luyện thi đại học phần (4)

Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Đ1 HM S Lý thuyt: I nh ngha hm s: nh ngha: Cho hai hp X, Y è (X, Y ặ) Hm s f i t X vo Y l mt qui tc cho tng ng vi mi giỏ tr x ẻ X vi mt giỏ tr nht y Y x c gi l bin s hay i s y0 = f ( x0 ) l giỏ tr ca hm s ti x X c gi l xỏc nh ca hm s Tp xỏc nh ca hm s: Nu hm s y = f ( x) c cho bi cụng thc m khụng núi rừ xỏc nh thỡ xỏc nh ca hm s y = f ( x) l hp tt c cỏc giỏ tr ca x lm cho tt c cỏc phộp toỏn cú mt biu thc f ( x) ng thi cú ngha D = { x ẻ Ă / f ( x) ẻ Ă } Tp giỏ tr ca hm s: Cho hm s y = f ( x) cú xỏc nh l D Tp giỏ tr ca hm s y = f ( x) l hp tt c cỏc giỏ tr ca f ( x) vi x ẻ D T = { f ( x) / x ẻ D } hay T = { y ẻ / phng trỡnh f ( x) = y cú nghim D} th ca hm s: Gi s hm s y = f ( x) cú xỏc nh l D Trong mt phng Oxy, th (C) ca hm s l hp tt c cỏc im M ( x; f ( x)) vi x ẻ D (C) = { M ( x; f ( x) / x ẻ D} M ( x; y ) ẻ (C) x v y tha biu thc y = f ( x) II Cỏc tớnh cht ca hm s: Hm s chn hm s l: Cho hm s y = f ( x) cú xỏc nh l D ổ ỡùù - x ẻ D ữ ữ " x ẻ D ị ỗ Hm s y = f ( x) c gi l hm s chn ỗ ữ ỗ ữ ùùợ f (- x) = f ( x)ứ ỗ ố ổ "x ẻ D ị ỗ Hm s y = f ( x) c gi l hm s l ỗ ỗ ỗ ố ùỡù - x ẻ D ữ ữ ữ ữ ùùợ f (- x) =- f ( x)ứ Chỳ ý: th ca hm s chn nhn trc tung lm trc i xng th ca hm s l nhn gc ta lm tõm i xng Tớnh n iu: Cho hm s y = f ( x) xỏc nh trờn K (K l khong, on, na khong) Hm s y = f ( x) c gi l ng bin (tng) trờn K nu " x1 , x2 ẻ K , x1 < x2 ị f ( x1 ) < f ( x2 ) Hm s y = f ( x) c gi l nghch bin (gim) trờn K nu " x1 , x2 ẻ K , x1 < x2 ị f ( x1 ) > f ( x2 ) III Hm s hp: Cho hm s f : X đ Y v hm s g : Y đ Z Hm s h = g o f : X đ Z c gi l hm s hp ca cỏc hm s f v g (theo th t ú) h( x ) = g o f ( x ) = g [ f ( x ) ] Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - VD: Hm s y =sin x l hm s dng y = sin u , u = x Hm s y = cos3 x l hm s dng y = u , u =cos x Cỏc dng toỏn: tỡm xỏc nh ca hm s y = f ( x) ta tỡm hp tt c cỏc giỏ tr ca x lm cho tt c cỏc biu thc cú mt f ( x) cú ngha tỡm giỏ tr ca hm s y = f ( x) ta tỡm hp cỏc giỏ tr ca y phng trỡnh f ( x) = y cú nghim x thuc xỏc nh ca f ( x) Vớ d 1: Tỡm xỏc nh ca cỏc hm s sau: x +2 y = (2 x - 3) 2- x y = sin x Vớ d 2: Tỡm giỏ tr ca cỏc hm s: y =x+ x x - 4x +6 y= x - 4x +5 y = - x2 + 2x + sin x + 2cos x +1 sin x + cos x + ? Bi tp: Tỡm xỏc nh v giỏ tr ca cỏc hm s: y= i) y = 4- | x | x + x +1 ii) y = x - x +1 sin x + 2cos x + iii) y = 2sin x + cos x + Đ2 GII HN CA HM S HM S LIấN TC Lý thuyt: Mt s nh lý: Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - f ( x) = L Gi s xlim đ x0 lim g ( x) = M Khi ú [ f ( x) + g ( x) ] = L + M xlim đ x0 xđ x0 [ f ( x) - g ( x)] = L - M xlim đ x0 [ f ( x).g ( x)] = L.M xlim đ x0 | f ( x) | =| L | ; xlim đ x0 lim xđ x0 lim xđ x0 n f ( x) = n L (vi n f ( x) L = g ( x) M f ( x) n ( M 0) L cú ngha) nh lý ỳng thay x đ x0 bi x đ +Ơ hoc x đ - Ơ Gi s lim f ( x) = L ( L 0), lim g ( x) = g ( x) " x ẻ J \ { x0 } xđ x0 xđ x0 ộ f ( x) ờlim = +Ơ ờxđ x0 g ( x) ta cú ờ f ( x) lim =- Ơ xđ x0 g ( x) sin x = 1; xđ0 x L g ( x) dấu L g ( x) trái dấu tan x =1 xđ0 x lim lim Ơ : Ơ Cho hai a thc Pn ( x) = an x n + an- x n- + + a1x + a0 (an 0) Bi toỏn c bn v gii hn dng Qm ( x) = bm x m + bm- x m- + + b1 x + b0 (bm 0) ú m, n l cỏc s nguyờn dng Hóy tỡm cỏc gii hn: P ( x) P ( x) lim n lim n v xđ+Ơ Q ( x ) xđ- Ơ Q ( x ) m m P ( x) lim n Gii: Tớnh xđ+Ơ Cú ba trng hp xy ra: Qm ( x) i) n > m: Khi ú x n- x an + an- n + + a1 n + a0 n P ( x) x x x lim n = lim m m- xđ+Ơ Q ( x ) xđ+Ơ x x x m bm n + bm- n + + b1 n + b0 n x x x x n- m x x Do lim n = = lim n = lim n = = lim n = nờn ta cú xđ+Ơ x xđ+Ơ x xđ+Ơ x xđƠ x +Ơ an bm > P ( x) ộ lim n =ờ ờ- Ơ xđ+Ơ Q ( x ) an bm < m lim ii) n = m: Bng cỏch tng t ta cú xđ+Ơ Pn ( x) an = Qn ( x) bn Pn ( x) =0 xđ+Ơ Q ( x ) m Tớnh cht ca hm s liờn tc: Nu hm s y = f ( x) liờn tc trờn [ a; b ] v f (a ) f (b) < thỡ phng trỡnh f ( x ) = cú ớt nht mt nghim trờn ( a; b) iii) n < m: lim Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Cỏc dng toỏn: Tỡm cỏc gii hn: x2 - 5x + lim xđ x - x - x - 3x - xđ x - 1- tan x lim - cot x xđ lim x- 2 - - x2 lim xđ0 x - + n + ax - Tỡm gii hn: lim vi a l mt s nguyờn dng (i bin) xđ0 x 3x - - 3 - x Tỡm gii hn lim xđ1 x2 - Tỡm cỏc gii hn: 5x - x2 + x - lim lim xđ+Ơ - x xđ- Ơ 3x + Tỡm cỏc gii hn: sin ax - cos ax (a.b 0) (a 0) lim lim xđ0 bx xđ0 x2 sin 3x tan ax lim ( a.b 0) lim 1- 2cos x xđ xđ0 tan bx Chng minh rng phng trỡnh x - x +1 = cú ba nghim phõn bit ? Bi tp: Tỡm cỏc gii hn sau: 5x + x2 - 5x +8 lim limxđ- Ơ xđ3 - x 2- x + sin x - cos x lim x + x +1 - lim xđ0 - sin x - cos x xđ0 2x Chng minh rng phng trỡnh x cos x + x sin x +1 = cú ớt nht mt nghim thuc khong ( 0; ) Đ3 TNH N IU V CC TR CA HM S Lý thuyt: iu kin m rng hm s n iu: Nu f '( x) 0, " x thuộc khoảng I (du bng ch xy ti mt s hu hn im) thỡ hm s f ( x) tng (ng bin) trờn I Nu f '( x) Ê 0, " x thuộc khoảng I (du bng ch xy ti mt s hu hn im) thỡ hm s f ( x) gim (nghch bin) trờn I Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Cho hm s y = f ( x) tng trờn (a; b) Nu y = f ( x) liờn tc trờn [ a; b ] ; [ a; b) ; ( a; b ] thỡ y = f ( x) tng trờn [ a; b ] ; [ a; b) ; ( a; b ] Cho hm s y = f ( x) gim trờn (a; b) Nu y = f ( x) liờn tc trờn [ a; b ] ; [ a; b) ; ( a; b ] thỡ y = f ( x) gim trờn [ a; b ] ; [ a; b) ; ( a; b ] im ti hn: Cho hm s y = f ( x) xỏc nh trờn khong (a; b) v x0 ẻ (a; b) ; im x0 c gi l im ti hn ca hm s y = f ( x) nu ti x0 f '( x) khụng xỏc nh hoc f '( x0 ) = Chỳ ý: Cỏc im ti hn chia xỏc nh ca hm s thnh nhng khong ú o hm gi nguyờn mt du Cc tr: iu kin cn: Nu hm s y = f ( x) cú o hm ti x0 v t cc tr ti x0 thỡ ta cú f '( x0 ) = iu kin 1: f '( x) i du x i qua x0 + T õm sang dng cc tiu + T dng sang õm cc i iu kin 2: * f '( x0 ) = f ''( x0 ) < x0 l im cc i * f '( x0 ) = f ''( x0 ) > x0 l im cc tiu Cỏc dng toỏn: Xột chiu bin thiờn ca hm s: Vớ d: Xột chiu bin thiờn ca cỏc hm s sau: x + 3x + y= y = x + x2 - x x +2 y = | x2 - 5x + | - x2 + 5x y = x ( x - 5) Xỏc nh iu kin hm s tng (gim) trờn cỏc khong: Mun xỏc nh iu kin hm s y = f ( x) tng (gim) trờn (a; b) , ta thc hin theo cỏc bc sau: Tỡm iu kin hm s xỏc nh trờn (a; b) Tỡm o hm ca hm s Tỡm iu kin y ' ( y ' Ê 0), " x ẻ ( a; b) (Chỳ ý du ng thc ch xy ti mt s hu hn im) iu kin cn tỡm l giao ca cỏc iu kin v Vớ d : nh m hm s y = x3 - x + mx - tng trờn nh m cỏc hm s sau tng trờn mi khong xỏc nh ca chỳng: x +m mx + x +1 i) y = ii) y = x- m x +1 Cho hm s y = (m - 1) x - mx + x Tỡm m hm s tng trờn Ă ? Bi tp: Tỡm m hm s y = mx - (2m - 1) x + (m - 2) x - ng bin trờn Ă mx + mx + Tỡm m hm s y = gim tng khong xỏc nh ca nú x- m ng dng o hm chng minh bt ng thc: Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - chng minh mt bt ng thc, ta bin i BT v dng f (a ) Ê f (b), (a < b) sau ú ta cn chng t y = f ( x) l hm s tng trờn [a; b ) Nu bt ng thc c bin i v dng f (a ) f (b) ( a < b ) thỡ ta cn chng t hm s gim trờn (a; b] Vớ d: Chng minh rng nu < x1 < x2 < thỡ x2 tan x1 < x1 tan x2 Chng minh rng nu < < < thỡ sin - sin > 2(cos - cos ) x Chng minh rng x < sin x < x, " x > x2 ? Bi tp: Chng minh rng < cos x, " x Chng minh rng: x sin x - y sin y > ( cos y - cos x ) ; < x < y < S dng o hm gii phng trỡnh h phng trỡnh: Tớnh cht 01: Nu hm s y = f ( x) tng (hoc gim) trờn (a; b) thỡ f (u ) = f (v) u = v, " u , v ẻ (a; b) Tớnh cht 02: Nu hm s y = f ( x) tng (hoc gim) trờn (a; b) thỡ phng trỡnh f ( x) = cú khụng quỏ mt nghim (a; b) Vớ d: Gii phng trỡnh x + x - = Tỡm cỏc nghim õm ca phng trỡnh x - x5 - = ổ ổ - ; ữ , yẻ ỗ - ; ữ Tỡm cỏc cp s x ẻ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữl nghim ca h phng trỡnh: ỗ 2ứ ỗ 2ứ ố ố ùỡù tan x - tan y = y - x ùùợ x + y = ? Bi tp: Gii phng trỡnh x +9 = - 2x - Gii phng trỡnh x - 3x + + x - 3x + = ỡù x - y = sin x - sin y Gii h phng trỡnh ùớ ùù sin x + sin y = ợ ỡù x = y + y + 2008 y - 2009 ùù ù Gii h phng trỡnh: y = z + z + 2008 z - 2009 ùù ùù z = x + x + 2008 x - 2009 ùợ ỡù x + - y = ù Gii h ùù y + - x = ùợ Cc tr ca hm a thc: Hm s y = ax + bx + cx + d (a 0) y ' = 3ax + 2bx + c Hm s cú cc tr pt y ' = cú hai nghim phõn bit D y ' > Nu x1 , x2 l nghim ca pt y ' = thỡ tớnh y ( x1 ), y ( x2 ) ta lm nh sau: + Chia y cho y ' y = (ex + h) y ' + x + Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - + Khi ú y ( x1 ) =(ex1 + h) y '( x1 ) + x1 + , y '( x1 ) = nờn y ( x1 ) = x1 + ; tng t y ( x2 ) = x2 + Ta hai im cc tr A( x1; y ( x1 )) B ( x2 ; y ( x2 )) tha phng trỡnh ng thng d : y = x + nờn phng trỡnh ng thng i qua hai im cc tr ca hm s l y = x + Vớ d 1: Tỡm m hm s y = ( x - m)3 - 3x t cc tiu ti im x = Vớ d 2: Cho hm s y = mx + (m - 9) x +10 Tỡm m hm s cú ba im cc tr ( thi H B nm 2002) Vớ d 3: Tỡm m hm s y = x + 2(m - 1) x + (m - 4m +1) x - 2(m +1) cú hai 1 im cc tr x1, x2 tha + = ( x1 + x2 ) x1 x2 Vớ d 4: Cho hm s y = x - 3x - x + Chng minh rng hm s ó cho luụn cú cc i v cc tiu Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im cc tr ca th hm s ? Bi tp: Cho hm s y =- x3 + 3x + 3(m - 1) x - 3m - Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu v cỏc im cc tr ca th hm s cỏch u gc ta O (H B 2007) Cho hm s y =- x3 + 3mx + 3(1- m2 ) x - m3 - m Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im cc tr ca th hm s (H A 2002) Cho hm s y = x - 2mx + m + 2m Tỡm m th hm s cú ba im cc tr l ba nh ca mt tam giỏc u Cc tr hm phõn thc: ax + bx + c (a.a1 0) cú cc i, cc tiu v ch phng trỡnh Hm s y = a1 x + b1 b y ' = cú hai nghim phõn bit khỏc - a1 P( x) , nu x1 l im cc tr ca hm s thỡ ta cú th tớnh giỏ Vi hm phõn thc y = Q( x) P '( x1 ) tr cc tr theo cụng thc y ( x1 ) = v phng trỡnh ng thng i qua hai im cc Q '( x1 ) P '( x) tr ca th hm s l y = Q '( x) x + (m + 2) x + 3m + x +1 m Xỏc nh hm s cú cc i v cc tiu Vớ d 1: Cho hm s y = Khi hm s cú cc i yC đ v cc tiu yCT CMR: yC2 đ + yCT > x + 2(m +1) x + m2 + 4m Vớ d 2: Cho hm s y = x +2 Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu cho im cc i, im cc tiu ca th hm s cựng vi gc ta to thnh tam giỏc vuụng (H A 2007) Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - x + (2m +1) x + m2 + m + Vớ d 3: Cho hm s y = Chng minh rng vi mi m 2( x + m) hm s cú hai cc tr v khong cỏch gia hai im cc tr ca th hm s l mt hng s khụng ph thuc vo m x (m +1) x + m +1 Chng minh rng vi mi m th ? Bi tp: Cho hm s y = x +1 hm s luụn cú im cc i, cc tiu v khong cỏch gia chỳng bng 20 (H B 2005) Gi ( Cm) l th ca hm s y = mx + Tỡm m hm s cú cc tr v khong x cỏch t im cc tiu ca ( Cm) n tim cn xiờn ca ( Cm) bng x + mx Cho hm s y = Tỡm m hm s cú hai cc tr v khong cỏch gia hai 1- x im cc tr ca th hm s bng 10 - x + 3x + m Cho hm s y = Gi yC v yCT l cỏc giỏ tr cc i v cc tiu ca x- hm s Tỡm m |yC yCT| = x + 3x + m - Cho hm s y = Tỡm m |yC yCT| < 12 x +2 mx + 3mx + (2m +1) Cho hm s y = Tỡm m cỏc im cc i, cc tiu ca x- th hm s nm hai phớa ca trc Ox Đ4 GI TR LN NHT V GI TR NH NHT Lý thuyt: nh ngha: Cho hm s f(x) cú xỏc nh l D Giỏ tr M c gi l giỏ tr ln nht (GTLN) ca f trờn D nu: i.) f(x) Ê M, " x ẻ D ii.) $x0 ẻ D: f(x0) = M Giỏ tr m c gi l giỏ tr nh nht (GTNN) ca f trờn D nu: i.) f(x) m, " x ẻ D ii.) $x0 ẻ D: f(x0) = m Cỏc phng phỏp: S dng o hm: a) Lp bng bin thiờn ri da vo ú kt lun b) Nu tỡm GTLNGTNN ca hm s y = f ( x) trờn on [a, b] thỡ ta cú th thc hin nh sau: + Tỡm o hm f '( x) + Tỡm cỏc im ti hn x1 , x2, ca y = f ( x) trờn on [a, b] + Tớnh cỏc giỏ tr f ( x1 ), f ( x2 ), , f (a), f (b) Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - + S ln nht cỏc s f ( x1 ), f ( x2 ), , f (a), f (b) l GTLN cn tỡm S nh nht cỏc s f ( x1 ), f ( x2 ), , f (a), f (b) l GTNN cn tỡm Tỡm giỏ tr: tỡm GTLNGTNN ca hm s y = f ( x) trờn D ta cú th tỡm giỏ tr ca y = f ( x) trờn D GTLNGTNN S dng bt ng thc: Bc 1: Xỏc lp bt ng thc dng f ( x) Ê M ( f ( x) m) vi m, M l hng s Bc 2: Xột xem du ng thc xy no Bc 3: Kt lun xỏc lp bt ng thc ta cú th s dng: a +b a.b + Bt ng thc Cụsi: Vi hai s khụng õm a, b ta cú: a +b +c a.b.c Vi ba s khụng õm a, b, c ta cú: + Cỏc hng ng thc: A2 0; " A ổ bử ữ ỗ + Phng phỏp tam thc bc hai: ax + bx + c = a ỗx + ữ ữ 4a ỗ ố 2a ứ r r r r r r + Cỏc bt ng thc tam giỏc, vộct: | u | + | v | | u v | | u | - | v | Chỳ ý: Mt s sai lm tin hnh gii bi toỏn tỡm GTLN - GTNN: Tỡm GTNN ca hm s y = (x2 + 1)2 + Nu gii: Vỡ (x2 + 1)2 nờn y Vy GTNN ca y l õy, kt lun nh th l sai Trong nh ngha ch cú i.) c tha cũn ii.) thỡ khụng: du ng thc khụng tn ti vỡ phng trỡnh (x2 + 1) = vụ nghm Cho x, y > v x + y = Tỡm GTNN ca T = xy + xy Mt hc sinh gii nh sau: Vỡ x, y > nờn ỏp dng bt ng thc Cauchy cho 1 xy = Vy GTNN ca T l hai s dng xy ta c: T = xy + xy xy xy (xy)2 = Sai lm õy tng t nh cõu vỡ ng thc xy xy = xy xy = x(1 x) = x2 x + = vụ nghim Cho x Tỡm GTNN ca y = x + x Mt hc sinh gii: p dng bt ng thc Cauchy cho hai s dng x ta cú: x 1 y = x + x = x m x ị y Vy GTNN ca y l x x Sai lm õy l du = ca hai ln s dng bt ng thc khụng ng thi xy (x2 = v x = 6) x Tỡm GTNN ca y = sin2x 6sinx + Mt hc sinh gii: t t = sinx thỡ y = f(t) = t2 6t + Do th ca f(t) l mt parabol lừm nờn f t GTNN ti nh S(3;4) t = Vy GTNN ca y l Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Sai lm õy l lỳc t n mi, hc sinh ó thiu iu kin t ẻ [1;1] ý rng t = sinx = vụ nghim Cỏc dng toỏn: Tỡm GTLN GTNN ca hm s: Vớ d 1: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s 2sin x + cos x +1 f ( x) = với x ẻ Ă sin x - 2cos x + Tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca hm s x + x + 23 f ( x) = , xẻ Ă x + x +10 Trong tam giỏc ABC, tỡm GTNN ca T = cos A + cos B + cos C Cho x + y + z = Tỡm GTLNGTNN ca T = xy + yz + zx 2 S dng ( x + y + z ) = ( x - y ) ;( y - z ) Cho x, y > x + y = , tỡm GTNN ca T = xy + xy ổ 1ự ổ 1ự 0; ỳ; xột hm s f (t ) ỗ 0; ỳ t t = xy đ t ẻ ỗ ỗ ỗ ỗ 4ỳ ỗ 4ỳ ố ố ỷ ỷ ng dng GTLN GTNN gii bi toỏn v n iu: Vớ d v bi tp: mx + x - Cho hm s y = Tỡm m hm s nghch bin trờn [1;+Ơ ) x +2 1 Cho hm s y = x3 - (m - 1) x + 3(m - 2) x + Tỡm m hm s ng 3 bin trờn [ 2;+Ơ ) Xỏc nh m hm s y = x3 - x + mx - ng bin trờn (- Ơ ;1] Xỏc nh m hm x2 - x + m s y = nghch x- bin trờn [- 1;0] ng dng GTLN GTNN bin lun s nghim ca phng trỡnh v bt phng trỡnh: Mnh b sung: Gi s hm s y = f ( x) liờn tc trờn D v t GTLN, GTNN trờn D Khi ú: y m m a b x O m Trang 10 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - f ( x) m max f ( x) Phng trỡnh f ( x) = m cú nghim trờn D xẻ D xẻ D ùỡ f ( x) m H ùớ cú nghim ùùợ x ẻ D f ( x) m max xẻ D Bt phng trỡnh f ( x) m nghim ỳng vi mi x ẻ D m f ( x) xẻ D ỡùù f ( x) Ê m H cú nghim ùùợ x ẻ D f ( x) m xẻ D f ( x) Bt phng trỡnh f ( x) Ê m nghim ỳng vi mi x ẻ D m max xẻ D Vớ d v bi tp: Tỡm m phng trỡnh Cho phng trỡnh m ( + x2 - x - + 17 - x = m cú nghim ) 1- x + = 1- x + + x - 1- x (1) Tỡm m phng trỡnh (1) cú nghim (H B 2004) Cho phng trỡnh x + mx + = x +1 Tỡm m phng trỡnh ó cho cú hai nghim thc phõn bit Cho phng trỡnh x - + m x +1 = x - Tỡm m phng trỡnh ó cho cú nghim Cho bt phng trỡnh ( x + 4)(6 - x) Ê x - x + m Tỡm m bt phng trỡnh ó cho nghim ỳng vi mi x ẻ [ - 4;6] Cho bt phng trỡnh x +1 - - x m Tỡm m bt phng trỡnh ó cho cú nghim Cho bt phng trỡnh x - 2mx + | x - m | +2 > Tỡm m bt phng trỡnh ó cho ỳng vi mi x Đ4 PHẫP BIN I TH th ca hm s: th ca hm s y = f ( x) trờn D l hp tt c cỏc im M ( x; f ( x)) , x ẻ D ca mt phng ta Cho (C): y = f ( x) ; M(x;y) thuc (C) y = f ( x) Cụng thc chuyn ta : Cho I(x0;y0) cụng thc chuyn ùỡù x = X + x0 uur h ta phộp tnh tin theo OI l: ùùợ y = Y + y0 Vi phộp bin i th n gin: th hm s y = f ( x) v th hm s y =- f ( x) i xng qua trc honh Trang 11 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Bit th hm s y = f ( x) , suy c th hm s y =| f ( x) | nh sau: + V thờm th hm s y =- f ( x) (ly i xng th hm s y = f ( x) qua trc honh) + Xúa b phn th ca hai hm s phớa di trc honh Bit th hm s y = f ( x) , suy th hm s y = f (| x |) nh sau: + Gi nguyờn phn th y = f ( x) ng vi x B phn th hm s y = f ( x) phn bờn trỏi trc tung + Ly i xng phn va v qua trc tung Vớ d v bi tp: C/ minh rng th hm s: y =- x3 + 3x nhn im un lm tõm i xng Cho hm s y = x - x +12 x - Kho sỏt v v th ca hm s V th hm s y =| x3 - x +12 x - | V th hm s y = | x |3 - x +12 | x | - - x2 + x - Cho hm s y = x- Kho sỏt v v th hm s - x2 + x - V th hm s y = | x - 1| Đ5 CC BI TON THNG GP V TH CA HM S I Giao im ca hai th: Lý thuyt: Gi (C1 ) (C2 ) l th ca hai hm s y = f ( x) y = g ( x) im M ( x0 ; y0 ) l im chung ca (C1 ) (C2 ) & ch ta ca im M tha hai phng trỡnh y = f ( x) v y = g ( x) , tc l y0 = f ( x0 ) y0 = g ( x0 ) hay ( x0 ; y0 ) l nghim ca h ùỡù y = f ( x) (1) phng trỡnh: Nờn h phng trỡnh (1) c gi l h phng trỡnh ta ùùợ y = g ( x) giao im ca (C1 ) (C2 ) Trang 12 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Khi ú x0 l nghim ca phng trỡnh f ( x) = g ( x) (2) Phng trỡnh (2) c gi l phng trỡnh honh giao im ca (C1 ) (C2 ) S nghim ca phng trỡnh (2) l s im chung ca (C1 ) (C2 ) Cỏc dng toỏn: S im chung ca hai ng: Cho hai ng ( C1 ) : y = f ( x) ( C2 ) : y = g ( x) Hóy tỡm s giao im ca hai ng ( C1 ) ( C2 ) S im chung ca ( C1 ) ( C2 ) l s nghim ca phng trỡnh f ( x) = g ( x) ( II ) Vớ d: Cho ( C ) : y = x3 - x +1 ( P ) : y = mx - 2mx +1 Xỏc nh m ( C ) v ( P ) ct ti ba im phõn bit Bin lun bng th s nghim ca phng trỡnh F(x,m)=0: + Vit phng trỡnh F(x,m)=0 li di dng: f ( x) = g (m) + V ( C ) : y = f ( x) (thng l ( C ) ó c v cỏc cõu trc); ( d ) : y = g (m) ((d) cựng phng vi Ox) +Cho m thay i (d) thay i s giao im ca (C) v (d) l s nghim ca phng trỡnh F(x,m)=0 (Chỳ ý n cc tr ca (C)) Vớ d: Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s y = x3 - 3x +1 Da vo th ( C ) bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh x3 - x - 2m - = n Bi tp: x +3 Chng minh rng ng thng (d): y=2x + m x +1 luụn ct ( C ) ti hai im phõn bit M v N Xỏc nh m cho di on MN l nh nht Gi (dk) l ng thng i qua im M(0;1) v cú h s gúc k Tỡm k ng thng (dk) ct th hm s y = x - 3x - ti ba im phõn bit Kho sỏt v v th (C) ca hm s y =- x3 + 3x - Da vo th ( C ) hóy Gi ( C ) l th hm s y = bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: x - x + - = m x - x +1 Vi giỏ tr no ca m ng thng y = m - x ct th hm s y = ti x- hai im M, N phõn bit? Tỡm hp trung im I ca on thng MN m bin thiờn II S TIP XC CA HAI NG: Lý thuyt: Hai ng cong y = f ( x) y = g ( x) tip xỳc v ch h phng trỡnh ùỡù f ( x) = g ( x) cú nghim v nghim ca h PT trờn l honh tip im ca hai ng ùùợ f '( x) = g '( x) cong ú f '( x0 ) l h s gúc ca tip tuyn ca th h.s y = f ( x) ti im M ( x0 ; y0 ) , ú y0 = f ( x0 ) Phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y = f ( x) ti im M ( x0 ; y0 ) l: y - y0 = f '( x0 ) ( x - x0 ) hay y = f '( x0 ) ( x - x0 ) + y0 Trang 13 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Cỏc dng toỏn: i Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s ti im: (Bit ta tip im) S dng phng trỡnh tip tuyn l y - y0 = f '( x0 ) ( x - x0 ) ii Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s bit h s gúc ca tip tuyn l k: Gii phng trỡnh f '( x) = k tỡm honh tip im x0 y0 ptttt Chỳ ý: Cho hai ng thng ( d1 ) : y = k1 x + b1 ( d ) : y = k x + b2 ; ta cú: ( d1 ) / / ( d ) k1 = k2 v ( d1 ) ^ ( d ) k1.k2 =- iii Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s bit tip tuyn i qua im A(xA;yA): Phng trỡnh ng thng i qua A( x A ; y A ) cú h s gúc k l y - y A = k ( x - x A ) hay y = k ( x - x A ) + y A ( 1) Khi tip xỳc th hm s y = f ( x) ỡù f ( x) = k ( x - x ) + y ù A A tỡm honh tip im v h s gúc k ta gii h: ùù f '( x) = k ùợ x vo (a) , thay vo (b) k, thay vo (1) c pttt Vớ d: ( a) ( b) thay (b) Vit phng trỡnh cỏc ng thng (d ) vuụng gúc vi ng thng (D ) : y = x + v tip xỳc vi th hm s y =- x + 3x - x + Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y = ( - x ) bit rng tip tuyn ú i qua im A( 0;4) Tỡm cỏc tip tuyn ca th hm s y = x3 - x + bit rng tip tuyn i qua ổ23 Bỗ ; - 1ữ ữ ỗ ữ ỗ ố9 ứ Chng minh rng th ca hai hm s y = x - x + y =- x + x + tip xỳc Hóy tỡm ta tip im Vit phng trỡnh tip tuyn vi ( C ) : y = x - x + ti im un ca ( C ) Chng minh rng tip tuyn ti im un ca ( C ) l tip tuyn cú h s gúc nh nht tt c cỏc tip tuyn ca ( C ) x + 3x + , vit phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) bit rng tip tuyn x +2 ny vuụng gúc ng thng :3 y - x + = Cho hm s y = x + 3x - cú th l ( C ) Vit phng trỡnh tip tuyn vi ( C ) bit rng tip tuyn i qua A( 1;0) Cho ( C ) : y = ? Bi tp: 2m - 1) x - m ( Cho hm s: y = (1) (m l tham s) x- a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) ng vi m = - Trang 14 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - b) Tỡm m th ca hm s (1) tip xỳc vi ng thng y = x Cho hm s: y = x2 +3 x- a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s b) Tỡm trờn ng thng y = - cỏc im m t ú k c ỳng tip tuyn n th hm s Cho hm s: y = mx + x + m (1) (m l tham s) x- a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = - b) Tỡm m th hm s (1) ct trc honh ti hai im phõn bit v hai im ú cú honh dng a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s: y = x2 - 2x + (1) x- b) Tỡm m ng thng dm: y = mx + - 2m ct th ca hm s (1) ti hai im phõn bit x - x + 3x (1) cú th (C) a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im un v chng minh rng l tip Cho hm s: y = tuyn ca (C) cú h s gúc nh nht a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s: y = 2x3 - 9x2 + 12x - b)Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim phõn bit: x - x +12 x = m x2 + x - x +2 a)Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s b)Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C), bit tip tuyn ú vuụng gúc vi tim cn xiờn ca (C) Cho ng cong (C ) : y = x3 - x + a) Tỡm cỏc tip tuyn ca (C ) i qua A(0;3) b) Gi (d ) l ng thng i qua im B(- 1; - 2) Khi (d ) ct (C ) ti ba im B, M , N Hóy tỡm hp trung im ca on MN 3x + Cho hm s y = x +2 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s b) Tỡm cỏc im trờn th ( C ) ca hm s ó cho cú ta nguyờn c) Chng minh rng, khụng cú tip tuyn no ca th ( C ) i qua giao im Cho hm s: y = ca hai tim cn ca th ( C ) Trang 15 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - d) Da vo th ( C ) hóy bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: | 3x + | - m =0 x +2 x +3 Cho hm s y = x +1 a) Chng minh rng ng thng y = x + m luụn ct th ( C ) ca hm s ti hai im phõn bit M , N Tỡm hp trung im ca on MN b) Tip tuyn ti im S bt k ca ( C ) ct hai tim cn ca ( C ) ti P Q Chng minh rng S l trung im ca on PQ Cho hm s y =- x + 2mx - 2m +1 cú th l ( Cm ) a) Bin lun theo m s cc tr ca hm s b) Tỡm m th hm s ct trc honh ti bn im, to thnh ba on cú di bng Cho ( C ) : y = x - x + x Tỡm p.trỡnh ca tip tuyn vi ( C ) vuụng gúc vi .thng ( d ) : y =- x - Chng minh rng trờn ( C ) khụng cú im m tip tuyn vi ( C ) ti hai im ny vuụng gúc vi Cho hm s y = x + cú th l ( C ) Chng minh rng khụng tn ti mt tip x +1 tuyn no ca ( C ) i qua giao im hai ng tim cn ca ( C ) Tỡm cỏc im trờn Oy cho t mi im y ta v c ớt nht mt tip tuyn n ng cong ( C ) : y = x +1 CC BI TON TRONG THI TUYN SINH TRONG CC NM QUA THI NM 2002: KHI A: (H : 2,5 im; C : 3,0 im) 2 Cho hm s: y =- x + 3mx + 3( 1- m ) x + m - m (1) (1) (m l tham s) 1 Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) m = 2 Tỡm k phng trỡnh: - x3 + 3x + k - 3k = cú ba nghim phõn bit Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im cc tr ca th hm s (1) KHI B: (H : 2,0 im; C : 2,5 im) 2 Cho hm s: y = mx +( m - 9) x +10 (1) (m l tham s) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = Tỡm m hm s (1) cú ba im cc tr KHI D:( H : im ; C : im ) 2m - 1) x - m ( Cho hm s: y = (1) ( m l tham s ) x- 1 Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) ng vi m = Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi ng cong (C) v hai trc ta Trang 16 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Tỡm m th ca hm s (1) tip xỳc vi ng thng y = x THI NM 2003: mx + x + m KHI A: (2 im) Cho hm s y = (1) (m l tham s) x- 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) m = 1 2) Tỡm m th hm s (1) ct trc honh ti hai im phõn bit v hai im ú cú honh dng KHI B: (2 im) Cho hm s y = x3 - x + m (m l tham s) 1) Tỡm th hm s (1) cú hai im phõn bit i xng vi qua gc ta 2) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) m = KHI D: (2 im) x2 - x + (1) x- 2) Tỡm ng thng d m : y = mx + - 2m ct th ca hm s (1) ti hai im phõn bit 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s y = THI NM 2004: - x + 3x - KHI A: (2 im) Cho hm s y = (1) 2( x - 1) 1) Kho sỏt hm s (1) 2) Tỡm m ng thng y = m ct th hm s (1) ti hai im A, B cho AB = 1 KHI B: (2 im) Cho hm s y = x3 - x + 3x (1) cú th (C) 1) Kho sỏt hm s (1) 2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im un v chng minh rng l tip tuyn ca (C) cú h s gúc nh nht KHI D: (2 im) Cho hm s y = x - 3mx + x +1 (1) vi m l tham s 1) Kho sỏt hm s (1) m = 2) Tỡm m im un ca th hm s (1) thuc ng thng y = x + THI NM 2005: KHI A: (2 im) Gi ( Cm ) l th ca hm s y = mx + x (*) (m l tham s) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (*) m = 2) Tỡm m hm s (*) cú cc tr v khong cỏch t im cc tiu ca ( Cm ) n tim cn xiờn ca ( Cm ) bng m x + (*) m l tham s KHI D: (2 im) Gi ( Cm ) l th ca hm s y = x3 3 1) Kho sỏt v v th ca hm s (*) m = 2) Gi M l im thuc ( Cm ) cú honh bng Tỡm m tip tuyn vi ( Cm ) ti M song song vi ng thng x - y = Trang 17 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - THI NM 2006: KHI A: (2 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s y = x - x +12 x - Tỡm m p.trỡnh sau cú nghim phõn bit: | x |3 - x +12 | x |= m KHI D: (2 im) Cho hm s y = x - 3x + Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho Gi d l ng thng i qua im A(3; 20) v cú h s gúc l m Tỡm m ng thng d ct th (C) ti im phõn bit THI NM 2007: x + 2(m +1) x + m2 + 4m KHI A: (2 im) Cho hm s y = (1), m l tham s x +2 Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m =1 Tỡm m hm s (1) cú cc i v cc tiu, ng thi cỏc im cc tr ca th cựng vi gc ta O to thnh mt tam giỏc vuụng ti O KHI B: (2 im) Cho hm s: y =- x3 + 3x + 3(m - 1) x - 3m - (1), m l tham s Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = Tỡm m hm s (1) cú cc i, cc tiu v cỏc im cc tr ca th hm s (1) cỏch u gc ta O 2x KHI D: (2 im)Cho hm s y = x +1 Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho Tỡm ta im M thuc (C), bit tip tuyn ca (C) ti M ct hai trc Ox, Oy ti A, B v tam giỏc OAB cú din tớch bng THI NM 2008: KHI A: (2 im) mx + (3m - 2) x - (1) vi m l tham s thc x + 3m Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = Tỡm cỏc giỏ tr ca m gúc gia hai ng tim cn ca th hm s (1) bng Cho hm s y = 450 KHI B: (2 im) Cho hm s y = x - x +1 (1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s (1), bit rng tip tuyn ú i qua im M(1;9) THI NM 2009: x +2 (1) KHI A: Cho hm s y = 2x +3 1 Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) 2 Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s (1), bit tip tuyn ú ct trc honh, trc tung ln lt ti hai im phõn bit A, B v tam giỏc OAB cõn ti gc to KHI B: Cho hm s y = x - x (1) Trang 18 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) Vi cỏc giỏ tr no ca m phng trỡnh x | x - |= m cú ỳng nghim thc phõn bit ? KHI D: Cho hm s y = x - (3m + 2) x + 3m cú th l (Cm) m l tham s 1 Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho m = 2 Tỡm m ng thng y = ct th (Cm) ti im phõn bit u cú honh nh hn Trang 19 GV: TRUNG LAI ... BI TON TRONG THI TUYN SINH TRONG CC NM QUA THI NM 2002: KHI A: (H : 2,5 im; C : 3,0 im) 2 Cho hm s: y =- x + 3mx + 3( 1- m ) x + m - m (1) (1) (m l tham s) 1 Kho sỏt s bin thi n v v th hm... Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Tỡm m th ca hm s (1) tip xỳc vi ng thng y = x THI NM 2003: mx + x + m KHI A: (2 im) Cho hm s y = (1) (m l tham s) x- 1) Kho sỏt s bin thi n v v th hm s... sỏt s bin thi n v v th hm s (1) m = KHI D: (2 im) x2 - x + (1) x- 2) Tỡm ng thng d m : y = mx + - 2m ct th ca hm s (1) ti hai im phõn bit 1) Kho sỏt s bin thi n v v th ca hm s y = THI NM 2004: