Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 11 năm 2015 trường THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên

SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN MÔN: TOÁN-LỚP 11 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1.(1,5 điểm) Tìm số hạng đầu, công sai tổng 30 số hạng cấp số u6 − u2 = u3 + u4 = 17 cộng ( un ) biết:  Câu 2.(3,5 điểm) a) Tính giới hạn: lim ( n + 3n + − n ) b) Tìm m để hàm số : x=1  mx +  f ( x) =  3x + − x + liên tục x=1 x ≠  x −1  c) Chứng minh phương trình x + 2sin 2x − = có nghiệm Câu 3.(4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AD = SA = 2a , AB = BC = a a) Chứng minh rằng: SA ⊥ ( ABCD) b) Chứng minh rằng: ( SBC ) ⊥ ( SAB) c) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) d) Gọi M trung điểm cạnh CD Tính góc hai đường thẳng BM SC Câu 4.(1,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Chứng minh ba A cạnh a, b, c theo thứ tự tạo lập cấp số cộng ba số cot , 3, cot C theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh:…………… SỞ GD VÀ ĐT THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC KỲ II- MÔN TOÁN: LỚP 11 NĂM HỌC 2014-2015 Câu ĐIỂM ĐÁP ÁN Câu Tìm số hạng đầu, công sai tổng 30 số hạng cấp số cộng ( un ) 1,5 u6 − u2 = biết:  u3 + u4 = 17 u6 − u2 = u + 5d − ( u1 + d ) = ⇔  u3 + u4 = 17 u1 + 2d + u1 + 3d = 17 d = ⇔ u1 = 30 [ 2u1 + 29d ] S30 = = 615 0,5 0,5 0,5 ) ( Câu a) Tính giới hạn: lim n + 3n + − n a) 1,0 x=1 mx + b) 1,5  c) 1,0 b) Tìm m để hàm số f ( x) =  3x + − x + x ≠   liên tục x=1 x −1 c) Chứng minh phương trình x + 2sin 2x − = có nghiệm a) 1,0 a) lim ( ) n + 3n + − n = lim 3n + 0,5 n + 3n + + n n = lim 1+ + +1 n n = 3+ b) 1,5 0,25 0,25 b) x= thuộc tập xác định hàm số f ( x) = f (1) Hàm số liên tục x=1 lim x →1 +) f (1) = m + +) lim x →1 0,25 3x + − x + 3x + − 2 − 7x +1 =lim + lim x −1 x −1 x −1 x →1 x →1 0,25 2 = lim x →1 ( x + 1) 3x + + 2 + lim x →1 −7 + 7x +1 + 3 ( x + 1) = 11 12 0,5 11 −25 ⇔m= 12 12 −25 Vậy: m = 12 c) Xét hàm số g ( x) = x + 2sin 2x − liên tục tập xác định ¡ nên hàm số liên  π tục khoảng  0; ÷  2 0,25 π  π Có g (0) = −1 < , g  ÷ = − >   64 π  ⇒ g (0).g  ÷ < 2 0,25 Nên m + = c) 1,0 0,25 0,25 0,25  π Nên phương trình x + 2sin 2x − = có nghiệm khoảng  0; ÷ (đpcm)  2 0,25 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, mặt phẳng a) 1,0 b) 1,0 (SAB) mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AD = SA = 2a c) 1,0 , AB = BC = a d) 1,0 a) Chứng minh SA ⊥ ( ABCD) b) Chứng minh ( SBC ) ⊥ ( SAB) c) Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) d) Gọi M trung điểm cạnh CD Tính góc hai đường thẳng BM SC a) 1,0 a) 0,25 ( SAB ) ⊥ ( ABCD)  ( SAD) ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ ( ABCD) ( SAB ) ∩ ( SAD) = SA  0,75 ⇒ BC ⊥ ( SAB ), BC ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) 0,5 0,5 0,25 b) 1,0 b) BC ⊥ AB ( gt ) , BC ⊥ SA ( Do SA ⊥ ( ABCD), BC ⊂ ( ABCD)) c) 1,0 c) Đường thẳng AC hình chiếu đường thẳng SC mp(ABCD) Nên góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) góc đường ˆ < 90 thẳng AC SC ⇒ (SC,(ABCD)) = (SC, AC) = SCA (vì tam giác SAC vuông A) ∧ AC = a , tan SAC = 0,25 0,25 SA = AC Vậy: góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) α cho tan α = , (α ≈ 540 44 ') d) 1,0 d) MK đường trung bình tam giác SCD ⇒ MK / /SC ⇒ góc hai đường 0,25 0,25 thẳng BM SC góc hai đường thẳng BM MK 0,25 a 10 , MK = SC = a 6, BK = AB + AK = a 2 ∧ BM + KM − BK 11 cos BMK = = BM MK 15 BM = 0,25 Vậy: góc hai đường thẳng BM SC β cho cos β = 11 15 0,25 ( β ≈ 440 46 ') Câu Cho tam giác ABC có AB=c, BC=a, CA=b Chứng minh ba cạnh a, b, c 1,0 A C theo thứ tự tạo lập cấp số cộng ba số cot , 3, cot theo thứ 2 tự lập thành cấp số nhân Theo có: b = a+c A C ⇔ cot cot = 2 B B A+C A−C = 2sin cos 2 2 A−C A+C B A+C B A+C ⇔ cos = cos ,sin = cos (Do cos = sin ) 2 2 2 A C A C A C A C ⇔ cos cos + sin sin = cos cos − 2sin sin 2 2 2 2 A C A C A C ⇔ 3sin sin = cos cos ⇔ cot cot = (đpcm) 2 2 2 0,25 Xét 2b = a + c ⇔ 2sin B = sin A + sin C ⇔ 4sin cos ( Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác, cho điểm ) 0,25 0,25 0,25