luyện thi đại học phần (2)

Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Đ6 HM S M v HM S LễGART -o O o Túm tt lý thuyt: Hm s m: Tớnh cht ca ly tha: V c s; xột ly tha a : + ẻ Ơ : a xỏc nh a Ă + ẻ Â - : a xỏc nh a + ẻ Ă \ Â : a xỏc nh a > m a n = n a m (a > 0; m, n ẻ Â; n > 0) 2k x xỏc nh x k +1 x xỏc nh x Ă Tớnh cht: am a m a n = a m+n ; * n = a m- n a (a m n ) =a m.n ; m ( a.b) = a b m m ổa ữ ửm a m ỗ = m ỗ ữ ỗ ốb ữ ứ b Hm s m: Hm s m y = ax cú xỏc nh l Ă ; giỏ tr l Ă Khi a > hm s y = ax ng bin trờn Ă Khi < a < hm s y = ax nghch bin trờn Ă a0 = a , a1 = a , ax > 0, x Ă x x Khi a > 1: lim a = +Ơ ; lim a = xđ+Ơ * +; liờn tc trờn Ă xđ- Ơ x lim a = ; lim a x = +Ơ Khi < a < 1: xđ+Ơ xđ- Ơ a > b > 0: ax > bx x > v ax < bx x < (V th ca hm s hai trng hp a > v < a 0; a x > Cho < a , x > 0: logax = y a y = x a loga n = n ( n > ) ; log a a m = m (m Ă ); loga1 = ; log a a = x1 loga(x1.x2) = logax1 + logax2 v log a = logax1 - logax2 ( x1; x2 > ) x2 logax = .logax v log a x = log a x (x > 0) log b x i c s: log a x = hay logax = logab.logbx log b a logab = v log a b.log b a = log b a 20 Trang 20 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Hm s y = logax xỏc nh v liờn tc trờn (0 ;+ ) Khi a > hm s y = logax ng bin trờn ; + ) Khi < a < hm s y = logax nghch bin trờn ( 0; + ) Nu a > 1: lim log a x = +Ơ ; lim log a x =- Ơ xđ+Ơ xđ- Ơ Nu < a < 1: lim log a x =- Ơ ; lim log a x = +Ơ xđ+Ơ xđ- Ơ (V th ca hm s hai trng hp a > v < a < nh cỏc tớnh cht ) ( Cỏc dng toỏn: Chng minh, tớnh, so sỏnh: ộ ự2 -1 a - a- a - + 3a ỳ + ỳ Vớ d 1: n gin biu thc A = 1 1 ỳ a2 - a ỳ ở2a - 3a ỷ Vớ d 2: Khụng dựng mỏy tớnh v bng s, hóy tớnh 6+ 847 + 627 847 27 847 847 3 = ( a + b) v = ( a - b) 27 27 0 log sin 70 + log sin 50 + log sin100 0, a 1) 25 ( ( ) ) b a Cho log = a, log = b Tớnh log 135 theo a v b Cho log 27 5, log = b, log = c Tớnh log 35 theo a, b v c * Vớ d 7: Bit log1227 = a , tớnh log616 theo a 1 1 + + + + * Vớ d 8: Tớnh A = log x log x log x log 2009 x vi x = 2009! = 1.2.3.42009 * Vớ d 9: Cho hm s y = e x + 2e- x ; chng minh rng y '''- 13 y '- 12 y = Vớ d 6: Cho log a b = 5, tớnh log a b Cho hm s y = x.e- x Chng minh x3 y ''+ y = xy ' Cho hm s y = cos e x + sin e x Chng minh y ''+ y.e x = y ' Phng trỡnh v bt phng trỡnh m: Phng trỡnh ax = b cú nghim b > af(x) = ag(x) f(x) = g(x) (0 < a 1) Nu a > thỡ: af(x) > ag(x) f(x) > g(x) 21 Trang 21 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Nu < a < thỡ: af(x) > ag(x) f(x) < g(x) af(x) = b f(x) = logab af(x) < b (vi b > 0) f ( x) < log a b nu a > 1; f ( x) > log a b nu < a < ộùỡ b Ê ờùớ ờù f ( x) ẻ R ùợ f(x) a >b ờỡb > ờùù ờớù ởùợ f ( x) > log a b a >1; f ( x) < log a b < a 2 Gii phng trỡnh: x - x - 22+x- x = Gii phng trỡnh: x- x 2- - 12.2 x- 1- x 2- + = ( Gii phng trỡnh: + 2 ) tan x ( + 3- 2 ) tan x = Phng trỡnh, bt phng trỡnh logarit: Trc ht ta cn t iu kin phng trỡnh cú ngha logab cú ngha < a v b > 22 Trang 22 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - m log a b ( b > ; < a ) loga b2k = 2k.loga|b| vi k n loga x1 = loga x2 x1 = x2 loga f(x) loga g(x) (a - 1)(f(x) - g(x)) ỡùù g ( x) > , g ( x) log f ( x ) = log h ( x ) g ( x) g ( x) ùùợ f ( x) = h( x) a) Phng phỏp logarit húa v a v cựng c s: Vớ d 1: Gii phng trỡnh: log2x + log3x + log4x = log10x Vớ d 2: Gii phng trỡnh 3(log3 x ) + x log3 x Ê Vớ d : Gii pt : logx(x + 6) = b) Phng phỏp bin i hoc t n ph: Vớ d 1: Gii phng trỡnh ( x - 1)log2 [4( x- 1)] = 8( x - 1)3 Vớ d 2: Gii pt: log3(3x - 1).log3(3x + - 3) = log an b m = Vớ d 3: Gii bt pt : n Bi tp: log x x log x 0 3x - Ê 16 ỡù log ( x3 + x - x - y ) = ù x Gii h: ùớ ùù log ( y + y - y - x ) = y ợù log x + 2log ( x - 1) + log Ê Gii bt phng trỡnh: x Gii phng trỡnh: log (5 - 4) = - x ỡù ùù log ( y - x) - log = y Gii h: ùớ 4 ùù ùùợ x + y = 25 Gii phng trỡnh log ( x + x + 2) = log ( x + x) ùỡù log ( x + y ) = + log ( xy ) ( x, y ẻ Ă ) Gii h phng trỡnh: ùớ ùù x - xy+ y = 81 ùợ Đ7 NGUYấN HM, TCH PHN v NG DNG 23 Trang 23 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - I NGUYấN HM Khỏi nim nguyờn hm: Hm s F(x) c gi l nguyờn hm ca hm s f(x) trờn K F(x)= f(x), " x ẻ K ũ f ( x)dx = F ( x) + C , C ẻ R ( ũ f ( x)dx) ' = f ( x); ũ( f ( x) g ( x)) dx = ũ f ( x)dx ũ g ( x)dx ũ k f ( x)dx = k ũ f ( x)dx (k 0) Bng cỏc nguyờn hm: Cho k, b l cỏc s thc ( k 0) ũ dx = x + C ũ x dx = ũ x +1 + C ( - 1) +1 +1 dx = ln | x | +C x ũ sin xdx =- cos x + C ũ cos xdx = sin x + C ũ cos2 x dx = ũ (1 + tan x)dx = tan x + C ũ dx = ũ (1 + cot x)dx =- cot x + C sin x ũe x ũa ( ) ( ) dx = e x + C x x dx = ũ kdx = kx + C a + C (0 < a 1) ln a ( kx + b) ũ (kx + b)dx = k +1 + C ( - 1) dx ũ kx + b = k ln kx + b + C ũ sin(kx + b)dx =- k cos(kx + b) + C ũ cos(kx + b)dx = k sin(kx + b) + C 1 ũ cos2 (kx + b) dx = k tan(kx + b) + C 1 ũ sin (kx + b) dx =- k cot(kx + b) + C kx+b kx+b ũ e dx = k e + C a kx+b kx+b a dx = + C (0 < a 1) ũ k ln a Mt s phng phỏp tỡm nguyờn hm: Phng phỏp phõn tớch v s dng bng nguyờn hm: Ta phõn tớch hm s di du tớch phõn thnh tng hoc hiu cỏc hm s m ta ó bit nguyờn hm Vớ d: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: x + 3x - I1 = ũ dx x2 x I = ũ tan xdx I = ũ 2sin dx I = ũ cos xdx I = ũ sin x.cos xdx I5 = ũ dx sin x.cos x Phng phỏp i bin s: Nu f ( x) = g [ u ( x)].u '( x) m ũ g (t )dt d tỡm thỡ ta thc hin cỏc bc sau: + t t = u ( x) + Tỡm dt = u '( x)dx + ũ f ( x)dx = ũ g ởu ( x)ỳ ỷ.u '( x)dx = ũ g (t )dt 24 Trang 24 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - + Tỡm ũ g (t )dt = G (t ) + C = G [ u ( x) ] + C Vớ d: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: I1 = ũ sin x cos xdx I4 = ũ x x +1dx I = ũ x x + 3dx dx I5 = ũ ( x 1+ x ) I3 = ũ I6 = ũ x dx x +1 dx cos x I = ũ cos3 xdx Phng phỏp tớnh nguyờn hm tng phn: ũ udv = uv - ũ vdu Vớ d: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: I = ũ( x - 1) cos xdx I1 = ũ x sin xdx I = ũ x.ln xdx I = ũ e x sin xdx I = ũ sin xdx I8 = ũ x +1dx I6 = ũ n Bi tp: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: ổ e- x xỗ ( ln x) B = e + B1 = ũ dx ũ ỗỗ B5 = ũ B4 = ũ x sin xdx B7 = ũ ln xdx ữ ữ dx ữ ữ cos x ứ ỗ ố x x3 1+ x tan x B8 = ũ I = ũ x.e x dx e dx cos x ổ sin ỗ x- ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 4ứ B10 = ũ dx sin x + 2(1 + sin x + cos x) dx ln ( ln x ) dx x B3 = ũ sin xdx B6 = ũ dx e +1 x B9 = ũ( cos3 x - 1) cos xdx B11 = ũ ln x dx x Nguyờn hm ca mt s hm s thng gp: Nguyờn hm ca hm s hu t: f ( x) = P ( x) Q( x) Nu bc ca P(x) > bc ca Q(x) thỡ ta thc hin phộp chia a thc P(x) cho Q(x) Nu bc ca P(x) < bc ca Q(x) ta phõn tớch Q(x) thnh nhõn t sau ú ta phõn tớch f(x) thnh tng nhiu phõn thc bng phng phỏp h s bt nh hoc phng phỏp giỏ tr riờng Vớ d nh: cx + d A B = + ( x - a )( x - b) x - a x - b (1) mx + nx + k A Bx + C = + 2 ( x - d )(ax + bx + c) x - d ax + bx + c a4 x + a3 x3 + a2 x + a1 x + a0 A B C D E = + + + + 2 x - a ( x - a) x - b ( x - b) ( x - a ) ( x - b) ( x - a) 25 Trang 25 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - i vi Bx + C ũ ax + bx + c dx ta chia ba trng hp: i) Nu tam thc ax + bx + c cú hai nghim x1; x2 thỡ ax + bx + c = a ( x - x1 )( x - x2 ) ta s dng cụng thc (1) trờn phõn tớch ii) Nu tam thc ax + bx + c cú nghim kộp x = x0 thỡ ax + bx + c = a ( x - x0 ) ổB Bb ữ ỗ (2 ax + b ) + C ữ ỗ ữ Bx + C ỗ a a ữ ỗ dx = dx ữ ũ ax + bx + c ũỗỗ ữ a ( x x ) ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ Chỳ ý rng 2ax+ b l o hm ca ax2+bx+c ộổ b ử2 ự 2ỳ ữ ỗ ax + bx + c = a x + + k ữ iii) Nu tam thc ax + bx + c vụ nghim thỡ ờỗ ỳ ữ ỗ ố 2a ứ ỳ ỷ ổ ữ ỗ ỗ B Bb ữ ữ ỗ ữ (2 ax + b ) + C ỗ ữ Bx + C ỗ ữ a a ữ dx = ũỗ dx sau ú s dng PP i chn k > thỡ ũ ỗ ữ ộ ự ữ ỗ ax + bx + c ổ b ữ ỗ ờx + ữ ữ ỗ +k2ỳ ữ ữ ỗ ỗ a ờỗ ỳ ữ ỗ ữ ố ứ a ỗ ố ỳ ứ ỷ ữ ổ b - 0) thỡ: a ũ f ( x)dx = 2ũ f ( x)dx - a Nu f ( x) l hm s liờn tc trờn on [0;1] thỡ: 0 ũ f (sin x)dx = ũ f (cos x)dx ũ xf (sin x)dx = ũ f (sin x)dx 0 Nu f ( x) l hm s chn v liờn tc trờn Ă thỡ f ( x) + ũ a x +1 dx = ũ f ( x)dx ( ẻ Ă , a > 0, a 1) - Ngoi ta cũn cú th dựng tớch phõn liờn kt gii cỏc bi toỏn v tớch phõn Vớ d v bi tp: Tớnh cỏc tớch phõn sau: cos n x J1 = ũ dx (n ẻ Â + ) n n cos x + sin x J = ũ x sin xdx x4 dx x + - J3 = ũ J4 = ũ x sin x dx - cos x III NG DNG CA TCH PHN Tớnh din tớch hỡnh phng: Cụng thc: + Din tớch hỡnh phng (H) gii hn bi cỏc ng y = f ( x); y = g ( x); x = a; x = b b (a < b) vi cỏc hm s f ( x), g ( x) liờn tc trờn [a; b] l: S = ũ| f ( x) - g ( x) | dx a 29 Trang 29 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - + Din tớch hỡnh phng gi hn bi cỏc ng x = g ( y ); x = h( y ) ; y = a, y = b b (a < b) vi cỏc hm s x = g ( y ), x = h( y ) liờn tc trờn [a; b] l: S = ũ| g ( y ) - h( y ) | dy a tớnh din tớch hỡnh (H) cn xỏc nh phng trỡnh ng ú cú ng y= v hai ng x = b S = ũ| f ( x) - g ( x) | dx a b c S = ũ| g ( x) - h( x) | dx + ũ| f ( x) - h( x) | dx a b b S = ũ| h( y ) - g ( y ) | dy a Tớnh th tớch Cụng thc: Vt th bi hai mt phng = b; cú din tớch din ct bi mt vuụng gúc vi Ox x (a < x < b) l th tớch c tớnh theo cụng thc: vt th: gii hn x = a, x thit phng ti im S(x) cú b V = ũ S ( x)dx a Th tớch ca trũn xoay to thnh hỡnh (H) gii hn bi cỏc ng y = f ( x) , trc honh, x = a, x =b quay quanh trc Ox l: b V = ũ[ f ( x)] dx a Th tớch ca trũn xoay to thnh hỡnh (H) gii hn bi cỏc ng x = g ( y ) , trc honh, y = a, y =b quay quanh trc Oy l: 30 Trang 30 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - b V = ũ[ g ( y ) ] dy a Vớ d v bi tp: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau: 1) y = x.e x , trục hoành, x =- 1, x = 2) y = tan x, y = 0, x = , x = 3) y = sin x.cos3 x; y = 0; x = 0; x = 1 ; x = ; x = 4) y = ; y = 5) y = x + x ; Ox; x = sin x cos x - 3x - ; Ox; Oy 6) y = 7) x = y ; x + y + = 0; y = x- 8) y = x - x; y =- x + x 9) y =- x + x; y =- 3x x2 y = x 13) y =| x - x + |; y = x + (H k.A 2002) 10) y + x - = 0; x + y - = 12) x =- y ; x = 1- y 11) y = x ; y = 14) Tỡm din tớch hỡnh phng gii hn bi (P): y = x - x + v hai tip tuyn ca (P) ti cỏc im A(1; 2), B(4;5) 15) Cho parabol (P): y = x v hai im A, B thuc (P) cho AB = Tỡm A, B cho din tớch hỡnh phng gii hn bi (P) v ng thng AB t giỏ tr ln nht Tớnh th tớch ca phn vt th gii hn bi hai mt phng x = 0, x = 3, bit rng thit din b ct bi mt phng vuụng gúc vi trc Ox ti im cú honh x (0 < x < 3) l mt hỡnh ch nht cú chiu rng v chiu di l x v - x Tớnh th tớch trũn xoay to thnh quay quanh trc Ox mi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau: a) y = ln x; y = 0; x = 1; x = b) y = + sin x + cos x , y = 0; x = 0; x = 2 c) y = cos x; y =0; x = 0; x = d) y = x ; y = 0; x = e) y = sin x, y = 0, x = 0, x = f) x + y - = 0; x + y - = g) y = x ; y = x + Tớnh th tớch trũn xoay to thnh quay quanh trc Oy mi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng sau: 2y , y = 0, y = 1, Oy a) x = b) y = - x , Oy, y = y +1 CC BI TON TRONG THI TUYN SINH TRONG CC NM QUA x2 x2 Khi B 2002: Tớnh din tớch hỡnh (H) gii hn bi cỏc ng: y = , y= 4 31 Trang 31 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Khi A2003: I = ũ Khi D 2003: I= ũx e Khi B 2004: I = Khi A 2005: I = ũ x x2 + 1- 2sin x dx + sin x - x dx Khi A 2004: I = ũ1 + ũ (e sin x x dx x- Khi D 2004: I = ũ ln( x - x)dx /2 sin x + sin x dx + 3cos x /2 Khi D 2005: I = Khi B 2003: I = ũ + 3ln x ln x dx x ũ /2 /4 dx Khi B 2005: I = ũ sin x cos x dx + cos x + cos x) cos x dx Khi A 2006: I = /2 ũ sin x cos x + 4sin x dx ln dx Khi B 2006: I = ũ x Khi D 2006: I = - x e + e ln Khi A 2007: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi hai ng y = (e +1) x, y = ( + e x ) x ũ( x - 2)e2 x dx Khi B 2007: Cho hỡnh phng (H) gii hn bi cỏc ng y = x ln x, y = 0, x = e Tớnh ca th tớch trũn xoay to thnh quay hỡnh (H) quanh trc Ox e Khi A 2008: I = tan x dx ũ cos x Khi D 2007: I = ũ x ln x dx ổ sin ỗ x- ữ ữ ỗ ữdx ỗ ố 4ứ Khi B 2008: I = ũ sin x + 2(1 + sin x + cos x) Khi A 2009: Tớnh tớch phõn: I = ( cos3 x - 1) cos x dx ũ Khi B 2009: Tớnh tớch phõn: I = ũ 32 + ln x ( x +1) Trang 32 dx Khi D 2009: I = ũ dx ex - GV: TRUNG LAI ... CC BI TON TRONG THI TUYN SINH TRONG CC NM QUA x2 x2 Khi B 2002: Tớnh din tớch hỡnh (H) gii hn bi cỏc ng: y = , y= 4 31 Trang 31 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH -... Nu a > thỡ: af(x) > ag(x) f(x) > g(x) 21 Trang 21 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - Nu < a < thỡ: af(x) > ag(x) f(x) < g(x) af(x) = b f(x) = logab af(x) < b (vi... trỡnh cú ngha logab cú ngha < a v b > 22 Trang 22 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu Luyn Thi: GII TCH - m log a b ( b > ; < a ) loga b2k = 2k.loga|b| vi k n loga x1 = loga x2 x1