Và để ý tí ta cần thứ 2( a  b  c )   b 2 2 2  a  c    b  1 b  8a  8c   b  1 2b  2b   b  1      Đến biểu thức P: P  2 ac 1 b 1 b a  b  c 1  b  1  b  Đặt t  1 b (cái khó mà tìm điều kiện chặt t, ta cần điều kiện t>0 đủ) b 1 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 P  f (t )  8t  f '(t )  16t  BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC t 0t  t Bảng biến thiên: T f’(t)    Theo bảng biến thiên, MinP  Dấu xảy t 1  b  ,a  c  f(t) Câu 9: (nguoithay.vn) Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn  a  2b  b  c   4bc 3a  c Tìm GTNN a  2b ac P  Hướng đi: Như định hướng trước, ta đoán b  c Và dễ trước có thêm kiện 3a  c nên ta giữ niềm tin dấu xảy 3a  b  c Nhìn vào giả thiết biểu thức P ta nghĩ tới phép đặt ẩn phụ x  Giải: Từ giả thiết ta có a b ,y c c a  c a b  c  a a b          c  b  c b c c  a  2b  b  c   4bc   Đặt x  Và x  a b ,y x c c x y  y2 1  2y   x     y y y 1 3 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2 y  y  y  3 y 2 y  y y  y y 1  y   y  y  1 P  x      f ( y) x y 1 1 y 1 y2 1 y2 Đến đạo hàm vất vả 1  y  y f '( y )  2  y  3  y  y  y  3 1  y   y  1 2  1  1 1  y   y    y  y  y  3 1    0y   ;  3 2 1  y  Vậy f ( y ) đồng biến y   ;   f ( y )  f    3  3 Dấu y  1 c  x ab 3 Từ đây, ta thấy hướng ta vạch không đúng, toán hay, cho ta thấy bất biến BĐT, đề trên, bạn thử tìm GTLN xem! 2 Câu 10: (ĐH Vinh) Cho số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  xy   x  y  z  Tìm GTNN P  x y z 20  xz 20 y2 Hướng đi: Bài thực khó, BĐT nửa đối xứng, ta khó mà đoán điểm rơi Nhưng khó Để ý kĩ, ta thấy xuất biểu thức xz Điều giúp ta liên tưởng đến việc khử mẫu để ý thấy, hệ số chúng 20, nên có y2 thể chúng 2 2 Khi chúng x  z  y   x  y  z  xy   x  y  z   x  y  x  y   Và P  2( x  z )  40  Khảo sát hàm số hàm số có GTNN 26 x  z  x z x  z    x  z  y   x  1; y  2; z   x2  y  x  y    Từ ta biết điểm rơi BĐT 10 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Giải:  x  y  z   x  y  z  xy   x  y   z (dễ thấy x  y  z nên ta làm tiếp)  x  y  z   x yz 6 P  x yz 20  xz 20  x y z y2 40  x  z  y     x  y  z  2  40 2 x yz2 Đến đơn giản, có nhiều cách sử lí, chọn cách gần gũi với bạn Đặt t  x yz2 2  P  f t   t  f '(t )  2t  40 2 t 40 2t  40   0t  2  f  t  nghịch biến t2 t2   2; 2   Vậy f  t   f 2  26 Vậy MinP  26 x  1; y  2; z  Các bạn làm thử này: 2 (moon.vn) Cho số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  xy   x  y  z  Tìm GTNN P  x yz 54 54  y7 z x5 Câu 11: (Tilado.edu.vn) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn xy  yz  zx  x  xy  yz  zx Tìm GTNN P  x 16 y 25 z   y z z x x y Hướng đi: Thoạt nhìn, ta thấy bất đăng thức nhất, không cần suy nghĩ nhiều, ta dùng phép đặt ẩn phụ Giải: x  : x  xy  yz  zx  yz   xy  yz  zx  (vô lí) 11 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Vậy x  Đặt a  y z ; b  (các bạn đặt khác tôi), a  x x  x  xy  yz  zx   P y yz z 3b  1     a  ab  3b  a  b x x x 1 b 16  3b  1 25  b  1 x 16 y 25 z 16a 25b b 1         y  z z  x x  y a  b  b  a b  4b   b  1 Đến ta xét hàm f  b  , thực phức tạp để đạo hàm, ta dự đoán dấu Ở ta thấy b 1 34 nên ta thử với b  P  3 16  3b  1 25  b  1  b  b 1  16  3b  1 P     3   2 b  4b   b  1  b  4b    b  1 1  25  b    34    16 b4 25  34  b 1  16  3b  1 25  3b  1 34   3     b        2 12  b  4b    b  1   b  1 b  4b  12    3b  1 25b  138b3  320b  710b  265 12  b  1  b  4b  1 Vậy MaxP   34 34 (vì 25b  138b3  320b  710b  265  0b  )  3 34 b  , a   y  0, x  z 3 Bài toán đòi hỏi biến đổi cẩn thận, bạn thử theo đường khảo sát hàm số xem Biết đâu nhanh Câu 12: (THTT) Cho số dương a , b, c thỏa a  b  c  14 Tìm GTLN P 4a  c 4a    2 a  3c  28 a  bc   a  b  a (b  c) Hướng đi: Bài toán đánh giá khó, để tạo toán này, hẳn tác giả phải tạo điểm rơi trước nêu lên ý tưởng Còn chúng ta, điểm rơi dấu chấm hỏi Nhận xét thấy biểu thức P chia thành hai nhóm 12 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC +Nhóm 1: 4a  có chứa biến a , b, c a  bc  a(b  c) +Nhóm 2: 4a  c  chứa biến số a  3c  28  a  b 2 2 Ta xử lý nhóm trước Bây giờ, ta lồng ghép giả thiết vào P xem thử Để ý ta thấy 12 Dấu = xảy a  b  c  a (b  c)  a  b  c 2 4a 8a 8a   2 2 a  bc  3a  2bc  b  c 3a   b  c  Như trên, ta cần đưa chúng dạng mẫu số với biểu thức ta làm sau: 8a 3a   b  c   8a 2a   a   b  c     2  12 a  b  c phải ý a  b  c nên 8a  2a  2a  b  c  a  b  c Vì ta chia thành nhóm nên đồng nghĩa với việc ta biến đổi P thành hai hàm số độc lập (kiểu P  f  x   g  y  ) nên ta cần tìm GTLN hàm số thành phần 4a 12 1 1      12      Ta tìm GTLN 2 a  bc  a(b  c) a  b  c  a  b  c   abc 6 3 a  b  c a    Tới đây, ta ép toán vào dấu =  a  b  c   b  Giờ ta giải toán a  b  c  14 c    Giải: Ta có 8a 8a 8a 12     2 2 a (b  c)  a  b  c  3a   b  c  2a   a   b  c   2a  2a  b  c  a  b  c   4a 12 1 1      12      Suy 2 a  bc  a(b  c) a  b  c  a  b  c   abc 6 3 Tiếp tục, ta lại có: 13 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC a  c a  c 4a  c   (bunhiacopsky) a  3c  28   2 1    a  3c   28  a  c   28 4 3    a  c   (Đây BĐT tiếp tuyến) 25 25 a  b   a  b   (Tiếp tục ta sử dụng BĐT tiếp tuyến Để biết thêm BĐT tiếp tuyến, bạn xem 25 http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?app=core&module=attach§ion=attach&attach_id=6785 ) a  c 3a  2b  c Từ ta có     2 a  3c  28  a  b  25 25 Vậy MaxP  a  b  c  32  2  12  25   25 a  3, b  2, c  15   Câu 13: (ĐH Vinh) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x  y  z   xy  yz  zx  Tìm GTLN  P   x  y  z   y  z   x y  Hướng đi: Ta dự đoán y  z Khi  x  y  z    xy  yz  zx    x  2y Khi x  2 25 y P  x  x (khảo sát ta thấy xấu nên ta cho sai :3 ) x2 Khi x  y P  x  Khảo sát hàm số P  x  1; y  z  2 Giải: x  yz  x  y  z    y  z 2   5x  y  z 6 2 5 y  z  6x  y  z    5x2  6x  y  z    y  z   2  5 x  x  y  z     y  z   x  y  z      x  y  z  x  y  z      x  y  z  5x 14 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC February 22, 2015 2   y  z  1   x   y  z    x  y  z  y  z P  2 x  y  z   y  z     1  2 2 Vậy MaxP  x  1; y  z  Bài nhiều cách khác, cách bạn thử tìm lời giải khác cho nhé! Câu 14: (moon.vn) Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn P 2   Tìm giá trị nhỏ c a b a b c   bc ac a2  b2  c2 Hướng đi: Bài toán đơn giản để ta đoán a  b  2c Và hướng chắn phải đặt ẩn phụ 2 1 1 1 Giải:          c a b a b c a b  x  y  x  y  a b 1 Đặt x  ; y      x  y  xy  c c x y  xy  xy  xy   Ta lại có   x  y  1  x  y  xy  x  y   xy   xy  x  y   xy    Và P  x   y a b c x y 1         1    1  2 2 2 2 bc ac y 1 x 1 a b c x  y 1  y 1   x 1  x  y2 1  x  y  1  1  4   x  y  1   2  2  2 x y2  x  y   x 1 y 1  x  y  Đặt t  x  y   P  f  t   15 4t  4  2 t2 t 4 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC   2t   t  3t  1 4t  t  3   f '(t )      0t  2 2   t    t  2  t  t         f t   f  4  Dấu = x  y   a  b  2c Sau số toán mà thấy hay đáng làm: (toanhoc24h.blogspot.com) – trích đề thi thử thầy Khải Đây người thầy mà kính trọng Trong thầy thấy đam mê… Câu 1: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN: P  2z z x y z    2 y z x y Câu 2: : Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm GTLN: P   Câu 3: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn a  bc  b  c Tìm GTLN: P  Câu 4: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  Tìm GTNN: P  x  Câu 5: Cho a , b, c số thực dương Tìm GTNN: P  a2  a  b x2  y  3z  z xy  b c 3a3  a  c a  b  b  c 6 x  xy   y2 y xy  ab 16a    b  ac   c  a   c  a 4 Câu 6: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn abc  a  b  c   Tìm GTNN: P  a  b  a  c   8bc bc  b  c   x y z2    Câu 7: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y   z Tìm GTNN P  x  yz y  zx z  xy 16 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Câu 8: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z Tìm GTLN P 1  xy  z x  y 1  z   3z 1  z  z2 1 Câu 9: : Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  z Tìm GTNN P   x  3z  xz y2   y  yz xz  yz x  2z Câu 10: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xy Tìm GTNN P x2 y x2  y   y  yz z  x x  z Câu 11: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y  xy  Tìm GTLN P  24 xy x3 y3   3 y 1 x 1 x  y  Câu 12: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  z  y  xy  yz  zx Tìm GTLN P x 2y  z  xy  y  z  Câu 13: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn Tìm GTNN P  x3  y  x y z2     xy  y  xz x  yz   x  y  Câu 14: : Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  x  z  x Tìm GTLN xz z x2 P   x  y  y   x  y 2 Câu 15: : Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN P y2 x  xy  x y  2 y  zx y  z  2 Câu 16: : Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xy  z Tìm GTNN  x y  8z3 P    x  z   x  z  y  z   y z 17 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC February 22, 2015 Câu 17: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn  a  2b  b  c   5bc 2a  c Tìm GTLN GTNN P a2  b2 ac z  x  z   z  y  z   xy Tìm GTNN Câu 18: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn P x y x  y  30 z   yz xz x  y  z 12 xy x y x3  y   Câu 19: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xy Tìm GTNN P  y z x z 16 z 2 Câu 20: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn a  ab  b  c Tìm GTLN  ab   2c  36 1 P   a  b2  4ab  2c  3 Câu 21: Cho x, y, z số thực thỏa mãn x, y , z  1 x  y  z  Tìm GTLN P x2 y2 1  x  y   xy  1 z  z  Câu 22: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 5x  y  z  yz Tìm GTNN P z y  2z x2  y2   x  y x  z  x  z  x  y  Câu 23: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn 4ac  b   a  b  c  Tìm GTNN 2 b  8a  8c   b  1 P  ac a  b  c Câu 24: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN P xy  z2   yz  x2   zx  y2   54  x y z  2 2 Câu 25: Cho x, y, z số thực thỏa mãn x, y , z  x  y  z  xy   x  y  z  Tìm GTNN 18 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha February 22, 2015 P BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC x 1 y 1  x y    y  z 1 x  z 1  z  Câu 26: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  xy  xyz Tìm GTLN P xz yz z    z3 x  y  z y  x  z  x  y Câu 27: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xy  yz  zx  Tìm GTNN P 3x  x  y  z   x  y  z  8 y2  z2  y  z  xy  xz  z  xy  x y Câu 28: Cho x, y, z số thực dương Tìm GTNN P    x  z y  z  x  y  z 2 Câu 29: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy  z  z Tìm GTNN P z  x  y  16 z  x  y  2 x  y z Câu 30: Cho x, y, z số thực dương Tìm GTNN P   x y  x y    2  x  y    y  z   x  z   z z3 Câu 31: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tim GTNN P 1 2 64b c a b  2    24    a b bc ca a b a 19 Lê Anh Tuấn_Trần Phú-BRVT_0966194630 Email: smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha  ... ac ac c c c 2c 2c    x  y Giải: Chìa khóa bất đẳng thức phụ ab  x2 y2  a b Đây bất đẳng thức mà bạn nên học muốn chinh phục 10 điểm đề thi THPT Quốc gia Nó có nhiều tên gọi, số Schwarz...February 22, 2015 BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC ( Ở bước ta làm sau 2  b  c   a(b  c)  b  c    b  c   b  c   b  c... smart.mst@gmail.com – Em thang phố Hồ Chí Minh có nhu cầu muốn anh gia sư liên lạc với anh nha BĐT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC February 22, 2015 Dấu = xảy x y  a b  b2   a2  1 1    c    a  b  c(a 