SKKN BĐT Côsi lớp 8 (nên có)

Tuy nhiên trong áp dụng nó vào chứng minh các bài toán về bất đẳng thức tôi nhận thấy các em còn một số hạn chế sau: +Lúng túng thụ động, không biết bắt dầu từ đâu, phân tích bài toán nh

Phần thứ nhất: lý do chọn đề tài

I Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức cô si là bất đẳng thức quan trọng bậc nhất trong chơngtrình THPT Tuy nhiên trong áp dụng nó vào chứng minh các bài toán về bất

đẳng thức tôi nhận thấy các em còn một số hạn chế sau:

+Lúng túng thụ động, không biết bắt dầu từ đâu, phân tích bài toán nhthế nào?

+Cha nắm kỹ về bất đẳng thức cô si và các hệ quả thờng áp dụng củanó

+Sử dụng bất đẳng thức cô si một cách máy móc, không linh hoạt hiệuquả

Các ứng dụng của bất đẳng thức cô si là rất phong phú đa dạng Đặc biệttrong đại số, lợng giác và hình học, , trong tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, trongnhận dạng tam giác

Bất đẳng thức cô si là bất đẳng thức quan trọng, tuy nhiên trong phânphối chơng trình chỉ có tiết Số lợng bài tập hạn chế, cha phong phú

Để khắc phục hạn chế trên và giúp các em có thêm một tập tài liệu thamkhảo Tôi mạnh dạn đa ra một vài kinh nghiệm trong bài viết nhỏ này Hyvọng các em học sinh học tập hiệu quả hơn

II Biện pháp thực hiện

Nh trên đã thấy để thực hiện đợc và có hiệu quả cần có nhiều công việcphải làm:

Thứ nhất: Yêu cầu học sinh nắm vững lý thuyết về định lý cô si, các hệ quả ờng gặp, trong tính giá trị lớn nhất nhỏ nhất Đặc biệt là một số bất đẳng thứcquen thuộc yêu cầu học sinh nhớ cách chứng minh cũng nh kết quả

th-Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt hớng các em phân tích mộtbài toán:

Thứ ba: Khuyến khích các em biến đổi bất đẳng thức đã cho về các bất đẳngthức quen thuộc đã biết cách giải Bên cạnh đó sau khi giải toán cho các em sosánh đối chiếu kết quả và rút ra kết luận.

Ngoài ra với mỗi bài tôi khuyến khích các em tìm tòi giải bài toán theocách khác, cách biến đổi khác có thể là phơng pháp tam thức bậc hai hoặc bất

đẳng thức bunhiacopski Công việc này rất có lợi cho t duy, cũng nh khả năngtổng hợp kiến thức của các em

III Phạm vi nghiên cứu.

Đề tài đợc nghiên cứu trong phạm vi lớp 10 và 11 ở trờng THPT TriệuSơn 4

IV Phơng pháp nghiên cứu.

1 Phơng pháp quan sát điều tra

2 Phơng pháp thực nghiệm và nghiên cứu sản phẩm hoạt động

V Nội dung.

Trong bài này tôi mạnh dạn đa ra các phần sau:

Phần 1: ứ ng dụng bất đẳng thức cô si trong đại số

A Chứng minh bất đẳng thức đại số

B Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

C Giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình

Phần 2: ứ ng dụng bất đẳng thức cô si trong l ợng giác

A Chứng minh bất đẳng thức lợng giác

B.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

a

a1 2    1 2

n=2 ta có: a1a2  2 a1a2

Hệ quả:- Nếu a1+a2=const khi đó a1a2 lớn nhất khi và chỉ khi a1=a2

- Nếu a1a2 =const khi đó a1+a2 nhỏ nhất khi và chỉ khi a1=a2

Phần thứ hai: Nội Dung

Phần 1: ứ ng dụng bất đẳng thức cô si trong đại số

A.Chứng minh bất đẳng thức đại số

Bài 1: Cho a,b,c>0 chứng minh rằng:

abc c b a

9 1 1 1

áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số a,b,c và

c b a

1 ,

1 , 1

ta có: abc3 abc3 ;    3 1 

3 1 1 1

abc c

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi: a b c

c b a c b a

Chú ý: ta có thể phát biểu bài toán trên dới dạng:

Chứng minh rằnga,b,c  0 thì: 12 12 12 2 92 2

c b a c b

Bài 2: Cho 3 số x,y,z không âm

Chứng minh rằng: xy  3 yz  5 zx  3x 2y 4z

Giải:

Theo bất đẳng thức cô si ta có:

2

5 5

; 2

3 3

;

2

x z zx z y yz y

x

y x zx yz

2

5 2

3 2 5





Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi: x=y=z

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số dơng a,b,c ta đều có bất đẳng thức:

1 1 1

3 2 2 2 3

3 3

3 3

1 1

c b a abc ca

bc ab

c

b

a

c b a abc abc

abc ca bc ab

2 2 2 2 3

3 3

3

; 3

c b a abc ca

bc ab

c

b

a

c b a ca bc ab abc

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi: a=b=c

Chú ý: Có thể chứng minh bài trên bằng cách biến đổi tơng đơng đa về dạng:

Suy ra: a2b2b2c2c2a2 abcabc

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài 5: Với a,b,c là 3 số dơng bất kì Chứng minh rằng:

1 a31 b31 c3  1 ab21 bc21 ca2 (1)

Giải:

Bất phơng trình (1) tơng đơng:

3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3

3

3

3 3 3 3 2 2 3 2 3 2 2

2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

1

1

bc a c b a c ab ca bc ab a c c b b a c

b

a

c b a bc a c b a c ab ca bc

ab

c b a a c c b b a c b

3

3

2 2 2 3 3 3 2 3

3

3

2 3

a

c

ca bc ab c b a bc

c

c

b

ab b

c

c b a bc a c ab a c c b b a bc a a c a c c

b

c ab c

b c b b

a

2 3 3 3 3 3 3 3

2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3

2 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3

Chý ý: Nhiều bất đẳng thức ta cần phải có những phép biến đổi hợp lý, thêmbớt làm xuất hiện số hạng mong muốn Đặc biệt chú ý đến giả thiết bài toán,tính đối xứng của biểu thức Các ví dụ sau đây minh họa cho nhận xét trên

Bài 6 : Cho a,b,c thỏa mãn: 12  12  12  1

c b

2 2 2

27

4 3 3 3 1

6 2

2 2 2

27

4 3 3 3 1

6 2

2 2 2

27

4 3 3 3 1

Suy ra:    

 

4 3

6 6 6 2

2 2

27 64 1

1

Mặt khác: 3 2 2 2 6 6 6  3

2 2 2 2

b a

1 3 3

3 2 2 2 2

2 2

3 3 3

c b a

Chú ý: Bằng cách đặt 2 1; 0



t

a ta có thể phát biểu bài toán nh sau:

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1 chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 64

Bài 7: Cho a,b,c >0 thỏa mãn điều kiện: a2+b2+c2=1

Chứng minh rằng:

2

3 3

2 2 2 2 2

c

b c

2 2 2 2 2

c a

c

b c

2

2 2

2

2 2

2 1

1 1

) ( 1

)

(

a a a

a a

a

a a

a a

f a

a a

1 1

2 1

1

2

3 2 2

2 2

27 2 27 8

2 )

(

4 4

3 3

3 3 1

1 1

2 2 2 2

b a a

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

b b

a a

Bài 8: Cho a,b,c0 , 1 Chứng minh rằng:

1 1 1  1 1

c c

a

b c

b

a

1 1

1 1

1 1 1

1

1 1 1 1 1

b a b

a

c c b a b a

c b

a

c b

a

b b

a

a

c b a b

a

c c

Suy ra điều phải chứng minh

Bài 9: Cho a,b,c nguyên dơng Chứng minh rằng:

3

c b a c

b

c c b a

b c b a

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

1

1 1

.

1

c b a c

b

a

c b a c b a c

b a c b

a

c b a c b a c c

c b b

b a

a

a

c b a

c c

c b a

c b a

c b a

c b a

c cso b

bso a

Chú ý: Một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức ngoài việc sử dụng bất

đẳng thức cô si ta cần kết hợp thêm việc đánh giá các bất đẳng thức khác,hoặc

sử dụng đạo hàm, v v

Bài 10: Chứng minh rằng với mọi x,y,z>0; x+y+z=1 thì:

xyz

xyz zx

yz xy

y x



 2

18

3 3 2 2 2

(*)

Đặt

3

1 3

6 1 3 0 2

18 3 2

18

3

3 2 3

t

t t t

1 ( ) ( 3

Suy ra t3- 6t + 2>0 Điều phải chứng minh

Chú ý: Ví dụ sau đây thể hiện sự kết hợp giữa cô si và bunhiacopski

Bài11: Cho x,y,z>0 thỏa mãn điều kiện: 1 11  4

z y x

2

1 2

1 2

Nhận xét: x,y,z có vai trò bình đẳng Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z.

Do đó ta sử dụng cô si cho 2x,y,z là không hợp lí? Tại sao?

Giải:

Ta có: 2xyzxxyz 4 4 x2yz Nên 4 2

4

1 2

1

yz x z

1 2

1

xyz z

1 2

1 2

1 2

1

z y x xyz z

y x z y x z y x

áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:

4 3 4

y x z

y

x

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

3 4

3 4 3 4

3 3

3 4

4 4

1 3

4 3

1 1

3 4 4 3

4 3 4

3 4

3 3

4 3 4

3 4

t ìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Theo phần trên ( lí thuyết), có một số dạng thờng gặp:

+ a+b = cosnt  tìm giá trị lớn nhất ab (a,b  0) (tổng quát cho n số)

+ ab = cosnt  tìm giá trị nhỏ nhất a+b (a,b  0)

Các ví dụ sau minh họa nhận xét trên

Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

số và đảm bảo dấu bằng sảy ra, để dạt đợc giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

x x y

Suy ra: Min y =3 đạt đợc khi và chỉ khi 1 3 1 1

2    

x x

x x

y  với x0 , 

NhËn xÐt: TÝch const

x

x3 22  , ta ph©n tÝch nh sau:

3 3

2

3

27

2 5 3 36

8 5 3

2 3

2 3

2 2 2

x x

x x x

1 ) 3 2 )(

4 )(

3

36 6 6

1 3

3 2 3 12 2 6

6 3 2

y x

Bµi 16: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè:y x1  x3 víi x0 , 1

1 )(

1 (

4

3 3

1 4

1 1 1

3x  x x

Bµi 17: cho a  3, b 4, c 2 t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:

b ca a

bc c

a c

c

I   2   3   4

Ta có: a 3, b 4, c  2  c 2 ,b 4 ,a 3  0

2 2

1 2

2 2 2

1 2

2 2 2

c c

ab  )

Tơng tự:

3 2

1 2

3 3 3

1 3

3 3 3

a a

a

4

1 2

4 4 2

1 4

4 4 4

b b

b

Vậy

4

1 3 2

1 2 2

1 4 3

a c

1 2

4 3 3 2 2

b c b

c

Chú ý: Tiếp theo ta xét tới ví dụ phức tạp hơn, ngoài việc sử dụng cô si hợp lí

ta cần có những phép biến đổi và nhận xét tinh tế

Bài 18: Cho 3 số dơng a, b,c thỏa mãn abc=1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

b c a c

ab a

b c b

ca c

a b a

a b

3

4 27 3

4 2 2 4

1 1

c b a

c b c

b a

c b c

b c b a

c b c

b a

c b c b a c

4

27

c b a

c a c

b a

4

27

c b a

b a b

c a c

4

27

c b a c

b a

c b a P

1 2

a c

c a b

c b a

c b a

9

3

y x y x

3 4

1

3 1 9

1 3

1 1

x

x x

x x

x

Vậy phơng trình có nghiệm x=2;x=- 4

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách đặt t x 1

Do đó vế trái bất phơng trình (1) luôn luôn 2 Suy ra bất phơng trình (1) có

Tháa m·n ®iÒu kiÖn VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=1, x=2.

Chó ý: TiÕp theo ta xÐt vÝ dô lµ hÖ ph¬ng tr×nh

1 1 2

2

2 2

y x y x

x y x y

1 4 6

2 5

6 6

2

3 2

3 2

x x

x

x x x x

x x

Gi¶i:

Tõ (2) ta cã: 1  1  22  1  1 1  x 0

x

x x

x x

7 1 0

6 2

2

x

x x

MÆt kh¸c ta xÐt (1) ta cã:   

2

6 2 5

1 5

3 3

3 3

3 3

x x

4

5 1

3 2

VËy hÖ bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=2

Bµi tËp:

1 Cho a,b,c >0 chøng minh r»ng:

2

2 2

b a

c a c

b c b

b c b a

3 Cho a,b,c>0 ch÷ng minh r»ng:

2

1 1 1 4 3 3 3

b a ab

3 3

z y xy

y x

5 Cho x1x2 0,x1z1 y12,x2z2 y22chøng minh r»ng:     2

2 1 2 1 2

1 1

1 1

n n

a a

1

1 2

ab b a

9 Cho a,b,c>0 chøng minh r»ng:

a a2b2c2abbcca

b

ca bc ab c b

a

1 1 1 1 1

1

2 2

2     

10.Cho x,y,z 0, xyz 3 chøng minh r»ng:

z y x z

z y

y x

1 1

1 2

3 1

1

11.Cho a,b,c>0 chứng minh rằng:

2

c b a a c

ca c b

bc b a

5 2

3  x  x x2  x

Phần II ứ ng dụng định lí cô si trong l ợng giác

A

c hứng minh bất đẳng thức l ợng giác

Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích là

2 3

Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh BC,CA,AB

ha,hb,hc là các đờng cao tơng ứng cạnh BC,CA,AB

a h h h

c b a

1 2

1 2

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 , 1 , 1

và a,b,c ta có:

3 2

3 2

9 2

9 3

S

A

Vậy A 3Dấu bằng sảy ra a b c

c b a c b

Hay tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 2: Cho tam giác ABC chứng minh rằng:

2

sin 2

sin 2 sin cos

sin 2 sin A B C (1) đúng

+ Nếu ABC nhọn áp dụng cô si cho 2 sốcosA cos, B ta có:

2

sin 2

cos 2

cos 2

cos 2

cos cos

cos

2 2

c B

A B

A B A B

A B

sin 2



2

sin 2

sin 2 sin cos

cos

Dấu bằng sảy ra: A B B C C A A B C

C B A

cos cos cos

Hay tam giác ABC là tam giác đều

Bài 3: Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác, chứng ming rằng:

b a

c b

C B

A a

c

b

a

sin 2

cos 2 cos 2

sin sin

sin sin

2 sin 2

cos 2

cos 2 2

2

cos 2 sin 2

C B

A C

B C

B A cox

A A

2 sin

A C

2

sin 2 sin 2

2 sin

B A C

b a

c b

c a

b

 2

sin 2 sin 2

2 sin

C B

A

 2

sin 2 sin 2

2 sin

A C B

2

sin 2 sin 2

2 sin

B A C

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

3

3

2 2 2

2

sin 2

sin 2 sin

1 2

3 2

sin 2

sin 2 sin

8

2

sin 2

sin 2

sin

3

C B A C

B A

C B A

sin 2

cos 2

1 2

sin 2

cos 2

cos 2

1 2

sin 2

cos 8

1 2

cos 2

1 2

sin 2

1 2

sin 2

sin 2 sin

2 sin 2

Hay tam giác ABC là tam giác đều

27 2 sin

1 1 2 sin

1 1

1 , 1

3 2

2 sin 4

1 3 2 sin 2

1 2

sin 2

1 1

1 3 2 sin

1 1

B

B 

2 sin 4

1 3 2 sin

1 1

sin 2

sin

1 4

27

2

sin 2

sin 2 sin 64

1 27

2 sin

1 1 2 sin

1 1

C B A C

B A

sin 2

sin 2

2

sin 2

sin 2 sin

C B A

sin 2 sin

1

C B A

A C C B B A

C B A

2 1 2 sin 2 sin 2 sin

Hay tam giác ABC là tam giác đều

Nhận xét: Sở dĩ ta có thể tách

2 sin 2

1 2

sin 2

1 1 2 sin

1 1

A A

đẳng thức và trờng hợp để sảy ra dấu bằng

Bài 5: Giả sử A,B,C là 3 góc của một tam giác, chứng minh rằng:

6 2 sin 2 cos 2

sin 2 cos

C B C

B

A

Nhận xét: Các số hạng bình đẳng Ta biến đổi một số hạng, rút gọn Các sốhạng khác tơng tự:

Giải:

C

B A

C

B A C

B A B A C

C

C B A C

B

A

sin

sin sin

sin 2 1

sin sin

2 1

sin 2

cos 2 sin 2

cos 2 sin

2

cos 2 cos

2 cos

A

C B

A

B C

B

A C

sin

sin sin

2 sin 2

sin 2 cos 2

sin

2 cos

B

A C A

C B C

B A

C

B A

(

C

B A







) 1 sin

sin sin

(

A

B C

) 1 sin

sin sin

B

A C

A C

B A

sin

1 sin

1 sin

1 sin

sin sin

B A

sin

1 , sin

1 , sin

1

; sin , sin , sin

sin sin sin

1 3

Vậy A 6 dấu bằng sảy ra A B C

C B A

C B A

sin sin sin

Hay tam giác ABC là tam giác đều

Chú ý: Trong nhiều trờng hợp ngoài việc sử dụng cô si ta cần kết hợp thêm cácphơng pháp khác nh: Đánh giá, sử dụng bất đẳng thức bunhiacopski, tam thứcbậc hai Ví dụ sau minh họa cho nhận xét trên:

2 cos

1 2 cos

1 2 cos

1 sin

1 sin

1

sin

1

2 2

2 2

2

Giải:

A B

A B

2 1

2 sin

sin

2 sin

1 sin

1

2 2

2 cos

2 cos

1 2 1

2

2 C C





Vậy:

2 cos

2 sin

1 sin

1

2 2

2 A B  C (1)

Tơng tự:

2 cos

2 sin

1 sin

1

2 2

2B C  A (2)

2 cos

2 sin

1 sin

1

2 2

2C  A B (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

2 cos

1 2 cos

1 2 cos

1 sin

1 sin

1 sin

1

2 2

2 2

C B

cos

sin

1 sin

1 sin

1

2 2 2

Hay tam giác ABC là tam giác đều

B.Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

thức:

C B

A

M

2 cos 2

1 2

cos 2

1 2

1 3

2 cos 2

1 2

cos 2

1 2

cos

2

1

C B

A C

B A

cos 2

cos 6 2

cos 2 2 cos 2 2 cos

cos 2 2 cos 2 2 cos 2

A

M

2 cos 2

cos 2

cos 6

1 7 cos

2

1 7 cos

2

1 cos 2 cos

2

1

7

cos 4

1 2

cos 2

` 1 cos 2 7 cos

2 cos

cos

2

7

1 cos 2 cos

cos 2 6 2 cos 2

cos 2

cos

6

2 2

2

2 2

A C

B A

B A B

A C

C B

A C

C B

A B A C

B A

I

6 15 18 2

cos

2 cos 2 cos 2 cos

C B A B

A

C B

A

Bài 8:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2

2

C tg B

2 2

2 2 2

tg

C tg

C tg

B tg

B tg

A tg

C tg

B tg

A tg

I

áp dụng cô si cho 3 số

2 2

B tg

A

tg ,

2 2

C tg

B

tg ,

2 2

A tg

C tg

Ta có:

3 2

2 2 2

Mặt khác ta có:

1 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 1

2 2 2

C tg

B tg

B tg

A tg C tg B tg A tg

B tg A tg C g B

A

tg

nên ta có:

3 3

1 27

1



I đạt đợc 

C B A C tg B tg A tg A tg C tg C tg B tg

2 2 2 2

2

Hay tam giác ABC là tam giác đều

Bài 9: Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

abc

c P b P

c c b

a P b

2 2 2 2 2

a

P

abc c P b P a P c

b a c P b

Hay tam giác ABC là tam giác đều

1 cos 1

2

2 2

x

x x

x

Do 1  cosx 0 , x nên (*) 1  cosx1  cosx2  3  0

Xét I 1  cosx1  cosx2 1  cosx1  cosx1  cosx

1 cos 1 cos 1 cos

x

27

28 3

1 cos 1 0 3 cos

3

sin

2

2 4

x x

x x

4 2

1 cos 2 2 cos 1 cos

1 cos 1 3 27

Hay Min M   3 đạt đợc khi cosx=-1

2 , ,

kZ

áp dụng cô si cho 2 số dơng: cotg4a; cotg4bta có:

6 2 4 2

2 cot

cot 2 2

2 cot

2 2 2 2 2 4 4

1 2 sin

1 2 sin

1 cos

1 cos

1

cos

1

C B

A C

Ta có:

2 cos

1 2 1

2 cos

2 1

2 cos

cos

2 cos

B A

B A B

A sB

A B

2 cos

1 cos

1

A C

B  (2);

2 sin

2 cos

1 cos

1

B A

Từ (1),(2),(3) ta có:

2 sin

1 2 sin

1 2 sin

1 cos

1 cos

1 cos

1

C B

A C

C B

cos

1 cos

1 cos

1

Hay tam giác ABC là tam giác đều

Chú ý: Trong bài toán ta đã sử dụng nhận xét cosA B  1

2

cot 2

cot 2

g B g A

g B g A

2 2

2

2 2 2

1

3

2

cot 2

cot 2 cot 3 2

cot 2

cot 2

cot

C tg

B tg

A

tg

C g

B g

A g

C g

B g

2

3

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

tg

A

tg

A tg C tg C tg B tg B tg A tg C tg B tg

A tg

C tg

C tg

B tg

2 2

tg B tg

A

27 1

Vậy (*) tg A tg B tg C A B C

A tg C tg C tg B tg B tg A

tg

C g B g A g

2 cot 2 cot 2 cot 2 2 2

Hay tam giác ABC là tam giác đều

Chú ý: Ta sử dụng công thức   

2

cot 2

C g B

A

Bài 14: Cho A,B,C là 3 góc của tam giác ABC Chứng ming rằng để tam giác

ABC đều thì điều kiện cần và đủ là:

2

cos 2

cos 2

cos 4

1 2 2

cos 2

cos 2

sin 2

sin 2

cos 2

sin 2

2 sin 2 2

cos 2 2

cos cos

cos 3 2 2

cos 2

2

C B

A

B A B

A C

C B

A C

C B

A B

A

C B

A C

B A

C B

sin 2 sin 2 2

cos 2

cos 2

cos 4

A C A C B C B

A

C B A A

C C B B

A

sin sin sin 8 sin sin

sin sin

sin

sin

sin sin sin 2

cos 2

cos 2

cos 2

cos 2

sin 2 sin 8 2

cos 2

C C B

B

Dấu bằng sảy ra  sinA sinB sinC ABC

Hay tam giác ABC là tam giác đều

1

(*)

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

Giải:

áp dụng cô si cho 2 số:

b P a

P 

1 , 1

ta có:

c b P a P b P a P b

P

a

P

4 2

2 )(

(

2 1

P

4 1 1

4 1 1

4 1 1

2 2 2 1 1

c P b P a

Hay tam giác ABC là tam giác đều

Bài 16: Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: sin 2B sin 2C  2 sin 2 A (1)

Chứng minh rằng tam giác ABC có góc A 60 0

Giải:

áp dụng định lí hàm sin :

R

a A

2

R

b B

2

R

c C

2 2

2

2 4

2 4

a R

c R

 A Hay A 60 0(điều phải chứng minh)

Bài 17: Gọi h a,h b,h clà độ dài 3 đờng cao của tam giác ABC, có bán kính đờng

tròn nội tiếp là r và thỏa mãn điều kiện:

r c h

h b h

h h

a

2 2

1 2

r 