bài toán đếm, xác suất thống kê, tổ hợp chỉnh hợp lớp 11

Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp BÀI TOÁN ĐẾM (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Có tập X tập A thoả điều kiện X chứa không chứa 2 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập A không bắt đầu 123 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Một học sinh có 12 sách đôi khác nhau, có sách Toán, sách Văn sách Anh Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ sách dài, sách môn xếp kề nhau? (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trường hợp sau: Bất học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường với Bất học sinh ngồi đối diện khác trường với (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi từ X (chữ số phải khác 0) trường hợp sau: n số chẵn Một ba chữ số phải (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy đủ màu? (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh Có cách xếp để phiếu số chẵn cạnh nhau? Có cách xếp để phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 10 11 12 13 14 Trần Só Tùng Người ta viết chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng Có số lẻ gồm chữ số thành? Có số chẵn gồm chữ số thành? (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét số gồm chữ số, có năm chữ số bốn chữ số 2, 3, 4, Hỏi có số thế, nếu: Năm chữ số xếp kề Các chữ số xếp tuỳ ý (ĐH Hàng hải 1999) Có cách xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào ghế dài cho: Bạn C ngồi Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số gồm chữ số khác nhau, cho chữ số có mặt số (ĐHQG HN khối B 2000) Từ chữ số 0, 1, 3, 5, lập số gồm chữ số khác không chia hết cho (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 sách đôi khác có sách Văn, sách Nhạc sách Hoạ Ông muốn lấy tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F em Giả sử thầy giáo muốn tặng cho học sinh sách thuộc thể loại Văn Nhạc Hỏi có cách tặng? Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, ba loại sách lại Hỏi có cách chọn? (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác nếu: 1) phải có nữ 2) chọn tuỳ ý (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số cho ta lập được: Trần Só Tùng 15 16 17 18 19 20 21 22 Tuyển tập Đại số tổ hợp Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số bốn chữ số khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số ba chữ số khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số ba chữ số khác đôi (ĐH Y HN 2000) Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lí nam Lập đoàn công tác người cần có nam nữ, cần có nhà toán học nhà vật lí Hỏi có cách? (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta lập số mà số có năm chữ số chữ số khác đôi Hỏi Có số phải có mặt chữ số 2 Có số phải có mặt hai chữ số (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho: Có nam người Có nam nữ người (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Từ chữ số 2, 3, tạo số tự nhiên gồm chữ số, có mặt đủ chữ số (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Có số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đôi khác Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có thẻ trắng thẻ đen, đánh dấu loại theo số 1, 2, 3, 4, Có cách xếp tất thẻ thành hàng cho hai thẻ màu không nằm liền (ĐH Sư phạm HN khối A 2000) Có thể lập số gồm chữ số từ chữ số: 1, 2, 3, 4, Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 5, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có số khác gồm chữ số cho tổng chữ số số số chẵn 24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho số chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước 25 (HV Kỹ thuật quân 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày, cần cử người làm nhiệm vụ đòa điểm A, người đòa điểm B, người thường trực đồn Hỏi có cách phân công? 26 (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, có cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghò Hội sinh viên trường cho người có cán lớp 27 (HV Quân y 2000) Xếp viên bi đỏ có bán kính khác viên bi xanh giống vào dãy ô trống Hỏi: Có cách xếp khác nhau? Có cách xếp khác cho viên bi đỏ xếp cạnh viên bi xanh xếp cạnh nhau? 28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 9? 29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Có số lẻ gồm chữ số khác lớn 500000? 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Với số: 0, 1, 2, 3, 4, thành lập số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, có em nam, em nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn nhóm em để tham dự trò chơi gồm em nam em nữ Hỏi có cách chọn? 32 (ĐH An ninh khối D 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập số có bảy chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mạt lần 33 (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 học sinh thành hàng dài cho Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 Trần Só Tùng học sinh nam phải đứng liền (HV Chính trò quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, có nữ nam Có cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ Có cách chọn người mà nam (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi lập số gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số (ĐH Huế khối ABV 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số cho chữ số lặp lại lần? (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mittinh trường với yêu cầu có nam nữ Hỏi có cách chọn? (HV Kỹ thuật quân 2001) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác phải có chữ số (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) Có thể tìm số gồm chữ số khác đôi một? Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ số đôi khác nhau? (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập số có chữ số khác mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có cách xếp để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đổi chỗ học sinh cho ta cách xếp mới) (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số có Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp chữ số mà chữ số đứng vò trí giữa? Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 44 (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, có mặt chữ số mặt chữ số Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt không lần 45 (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 46 (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A hợp có 20 phần tử Có tập hợp A? Có tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn? 47 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Có số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, Có số có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, mà số nhỏ số 345 48 (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có cách chọn học sinh phải có nhất: Hai học sinh nữ hai học sinh nam Một học sinh nữ học sinh nam 49 (ĐH Y HN 2001) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số chẵn có ba chữ số khác không lớn 789? 50 (ĐH khối D dự bò 2002) Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn 51 (ĐH khối A 2003 dự bò 2) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số 52 (ĐH khối B 2003 dự bò 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 lập số tự nhiên mà số có chữ số thoả mãn điều kiện: sáu chữ số Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vò Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 10 Trần Só Tùng 53 (ĐH khối B 2003 dự bò 2) Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn vậy? 54 (ĐH khối D 2003 dự bò 1) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau? 55 (CĐ Sư phạm khối A 2002) Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt Từ kết câu 1) suy số giao điểm tối đa tập hợp đường nói 56 (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bò) Cho đa giác lồi n cạnh Xác đònh n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh 57 (CĐ Xây dựng số – 2002) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác nhỏ 245 58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ chữ số 0, 1, 2, 5, lập số lẻ, số gồm chữ số khác 59 (ĐH khối B 2004) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ không 60 (ĐH khối B 2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ 61 (ĐH khối A 2005 dự bò 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn 62 (ĐH khối B 2005 dự bò 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm Trần Só Tùng 19 Tuyển tập Đại số tổ hợp Sau xếp chữ số lại vào vò trí lại: có A54 = 120 cách Vậy có 5.120 = 600 số Xếp chữ số vào vò trí: có A52 cách Xếp chữ số lại vào vò trí lại: có A34 = 24 cách Vậy có A52 A34 = 480 số 17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) C10 Chọn nam nữ: có C10 = 5400 cách Có nam nữ, có kiểu chọn sau: * nam nữ: có 5400 cách C10 * nam nữ: có C10 = 5400 cách C110 = 2100 cách * nam nữ: có C10 Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách 18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Tất có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có chữ số Trong số có chữ số này, xét số mặt chữ số 2, 3, Loại có: cách chọn chữ số hàng vạn cách chọn chữ số hàng nghìn cách chọn chữ số hàng trăm cách chọn chữ số hàng chục cách chọn chữ số hàng đơn vò Do có 6.7.7.7.7 = 14406 số Vậy tất có: 90000 – 14406 = 75594 số có chữ số, có mặt đủ chữ số 2, 3, 19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Xét số có chữ số tuỳ ý cho a1a2a3a4 Có hai khả năng: Nếu a1 + a2 + a3 + a4 số chẵn lấy a5  {1, 3, 5, 7, 9} lập số có chữ số a1a2a3a4a5 với tổng chữ số số lẻ Nếu a1 + a2 + a3 + a4 số lẻ lấy a5  {0, 2, 4, 6, 8} lập số có chữ số a1a2a3a4a5 với tổng chữ số số lẻ Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có chữ số, số có chữ số lại sinh số có chữ số có tổng chữ số số lẻ, nên có tất 9000.5 = 45000 số có chữ số mà tổng chữ số số lẻ Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 20 Trần Só Tùng 20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có: C52 cách chọn viện bi đỏ cách chọn viên bi lại C13 Vậy có: C52 C13 = 7150 cách chọn Có trường hợp xảy ra: * xanh, đỏ, vàng  có C39 C35 cách * xanh, đỏ, vàng  có C92 C52 C42 cách * xanh, đỏ, vàng  có C19 C15 C44 cách Vậy có tất cả: C39 C35 + C92 C52 C42 + C19 C15 C44 = 3045 cách 21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có khả năng: Các thẻ trắng vò trí lẻ, thẻ đen vò trí chẵn  có 5!5! cách Các thẻ trắng vò trí chẵn, thẻ đen vò trí lẻ  có 5!5! cách Vậy tất có: 5!5! + 5!5! cách 22 (ĐH Sư phạm HN khối A 2000) Có ô trống, cần chọn ô điền chữ số 2, ô điền chữ số 3, ô điền chữ số 4, ô điền chữ số Sau ô lại, cần chọn ô điền chữ số 1, cuối lại ô điền chữ số Vậy có tất có: 8.7.6.5 C24 = 10080 số thoả yêu cầu đề 23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Số số có chữ số a1a2a3a4a5a6 9.105 số Với số có chữ số a1a2a3a4a5a6 ta lập số có chữ số a1a2a3a4a5a6a7 mà tổng chữ số số chẵn Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số 24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Theo yêu cầu toán số không đứng trước số nên số có chữ số tạo thành từ số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T Ứng với chữ số phân biệt T có cách xếp thoả mãn đứng sau lớn chữ số liền trước 9! C59  Vậy số số cần tìm là: = 126 5!4! 25 (HV Kỹ thuật quân 2000) Có tất cả: C39 C62  C94 C52  C92 C74 = 1260 cách 26 (ĐH GTVT 2000) Có khả năng: Trần Só Tùng 21 Tuyển tập Đại số tổ hợp * cán lớp học sinh thường: có C12 C18 * cán lớp học sinh thường: có C22 C118 Vậy số chọn là: C12 C18 + C22 C118 = 324 cách 27 (HV Quân y 2000) Trước hết xếp viên bi đỏ vào ô trống Do viên bi đỏ khác nên số cách xếp A37 Sau xếp viên bi xanh vào ô lại Do viên bi xanh giống nên số cách xếp C34 Vậy số cách xếp khác là: A37 C34 = 840 cách Trước hết ta cần ý màu, để đỏ đứng cạnh xanh đứng cạnh có cách xếp Sau đó, viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vò viên bi đỏ với Số hoán vò 3! Vậy số cách xếp khác để viên bi đỏ đứng cạnh viên bi xanh đứng cạnh là: 6.3! = 36 cách 28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Các số có chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là: 100008, 100017, 100035, …, 999999 Các số lẻ có chữ số, chia hết cho 9, lập thành cấp số cộng: u1 = 100017, 100035, …, un = 999999 với công sai d = 18 Do đó: un = u1 + (n – 1)d  999999 = 100017 + (n – 1).18  n = 50000 Vậy tất có 50000 số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Xét số lẻ có chữ số khác nhau, lớn 500000: x = a1a2a3a4a5a6 Từ giả thiết  a1  {5,6,7,8,9}, a6  {1,3,5,7,9} Có khả năng: a1 lẻ: * a1 có cách chọn * a6 có cách chọn * sau chọn a1, a6, cần chọn a2a3a4a5 , cách chọn ứng với chỉnh hợp chập phần tử Vậy khả thứ có: 6.4 A84 = 40320 số a1 chẵn: Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 22 Trần Só Tùng * a1 có cách chọn * a6 có cách chọn * a2a3a4a5 có A84 cách chọn Vậy khả thứ hai có: 2.5 A84 = 16800 số Kết luận: Tất có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Số số tự nhiên gồm chữ số khác viết từ chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, là: A35 = 300 Trong số nói trên, số số tự nhiên mặt chữ số là: A54 = 120 Vậy số số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chọn em nam: có C39 cách Chọn em nữ: có C62 cách Vậy có: C39 C62 = 1260 cách 32 (ĐH An ninh khối D 2001) Giả sử số có chữ số lập viết ô hình sau: Thế thì: * Có cách chọn vò trí cho chữ số (trừ ô số 1) * Sau chọn vò trí cho số chữ ta C36 = 20 cách chọn vò trí cho chữ số * Sau chọn vò trí cho chữ số chữ số 4, ta 3! = cách chọn cho chữ số lại Vậy số số lập là: 6.20.6 = 720 số 33 (ĐH Cần Thơ 2001) Coi học sinh nam đứng liền vò trí mà số cách để bố trí học sinh đứng liền xen kẽ với học sinh nữ 4! Nhưng để xếp học sinh nam đứng liền lại có 7! cách Vậy tất có: 4!7! = 120960 cách 34 (HV Chính trò quốc gia 2001) Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ tức chia nhóm có người mà có nữ nam  số cách chia là: C36 C24 = 120 * Số cách chọn người mà nam là: C56 = Trần Só Tùng 23 Tuyển tập Đại số tổ hợp * Số cách chọn người mà có nam (và nữ) là: C64 C14 = 60 Vậy số cách chọn người mà có không nam là: + 60 = 66 35 (ĐH Giao thông vận tải 2001) Giả sử số cần tìm có dạng: A = a1a2a3a4a5a6 + Nếu a1 = chữ số lại A chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, Vậy có A57 = 2520 số + Nếu a1 ≠ a1 ≠ nên có cách chọn a1 Vì số phải có vò trí lại a2, a3, a4, a5, a6 Khi vò trí khác (không có chữ số 4) A64 số khác Vậy trường hợp có 6.5 A64 = 10800 số Vậy tất có: 2520 + 10800 = 13320 số 36 (ĐH Huế khối ABV 2001)  Số số tự nhiên có chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số  Ta tìm số số tự nhiên có chữ số lặp lại lần: + Số lặp lại lần ứng với số tự nhiên a000 với a  {1,2,3, ,9}  có số + Số lặp lại lần ứng với số: * a111 với a  {2,3,4, …,9}  có số * 1b11 với b  {0,2,3,…, 9}  có số * 11c1 với c  {0,2,3,…, 9}  có số * 111d với d  {0,2,3,…, 9}  có số  có + + + = 35 số + Tương tự với số từ đến ta tìm 35 số tự nhiên cho chữ số lặp lại lần Do số số tự nhiên có chữ số lặp lại lần là: + 9.35 = 324 số  Vậy số số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số lặp lại lần là: 9000 – 324 = 8676 số 37 (ĐH Huế khối DHT 2001) * Số cách chọn em từ 13 em là: C13 = 1287 * Số cách chọn em toàn nam là: C57 = 21 * Số cách chọn em toàn nữ là: C56 = Vậy số cách chọn em có nam nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260 Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 24 Trần Só Tùng 38 (HV Kỹ thuật quân 2001) Mỗi tổ có học sinh giỏi Vì không phân biệt thứ tự tổ nên số cách chia phải tìm số cách tạo thành tổ có học sinh phải có học sinh giỏi học sinh Các học sinh lại tạo thành tổ thứ hai  Trường hợp 1: Có học sinh khá: * Có cách chọn học sinh giỏi * Có C52 = 10 cách chọn học sinh * Có C58 = 56 cách chọn học sinh trung bình  Có: 3.10.56 = 1680 cách  Trường hợp 2: Có học sinh khá: * Có cách chọn học sinh giỏi * Có C35 = 10 cách chọn học sinh * Có C84 = 70 cách chọn học sinh trung bình  Có: 3.10.70 = 2100 cách Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách 39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Ta sử dụng ô sau để viết số có chữ số:  Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0: Có cách chọn vò trí cho chữ số Sau cách chọn vò trí cho chữ số Số cách chọn chữ số cọn lại là: A35  Số số thu là: 4.4 A35 = 960 số  Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0: Có cách chọn vò trí cho chữ số Số cách chọn chữ số lại là: A54  Số số thu là: A54 = 600 số Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số 40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) Có cách chọn chữ số hàng trăm, cách chọn chữ số hàng chục, cách chọn chữ số hàng đơn vò Vậy có 9.9.8 = 648 số  Trường hợp 1: Chữ số tận Bốn chữ số đứng đầu chọn tuỳ ý chữ số lại nên số số tạo thành là: A74 = 840  Trường hợp 2: Chữ số tận khác * Chữ số tận có cách chọn (từ 2, 4, 6) Trần Só Tùng 25 Tuyển tập Đại số tổ hợp * Chữ số đứng đầu có cách chọn * chữ số lại chọn tuỳ ý chữ số lại  Số số tạo thành: 3.6 A36 = 2160 41 42 43 44 Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Số số gồm chữ số khác là: 6! = 720 Trong đó, số số có chứa 16 5! = 120 số số có chứa 61 5! = 120 Vậy số số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Đánh số vò trí đứng từ đến Để có học sinh nam đứng xen kẽ với học sinh nữ học sinh nữ đứng cách một, tức học sinh nữ đứng vò trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9) Có cặp vò trí học sinh nữ Cách xếp bạn nữ vào cặp vò trí 3! Cách xếp bạn nam vào vò trí lại 6! Vậy tất số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách (HV Quan hệ quốc tế 2001) Ta có cách chọn vò trí cho chữ số Khi số cách xếp chữ số lại 8! Vậy tất có: 8! = 40320 số (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) Số xét có dạng: a1a2a3a4a5a6 Xếp chữ số vào vò trí từ a2 đến a6: có cách xếp Còn lại vò trí, ta chọn chữ số để xếp vào vò trí này: có A58 cách Vậy tất có: A58 = 33600 cách Số xét có dạng: a1a2a3a4a5a6a7 Chọn vò trí để xếp hai chữ số 2: có C72 cách Chọn vò trí để xếp ba chữ số 3: có C35 cách Còn vò trí, chọn chữ số tuỳ ý để xếp vào vò trí này: có 2! C82 cách Như xét số bắt đầu chữ số có: C72 C35 2! C82 = 11760 số Trong số này, cần loại bỏ số bắt đầu bới chữ số Đối với số 0a2a3a4a5a6a7 : Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 26 Trần Só Tùng * Chọn vò trí để xếp chữ số 2: có C62 cách * Chọn vò trí để xếp ba chữ số 3: có C34 cách * Chọn số để xếp vào vò trí lại: có cách Như loại có: C62 C34 = 420 số Vậy tất có: 11760 – 420 = 11340 số 45 (ĐHSP HN II 2001) Kí hiệu X tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, Xét x = a1a2a3a4a5  X Nếu chọn a5 = a1a2a3a4 ứng với chỉnh hợp chập phần tử 3, 4, 5, 7,  có A54 số có hàng đơn vò Tương tự có A54 số có hàng đơn vò 3; …  Tổng tất chữ số hàng đơn vò phần tử x  X là: (1 + + + + + 8) A54 = 3360 Lập luận tương tự, tổng tất chữ số hàng chục phần tử x  X là: 3360.10; … Vậy tổng tất phần tử X là: S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960 46 (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) 20 Số tập A là: C020  C120  C20 = 220   C20 Số tập khác rỗng A có số phần tử chẵn là: 20 T = C220  C20   C20 20 Ta có: = (1 – 1)20 = C020  C120  C20   C20 20  C020  C20 = C120  C320   C19  C20   C20 20  20 20  C020  C120  C20   C20  C20   C20 = C020  C20  220  C020 = 219 – 47 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Xét số chẵn x = abc với chữ số khác nhau; a, b, c  {1;2;3;4;5} = E Vì x chẵn nên c  {2;4}  có cách chọn c 20  T = C220  C20   C20 = Với cách chọn c, có A24 cách chọn bc Trần Só Tùng 27 Tuyển tập Đại số tổ hợp Vậy tất có: A24 = 24 số chẵn Xét x = abc với chữ số khác thuộc E = {1;2;3;4;5;6} * Nếu a ≥ x > 345 * Nếu a = với chỉnh hợp chập (b,c) E \ {a} ta có x = abc < 345 Loại có: A52 = 40 số b  1hoặc 2; c  E \ a,b * Nếu a = x = 3bc < 345   c  1hoặc b  4; Loại có: 2.4 + 1.2 = 10 số Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số 48 (ĐH Văn Lang 2001) Nếu học sinh phải có học sinh nữ học sinh nam có trường hợp: C10 * nam nữ: có C10 cách C10 * nam nữ: có C10 cách C10 Vậy tất có: C10 = 10800 cách Nếu học sinh phải có học sinh nữ học sinh nam có trường hợp: * nam nữ: có C110 C10 cách * nam nữ: có C10 cách .C10 * nam nữ: có C10 cách .C10 * nam nữ: có C10 C110 cách Vậy tất có: C110 C10 + C10 = 15000 cách .C10 49 (ĐH Y HN 2001) Ta xét trường hợp sau: Chữ số hàng đơn vò 2, 4,  có cách chọn chữ số hàng đơn vò a) Chữ số hàng trăm nhỏ 7: Khi chọn chữ số hàng đơn vò, ta cách chọn chữ số hàng trăm Sau chọn chữ số hàng đơn vò hàng trăm, ta cách chọn chữ số hàng chục  Số số thu là: 3.5.7 = 105 số b) Chữ số hàng trăm 7: Sau chọn chữ số hàng đơn vò, ta cách chọn chữ số hàng chục  Số số thu là: 3.6 = 18 số Chữ số hàng đơn vò 8: Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp 28 Trần Só Tùng a) Chữ số hàng trăm nhỏ 7: có cách chọn chữ số hàng trăm Sau chọn chữ số hàng trăm, ta cách chọn chữ số hàng chục  Số số thu là: 6.7 = 42 số b) Chữ số hàng trăm 7: có cách chọn chữ số hàng chục  Số số thu là: số Vậy tất có: 105 + 18 + 42 + = 171 số 50 (ĐH khối D dự bò 2002) Tổng số cách chọn học sinh từ 18 em đội tuyển là: C18 = 43758 Tổng số cách phân làm hai phận rời nhau: Bộ phận I gồm cách chọn từ đội tuyển em cho khối có em chọn (số cách phải tìm) Bộ phận II gồm cách chọn từ đội tuyển em gồm khối (lưu ý số em thuộc khối nên cách chọn mà em thuộc khối) Bộ phận II chia thành ba loại:  em chọn từ khối 12 11: có C13 cách  em chọn từ khối 12 10: có C12 cách  em chọn từ khối 11 10: có C11 cách 8 8 Vậy số cách phải tìm là: C18 – ( C13 + C12 + C11 ) = 41811 cách 51 (ĐH khối A 2003 dự bò 2) Ta coi cặp (2;3) phần tử “kép”, có phần tử 0, 1, (2; 3), 4, Số hoán vò phần tử P5, phải loại trừ số trường hợp phần tử vò trí đầu gồm P4 trường hợp Chú ý phần tử kép, ta giao hoán nên số trường hợp nhân đôi Nên số số tự nhiên thoả mãn đề là: 2(P5 – P4) = 192 số 52 (ĐH khối B 2003 dự bò 1) Coi số tự nhiên gồm chữ số khác chọn từ tập số cho có dạng: a1a2a3a4a5a6 (ai  {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ≠ aj ) cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 –  a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) –  21 = + + + + + = 2(a4 + a5 + a6) –  a4 + a5 + a6 = 11  a1 + a2 + a3 = 10 (1) Vì a1, a2 a3  {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) thoả mãn khả sau: Trần Só Tùng 29 Tuyển tập Đại số tổ hợp  a1, a2, a3  {1; 3; 6}  a1, a2, a3  {1; 4; 5}  a1, a2, a3  {2; 3; 5} Mỗi số a1, a2, a3 nêu tạo 3! hoán vò, hoán vò lại ghép với 3! hoán vò số a4, a5, a6 Vì tổng cộng số số tự nhiên gồm chữ số thoả mãn yêu cầu đề là: 3.3!.3! = 108 số 53 (ĐH khối B 2003 dự bò 2) Có khả năng:  nam nữ: có C55 C17 cách  nam nữ: có C54 C72 cách  nam nữ: có C35 C37 cách Vậy tất có: C55 C17 + C54 C72 + C35 C37 = + 5.21 + 10.35 = 462 cách 54 (ĐH khối D 2003 dự bò 1) Các số phải lập chẵn nên phải có chữ số đứng cuối 2, 4, 6,  Trường hợp chữ số đứng cuối 0: chữ số lại chỉnh hợp chập phần tử Do có A68 số thuộc loại  Trường hợp chữ số đứng cuối chữ số 2, 4, 6, 8: chữ số lại chỉnh hợp chập phần tử (kể số có   chữ số đứng đầu) Vậy số số loại là: A68  A57   Vậy tất có: A68 + A68  A57 = 90720 số 55 (CĐ Sư phạm khối A 2002) a) Hai đường thẳng phân biệt có tối đa giao điểm  Số giao điểm tối đa 10 đường thẳng phân biệt C10 = 45 điểm b) Hai đường tròn phân biệt có tối đa giao điểm  Số giao điểm tối đa đường tròn phân biệt C62 = 30 điểm Vì đường thẳng đường tròn có tối đa 12 giao điểm Do số giao điểm tối đa 10 đường thẳng đường tròn là: 10.12 = 120 Vậy số giao điểm tối đa tập hợp đường cho là: 45 + 30 + 120 = 195 điểm 56 (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bò) Một đoạn thẳng nối đỉnh đa giác tương ứng tổ hợp chập n phần tử  Số đoạn thẳng nối đỉnh đa giác là: Cn2 Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 30 Một đoạn thẳng nối đỉnh đa giác cạnh đường chéo n(n  1)  Cn2 = n + 2n  = 3n  n2 – n = 6n n   n2 – 7n =   n  (loại) Vậy n = 57 (CĐ Xây dựng số – 2002) Gọi số cần tìm là: x = a1a2a3 Vì x < 245 nên a1 = a1 =  a1 = 1: x = 1a2a3 a2, a3 chỉnh hợp chập phần tử: 2, 3, 4,  Có: A24 = 4.3 = 12 số  a1 = 2: x = 2a2a3 a2 có khả năng: * a2 <  a2  {1, 3}  a2 có cách chọn, a3 có cách chọn số lại  Có 2.3 = số * a2 = 4; a3 ≠ 5, 2,  a3 có cách chọn  Có số  Có + = số x = 2a2a3 Vậy có tất cả: 12 + = 20 số thoả yêu cầu đề 58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Số cần tìm có dạng: a1a2a3a4 Chọn a4 từ {1, 5, 9}  có cách chọn Chọn a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4}  có cách chọn Chọn a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4}  có cách chọn Chọn a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4}  có cách chọn Vậy tất có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề 59 (ĐH khối B 2004) Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ 3, nên có trường hợp sau: 2 * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó  có C15 C10 C15 đề * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó  có C15 C110 C52 đề * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó  có C15 C10 C15 đề Vậy tất có: 2 C15 C10 C15 + C15 C110 C52 + C15 C10 C15 = 23625 + 10500 + 22750 = 56875 đề Trần Só Tùng 31 Tuyển tập Đại số tổ hợp 60 (ĐH khối B 2005) Có C13C12 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ Với cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ nhất, có C12C84 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ hai Với cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ tỉnh thứ hai, có C11C44 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ ba Vậy tất có: C13C12 C12C84 C11C44 = 207900 cách phân công 61 (ĐH khối A 2005 dự bò 1) Gọi x = a1a2a3a4a5a6 số cần lập YCBT: a3 + a4 + a5 =  a3, a4, a5  {1, 2, 5} a3, a4, a5  {1, 3, 4} a) Khi a3, a4, a5  {1, 2, 5}  Có cách chọn a1  Có cách chọn a2  Có 3! cách chọn a3, a4, a5  Có cách chọn a6  Có: 6.5.6.4 = 720 số x b) Khi a3, a4, a5  {1, 3, 4}, tương tự ta có 720 số x Vậy tất có: 720 + 720 = 1440 số x 62 (ĐH khối B 2005 dự bò 1) Ta có trường hợp:  nữ nam: có C35C10 = 2520 cách  nữ nam: có C54C10 = 1050 cách  nữ nam: có C55C10 = 120 cách Vậy tất có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách 63 (ĐH khối B 2005 dự bò 2)  Cách 1: Gọi x = a1a2a3a4a5 số cần lập Trước tiên ta xếp vào vò trí: có A52 = 20 cách Sau đó, ta có cách chọn chữ số cho vò trí lại cách chọn chữ số cho vò trí lại thứ hai cách chọn chữ số cho vò trí lại thứ ba Vậy tất có: 20.5.4.3 = 1200 số  Cách 2: * Bước 1: Xếp 1, vào vò trí: có A52 = 20 cách Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 32 * Bước 2: có A35 = 60 cách xếp số lại vào vò trí lại Vậy có 20.60 = 1200 số 64 (ĐH khối D 2006) Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh cho là: C12 = 495 Số cách chọn học sinh mà lớp có em tính sau:  Lớp A có học sinh, lớp B, C lớp học sinh  Số cách chọn là: C52C14C13 = 120  Lớp B có học sinh, lớp A, C lớp học sinh:  Số cách chọn là: C15C24C13 = 90  Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp học sinh:  Số cách chọn là: C15C14C32 = 60 Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách 65 (CĐ GTVT III khối A 2006)  Số cách chọn học sinh khối C là: C52 = 10  Chọn 13 học sinh số 25 học sinh khối A B Số cách chọn là: C13 25 = 5200300 C10 Số cách chọn học sinh khối A học sinh khối B là: C15 Số cách chọn học sinh khối A 10 học sinh khối B là: 10 C15 C10  Số cách chọn cho có nhiều học sinh khối A là: 10 + C15 C15 C10 C10 = 13650 + 455 = 14105  Số cách chọn cho có học sinh khối A là:   10 C13 25  C15 C10  C15 C10 = 5186195  Vậy số cách chọn cho có học sinh khối A là: 10  C52 C13 25  C15 C10  C15 C10  = 51861950   66 (CĐ Tài – Hải quan khối A 2006) Chọn vò trí xếp chữ số 0: có C24 cách Chọn vò trí xếp chữ số 1: có cách Chọn chữ số xếp vào vò trí lại: có cách Vậy tất có: C24 A82 = 1008 số thoả yêu cầu đề 67 (CĐ Xây dựng số khối A 2006) Trần Só Tùng 33 Tuyển tập Đại số tổ hợp  Gọi ab số tự nhiên phải tìm  a ≠ Do ab chẵn nên b  {0, 2, 4, 6, 8} Có trường hợp: * Nếu b = a  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}  có cách chọn a  có số a0 * Nếu b ≠ b  {2, 4, 6, 8}  có cách chọn b Khi có cách chọn a  có 4.8 = 32 số ab Vậy tất có: + 32 = 41 số cần tìm  Đặt S tổng 41 số S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88) 10  98 = 45 – 10.22 = 45.54 – 220 = 2210 68 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)  Hai đỉnh thuộc d1, đỉnh thuộc d2: có C10 tam giác  Hai đỉnh thuộc d2, đỉnh thuộc d1: có C82 10 tam giác + C82 10 = 640 tam giác Vậy tất có: C10 Xem Thêm : wWw.ThanhBinh1.Com