Phương trình bậc ba sinh bởi các yếu tố trong tam giác

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM BÌNH NGUYÊN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA SINH BỞI CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Phản biện 2: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học Đại học Đà Nẵng vào ngày 17 tháng 08 năm 2011 Có thể tìm hiểu Luận văn - Trung tâm Thông tin - Học liệu Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 Mở đầu LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học bậc Trung học Phổ thông, toán Lượng giác chiếm vị trí quan trọng Việc chứng minh hệ thức biết theo cách khác không theo cách biến đổi thông thường tìm hệ thức cần thiết Điều giúp rèn luyện tư có hệ thống tập cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi kỳ thi Dựa nhận xét: Một tam giác hoàn toàn xác định ba yếu tố độc lập, ba yếu tố coi ba nghiệm phương trình bậc ba tương ứng Các yếu tố độc lập biểu diễn qua p, R, r, tức phương trình bậc ba tìm có hệ số chứa p, R, r Luận văn nhằm hiểu phương trình bậc ba sinh yếu tố tam giác nêu cách giải vấn đề liên quan Trên sở xây dựng số hệ thức lượng giác dựa vào tính chất phương trình bậc ba bất đẳng thức quen biết Phương trình bậc ba vấn đề cổ điển toán học sơ cấp, phần toán sơ cấp đẹp thú vị Nội dung xuyên suốt luận văn phương trình bậc ba sinh yếu tố tam giác MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Hệ thống tổng quan toán "Phương trình bậc ba sinh yếu tố tam giác", phương trình bậc ba sinh cung góc đặc biệt ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu toán phương trình bậc ba sinh yếu tố tam giác hệ thống kiến thức liên quan Footer Page of 126 Header Page of 126 Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí toán học tuổi trẻ, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu gián tiếp qua trang web: www.mathlinks.ro www.mathnf riend.net www.vnmath.com Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu Thầy hướng dẫn, đồng nghiệp bạn học viên lớp CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm bốn chương Chương Các kiến thức phương trình bậc ba Chương Phương trình bậc ba yếu tố tam giác Chương Bất đẳng thức tam giác nhận dạng tam giác Chương Các đẳng thức tam giác Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Các kiến thức bổ trợ liên quan 1.1 Một số định lý quan trọng hình học phẳng 1.2 Các định lý tam giác 1.3 Phương pháp giải phương trình bậc ba 1.4 Các tính chất nghiệm phương trình bậc ba Phương trình bậc ba x3 + ax2 + bx + c = (1.1) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 (kể nghiệm phức) thỏa mãn tính chất sau: Tính chất 1.1 ([4]) T1 = x1 + x2 + x3 = −a; Tính chất 1.2 ([4]) T2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = b; Tính chất 1.3 ([4]) T3 = x1 x2 x3 = −c Tính chất 1.4 ([4]) T4 = 1 b + + =− x1 x2 x3 c Tính chất 1.5 ([4]) T5 = x1 + x2 + x3 = a2 − 2b Tính chất 1.6 ([4]) T6 = (x1 + x2 )(x2 + x3 )(x3 + x1 ) = −ab + c Footer Page of 126 Header Page of 126 Tính chất 1.7 ([4]) T7 = x31 + x32 + x33 = −a3 + 3ab − 3c Tính chất 1.8 ([4]) T8 = (x1 + x2 − x3 )(x2 + x3 − x1 )(x3 + x1 − x2 ) = a3 − 4ab + 8c Tính chất 1.9 ([4]) T9 = x1 + x2 x2 + x3 x3 + x1 ab − 3c ab = − + + = x3 x1 x2 c c Tính chất 1.10 ([4]) T10 = x21 x22 + x22 x23 + x23 x21 = b2 − 2ac Tính chất 1.11 ([4]) T11 = x41 + x42 + x43 = a4 − 4a2 b + 2b2 + 4ac Tính chất 1.12 ([4]) Với k, l ta có T12 = (k + lx1 )(k + lx2 )(k + lx3 ) = k − k la + kl2 b − l3 c Tính chất 1.13 ([4]) T13 = 1 a + + = x1 x2 x2 x3 x3 x1 c Tính chất 1.14 ([4]) T14 = x1 x2 x3 2b − a2 + + = x2 x3 x3 x1 x1 x2 c Tính chất 1.15 ([4]) T15 = x1 x2 x2 x3 x3 x1 b2 + + = 2a − x3 x1 x2 c Tính chất 1.16 ([4]) T16 Footer Page of 126 1 b2 − 2ac = 2+ 2+ 2= x1 x2 x3 c2 Header Page of 126 Tính chất 1.17 ([4]) T17 = (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + (x3 − x1 )2 = 2(a2 − 3b) Tính chất 1.18 ([4]) T18 = 1 a2 + b + + = x1 + x2 x2 + x3 x3 + x1 −ab + c Nhận xét 1.1 ([4]) Nếu x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình (1.1) 1 , , x1 x2 x3 nghiệm phương trình b a t3 + t2 + t + = c c c (1.2) Nhận xét 1.2 Nếu x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình (1.1) x21 , x22 , x23 nghiệm phương trình t3 − (a2 − 2b)t2 + (b2 − 2ac)t − c2 = (1.3) Nhận xét 1.3 Nếu x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình (1.1) (x1 + x2 ), (x2 + x3 ), (x3 + x1 ) nghiệm phương trình t3 + 2at2 + (a2 + b)t + (ab − c) = (1.4) Nhận xét 1.4 Nếu x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình (1.1) (x1 x2 + x2 x3 ), (x2 x3 + x3 x1 ), (x3 x1 + x1 x2 ) nghiệm phương trình t3 − 2bt2 + (b2 + ac)t + (c2 − abc) = (1.5) Nhận xét 1.5 Nếu x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình (1.1) x1 x2 , x2 x3 , x3 x1 nghiệm phương trình t3 − bt2 + act − c2 = Footer Page of 126 (1.6) Header Page of 126 Chương Phương trình bậc ba yếu tố tam giác 2.1 Phương trình bậc ba với nghiệm yếu tố độ dài tam giác Bài toán 2.1 ([4]) Độ dài ba cạnh tam giác ABC (giả sử a, b, c) nghiệm phương trình t3 − 2pt2 + (p2 + r2 + 4Rr)t − 4pRr = Bài toán 2.2 ([4]) (2.1) 1 , , nghiệm phương trình a b c p2 + r2 + 4Rr 1 t − t + t− = 4pRr 2Rr 4pRr (2.2) Bài toán 2.3 a2 , b2 , c2 nghiệm phương trình t3 −2(p2 −r2 −4Rr)t2 +[(p2 +r2 +4Rr)2 −16p2 Rr]t−16p2 R2 r2 = (2.3) Bài toán 2.4 a + b, b + c, c + a nghiệm phương trình t3 − 4pt2 + (5p2 + r2 + 4Rr)t − 2p(p2 + r2 + 2Rr) = (2.4) Bài toán 2.5 ab, bc, ca nghiệm phương trình t3 − (p2 + r2 + 4Rr)t2 + 8p2 Rrt − 16p2 R2 r2 = Bài toán 2.6 1 , , nghiệm phương trình ab bc ca p2 + r2 + 4Rr t − t + t− = 2 2 2Rr 16p R r 16p R2 r2 Footer Page of 126 (2.5) (2.6) Header Page of 126 Bài toán 2.7 1 , , nghiệm phương trình a2 b c (p2 + r2 + 4Rr)2 − 16p2 Rr p2 − r2 − 4Rr t − t + t − = 16p2 R2 r2 8p2 R2 r2 16p2 R2 r2 (2.7) Bài toán 2.8 1 , , nghiệm phương trình a+b b+c c+a 5p2 + r2 + 4Rr t + t − = t − 2p(p2 + r2 + 2Rr) p2 + r2 + 2Rr 2p(p2 + r2 + 2Rr) (2.8) Bài toán 2.9 (a + b)(b + c), (b + c)(c + a), (c + a)(a + b) nghiệm phương trình t3 −(5p2 +r2 +4Rr)t2 +8p2 (p2 +r2 +2Rr)t−4p2 (p2 +r2 +2Rr)2 = (2.9) Bài toán 2.10 p − a, p − b, p − c nghiệm phương trình t3 − pt2 + (r2 + 4Rr)t − pr2 = Bài toán 2.11 (2.10) 1 , , nghiệm phương trình p−a p−b p−c t3 − 4R + r 1 t + t − = pr r pr (2.11) Bài toán 2.12 (p − a)2 , (p − b)2 , (p − c)2 nghiệm phương trình t3 − (p2 − 2r2 − 8Rr)t2 + [(r2 + 4Rr)2 − 2p2 r2 ]t − p2 r4 = (2.12) Bài toán 2.13 (p − a)(p − b), (p − b)(p − c), (p − c)(p − a) nghiệm phương trình t3 − (r2 + 4Rr)t2 + p2 r2 t − p2 r4 = Bài toán 2.14 (2.13) 1 , , nghiệm phương (p − a)2 (p − b)2 (p − c)2 trình (r + 4R)2 − 2p2 p2 − 2r2 − 8Rr t − t + t − = 2 pr pr pr Footer Page of 126 (2.14) Header Page 10 of 126 1 , , nghiệm (p − a)(p − b) (p − b)(p − c) (p − c)(p − a) phương trình Bài toán 2.15 t3 − r2 + 4Rr t + t − = r2 p2 r p2 r (2.15) Bài toán 2.16 , hb , hc nghiệm phương trình p2 + r2 + 4Rr 2p2 r 2p2 r2 t − t + t− = 2R R R 1 Bài toán 2.17 , , nghiệm phương trình hb hc p2 + r2 + 4Rr R t3 − t2 + t − = r 4p2 r2 2p2 r2 (2.16) (2.17) Bài toán 2.18 hb , hb hc , hc nghiệm phương trình 2p2 r p2 r2 p2 + r2 + 4Rr 4p4 r4 t − t + t− = R R R R2 (2.18) Bài toán 2.19 , rb , rc nghiệm phương trình t3 − (4R + r)t2 + p2 t − p2 r = Bài toán 2.20 (2.19) 1 , , nghiệm phương trình rb rc 4R + r t3 − t2 + t − = r p2 r p2 r (2.20) Bài toán 2.21 , rb , rc nghiệm phương trình t3 − [(4R + r)2 − 2p2 ]t2 + [p4 − 2p2 r(4R + r)]t − p4 r2 = (2.21) Bài toán 2.22 + rb , rb + rc , rc + nghiệm phương trình t3 − 2(4R + r)t2 + [(4R + r)2 + p2 ]t − p2 (4R + r) + p2 r = (2.22) Bài toán 2.23 rb +rb rc , rb rc +rc , rc +ra rb nghiệm phương trình t3 − 2p2 t2 + [p4 + p2 r(4R + r)]t + p4 r2 − p4 r(4R + r) = Footer Page 10 of 126 (2.23) Header Page 11 of 126 Bài toán 2.24 rb , rb rc , rc nghiệm phương trình t3 − p2 t2 + p2 r(4R + r)t − p4 r2 = Bài toán 2.25 1 , , nghiệm phương trình rb rc p2 − 2r(4R + r) (4R + r)2 − 2p2 t − t + t − = p2 r p4 r p4 r Bài toán 2.26 t3 − (2.24) (2.25) 1 , , nghiệm phương trình + rb rb + rc rc + (4R + r)2 + p2 2(4R + r) t + t − = p2 (4R + r) − p2 r p2 (4R + r) − p2 r p2 (4R + r) − p2 r (2.26) Bài toán 2.27 1 , , nghiệm phương trình rb rb rc rc t3 − 2.2 1 4R + r t + 2 t − = pr pr pr (2.27) Phương trình bậc ba sinh biểu thức lượng giác tam giác Bài toán 2.28 sin A, sin B, sin C nghiệm phương trình p p2 + r2 + 4Rr pr t − t + t− = R 4R 2R2 Bài toán 2.29 (2.28) 1 , , nghiệm phương trình sin A sin B sin C p2 + r2 + 4Rr 2R 2R2 t − t + t− = 2pr r pr (2.29) Bài toán 2.30 sin2 A, sin2 B, sin2 C nghiệm phương trình t3 − p2 − r2 − 4Rr p2 + r2 + 4Rr p2 r p2 r t + [( ) − ]t − = 2R2 4R2 R3 4R4 Footer Page 11 of 126 (2.30) Header Page 12 of 126 10 Bài toán 2.31 sin A + sin B, sin B + sin C, sin C + sin A nghiệm phương trình p p2 + r2 + 2Rr 2p 5p2 + r2 + 4Rr t− = t − t + R 4R2 R 4R2 (2.31) Bài toán 2.32 sin A sin B, sin B sin C, sin C sin A nghiệm phương trình p2 + r2 + 4Rr p2 r p2 r t3 − t + t − = (2.32) 4R2 2R3 4R4 Bài toán 2.33 ([4]) cos A, cos B, cos C nghiệm phương trình R + r p2 + r2 − 4R2 p2 − (2R + r)2 t − t + t− = (2.33) R 4R2 4R2 1 , , nghiệm phương trình Bài toán 2.34 cos A cos B cos C t3 − p2 + r2 − 4R2 4R(R + r) 4R2 t + t − = (2.34) p2 − (2R + r)2 p2 − (2R + r)2 p2 − (2R + r)2 Bài toán 2.35 (cos A + cos B), (cos B + cos C), (cos C + cos A) nghiệm phương trình 2(R + r) p2 + 5r2 + 8Rr r t − t + t − (p2 + r2 + 2Rr) = (2.35) R 4R 4R B C A nghiệm phương trình Bài toán 2.36 sin2 , sin2 , sin2 2 2R − r p2 + r2 − 8Rr r2 t − t + t− = (2.36) 2R 16R2 16R2 A B C Bài toán 2.37 cos2 , cos2 , cos2 nghiệm phương trình 2 4R + r p2 + (4R + r)2 p2 t − t + t− = (2.37) 2R 16R2 16R2 1 Bài toán 2.38 , , nghiệm phương trình A B C sin sin sin 2 p2 + r2 − 8Rr 8R(2R − r) 16R2 t − t + t − = r2 r2 r Footer Page 12 of 126 (2.38) Header Page 13 of 126 11 Bài toán 2.39 , , A B C cos2 cos2 cos2 2 nghiệm phương trình p2 + (4R + r)2 8R(4R + r) 16R2 t − t + t − = p2 p2 p (2.39) Bài toán 2.40 ([4]) cot A, cot B, cot C nghiệm phương trình p2 − r2 − 4Rr p2 − (2R + r)2 t − t +t− = 2pr 2pr (2.40) Bài toán 2.41 tan A, tan B, tan C nghiệm phương trình t3 − p2 − r2 − 4Rr 2pr 2pr t + t − = (2.41) p2 − (2R + r)2 p2 − (2R + r)2 p2 − (2R + r)2 Bài toán 2.42 tan A B C , tan , tan nghiệm phương trình 2 r 4R + r t + t − = (2.42) t3 − p p A B C , cot , cot nghiệm phương trình 2 p 4R + r p t3 − t2 + t − = (2.43) r r r A B C Bài toán 2.44 tan2 , tan2 , tan2 nghiệm phương trình 2 Bài toán 2.43 cot (4R + r)2 − 2p2 p2 − 2r2 − 8Rr r2 t − t + t − = p2 p2 p Bài toán 2.45 tan (2.44) A B B C C A tan , tan tan , tan tan nghiệm 2 2 2 phương trình 4Rr + r2 r2 t −t + t − = p2 p Bài toán 2.46 cot2 A B C , cot2 , cot2 nghiệm phương trình 2 p2 − 2r2 − 8Rr (4R + r)2 − 2p2 p2 t − t + t − = r2 r2 r Footer Page 13 of 126 (2.45) (2.46) Header Page 14 of 126 12 Bài toán 2.47 cot A B B C C A cot , cot cot , cot cot nghiệm 2 2 2 phương trình 4R + r p2 p2 t − t + t − = r r r (2.47) Bài toán 2.48 a sin A, b sin B, c sin C nghiệm phương trình t3 − 2.3 p2 + r2 + 4Rr 4rp2 2p2 r2 p2 − r2 − 4Rr t + [( ) − ]t − = (2.48) R 2R R R Phương trình bậc ba cung góc đặc biệt π 3π 5π Bài toán 2.49 ([5]) cos , cos , cos nghiệm phương trình 7 1 t3 − t2 − t + = 2 Bài toán 2.50 (2.49) 1 , nghiệm phương trình 3π 5π cos cos cos π, t3 − 4t2 − 4t + = (2.50) π 3π 5π Bài toán 2.51 cos2 , cos2 , cos2 nghiệm phương trình 7 t3 − t2 + t − = 64 (2.51) π 3π 5π Bài toán 2.52 sin2 , sin2 , sin2 nghiệm phương trình 7 7 7 t3 − t2 + t − = 64 Bài toán 2.53 cos2 π, cos2 , 3π 5π cos2 7 nghiệm phương trình t3 − 24t2 + 80t − 64 = Footer Page 14 of 126 (2.52) (2.53) Header Page 15 of 126 13 Bài toán 2.54 cos 2π 4π 6π , cos , cos nghiệm phương trình 7 1 t3 + t2 − t − = 2 Bài toán 2.55 1 , , nghiệm phương trình 2π 4π 6π cos cos cos 7 t3 + 4t2 − 4t − = Bài toán 2.56 cos2 1 , , 2π 4π 6π cos2 cos2 cos2 7 (2.56) nghiệm phương trình t3 − 24t2 + 80t − 64 = Bài toán 2.58 cos2 (2.55) 4π 6π 2π , cos2 , cos2 nghiệm phương trình 7 t3 − t2 + t − = 64 Bài toán 2.57 (2.54) (2.57) π 3π 5π , cos2 , cos2 nghiệm phương trình 14 14 14 7 = t3 − t2 + t − 64 (2.58) 3π 5π π Bài toán 2.59 tan2 , tan2 , tan2 nghiệm phương trình 7 t3 − 21t2 + 35t − = (2.59) π 3π 5π Bài toán 2.60 cot2 , cot2 , cot2 nghiệm phương trình 7 t3 − 5t2 + 3t − Bài toán 2.61 ([5]) cos trình Footer Page 15 of 126 = (2.60) 2π 4π 8π , cos , cos nghiệm phương 9 t3 − t + = (2.61) Header Page 16 of 126 14 Bài toán 2.62 1 , , nghiệm phương trình 2π 4π 8π cos cos cos 9 t3 − 6t2 + = 2π 4π 8π , cos2 , cos2 nghiệm phương trình 9 Bài toán 2.63 cos2 = t3 − t2 + t − 16 64 3 = t3 − t2 + t − 16 64 , , 2π 4π 8π cos2 cos2 cos2 9 (2.65) 2π 4π 8π , tan2 , tan2 nghiệm phương trình 9 t3 − 33t2 + 27t − = Bài toán 2.67 cot2 (2.64) nghiệm phương trình t3 − 36t2 + 96t − 64 = Bài toán 2.66 tan2 (2.63) 2π 4π 8π , sin2 , sin2 nghiệm phương trình 9 Bài toán 2.64 sin2 Bài toán 2.65 (2.62) (2.66) 2π 4π 8π , cot2 , cot2 nghiệm phương trình 9 t3 − 9t2 + 11t − = (2.67) π 5π 7π Bài toán 2.68 cos , cos , cos nghiệm phương trình 9 t3 − t − = Bài toán 2.69 1 , nghiệm phương trình 5π 7π cos cos cos π, t3 + 6t2 − = Footer Page 16 of 126 (2.68) (2.69) Header Page 17 of 126 15 Chương Bất đẳng thức tam giác nhận dạng tam giác 3.1 Nhận dạng tam giác 3.2 Nhận dạng tam giác vuông 3.3 Nhận dạng tam giác cân Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 16 Chương Các đẳng thức tam giác 4.1 Các đẳng thức liên quan đến yếu tố độ dài tam giác Bài toán 4.1 Áp dụng tính chất 1.2 vào phương trình (2.1) ta ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr Bài toán 4.2 Áp dụng tính chất 1.3 vào phương trình (2.1) ta abc = 4pRr Bài toán 4.3 Áp dụng tính chất 1.4 vào phương trình (2.1) ta 1 p2 + r2 + 4Rr + + = a b c 4pRr Bài toán 4.4 Áp dụng tính chất 1.5 vào phương trình (2.1) ta a2 + b2 + c2 = 2(p2 − r2 − 4Rr) Bài toán 4.5 Áp dụng tính chất 1.6 vào phương trình (2.1) ta (a + b)(b + c)(c + a) = 2p(p2 + r2 + 2Rr) Bài toán 4.6 Áp dụng tính chất 1.7 vào phương trình (2.1) ta a3 + b3 + c3 = 2p(p2 − 3r2 − 6Rr) Bài toán 4.7 Áp dụng tính chất 1.8 vào phương trình (2.1) ta (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) = 8pr2 Footer Page 18 of 126 Header Page 19 of 126 17 Bài toán 4.8 Áp dụng tính chất 1.9 vào phương trình (2.1) ta a + b b + c c + a p2 + r2 − 2Rr + + = c a b 2Rr Bài toán 4.9 Áp dụng tính chất 1.10 vào phương trình (2.1) ta a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = (p2 + r2 + 4Rr)2 − 16p2 Rr Bài toán 4.10 Áp dụng tính chất 1.11 vào phương trình (2.1) ta a4 + b4 + c4 = 2(p2 − r2 − 4Rr)2 − 8p2 r2 Bài toán 4.11 Áp dụng tính chất 1.12 vào phương trình (2.1) ta (k + la)(k + lb)(k + lc) = k + 2pk l + (p2 + r2 + 4Rr)kl2 + 4pRrl3 Với k, l hai số thực Bài toán 4.12 Áp dụng tính chất 1.13 vào phương trình (2.1) ta 1 1 + + = ab bc ca 2Rr Bài toán 4.13 Áp dụng tính chất 1.14 vào phương trình (2.1) ta a b c p2 − r2 − 4Rr + + = bc ca ab 2pRr Bài toán 4.14 Áp dụng tính chất 1.15 vào phương trình (2.1) ta ab bc ca (p2 + r2 + 4Rr)2 + + = − 4p c a b 4pRr Bài toán 4.15 Áp dụng tính chất 1.16 vào phương trình (2.1) ta 1 (p2 + r2 + 4Rr)2 − 16p2 Rr + + = a2 b2 c2 16p2 R2 r2 Bài toán 4.16 Áp dụng tính chất 1.17 vào phương trình (2.1) ta (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 2(p2 − 3r2 − 12Rr) Bài toán 4.17 Áp dụng tính chất 1.18 vào phương trình (2.1) ta 1 5p2 + r2 + 4Rr + + = a + b b + c c + a 2p(p2 + r2 + 2Rr) Footer Page 19 of 126 Header Page 20 of 126 18 4.2 Các đẳng thức liên quan đến biểu thức lượng giác tam giác Bài toán 4.18 Áp dụng tính chất 1.1 vào phương trình (2.28) ta sin A + sin B + sin C = p R Bài toán 4.19 Áp dụng tính chất 1.2 vào phương trình (2.28) ta p2 + r2 + 4Rr sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A = 4R2 Bài toán 4.20 Áp dụng tính chất 1.3 vào phương trình (2.28) ta sin A sin B sin C = pr 2R2 Bài toán 4.21 Áp dụng tính chất 1.4 vào phương trình (2.28) ta 1 p2 + r2 + 4Rr + + = sin A sin B sin C 2pr Bài toán 4.22 Áp dụng tính chất 1.5 vào phương trình (2.28) ta sin2 A + sin2 B + sin2 C = p2 − r2 − 4Rr 2R2 Bài toán 4.23 Áp dụng tính chất 1.6 vào phương trình (2.28) ta p(p2 + r2 + 2Rr) (sin A + sin B)(sin B + sin C)(sin C + sin A) = 4R3 Bài toán 4.24 Áp dụng tính chất 1.7 vào phương trình (2.28) ta p(p2 − 3r2 − 6Rr) sin A + sin B + sin C = 4R3 3 Bài toán 4.25 Áp dụng tính chất 1.8 vào phương trình (2.28) ta pr2 (sin A + sin B − sin C)(sin B + sin C − sin A)(sin C + sin A − sin B) = R Footer Page 20 of 126 Header Page 21 of 126 19 Bài toán 4.26 Áp dụng tính chất 1.9 vào phương trình (2.28) ta sin A + sin B sin B + sin C sin C + sin A p2 + r2 − 2Rr + + = sin C sin A sin B 2Rr Bài toán 4.27 Áp dụng tính chất 1.10 vào phương trình (2.28) ta sin2 A sin2 B + sin2 B sin2 C + sin2 C sin2 A = ( p2 + r2 + 4Rr p2 r ) − 4R2 R Bài toán 4.28 Áp dụng tính chất 1.11 vào phương trình (2.28) ta sin4 A + sin4 B + sin4 C = (p2 − r2 − 4Rr)2 − 4p2 r2 8R4 Bài toán 4.29 Áp dụng tính chất 1.12 vào phương trình (2.28) ta p p2 + r2 + 4Rr pr kl + l (k+l sin A)(k+l sin B)(k+l sin C) = k + k l+ R 4R2 2R Với k, l hai số thực Bài toán 4.30 Áp dụng tính chất 1.13 vào phương trình (2.28) ta 1 2R + + = sin A sin B sin B sin C sin C sin A r Bài toán 4.31 Áp dụng tính chất 1.14 vào phương trình (2.28) ta sin B sin C p2 − r2 − 4Rr sin A + + = sin B sin C sin C sin A sin A sin B pr Bài toán 4.32 Áp dụng tính chất 1.15 vào phương trình (2.28) ta sin A sin B sin B sin C sin C sin A (p2 + r2 + 4Rr)2 − 16p2 Rr + + = sin C sin A sin B 8pR2 r Bài toán 4.33 Áp dụng tính chất 1.16 vào phương trình (2.28) ta 1 (p2 + r2 + 4Rr)2 − 16p2 Rr + + = 4p2 r2 sin2 A sin2 B sin2 C Bài toán 4.34 Áp dụng tính chất 1.17 vào phương trình (2.28) ta p2 − 3r2 − 12Rr (sin A − sin B) + (sin B − sin C) + (sin C − sin A) = 2R2 2 Bài toán 4.35 Áp dụng tính chất 1.18 vào phương trình (2.28) ta 1 R 5p2 + r2 + 4Rr + + = sin A + sin B sin B + sin C sin C + sin A p p2 + r2 + 2Rr Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 20 4.3 Các đẳng thức liên quan đến cung góc đặc biệt Bài toán 4.36 Áp dụng tính chất 1.1 vào phương trình (2.49) ta cos π 3π 5π + cos + cos = 7 Bài toán 4.37 Áp dụng tính chất 1.2 vào phương trình (2.49) ta cos π 3π 3π 5π 5π π cos + cos cos + cos cos = − 7 7 7 Bài toán 4.38 Áp dụng tính chất 1.3 vào phương trình (2.49) ta cos π 3π 5π cos cos =− 7 Bài toán 4.39 Áp dụng tính chất 1.4 vào phương trình (2.49) ta 1 + = π + 3π 5π cos cos cos 7 Bài toán 4.40 Áp dụng tính chất 1.5 vào phương trình (2.49) ta cos2 π 3π 5π + cos2 + cos2 = 7 Bài toán 4.41 Áp dụng tính chất 1.6 vào phương trình (2.49) ta (cos 3π 3π 5π 5π π π + cos )(cos + cos )(cos + cos ) = − 7 7 7 Bài toán 4.42 Áp dụng tính chất 1.7 vào phương trình (2.49) ta cos3 π 3π 5π + cos3 + cos3 = 7 Bài toán 4.43 Áp dụng tính chất 1.8 vào phương trình (2.49) ta (cos Footer Page 22 of 126 π 3π 5π 3π 5π π + cos − cos )(cos + cos − cos ) 7 7 7 5π π 3π (cos + cos − cos ) = − 7 Header Page 23 of 126 21 Bài toán 4.44 Áp dụng tính chất 1.9 vào phương trình (2.49) ta cos 3π 5π π 3π 5π π + cos + cos + cos cos cos 7 + 7 + 7 = −1 π 5π 3π cos cos cos 7 Bài toán 4.45 Áp dụng tính chất 1.10 vào phương trình (2.49) ta cos2 π 3π 3π 5π 5π π cos2 + cos2 cos2 + cos2 cos2 = 7 7 7 Bài toán 4.46 Áp dụng tính chất 1.11 vào phương trình (2.49) ta cos4 π 3π 5π 13 + cos4 + cos4 = 7 16 Bài toán 4.47 Áp dụng tính chất 1.12 vào phương trình (2.49) ta 3π 5π 1 π (k + l cos )(k + l cos )(k + l cos ) = k + k l − kl2 − l3 7 2 Với k, l hai số thực Bài toán 4.48 Áp dụng tính chất 1.13 vào phương trình (2.49) ta cos π 3π cos 7 + 1 + = −4 3π 5π 5π π cos cos cos cos 7 7 Bài toán 4.49 Áp dụng tính chất 1.14 vào phương trình (2.49) ta cos π 3π 5π cos cos 7 cos + 3π 5π π cos cos 7 cos + 5π π 3π cos cos 7 = −10 Bài toán 4.50 Áp dụng tính chất 1.15 vào phương trình (2.49) ta π 3π 3π 5π 5π π cos cos cos cos cos 7 + 7 + 7 = −3 π 5π 3π cos cos cos 7 cos Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 22 Bài toán 4.51 Áp dụng tính chất 1.16 vào phương trình (2.49) ta 1 + + = 24 π 3π 5π 2 cos2 cos cos 7 Bài toán 4.52 Áp dụng tính chất 1.17 vào phương trình (2.49) ta (cos 3π 3π 5π 5π π π − cos )2 + (cos − cos )2 + (cos − cos )2 = 7 7 7 Bài toán 4.53 Áp dụng tính chất 1.18 vào phương trình (2.49) ta 3π π cos + cos 7 Footer Page 24 of 126 + 5π 3π + cos cos 7 + π 5π + cos cos 7 = Header Page 25 of 126 23 Kết luận Bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức tam giác nói riêng đề tài khó tương đối rộng lớn Và có nhiều tác giả nghiên cứu đề tài có nhiều công cụ để giải toán bất đẳng thức tam giác Tuy nhiên, luận văn tác giả trình bày công cụ tương đối để giải toán bất đẳng thức tam giác Luận văn đạt số kết sau: Trình bày cách giải phương trình bậc ba, tính chất nghiệm phương trình bậc ba, đặc biệt nhận xét để đưa phương trình bậc ba liên quan đến nghiệm phương trình bậc ba ban đầu Trình bày lớp phương trình bậc ba mà nghiệm của phương trình yếu tố độ dài tam giác, nghiệm phương trình biểu thức lượng giác tam giác, nghiệm phương trình cung góc đặc biệt Hệ thống bất đẳng thức tam giác liên quan đến ba biến p, R, r Trình bày toán nhận dạng tam giác đều, tam giác vuông, tam giác cân Trình bày cách thức xây dựng đẳng thức tam giác liên quan đến yếu tố độ dài tam giác, liên quan đến biểu thức lượng giác, liên quan đến cung góc đặc biệt Cũng công cụ toán học khác, phương trình bậc ba tính chất nghiệm phương trình bậc ba giải tất toán bất đẳng thức tam giác, nhiên đưa cách thức để chứng minh xây dựng đẳng thức bất đẳng thức tam giác Footer Page 25 of 126  ... quan toán "Phương trình bậc ba sinh yếu tố tam giác" , phương trình bậc ba sinh cung góc đặc biệt ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu toán phương trình bậc ba sinh yếu tố tam giác hệ thống... phương trình bậc ba, đặc biệt nhận xét để đưa phương trình bậc ba liên quan đến nghiệm phương trình bậc ba ban đầu Trình bày lớp phương trình bậc ba mà nghiệm của phương trình yếu tố độ dài tam giác, ... 126 Chương Phương trình bậc ba yếu tố tam giác 2.1 Phương trình bậc ba với nghiệm yếu tố độ dài tam giác Bài toán 2.1 ([4]) Độ dài ba cạnh tam giác ABC (giả sử a, b, c) nghiệm phương trình t3 −