(1) ĐK: (2x + 1)(y + 1) 0 Mà x > 0 (1) Thay vào (2): (3) Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R (3) NX: x >1 không là nghiệm của phương trình Xét 01: Đặt x = cos với Ta có: (k) Do Vậy hệ có nghiệm 1đ 1đ 1đ 1đ
K THI CHN HC SINH GII KHU VC DUYấN HI V NG BNG BC B NM HC 2013 - 2014 THI MễN: TON HC LP 11 Thi gian 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 19/04/2014 CHNH THC Cõu 1(4 im): Gii h phng 2x 2y + 2x + y + 2xy + = trỡnh: 3y + = 8x 2y a(nan) n5=a1 n + 10 Cõu (4 im): Cho dóy : ax n >1;0an+1 = = an a) Chng minh dóy hi t v tớnh a1 + a2 + + an < n n b) Chng minh ADAB M ,ABC EF BC AD BE ,, AC N, CF K A Cõu (4 im): Gi l ba ng phõn giỏc ca tam giỏc vuụng on thng ct ti ng thng qua song song vi ct ln lt Chng minh rng: MN Cõu 4(4 im): Tỡm tt c cỏc hm s tho ( 2 ( AB + AC ) f :Ă Ă ) f x + y = xf ( x ) + yf ( y ) , x, y Ă (1) Cõu (4 im): Cho 100 s t nhiờn khụng ln hn 100 cú tng bng 200 Chng minh rng t cỏc s ú cú th chn c ớt nht mt b cỏc s cú tng bng 100 HT lim (aan )n K THI CHN HC SINH GII KHU VC DUYấN HI V NG BNG BC B NM HC 2013 - 2014 P N MễN TON HC LP 11 S Cõu 1(4 im): Gii trỡnh: h phng 2x 2y + 2x + y + 2xy + = 3y + = 8x 2y (Qung Tr) x yx+> 02 x + y + xy + = (1) (2) 3 y + = x y ( x + 1) ( y + 1) + ( x + 1) ( y + 1) =0 (1) x+ > K: (2x + 1)(y + 1) M x > y + (1) x + y + x2+x 1++1y2= y2yx++11 = 3 ( x3 +61x) ++13=68xx+ 1=4 (x2x1) + x ( )( Thay vo (2): ) (3) Hm s f(t) = t3 + t ng bin trờn R (3) x63x+31x==2 x NX: x >1 khụng l nghim ca phng trỡnh Xột 01: t x = cos vi (k) Ta cú: Do Vy h cú nghim xZ 12 < cos3 = 0, n N unn++11 = unn + Do ú: ) Suy ra: 0,25 1,5 im 0,25 * 1 unn++11 unn = n 2013 2013n u2 u1 = 2013 u3 u2 = 20132 unn unn11 = 2013n n 1 11 n 2013 ữ = unn u11 = + + + n 1 2013 ữ 2013 2013 2012 n n u1 = 2013 + 2013 n ữ n 2012 + + + + 2014 2013 2013 < un = 2013 + < n 2014 < = 1+ 2012 n n (Cụ si) Mt khỏc Vy 0,25 0,25 n + n +1 n +1 = 1,0 im 0,25 0,5 = lim u2013 lim + n ữ = n 0,25 S K Q B C J P O A M N D T 0,25 0,25 2,5 im 0,25 a) D thy ỏy ABCD l na hỡnh a lc giỏc u cnh a SCT ST == a1207 K DT//AC (T thuc BC) Suy CT=AD=a v DT vuụng gúc SD ST = a 7a SD = 2a Ta cú: DT=AC= Xột tam giỏc SCT cú SC=2a, CT=a, Xột tam giỏc vuụng SDT cú DT=, b) Qua M k ng thng song song vi AC ct AD, DC ln lt ti N,P Qua M, N, P k cỏc ng thng song song vi SD ct SB, SA, SC ln lt ti K, J, Q Thit din l ng giỏc NPQKJ Ta cú: NJ, MK, PQ ( NJ + MK ) MN + ( MK + PQ) MP cựng vuụng gúc vi NP ( NJ + MK ).NP NP MD AC.MD x.a = NP = = = 3x AC OD OD aa 2a xữ NJ AN OM SD.OM 33 = = NJ = = = 2(a x 3) a SD AD OD OD = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)= (do KM BM SD.BM 2a ( a x ) =1 KM = = = (a x) NJ=PQ) SD BD BD a 3 2(a x 3) + ( a x) ữ3 x = 2(3a x) x Ta cú: = 1 3 (3a 3x )2 x (3a 3x) + x = a 4 Suy ra: dt(NPQKJ)= 0,5 33 x = a 2a 4 Din tớch NPQKJ ln nht bng 0,25 0,25 a) d= -2013 t liờn tc trờn f ( x ) = x + ax + bx + cx 2013 R Ta cú: f ( ) = 2013 < () < >f 0; (= > 0)+ f>(0 ) < ( xf) (0) Mt khỏc , nờn tn ti f (0) flim x s cho Do ú Vy phng trỡnh cú ớt nht hai ( , 0) nghim phõn bit thuc hai khong (0, ) v l nghim ca x0 x0 phng trỡnh () 1 x04 + ax03 + bx02 + cx0 + = b = x02 + ax0 c x0 x0 b) d=1: Gi 1.0 im 0,25 0,5 0,25 1.0 im 0,25 1 2 ( a + b + c ) ( x + x + 1) = a + c + x0 + x ax0 c x ữ ( x0 + x + 1) 0 2 2 Ta cú: 2 1 ax0 + c x02 + 2ax10 c 2ữ = x02 + ữ Suy ra: vi t =x0x0 + x 22+ 12x0 x0 x0 Mt khỏc: t 22 t 2x00 x02 ữ t ( a+ 3bt +c4t) (t 2)(3 = t + 2) t +1 (ỳng ) x02 + + t + x4 Vy a + b + c Du bng xy (ng a = bx=0 =c 1= 23 vi ) vi) 0,25 (ng a = c x=0 2= ,b1= 0,25 0,25 S GD&T VNH PHC CHNH THC K THI CHN HSG LP 11 NM HC 2011-2012 THI MễN: TON Dnh cho hc sinh THPT chuyờn Vnh Phỳc Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao Cõu (3,0 im) y = x( xy + 2) z = y ( yz + 2) ( x, y , z Ă ) x = z ( zx + 2) Gii h phng trỡnh: Tớnh gii hn sau: lim x x x 0+ Cõu (2,0 im) ac bc b,12 8.c 1 Cho cỏc s thc dng a, D = a + b + c + + + ữ+ ì ab bc ca abc tha v Tỡm giỏ tr nh nht cú th c ca biu thc Cõu (2,0 im) p2 n1 p ( pnn1) +1 Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n v s nguyờn t p tha ng thi cỏc iu kin v chia ht cho Cõu (2,0 im) MN P BC Xột cỏc im M, N (M, N khụng trựng vi A) tng ng thay i trờn cỏc ng thng cha cỏc cnh AB, AC ca tam giỏc ABC cho v cỏc ng thng BN, CM ct ti P Gi Q l giao im th hai (khỏc im P) ca ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc BMP v CNP Chng minh rng Q luụn nm trờn mt ng thng c nh BC AA ',, ' CA B Q'',C, C'AB ' Gi ln lt l im i xng vi qua cỏc ng thng Chng minh rng tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc nm trờn mt ng thng c nh Cõu (1,0 im) (a n ,M anc;,n35bn2; 1b cca), + b + c ) + b na((1; +a ) ;1(2) Ta gi mi b ba s nguyờn dng l mt b p nu c chung ln nht ca bng v Vớ d, b l p, nhng khụng phi l p Tỡm tt c cỏc b p vi mi (nu cú) Ht Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh:. ....; S bỏo danh S GD&T VNH PHC K THI CHN HSG LP 11 THPT CHUYấN VNH PHC NM HC 2011-2012 HNG DN CHM MễN: TON I LU í CHUNG: - Hng dn chm ch trỡnh by mt cỏch gii vi nhng ý c bn phi cú Khi chm bi hc sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng v ý thỡ cho im ti a - im ton bi tớnh n 0,25 v khụng lm trũn - Vi bi hỡnh hc nu thớ sinh khụng v hỡnh phn no thỡ khụng cho im tng ng vi phn ú II P N: Cõu í i m Ni dung trỡnh by 2,0 im H phng trỡnh tng ng: y (1 x ) = x x , y2, z Nu mt ba s bng thỡ h z (1 y1) = y x(1 z ) = z phng trỡnh vụ nghim 2x y = x2 2y xz == tan t vi Do tan tan2 =1 ;y ữ2 Ta cú tan 12=2tan = tan = tan =y0, , = , = z Vy, h phng trỡnh cú (0;0;0), 42 7 x == tan tan ;ztan ;ztan ữ nghim: , 7 x = tan ,, 2 44 44 ; tan ; ; tan ; tan tan tan ; tan; tan ; tan tan tan ; tan tan ữ, ữ ; tan; tan ữ ữ 1,0 im 7 7 7 7 7 7 Xột hm s vi Theo ( 'x( c)(3)=0;1 x1ln ;1 f ( 1) f x = cffx ) x3 x = x nh lớ Lagrange tn c ti cho: x < ln1 ln x < x x 1 x < ln x < x x x < x ln x < x x 3 x 0,5 h phng trỡnh tr thnh ( ( ) ) ( ) ( ) ) ) ( 0,5 ) ( ) ( Do lim x x = lim+ x x = x0 x 0+ Vy x lim ln +x x x = lim+ x ữ x x =1 2,0 im ữ = xlim x 0+ p dng bt ng thc AM-GM, ta cú du = xy v ch a b a6 b a6b + + = 3= ã ã = 3, (1) 3ab2 ab ab du = xy v ch b c b8 c b8c + + = 3= ã ã = 3, (2) 3bc4 bc bc du = xy v ch c a 12 c a c12a 12 = 3= ã ã = 3, + + (3) 4ca3 ca ca du = xy v ch a b c a 24b c a 24 = = 4= ãb ãc ã 24 = 4, + + + (4) abc2 3abc abc (1) + ì (2) + 732 ì78 (3)84 + (4) 24 hay 626 ( a + b + c3)D+ + + + + 40+ 40 Mt khỏc, t gi thit suy v Doabbc 11 bcca ú ca abc 1 ca 117 121 bc 13 12 40 3D + 26 ì + 78 ì D + + 39 = 3D + D a = 3, b = 2,4 c = Du ng thc xy khibcv ch ca 12 12 = 2, c = Vy, giỏ tr nh nht ca biu a = 3, b121 , thc D bng t c 12 2,0 im =pn=+14221 Mn Vi thỡ mi s nguyờn t u tha (2 n1) p Vi thỡ v Suy n pn Xột v ( ( ( 0,5 0,5 ) 0,25 ) 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 p2 n1 p Do l s l v l bi ca nờn n l s ( pnn Mỗi số xuất 4! lần a = (1 + + + + 4).24 = 264 Tơng tự b = c = d = e = 264 Vậy 264.11111 S= = 1466652 2! 1(1,0 đ) 2(2,0 đ) +) Viết đợc PT đờng thẳng x =1 + 7t qua tâm I đờng tròn y = t (C) từ suy I(1+7t;2t) +) (C) tiếp xúc với d IM=R IM2=R2 R2=50t2 +) (C) có dạng (x-1-7t)2+(y-2+t)2=50t2 (y-3)2=50 +) A (C) t=-1 Vậy (C): (x+6)2+ a,(0,75) +) Xác định đợc điểm D suy đợc đoạn giao tuyến DE DD +) Xác định đợc điểm K; suy đợc đoạn gioa tuyến EK KB +) Kết luận đợc thiết diện tứ giác DEKB b,(1,25) +) Xét tam giác AK MA AK = = = MBB có BB ' MB AA ' +) Trong (ABC) AB Dựng EN // AB (NBC), EN= +) Xét tam giác DN NE 1 = = DN = BN DBM có: DB BM Suy D trung CD = điểm CN Vậy CB 1,0 1,0 3,0 đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 1,0 đ Tìm Max y: y = sin x + 3.cos x sin x + 3.cos x (1) Ta chứng minh: (2) R x với sin x +x3.cos 0,25 3.(1 cos x) sin x 3.(1 cos x) (1 cos x) (3) (1 cos x) (1 cos x)(1 + cos x) Theo BĐT côsi: 3, x (1 cos x)(1 + cos x)(1 + cos x)y = (2 2cos x)(1 + cos x)(1 + cos x) 0,25 32 < ữ = 27 BĐT (3) suy BĐT (2) suy cos x = x = k Dấu = Max y= Tơng tự: , y = sin x + 3.cos x sin x + 3.cos x x y= = + k3, Min đạt TRNG THPT YJUT 2013 T TON 0,25 0,25 THI HC SINH GII CP TRNG KHểI 11 NM HC 2012(Thi gian lm bi 180 phỳt khụng k thi gian giao ) Bi 1(4): cho n s : Chng minh a1 , a2 , a3 , a4 , an [ 0;1] rng: (1 + a1 + a2 + a3 + a4 + + an ) 4(a12 + a22 + a32 + a42 + + an2 ) Bi 2(4):Gii phng trỡnh : sin 2012 x + cos 2012 x = 2(sin 2014nx + cos 2014 x) + cos2 x (1 +7x) Bi 3(4): Tỡm s nguyờn dng nht n cho khai 15 trin cú hai h s liờn tip cú t s l Bi 4(4): Cho hỡnh vuụng ABCD, H l trung im ca AB, K l trung im ca AD Trờn ng thng vuụng gúc vi (ABCD) ly im S khỏc H CMR: AC ( SHK ) a) b) Tớnh gúc ga CK vi mt phng (SDH) Bi 5(4) ã ' BA = B ã ' BC = ãABC = 600 Cho hỡnh hp ABCD.ABCD cú tt B c cỏc cnh bng a v Chng minh ABCD l hỡnh vuụng HNG DN CHM HC SINH GII NM HC: 2012 2013 Bi Bi (4) Ni dung f ( x) = x (1 + a1 + a2 + a3 + a4 + + an ) x + (a12 + a22 + a32 + a42 + + an2 ) im Xột tam thc f (1) = 12 a1 a2 a3 a4 an + a12 + a22 + a32 + a42 + + an2 f (1) = a1 (a1 1) + a2 (a2 1) + a3 (a3 1) + a4 (a4 1) + + an (an 1) Ta cú a1 , a2 , a3 , a4 , an [ 0;1] 0,5 0,5 0.5 Mt khỏc nờn 0.5 a1 (a1 1) 00.5 a ( a 1) 2 f (0) = a12 + a22 + a32 + a42 + + an2 f (1) f (0) M Do a3 (a3 1) f (1)[ 0;1 ] 0.5 ú phng trỡnh f(x)=0 cú nghim trờn vy 0.5 2 2 2 = (1 + a1 + a2 + a3 + a4 + + an ) 4(a1 + a2 + a3 + a4 + + an ) an (an 1) (1 + a1 + a2 + a3 + a4 + + an ) 4(a12 + a22 + a32 + a42 + + an2 ) Bi (4) 0.5 sin 2012 x + cos 2012 x = 2(sin 2014 x + cos 2014 x) + cos2 x 2012 cos x 03x R cos 2012 x(2 cos x 1) sin 2012 x* (1 sin x) + cos2 x = cos 2012 x + sin 2012 x f 0x R 2012 2 x f 0x R sin 2cos2 x = 0(1) 0.5 12 12 cos2 x(cos x + sin x) = 2012 Ta nhn cos x + sin 2012 x = 0(2) thy 0.5 Vy *cos2 x = x = + k ( k Z ) pt(2) vụ *cos 2012 x + sin 2012 x = nghim x= + k (k Z ) Phng trỡnh cú nghim l: 0.5 0.5 Bi (4) s hng liờn tip l ta cú n =n22.1 n=,kk22 kt0+Ơ1 11=1 21 Do t ú n l s 7t 0t = t t =1 nguyờn dng nht thỡ 7 t cng phi l s nguyờn dng nht vỡ nờn (vỡ t l s nguyờn dng nht) vy Cnk k + nCnk ; Cn nk +1k k k +1 ) 7=n Cnkx+ 15 n = 3k + + = =(1 + x = 22 k +1 Cn 15 n k 15 k =0 0.5 0.5 0.5 0.5 1 1 Bi 4: (4) 0.5 S A K D I H B C AC ( SHK ) a) Cm: Vỡ H, K AC BD HK AC (1) ln lt l trung im ca AB, AD nờn HK 0.5 l ng trung bỡnh ca tam giỏc ABD nờn HK//BD m 0.5 AC ) ( SHK SH) AC (2) Mt khỏc t (1);(2) ta cú SH ( ABCD b) Tớnh gúc ga CK vi mt phng (SDH) 0 ã ã ã ã ã= DAH ãCK ã 900 (CK DH = I ) HDA + DHA = 90 CDK CKD + HDA (c.g=.cDH 90 ) CKD KID= =DHA Ta cú m hay (1)mt khỏc SH ( ABCD CK ) ( SDH SH) CK (2) gúc gia CK v mt phng (SDH) bng 900 t (1); (2) ta cú hay 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 D' uuur uuur uur A'uuur uuur uuur uur Theo gi uuur uuur 1 CB 'CD = ( BB ' BC ) BA = BB '.BA BC.BA = a.a a.a = thit ta cú 2 t giỏc CB ' CD B' C' ABCD l hỡnh thoi Hay ABCD l hỡnh A D vuụng B C Bi 5: (4) Lu ý: Hc sinh cú cỏch lm khỏc m ỳng cho im ti a cõu ú 1 1 ... x= 11 VT (2) = C11k x11k ( 1) 11 k VP (2) = C11k x11 k ( 1)k =0ữ ( 11a0 + a1 x + a2 x + + a110 x110 ) H s ca x k =0 v phi bng C110 a0 C 111 a1 + C112 a2 C113 a3 + + C 1110 a10 C 1111 a11... minh ng thc sau: b) Tớnh tng: + x3 + + x10 ) 11 = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + + a110 x110 C110 a0 C 111 a1 + C112 a2 C113 a3 + + C 1110 a10 C 1111 a11 = 11 Cn1 2Cn2 3Cn3 ( 1) nCnn S = + + + Cõu... 2 011. 2012 L = + + + + 2012 = = 2 011. 1006 = 2023066 Xột t khai trin trờn nhõn hai v vi ( xx 211) 11 ta cú: 11 11 (2) x11 = ( x 1) 11 a01 +11a1 x + a2 x + + a110 x110 H s ca v trỏi bng 11 k C11