luyện thi đại học phần (3)

Trng THPT Tõn Chõu Ti liu luyn thi:HỡnhHc - HèNH HC KHễNG GIAN H THC LNG TRONG TAM GIC Lý thuyt: MT S H THC LNG: Cho tam giỏc ABC cú cỏc gúc l A, B, C, BC = a, CA = b, AB = c A+ B + C = ; ; sin B+ C A = cos 2 A+ B + C = nờn sin A = sin( B + C ) ; cos A = - cos( B + C ) 2 H thc lng tam giỏc vuụng: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A 1 = + 2 AH AB AC + BA2 = BH BC ; CA2 = CH CB + nh lý hm s cụsin: a = b + c - 2bc cos A a b c = = = 2R sin A sin B sin C b2 + c2 a2 Cụng thc trung tuyn ma = nh lý hm s sin: Cỏc cụng thc tớnh din tớch: abc + S= ; 4R + S = a + S = bc.sin A S = pr ; S = p( p - a )( p - b)( p - c ) (Hê-rông) I CNG V NG THNG V MT PHNG: Tỡm giao tuyn ca hai mt phng: Cỏch 1: tỡm giao tuyn ca hai mt phng ta tỡm hai im chung phõn bit ca hai mt phng; ú giao tuyn l ng thng i qua hai im chung ú Cỏch 2: tỡm giao tuyn ca hai mt phng ta cú th tỡm mt im chung v phng ca giao tuyn (xột xem giao tuyn song song vi ng thng no) Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy l t giỏc ABCD, AB ct CD ti E, AC ct BD ti F a) Tỡm giao tuyn ca mp(SAB) v mp(SCD); ca mp(SAC) v (SBD) b) Tỡm giao tuyn ca mp(SEF) vi cỏc mt phng (SAD) v (SBC) Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh bỡnh hnh ABCD tõm O M, N, P ln lt l trung im ca BC, CD, SO Tỡm giao tuyn ca mt phng (MNP) vi cỏc mt phng (SAB), (SCD), (SBC) v (SCD) ? Bi tp: 1) Cho t din ABCD Gi I, J ln lt l trung im ca AC v BC K l mt im trờn cnh BD cho KD < KB Tỡm giao tuyn ca mt phng (IJK) vi cỏc mt phng (ACD) v (ABD) Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu luyn thi:HỡnhHc - 2) Cho t din ABCD, O l mt im bờn tam giỏc BCD, M l mt im trờn trờn AO a) Tỡm giao tuyn ca mt phng (MCD) vi cỏc mt phng (ABC) v (ABD) b) Gi I, J l hai im trờn BC v BD Tỡm giao tuyn ca (IJM) v (ACD) Tỡm giao im ca ng thng v mt phng: tỡm giao im ca ng thng a v mt phng (P) ta chn mt phng ph ( ) cha a cho giao tuyn ca (P) v ( ) d tỡm Khi ú giao im ca a v l giao im cn tỡm Vớ d 1: Cho t din ABCD, trờn AC v AD ln lt ly cỏc im M, N cho MN khụng song song vi CD Gi O l mt im bờn tam giỏc BCD a) Tỡm giao im ca (OMN) v (BCD) b) Tỡm giao im ca BC v BD vi mt phng (OMN) Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD, M l mt im trờn cnh SC a) Tỡm giao im ca AM v (SBD) b) Gi N l mt im trờn cnh BC, tỡm giao im ca SD v (AMN) ? Bi tp: 1) Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh thang, cnh ỏy ln l AB Gi I, J, K l ba im trờn SA, AB, BC theo th t ú a) Tỡm giao im ca IK vi (SBD) b) Tỡm cỏc giao im ca mt phng (IJK) vi SD v SC 2) Cho t din ABCD, M v N l hai im ln lt trờn AC v AD O l mt im bờn tam giỏc BCD Tỡm giao im ca: a) MN v (ABO) b) AO v (BMN) Thit din: tỡm thit din ca mt phng (P) vi mt hỡnh chúp ta cn tỡm cỏc on giao tuyn ca mp(P) vi cỏc mt ca hỡnh chúp Vớ d: Cho hỡnh chúp S.ABCD Gi M l im nm tam giỏc SCD a) Tỡm giao tuyn ca hai mt phng (SBM) v (SAC) b) Giao im ca ng thng BM v mt phng (SAC) c) Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp ct bi mp(ABM) ? Bi tp: 1) Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD vi hai ng thng AB v CD ct Gi A l mt im nm gia hai im S v A Hóy tỡm thit din ca hỡnh chúp vi mt phng (ACD) 2) Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD Ba im A, B, C l trung im ca ba cnh SA, SB, SC Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp ct bi mp(ABC) Mt s bi toỏn c bn: 1) Cho (P) l mt phng xỏc nh bi hai ng thng ct a v b v a ầ b = O Gi s (d) l ng thng ct (P) ti I; (d) chộo vi a v b; M l mt im chy trờn (d) Chng minh rng y cỏc giao tuyn () ca hai mt phng (M,a) v (M,b) luụn nm trờn mt mt phng c nh 2) Trong mt phng (P) cho t giỏc ABCD, ú AB ct CD ti E S l mt im nm ngoi (P), M l mt im di ng trờn SB Mt phng (MAD) ct SC ti N Gi s AM ầ DN = I Chng minh rng M di ng thỡ I luụn nm trờn ng thng c nh 3) Cho t din ABCD Gi I l im nm trờn ng thng BD, nhng khụng thuc on BD Trong (ABD) v mt ng thng qua I v ct hai on AB, AD ti K v L Trong mt phng (BCD) v mt ng thng qua I v ct hai on CB, CD tng ng ti M, N Gi s Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu luyn thi:HỡnhHc - BN ầ DM = O1 , BL ầ DK = O2 , LM ầ KN = J Chng minh rng ba im A, J, O1 thng hng v ba im C, J, O2 cng thng hng 4) Cho t din ABCD Gi A1, B1, C1, D1 ln lt l trng tõm ca cỏc tam giỏc BCD, ACD, ABD, ABC Chng minh rng AA1, BB1, CC1, DD1 ng quy ti im G v ta cú: AG BG CG DG = = = = AA1 BB1 CC1 DD1 QUAN H SONG SONG: Hai ng thng phõn bit cựng song song vi ng thng th ba thỡ song song Nu ba mt phng ụi mt ct theo ba giao tuyn phõn bit thỡ ba giao tuyn y ng quy hoc ụi mt song song Nu hai mt phng ct ùù ( P ) I ( Q ) = cỹ ln lt i qua hai ng ộc / / a / / b ùù thng song song thỡ giao tuyn a / /b ùù ị c a ý ca chỳng song song vi hai ùù a è ( P) ờc b ng thng ó cho (hoc trựng ùù vi mt hai ng thng b è ( Q) ùỵ ù ú) a bùỹ ùù a / / c ýị a / / b ù b / / c ùùùỵ Nu ng thng a khụng nm trờn mp ( P ) v song song vi mt ng thng b nm trờn (P) thỡ a // (P) a ậ ( P )ùỹ ùù b è ( P ) ý ị a / /( P ) ù a / / b ùùùỵ Nu ng thng a song song mt phng (P) thỡ mi mt phng (Q) cha a m ct (P) thỡ giao tuyn ca (P) v (Q) song song vi a ỹ a / /( P ) ùù ù (Q) ẫ a ýị a / /b ù (Q) I ( P) = bùùùỵ Nu hai mt phng ct cựng song song vi mt ng thng thỡ giao tuyn ca chỳng cng song song vi ng thng ú Nu mt phng (P) cha hai ng thng a, b ct v cựng song song mt phng (Q) thỡ (P) song song (Q) a, b cắt nhauỹ ùù ù a, b è ( P ) ùù ý ị (Q) / /( P) ùù a / /(Q) ùù b / /(Q) ùỵ Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu luyn thi:HỡnhHc - nh lớ Talột: Ba mt phng ụi mt song song chn trờn hai cỏt tuyn bt k cỏc on thng tng ng t l Nu ba mt phng (P), (Q), (R) ct hai ng thng a v a ln lt ti A, B, C v A, B, AB BC CA = = C thỡ A ' B ' B 'C ' C ' A ' Cỏc dng toỏn: Chng minh hai ng thng song song: Cú th s dng cỏc phng phỏp sau: Chng minh hai ng thng ú ng phng, ri ỏp dng phng phỏp chng minh song song hỡnh hc phng (nh tớnh cht ng trung bỡnh, nh lý o ca nh lý Talột, ) Chng minh hai ng thng ú cựng song song vi ng thng th ba p dng nh lý v giao tuyn Vớ d: Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy ABCD l hỡnh thang cỏc cnh ỏy l AB v CD (AB > CD) Gi M, N ln lt l trung im ca SA, SB Chng minh MN // CD Tỡm giao im P ca SC v mt phng (AND) Kộo di AN v DP ct ti I Chng minh SI // AB // CD T giỏc SABI l hỡnh gỡ? ? Bi tp: Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh bỡnh hnh Gi M, N, P, Q l cỏc im ln lt nm trờn BC, SC, SD, AD cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD Chng minh PQ // SA Gi K l giao im ca MN v PQ, chng minh SK // AD // BC Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy l hỡnh thang vi cỏc cnh ỏy l AB v CD Gi I, J ln lt l trung im ca AD v BC v G l trng tõm tam giỏc SAB Tỡm giao tuyn ca (SAB) v (IJG) Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp vi mt phng (IJG) Thit din l hỡnh gỡ? Tỡm iu kin i vi AB v CD thit din l hỡnh bỡnh hnh Chng minh ng thng a song song mt phng (): Ta chng minh a khụng nm mt phng () v song song vi ng thng d nm mt phng () Vớ d1: Cho hai hỡnh bỡnh hnh ABCD v ABEF khụng cựng nm mt mt phng Gi O v O ln lt l tõm ca ABCD v ABEF Chng minh OO song song vi cỏc mt phng (ADF) v (BCE) M, N l hai im ln lt nm trờn hai cnh AE, BD cho AM = AE , BN = BD Chng minh MN song song vi (CDE) Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh Gi M, N ln lt l trung im cỏc cnh AB, CD a) Chng minh MN song song vi cỏc mt (SBC) v (SCD) b) Gi P l trung im ca SA Chng minh SB, SC u song song vi mp(MNP) Chng minh hai mt phng song song: chng minh mp(P) song song mt phng (Q) ta cú th c/m theo cỏc cỏch sau: + Chng minh mp(P) cha hai ng thng ct v song song vi mp(Q) + Chng minh (P) // (R) v (Q) // (R) Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu luyn thi:HỡnhHc - Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh bỡnh hnh tõm O Gi M, N ln lt l trung im ca SA v SD Chng minh rng (OMN) song song vi (SBC) Gi P, Q l trung im ca AB v ON Chng minh rng PQ // (SBC) Vớ d 2: Cho hỡnh hp ABCD.ABCD Chng minh hai mt phng (BDA) v (BDC) song song Chng minh ng chộo AC i qua cỏc tõm G1, G2 ca hai tam giỏc BDA v BDC QUAN H VUễNG GểC: Nu ng thng d vuụng gúc vi hai ng thng ct a v b cựng nm mt phng (P) thỡ ng thng d vuụng gúc vi mt phng (P) a, b cắt nhauỹ ùù ù a, b è ( P ) ùù ý ị d ^ ( P) ùù d^ a ùù d^ b ùỵ Mt phng trung trc ca on thng AB l mt phng i qua trung im ca AB v vuụng gúc vi AB Mt phng trung trc ca on thng AB l hp tt c cỏc im cỏch u hai im A, B Trc ca tam giỏc ABC l ng thng i qua tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC v vuụng gúc vi mt phng (ABC) Trc ca tam giỏc ABC l hp cỏc im khụng gian cỏch u ba nh A, B, C Mt phng no vuụng gúc mt hai ng thng song song thỡ cng vuụng gúc vi a / /b ỹ ùù ng thng cũn li ý ị ( P) ^ b ( P) ^ aùùỵ Hai ng thng phõn bit cựng vuụng gúc vi mt mt phng thỡ song song vi a ^ ( P )ỹ ùù ù b ^ ( P)ý ị a / / b ù a b ùùùỵ ng thng no vuụng gúc vi mt ( P) / /(Q)ỹ ùù hai mt phng song thỡ cng vuụng gúc vi mt phng cũn li ý ị a ^ (Q) a ^ ( P ) ùùỵ Hai mt phng phõn bit cựng vuụng gúc vi mt ng thng thỡ song song ( P) (Q )ỹ ùù ù ( P) ^ a ý ị ( P) / /(Q ) ù (Q) ^ a ùùùỵ Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu luyn thi:HỡnhHc - Cho ng thng a v mt phng (P) song song vi ng thng no vuụng gúc vi (P) thỡ cng vuụng gúc vi a nh lý ba ng vuụng gúc: Cho ng thng a khụng vuụng gúc vi mt phng (P) v ng thng b nm (P) Khi ú, iu kin cn v b vuụng gúc vi a l b vuụng gúc vi hỡnh chiu a ca a trờn (P) Nu mt mt cha mt ng thng vuụng gúc vi mt mt phng khỏc thỡ hai mt ( P) ẫ a ỹ ùù ý ị ( P) ^ (Q) phng ú vuụng gúc a ^ (Q )ùùỵ Nu hai mt phng (P) v (Q) vuụng gúc thỡ bt c ng thng a no nm (P), vuụng gúc vi giao tuyn ca (P) v (Q) u vuụng gúc vi (Q) ( P) ^ (Q) ùỹ ùù ( P) I (Q) = ý ị a ^ (Q) ù a è ( P), a ^ ùùùỵ Nu hai mt phng ct cựng vuụng gúc vi mt phng th ba thỡ giao tuyn ca chỳng vuụng gúc vi mt phng th ba ( P) ^ ( R) ùỹ ùù (Q) ^ ( R) ý ị ^ ( R) ù ( P) I (Q) = ùùùỵ Cho hai ng thng chộo a v b ng thng c ct c a v b ng thi vuụng gúc vi c a v b c gi l ng vuụng gúc chung ca hai ng thng chộo a v b Gúc gia ng thng a v mt phng (P) l gúc gia a v hỡnh chiu ca nú trờn mt phng (P) (a khụng vuụng gúc vi (P)) Gúc gia hai mt phng (P) v (Q) l gúc gia hai ng thng a v b ln lt vuụng gúc vi (P) v (Q) Gi l giao tuyn ca (P) v (Q) tớnh gúc gia (P) v ã (Q) ta tớnh gúc AIB vi I ẻ , IA nm trờn (P), IB nm trờn (Q); IA ^ , IB ^ , t ú suy gúc cn tỡm Gúc gia hai m.phng tha 00 Ê Ê 900 Cỏc dng toỏn: Chng minh ng thng vuụng gúc vi mt phng v chng minh hai ng thng vuụng gúc: chng minh ng thng a vuụng gúc vi mt phng (P) ta cú th thc hin theo cỏc cỏch sau: + Chng minh a vuụng gúc vi hai ng thng ct nm mt phng (P) + Chng minh a song song vi ng thng b m b vuụng gúc vi (P) + Chng minh a l trc ng trũn ngoi tip ca tam giỏc ABC vi A, B, C thuc mt phng (P) + S dng nh lý: Nu a cha mt phng (Q) vuụng gúc vi mt phng (P) v a vuụng gúc vi giao tuyn ca (Q) v (P) Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu luyn thi:HỡnhHc - + Chng minh a l giao tuyn ca hai mt phng cựng vuụng gúc vi (P) chng minh hai ng thng vuụng gúc ta cú th thc hin theo cỏc cỏch sau: + Chng minh ng thng ny vuụng gúc vi mt mt phng cha ng thng + Nu hai ng thng ú ct thỡ cú th ỏp dng cỏc kin thc ca hỡnh hc phng chng minh Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng tõm O; SA vuụng gúc vi ỏy Gi H, I, K ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn SB, SC, SD a) Chng minh rng BC vuụng gúc vi mt phng (SAB); CD vuụng gúc vi mt phng (SAD); BD vuụng gúc vi mt phng (SAC) b) Chng minh AH, AK cựng vuụng gúc vi SC T ú suy ba ng thng AH, AI, AK cựng nm mt mt phng c) Chng minh rng HK vuụng gúc vi mt phng (SAC) T ú suy HK vuụng gúc vi AI Vớ d 2: Cho t din OABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc vi Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O lờn mt phng (ABC) Chng minh rng: BC vuụng gúc vi (OAH) H l trc tõm ca tam giỏc ABC 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Chng minh hai mt phng vuụng gúc: Chng minh mt phng ny cha mt ng thng vuụng gúc vi mt phng hoc chng minh gúc gia hai mt phng l 900 Vớ d: Cho hỡnh t din ABCD cú hai mt phng (ABC), (ABD) cựng vuụng gúc vi ỏy DBC V cỏc ng cao BE, DF ca tam giỏc BCD; ng cao DK ca tam giỏc ACD a) Chng minh AB vuụng gúc vi mt phng (BCD) b) Chng minh hai mt phng (ABE) v (DFK) cựng vuụng gúc vi mt phng (ADC) c) Gi O v H ln lt l trc tõm ca hai tam giỏc BCD v ACD Chng minh OH vuụng gúc vi mt phng (ADC) n Bi tp: Cho t din OABC cú cỏc tam giỏc OAB, OBC, OCA l cỏc tam giỏc vuụng nh O Gi , , ln lt l gúc hp bi cỏc mt phng (OBC), (OCA), (OAB) vi mt phng (ABC) Chng minh rng: cos + cos + cos = Hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, cnh SA = a v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) Chng minh cỏc mt bờn ca hỡnh chúp l cỏc tam giỏc vuụng Mt phng ( ) qua A v vuụng gúc vi SC ln lt ct SB, SC, SD ti B, C, D Chng minh BD song song vi BD v AB vuụng gúc vi SB T din ABCD cú ABC l tam giỏc u cnh a, AD vuụng gúc vi BC, AD = a v khong cỏch t D n BC l a Gi H l l trung im ca BC v I l trung im ca AH Chng minh BC ^ (ADH) v DH = a Chng minh DI ^ (ABC) Xỏc nh v tớnh di on vuụng gúc chung ca hai ng thng AD v BC v B l cỏc gúc vuụng, AD = 2a, AB = BC = a S l im Cho hỡnh thang ABCD cú A nm trờn tia Ax vuụng gúc vi mp(ABCD) Gi C, D ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc SC v SD Chng minh SB vuụng gúc vi BC v SC vuụng gúc vi CD Chng minh cỏc ng thng AD, AC, AB ng phng T ú chng minh AB, CD, CD ng qui Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu luyn thi:HỡnhHc - Cho AS = a Tớnh din tớch t giỏc ABCD Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC, di cnh ỏy l a Gi M v N ln lt l trung im ca cỏc cnh SB v SC Tớnh theo a din tớch tam giỏc AMN, bit rng mp(AMN) ^ mp(SBC) Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD Gi M, N, P ln lt l cỏc trung im ca BB, CD, AD Chng minh MP ^ CN 6) Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD Hai im M,N ln lt l trung im ca hai on thng BC, AB xỏc nh dng vuụng gúc chung ca hai ng thng CD v MN Cho hỡnh t din ABCD cú cnh AD vuụng gúc vi mt phng (ABC); AC = AD = cm ; AB = cm ; BC = cm Tớnh khong cỏch t im A ti mt phng (BCD) KHI A DIN: Hỡnh chúp u l hỡnh chúp cú ỏy l a giỏc u v hỡnh chiu ca nh trựng vi tõm ca a giỏc ỏy nh ca hỡnh chúp u cỏch u cỏc nh ca tam giỏc ỏy nh ca hỡnh chúp u nm trờn trc ng trũn ngoi tip a giỏc ỏy Cỏc mt bờn ca hỡnh chúp u l cỏc tam giỏc cõn bng Hỡnh lng tr u l hỡnh lng tr ng cú ỏy l a giỏc u Hỡnh hp l hỡnh lng tr cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh Hỡnh hp ch nht l hỡnh hp ng cú ỏy l hỡnh ch nht Cỏc mt ca hỡnh hp ch nht l cỏc hỡnh ch nht Th tớch hỡnh chúp bng mt phn ba tớch ca din tớch ỏy vi chiu cao Vchúp = Sđáy h Cho t din SABC, trờn cỏc cnh SA, SB, SC ly cỏc im A, B, C ú ta cú VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = = = VSABC SA SB SC Ch ỳng cho t din Th tớch hỡnh lng tr bng din tớch ỏy nhõn vi chiu cao Vlăng trụ = S đáy h Mt vi chỳ ý xỏc nh ng cao ca hỡnh chúp: Nu cú mt cnh bờn ca hỡnh chúp vuụng gúc vi ỏy thỡ cnh bờn ny l ng cao Nu cú mt mt bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ t nh hỡnh chúp ta v ng thng vuụng gúc vi giao tuyn ca mt bờn ny vi ỏy ng thng ny l ng cao Nu cú hai mt bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ giao tuyn ca hai mt bờn ny l ng cao Nu nh hỡnh chúp cỏch u cỏc cỏc nh ca a giỏc ỏy thỡ nh ca hỡnh chúp nm trờn trc ng trũn ngoi tip a giỏc ỏy (hỡnh chiu vuụng gúc ca nh hỡnh chúp l tõm ng trũn ngoi tip a giỏc ỏy) Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti C, AC = a, AB = 2a, SA vuụng gúc vi ỏy Gúc gia mt phng (SAB) v (SBC) l 60 Gi H, K ln lt l hỡnh chiu ca A lờn SB v SC Chng minh rng AK vuụng gúc vi HK v tinhd th tớch hỡnh chúp S.ABC Vớ d 2: Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, AB = a, AA = 2a, AC = 3a Gi M l trung im ca on thng AC, I l giao im ca AM v AC Tớnh th tớch t din IABC theo a (H D nm 2009) Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu luyn thi:HỡnhHc - Vớ d 3:Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, SA (ABCD) Cho SA = AB = a; mt phng (P) qua A vuụng gúc vi mt phng (SAC) ct SB, SC v SD ln lt ti B/ ; C / ; D / Chng minh rng t giỏc AB/C/D/ cú hai ng chộo vuụng gúc Chng minh th tớch ca hai a din SABC v SADC bng t SC = x Tỡm x mt phng (P) chia hỡnh chúp thnh hai phn cú th tớch bng n Bi tp: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng a, gúc gia cnh bờn v mt ỏy 0 bng < < 90 Tớnh tang ca gúc gia hai mt phng (SAB) v (ABCD) theo ( ) Tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a v Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD Tớnh gúc gia hai mt phng (BAC) v (DAC) Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD Gi M l trung im ca SB Mt phng (ADM) chia chúp chúp thnh hai phn Tớnh t s th tớch ca hai phn ú Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, mt bờn SAD l tam giỏc u v nm mt phng vuụng gúc vi ỏy Gi M, N, P ln lt l trung im ca cỏc cnh SB, BC, CD Chng minh AM vuụng gúc vi BP v tớnh th tớch ca t din CMNP Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a Gi E l im i xng ca D qua trung im ca SA, M l trung im ca AE, N l trung im ca BC Chng minh MN vuụng gúc vi BD v tớnh (theo a) khong cỏch gia hai ng thng MN v AC ã Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thang, ãABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cnh bờn SA vuụng gúc vi ỏy v SA = a Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB Chng minh tam giỏc SCD vuụng v tớnh (theo a) khong cỏch t H n mt phng (SCD) Cho lng tr ABC.A'B'C' cú di cnh bờn bng 2a, ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A, AB = a, AC = a v hỡnh chiu vuụng gúc ca nh A' trờn mt phng (ABC) l trung im ca cnh BC Tớnh theo a th tớch chúp A'.ABC v tớnh cosin ca gúc gia hai ng thng AA', B'C' Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, SA = a, SB = a v mt phng (SAB) vuụng gúc vi mt phng ỏy Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, BC Tớnh theo a th tớch ca chúp S.BMDN v tớnh cosin ca gúc gia hai ng thng SM, DN Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC cú BB = a, gúc gia ng thng ã BB v mt phng (ABC) bng 60 0; tam giỏc ABC vuụng ti C v BAC = 600 Hỡnh chiu vuụng gúc ca im B lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam giỏc ABC Tớnh th tớch t din AABC theo a Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a, AD = a , SA = a v SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD) Gi M v N ln lt l trung im ca AD v SC; I l giao im ca BM v AC Chng minh rng mt phng (SAC) vuụng gúc vi mt phng (SMB) Tớnh th tớch ca t din ANIB Cho lng tr xiờn ABC.ABC, ỏy l tam giỏc u cnh a v AA = AB = AC = b Xỏc nh ng cao ca lng tr v t A Chng minh mt bờn BCCB l hỡnh ch nht Trang GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu luyn thi:HỡnhHc - nh b theo a mt bờn ABBA hp vi ỏy ABC mt gúc cú s o 600 Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca lng tr theo a vi giỏ tr b va tỡm c Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA vuụng gúc vi mt phng (ABC) Gi M v N ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn cỏc ng thng SB v SC Tớnh th tớch ca chúp A.BCNM KHI TRềN XOAY: iu kin cn v hỡnh chúp ni tip c mt cu l ỏy ca hỡnh chúp l mt a giỏc ni tip c ng trũn Tõm ca mt cu ngoi tip hỡnh chúp l giao im ca trc ng trũn ngoi tip a giỏc ỏy vi mt phng trung trc ca mt cnh bờn Din tớch mt cu bỏn kớnh R l S mặt cầu = R 3 Th tớch cu bỏn kớnh R l Vkhối cầu = R Din tớch xung quanh ca hỡnh tr bng chu vi ỏy nhõn chiu cao Th tớch tr bng din tớch ỏy nhõn chiu cao Vtrụ = Sđáy h Din tớch xung quanh ca mt nún bng mt na chu vi ỏy nhõn vi chiu di ng sinh Th tớch nún bng mt phn ba din tớch ỏy nhõn chiu cao Vnún = S đáy h Cỏc vớ d: Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy l hỡnh vuụng ABCD cnh bng a, SA vuụng gúc vi ỏy ABCD v SB = a Xỏc nh tõm v tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp S,ABCD Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a, SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SA = a K AH vuụng SB, AK vuụng SD Chng minh SC vuụng gúc vi mt phng (AHK) Mt phng (AHK) ct SC ti I Tớnh th tớch hỡnh chúp S.AHKI Xỏc nh tõm v tớnh th tớch cu ngoi tip hỡnh chúp S.ABCD Vớ d 3: Cho hai mt phng (P) v (Q) vuụng gúc vi nhau, cú giao tuyn l ng thng Trờn ly hai im A, B vi AB = a Trong mt phng (P) ly im C, mt phng (Q) ly im D cho AC v BD cựng vuụng gúc vi Tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din ABCD v tớnh khong cỏch t A n mt phng (BCD) theo a Vớ d 4: Cho hỡnh tr cú cỏc ỏy l hai hỡnh trũn tõm O v O' , bỏn kớnh ỏy bng chiu cao v bng a Trờn ng trũn ỏy tõm O ly im A, trờn ng trũn ỏy tõm O' ly im B cho AB = 2a Tớnh th tớch ca t din OO'AB n Bi tp: Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC, cú cnh ỏy bng a, mt bờn hp vi ỏy mt gúc Xỏc nh tõm v tớnh bỏn kớnh ca mt cu ngoi tip hỡnh chúp Cho t din SABC, SA vuụng gúc vi mp(ABC), SA = a, AB = b, AC = c Xỏc nh tõm v tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din cỏc trng hp: ã BAC = 900 ã BAC = 600 ; b = c ã BAC = 1200 ; b = c Trang 10 GV: TRUNG LAI Trng THPT Tõn Chõu Ti liu luyn thi:HỡnhHc - Trong mt phng ( ) , cho ng trũn ng kớnh AB = 2R M l mt im i ng trờn ng trũn, MH vuụng gúc vi AB ti H, vi AH = x (0 < x < 2R) Dng ng thng vuụng gúc vi ( ) ti M trờn ú ly im S cho MS = MH Xỏc nh tõm v tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din SABM Tỡm x bỏn kớnh ú ln nht Mt tr cú bỏn kớnh ỏy r = 5cm, khong cỏch hai ỏy l cm Ct tr bi mt mt phng song song vi trc cỏch trc 3cm Tớnh din tớch thit din Cho tam giỏc ABC vuụng ti B, on DA vuụng gúc vi mt phng (ABC) Xỏc nh nt cu i qua bn im A, B, C, D Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a, tớnh bỏn kớnh mt cu núi trờn Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy AB = a v cnh bờn SA = a Xỏc nh tõm v tớnh bỏn kớnh ca mt cu i qua nm im S, A, B, C, D Tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip mt hỡnh chúp tam giỏc u cú cnh ỏy bng a v cnh bờn bng b Hỡnh chúp S.ABC cú ng cao SA = a, ỏy ABC l tam giỏc u cnh a Tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp Chng minh rng hỡnh chúp cú cỏc cnh bờn bng thỡ cú mt cu ngoi tip Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht v SA vuụng gúc vi ỏy Gi B, C, D ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB, SC, SD Chng minh: Cỏc im A, B, C, D ng phng By im A, B, C, D, B, C, D nm trờn mt mt cu Trang 11 GV: TRUNG LAI ... tam giỏc SAB Tỡm giao tuyn ca (SAB) v (IJG) Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp vi mt phng (IJG) Thit din l hỡnh gỡ? Tỡm iu kin i vi AB v CD thit din l hỡnh bỡnh hnh Chng minh ng thng a song song... mt phng (SAC) c) Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp ct bi mp(ABM) ? Bi tp: 1) Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD vi hai ng thng AB v CD ct Gi A l mt im nm gia hai im S v A Hóy tỡm thit din ca hỡnh chúp vi... lt trờn AC v AD O l mt im bờn tam giỏc BCD Tỡm giao im ca: a) MN v (ABO) b) AO v (BMN) Thit din: tỡm thit din ca mt phng (P) vi mt hỡnh chúp ta cn tỡm cỏc on giao tuyn ca mp(P) vi cỏc mt ca