tích phân hàm số hữu tỷ, một số dạng khó đối với hàm phân thức với những cách giải đặc biệt và mới lạ,dù bạn có tìm kiếm trên mạng internet cũng rất khó và thường chỉ nêu ví dụ không đầy đủ, khó để người đọc tự đưa ra cách giải cho các bài tập tương tự, nhưng với chuyên đề này người tham khảo có thể nhìn ra những phương pháp mới hữu dụng hơn, những phương pháp cho học sinh giỏi giải tự luận hay học sinh khá có thể dùng để giải trắc nghiệm (ps: pp này được tìm kiếm rất kĩ và chọn lọc ở sách của một thầy giáo đã viết rất lâu rồi)
11 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỶ Chủ đề 1: Tích phân hàm số có mẫu số tam thức bậc hai A Công thức sử dụng kỹ biến đổi ∫u 2 ∫u ∫ du u = arctan + C +a a a ∫ du u−a = ln +C −a 2a u + a du a+u = ln +C a −u 2a a − u ∫ ∫ du = u +C u du a2 − u2 du u ±p = arcsin u + C (a>0) a = ln u + u ± p + C Kỹ biến đổi tam thức bậc hai: b b − 4ac ax + bx + c = a x + ÷ − 2a 4a 2 ax + bx + c = ± ( mx + n ) ± p 2 B Các dạng tích phân Dạng 1: I1 = ∫ dx ax + bx + c dx dx 1 Phương pháp: ∫ ax + bx + c = ∫ mx + n + p = mp arctan ( ) ∫ ax dx dx mx + n − p =∫ = ln +C 2 + bx + c ( mx + n ) − p 2mp mx + n + p Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính nguyên hàm I = ∫ dx x − 3x + Giải: I =∫ dx dx dx = ∫ = ∫ 2 x − 3x + x − x + 2 23 ÷ x− ÷ + 4 mx + n +C p 11 3 4 x − ÷ 4x − 4 = arctan +C = arctan +C 23 23 23 23 Ví dụ 2: Tính tích phân: I = ∫ dx 4x − 4x − Giải: 2 dx d ( x − 1) 1 2x −1 − I =∫ = ∫ = ln x − x − ( x − 1) − 4 2x −1 + Chú ý: I1 = ∫ dx ax + bx + c = ln ∆ = b − 4ac * Nếu ∆ >0 thì: ( x − x2 ) − ( x − x1 ) 1 = = ax + bx + c a ( x − x1 ) ( x − x2 ) a ( x1 − x2 ) ( x − x1 ) ( x − x2 ) = a ( x1 − x2 ) 1 − ÷ x − x1 x − x2 Do đó: I1 = = 1 − ÷dx ∫ a ( x1 − x2 ) x − x1 x − x2 1 x − x1 ln x − x1 − ln x − x2 + C = ln + C a ( x1 − x2 ) a ( x1 − x2 ) x − x2 * Nếu ∆ =0 thì: π I =∫ dx x −x−2 Do đó: I1 = dx =− +C ∫ a ( x − x0 ) a ( x − x0 ) * Nếu ∆ 0 Ví dụ cho trường hợp ∆ >0 mở rộng việc thay tử số đa thức bậc cao Ví dụ : Tính nguyên hàm I = ∫ ( 2x − 10 x + 16 x − 1) dx x2 − 5x + Giải : Biến đổi : x − 10 x + 16 x − 4x −1 4x −1 = 2x + = 2x + x − 5x + x − 5x + ( x − 3) ( x − ) = 2x + A B + x−3 x−2 Ta đẳng thức : x − = A ( x − ) + B ( x − 3) (1) Để xác định A, B (1) ta lựa chọn hai cách sau: Cách : (Phương pháp đồng hệ số) : Khai triển vế phải (1) xếp đa thức theo thứ tự bậc lùi dần, ta có : x − = ( A + B ) x − A − 3B Đồng hệ số, ta : 11 { A+ B = ⇔ −2 A−3 B =−1 { A =11 B =−7 Cách : (Phương pháp trị số riêng) : Lần lượt thay x = 2, x = vào hai vế (1) ta hệ : { A=11 B =−7 Từ đó, suy : x − 10 x + 16 x − 11 = 2x + − x − 5x + x−3 x−2 Do : 11 I = ∫ 2x + − ÷dx = x + 11ln x − − ln x − + C x − x − Ví dụ (trường hợp ∆ =0) x 3dx Tính tích phân : I = ∫ x + x + Giải : I =∫ 2 x 3dx 2x + = x − + − ÷dx x + x + ∫0 x + x + ( x + 1) ÷ 3x = − x + ln x + + ÷ = ln − x +1 Ví dụ :Tính tích phân : I = ∫ x3 + x + 10 x + dx x2 + x + Giải : Biến đổi : x + x + 10 x + x +1 2x + = x+ = x+ 2 x + 2x + x + 2x + x + 2x + Khi : 1 2x + 1 1 I = ∫ x + ÷dx = x + ln x + x + ÷ = + ln x + 2x + 2 0 2 0 Chủ đề : Tính tích phân I3 = dx ( x + a) ( x + b) m n 11 I4 = Dạng tổng quát: f ( x ) dx ( x + a) ( x + b) m n Các công thức sử dụng: Áp dụng công thức chủ đề 1.Phương pháp chung Ở dạng toán này, phương pháp chung thông thường sử dụng phương pháp tách Ta có: f ( x ) dx ( x + a) ( x + b) m n = Am Bn A1 A2 B B2 + + + + + + + m n x + a ( x + a) ( x + a) x + b ( x + b) ( x + b) Sau tách, ta sử dụng phương pháp đồng thức, trị số riêng, hệ số bất định,…để giải phần lại toán Tuy nhiên cách tách đơn giản với m, n 0, 1, Nếu m, n lớn sử dụng phương pháp khó tính tích phân Thật vậy, ta chia thành nhiều dạng nhỏ khác sau: Dạng 1: m=n (với m, n nhỏ) • m = n = ⇒ tích phân trở thành dạng toán chủ đề • m = n = ⇒ ta sử dụng phương pháp đồng thức sau: dx Tính tích phân I = ∫ x + a x + b ( ) ( ) với a ≠ b Phương pháp chung Sử dụng đồng thức: ( x + a) − ( x + b) =1 a −b ( x + a) ( x + b) 2 ( x + a) − ( x + b) 1 = = − ( a − b ) x + b x + a ( a − b) ( x + a) ( x + b) 2 = = ( a − b) ( a − b) − + ( x + a ) ( x + b ) ( x + a ) ( x + b ) ( x + a) − ( x + b) − + 2 a − b ( x + a) ( x + b) ( x + a ) ( x + b ) 11 = ( a − b) 1 − − + ÷ a − b x + b x + a ( x + a ) ( x + b ) Ta được: I= = = ( a − b) dx dx dx dx − − + ∫ ÷ a − b ∫ x + b ∫ x + a ∫ ( x + a ) ( x + b ) ( a − b) ( a − b) 2 − x + b − a − b ( ln x + b − ln x + a ) − x + a + C x+a 2x + a + b ln − +C a − b x + b x + a x + b ( ) ( ) dx Ví dụ 1: Tính tích phân: I = ∫ x + x + ( ) ( ) Giải: Sử dụng đồng thức: ( x + 3) − ( x + 1) =1 ( x + 3) ( x + 1) 2 ( x + 3) − ( x + 1) 1 1 = = − x + x + ( x + 3) ( x + 1) 2 = 1 − + ( x + 1) ( x + 3) ( x + 1) ( x + 3) = ( x + 3) − ( x + 1) + 1 − 2 ( x + 1) ( x + 3) ( x + 1) ( x + 3) = 1 1 − − + ÷ ( x + 1) x + x + ( x + 3) Ta được: I= = 1 dx dx dx dx −∫ −∫ ∫ ÷+ ∫ 2 ( x + 1) x + x+3 ( x + 3) 1 1 − − ( ln x + − ln x + ) − +C x +1 x + 11 = x+3 2x + − ln +C x + ( x + 3) ( x + 1) Dạng 2: Xét m, n Ví dụ 2: Tính nguyên hàm: I = ∫ x3 − x − x − dx x + x3 Giải: Ta có: x3 − x − x − x3 − x − x − a b c d = = 3+ 2+ + 3 x +x x ( x + 1) x x x x +1 = ( c + d ) x3 + ( b + c ) x + ( a + b ) x + a x3 ( x + 1) Đồng đẳng thức, ta được: c + d =1 a = −1 b + c = −1 b = −3 ⇔ a + b = −4 c=2 a = −1 d = −1 Khi đó: x3 − x − x − 1 =− − + − x +x x x x x +1 Do đó: I = ∫− − + − ÷dx = + + ln x − ln x + + C x x +1 2x x x x Nhận xét: Ở ví dụ trên, ta xét trường hợp m ≠ n , m, n nhỏ, sau ta xét đến phương pháp với m, n lớn Một số phương pháp khác để tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ: Phương pháp 1: phương pháp Ôxtrôgratxki • Giới thiệu chung phương pháp Ôxtrôgratxki P ( x) Xét I = ∫ Q x dx; P ( x ) , Q ( x ) đa thức với hệ số thực bậc P ( ) nhỏ bậc Q 11 Nếu Q(x) có nghiệm thực, hay Q ( x ) = A ( x ) B ( x ) , ( ≤ k ∈ Z ) k biểu diễn tích phân I dạng sau đây: I =∫ P ( x) G ( x) R ( x) dx = +∫ dx Q ( x) Q1 ( x ) Q2 ( x ) (*) Trong Q1 ( x ) = ƯCLN { Q ( x ) ; Q ' ( x ) } Q2 ( x ) = Q ( x ) : Q1 ( x ) ; G(x), R(x) đa thức có hệ số chưa xác định với bậc G bậc Q1 − ; bậc R bậc Q2 − Các hệ số R(x) G(x) xác định cách lấy đạo hàm hai vế đẳng thức (*) đồng hệ số hai vế nhận I3 = ∫ Ví dụ 3: Tính nguyên hàm xdx ( x − 1) ( x + 1) Giải: Ta có: Q ( x ) = ( x − 1) ( x + 1) ⇒ Q ' ( x ) = ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) + ( x − 1) ⇒ Q1 ( x ) = ( x − 1) ( x + 1) ; Q2 ( x ) = ( x − 1) ( x + 1) Giả sử I1 = ∫ xdx ( x − 1) ( x + 1) = Ax + Bx + C ( x − 1) ( x + 1) + D∫ dx dx + E∫ x −1 x +1 Đạo hàm hai vế ta nhận được: x ( x − 1) ( x + 1) (x = − 1) ( Ax + B ) − ( x − 1) ( Ax + Bx + C ) ( x − 1) ( x + 1) + D E + x −1 x +1 ⇔ x = ( x − 1)(2 Ax + B ) − (3x − 1)( Ax + Bx + C ) + D( x − 1)( x + 1)3 + E ( x − 1) , ∀x ⇔ x = ( D + E ) x + (− A + D) x + ( A − B − E ) x + + (−2 A + B − 3C − D) x + (C − B − D + E ) 11 D+E =0 A = −1/ B = −1/ − A + 2D = ⇔ A − B − E = ⇔ C = −1/ −2 A + B − 3C − D = D = −1/16 C − B − D + E = E = 1/16 ⇒ I3 = ∫ xdx x2 + x + dx dx = − − ∫ + ∫ ( x − 1) ( x + 1) 8( x − 1)( x + 1) 16 x − 16 x + =− x2 + x + x +1 + ln +C 8( x − 1)( x + 1) 16 x − Phương pháp 2: Sử dụng khai triển Taylor • Đa thức Pn ( x) bậc n có khai triển Taylor điểm x=a là: P 'n ( a ) P ''n (a) Pn( n ) (a) Pn ( x) = Pn (a ) + ( x − a) + ( x − a ) + + ( x − a) n 1! 2! n! • Ví dụ: P3 ( x) = x − x + x − Khai triển Taylor P3 ( x) điểm x = là: P3 ( x) = P3 (1) + P3 '(1) P ''(1) P (3) (1) ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1)3 1! 2! 3! P3 ( x) = + 10( x − 1) + 7( x − 1) + 4( x − 1)3 Ví dụ 4: Tính nguyên hàm I4 = ∫ x3 + x + ( x − 2) 30 dx Giải: Đặt P3 ( x) = x + x + ⇔ P3 ( x) = P3 (2) + P3 '(2) P3 ''(2) P3(3) (2) ( x − 2) + ( x − 2) + ( x − 2)3 1! 2! 3! ⇔ P3 ( x) = 11 + 13( x − 2) + 6( x − 2) + ( x − 2)3 ⇒ I4 = ∫ 11 + 13( x − 2) + 6( x − 2) + ( x − 2)3 dx ( x − 2)30 11 = ∫ 11( x − 2) −30 + 13( x − 2) −29 + 6( x − 2) −28 + ( x − 2) −27 dx = −11 13 − − − +C 29 28 27 29( x − 2) 28( x − 2) 27( x − 2) 26( x − 2) 26 ... sử dụng phương pháp khó tính tích phân Thật vậy, ta chia thành nhiều dạng nhỏ khác sau: Dạng 1: m=n (với m, n nhỏ) • m = n = ⇒ tích phân trở thành dạng toán chủ đề • m = n = ⇒ ta sử dụng phương... + 2 0 2 0 Chủ đề : Tính tích phân I3 = dx ( x + a) ( x + b) m n 11 I4 = Dạng tổng quát: f ( x ) dx ( x + a) ( x + b) m n Các công thức sử dụng: Áp dụng công thức chủ đề 1.Phương pháp chung... =0) x 3dx Tính tích phân : I = ∫ x + x + Giải : I =∫ 2 x 3dx 2x + = x − + − ÷dx x + x + ∫0 x + x + ( x + 1) ÷ 3x = − x + ln x + + ÷ = ln − x +1 Ví dụ :Tính tích phân : I = ∫