Luận văn về các nguyên lý biến phân

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN - HOÀNG TH M N V CÁC NGUYÊN LÝ BI N PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH Mã s : 60 46 01 02 LU N VĂN TH C S KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: PGS TS T Hà N i - Năm 2015 DUY PHƯ NG M cl c M đu Ki n th c chu n b 1.1 Không gian vectơ gian mêtric 1.4 Ánh x đa tr 1.5 M t s kí hi u 1.6 Hàm n a liên t c dư i 61.2 Không gian vectơ tôpô 71.3 Không 10 12 12 12 Nguyên lí bi n phân Ekeland 2.1 Nguyên lí bi n phân Ekeland c n 2.2 M r ng 2.2.1 Nguyên lí bi n phân Ekeland cho 2.2.2 Nguyên lí bi n phân Ekeland vectơ 15 toán 15 23 cân b ng 23 29 Các d ng tương đương c a nguyên lí bi n phân m t s nguyên lí bi n phân khác 3.1 D ng hình h c c a nguyên lý bi n phân Ekeland 3.1.1 Đ nh lí Bishop-Phelps 3.1.2 Đ nh lí cánh hoa (the flower- pental theorem) 3.1.3 Đ nh lí gi t nư c (the drop theorem) 3.2 S tương đương gi a nguyên lí bi n phân Ekeland tính đ y đ c a không gian mêtric 3.3 ng d ng nguyên lí bi n phân Ekeland ch ng minh đ nh lí m b t đ ng 3.3.1 Đ nh lí m b t đ ng Banach 3.3.2 M t k t qu tinh t c a Clarke (Clarke's Refinement) 36 36 36 38 41 43 44 44 46 3.3.3 Đ nh lí m b t đ ng Caristi-Kirk 3.4 M t s nguyên lí bi n phân khác 3.4.1 Nguyên lí bi n phân Borwein-Preiss 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler K T LU N Tài li u tham kh o 48 51 51 54 58 59 M đu Nguyên lý bi n phân Ekeland (1974) (Ekeland's variational principle, vi t t t EVP) đư c coi m t k t qu quan tr ng nh t c a gi i tích phi n b n th p k v a qua Nguyên lí bi n phân Ekeland xu t phát t đ nh lí Weierstrass nói r ng, n u hàm f n a liên t c dư i t p compact X s đ t c c ti u t p Khi X t p không compact hàm f có th m c c tr V i không gian metric đ X, hàm f b ch n dư i, v i m i ε > 0, ta tìm đư c m ε− x p x c c ti u x, t c inf f ≤ f (xε) < inf f + ε X X Vào năm 1974, Ekeland phát bi u nguyên lí nói r ng, v i hàm f n a liên t c dư i, b ch n dư i không gian metric đ X v i m i m ε− x p x c c ti u x, ta tìm đư c m ˆ c c ti u ch t c a hàm x nhi u c a hàm ban đ u, đ ng th i f (ˆ) ≤ f (x) Không nh ng th , ta có x th đánh giá đư c kho ng cách gi a ˆ x x Sau đ i, nguyên lí bi n phân Ekeland tr thành công c m nh gi i tích hi n đ i Nh ng ng d ng c a nguyên lí bao trùm nhi u lĩnh v c: Lí thuy t t i ưu, gi i tích không trơn, lí thuy t u n, lí thuy t m b t đ ng, kinh t , Nguyên lí bi n phân Ekeland đư c GS Ph m H u Sách [1] s d ng đ nghiên c u vi phân ánh x đa tr u ki n t i ưu toán qui ho ch có tham gia ánh x đa tr S tương đương c a nguyên lí Ekeland v i đ nh lí m b t đ ng Caristi- Kirk đư c phát hi n t lâu Năm 1984 Penot m i ch ng minh đư c r ng nguyên lí tương đương v i đ nh lí gi t nư c c a Danes mà sau đư c g i d ng hình h c c a nguyên lí bi n phân Ekeland Trong nh ng năm g n đây, nguyên lí đư c m r ng cho hàm f ánh x đơn tr ho c đa tr nh n giá tr không gian vectơ áp d ng toán cân b ng M c đích c a lu n văn tìm hi u m t s k t qu liên quan đ n nguyên lí bi n phân Ekeland (c n vectơ) m t s ng d ng c a nguyên lí bi n phân Lu n văn g m chương Chương Ki n th c chu n b Chương trình bày m t s khái ni m k t qu c a tôpô gi i tích hàm ph c v cho vi c ch ng minh đ nh lí Chương Nguyên lí bi n phân Ekeland Chương trình bày nguyên lí bi n phân Ekeland c n, m r ng c a nguyên lí bi n phân Ekeland g m nguyên lí bi n phân Ekeland cho toán cân b ng nguyên lí bi n phân Ekeland vectơ Chương Các d ng tương đương c a nguyên lí bi n phân m t s nguyên lí bi n phân khác Chương trình bày d ng hình h c c a nguyên lí bi n phân Ekeland g m đ nh lí Bishop-Phelps, đ nh lí cánh hoa đ nh lí gi t nư c ng d ng đ nh lí m b t đ ng g m đ nh lí m b t đ ng Banach, m t k t qu tinh t c a Clarke, đ nh lí m b t đ ng Caristi-Kirk Cu i nguyên lí bi n phân Borwein-Preiss nguyên lí DevilleGodefroy-Zizler Lu n văn c g ng trình bày m t cách có h th ng (v i ch ng minh c th chi ti t v i nh ng ch nh s a c n thi t) v nguyên lí bi n phân Ekeland L i c m ơn Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n t n tình c a PGS TS T Duy Phư ng Th y dành nhi u th i gian hư ng d n gi i đáp th c m c c a su t trình làm lu n văn Tôi bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n th y Qua đây, xin g i t i quý th y cô Khoa Toán-Cơ-Tin h c, Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, th y cô tham gia gi ng d y khóa cao h c 2013-2015, l i c m ơn sâu s c nh t đ i v i công lao d y d su t trình h c t p c a t i Trư ng Tôi xin c m ơn gia đình, b n bè b n đ ng nghi p thân m n quan tâm, t o u ki n c vũ, đ ng viên đ hoàn thành t t nhi m v c a Hà N i, Ngày 25 tháng 10 năm 2015 Tác gi lu n văn Hoàng Th M n Chương Ki n th c chu n b 1.1 Không gian vectơ Đ nh nghĩa 1.1.1 Gi s F m t trư ng R ho c C Các ph n t c a F đư c g i s (đ i lư ng vô hư ng) M t không gian véctơ V đ nh nghĩa trư ng F m t t p h p V không r ng mà hai phép c ng véctơ phép nhân v i m t s hư ng đư c đ nh nghĩa cho tính ch t b n sau đư c th a mãn: Phép c ng véctơ có tính ch t k t h p: V i m i u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; Phép c ng véctơ có tính ch t giao hoán: V i m i v, w ∈ V : v + w = w + v; Phép c ng véctơ có ph n t trung hòa: V i m i v ∈ V, có m t ph n t ∈ V, g i véctơ không: v + = v; Phép c ng véctơ có ph n t đ i: V i m i v ∈ V, t n t i w ∈ V : v + w = 0; Phép nhân vô hư ng phân ph i v i phép c ng véctơ: V i m i α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; Phép nhân véctơ phân ph i v i phép c ng vô hư ng: V i m i α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; Phép nhân vô hư ng tương thích v i phép nhân trư ng s vô hư ng: V i m i α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; Ph n t đơn v c a trư ng F có tính ch t c a ph n t đơn v v i phép nhân vô hư ng: V i m i v ∈ V : 1.v = v.1 Đ nh nghĩa 1.1.2 Cho X không gian véctơ T p C ⊆ X đư c g i t p l i n u v i m i x, y ∈ C v i m i λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách khác C ch a m i đo n th ng n i hai m b t kì thu c nó) Đ nh nghĩa 1.1.3 (Nón) Cho X m t không gian vectơ T p K ⊂ X đư c g i nón có đ nh t i n u ∀x ∈ K, ∀λ ≥ λx ∈ K K đư c g i nón có đ nh t i x0 n u K − x0 nón có đ nh t i Đ nh nghĩa 1.1.4 (Nón đóng) Nón K có đ nh t i đư c g i nón đóng n u K t p đóng Đ nh nghĩa 1.1.5 (Nón nh n) M t nón đư c g i nón nh n n u không ch a đư ng th ng Đ nh nghĩa 1.1.6 (Nón l i) Nón K có đ nh t i đư c g i nón l i n u K t p l i, có nghĩa ∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > λ + µ = λx + µy ∈ K M nh đ 1.1.1 K nón l i ch K nón K + K = K Ch ng minh Gi s K nón Theo đ nh nghĩa ta có ∀x, y ∈ K 1x ∈ K 1y ∈ K 2 M t khác, K nón l i nên 1(x + y) = 1x + 1y ∈ K V y (x + y) ∈ K 2 Suy K + K ⊆ K V y K + K = K Đ o l i, K nón nên λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K, ∀x, y ∈ K Mà K + K = K nên λx + (1 − λy) ∈ K hay K t p l i 1.2 Không gian vectơ tôpô Đ nh nghĩa 1.2.1 (Không gian tôpô) Cho m t t p X = ∅ H τ t p c a X đư c g i m t tôpô X n u (i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ; (ii) Gα ∈ τ v i α ∈ I, I t p ch s b t kì ∪α∈IGα ∈ τ ; (iii) ∀G1, G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ T p X v i tôpô X đư c g i m t không gian tôpô Kí hi u: (X, τ ) Đ nh nghĩa 1.2.2 Cho (X, τ ) không gian tôpô • T p G đư c g i t p m X n u G ∈ τ • T p F đư c g i t p đóng X n u X∴F ∈ τ Đ nh nghĩa 1.2.3 Cho không gian tôpô (X, τ ), t p A t p c a X T p U đư c g i m t lân c n c a t p A n u U có m t t p m ch a A Khi A = {x} U m t lân c n c a m x Đ nh nghĩa 1.2.4 Cho không gian tôpô (X, τ ) M t h {Gα : α ∈ I} t p c a X đư c g i m t ph c a t p A ⊂ X n u A ⊂ ∪α∈IGα N u I t p h u h n ta nói ph h u h n N u m i Gα t p m ta nói ph ph m Đ nh nghĩa 1.2.5 T p A ⊂ X đư c g i t p compact n u t m i ph m c a A ta có th l y đư c m t ph h u h n Nh n xét 1.2.1 Trong trư ng h p A ⊂ Rn t p compact ch A đóng bi ch n Ch ng minh Đi u ki n c n Gi s A t p compact {xk} m t dãy ph n t c a A cho xk → a Ta ch ng minh a ∈ A Vì A t p compact, theo đ nh nghĩa dãy {xk}k ch a m t dãy {xk}l h i t đ n m t gi i h n thu c A Ta có a = k→+ xk = l→+ xkl ∈ A ∞ ∞ lim lim V y A t p đóng Gi s ngư c l i t p A không b ch n Khi v i m i k ∈ N∗ t n t i xk ∈ A cho ||xk|| > k Vì A t p compact, dãy {xk} ⊂ A có ch a m t dãy {xkl}l cho xkl → a ∈ A (l → ∞) Do tính liên t c c a chu n ta có ||xkl|| → ||a||, u mâu thu n v i b t đ ng th c ||xkl|| > kl v i m i l ∈ N∗ V y t p A ph i b ch n Đi u ki n đ Gi s A ⊂ Rn t p h p đóng b ch n {xk}k dãy ph n t b t kì c a A Khi {xk}k dãy b ch n Theo đ nh lí Bozano- Weierstrass không gian Rn m i dãy b ch n đ u ch a m t dãy h i t nên dãy {xk}k có ch a m t dãy {xkl}l cho xkl → a (l → ∞) Vì A t p đóng nên a ∈ A V y A t p compact Đ nh nghĩa 1.2.6 Cho không gian tôpô (X, τ ), A m t t p b t kì c a X Đ i v i m i ph n t b t kì x ∈ X ta g i: (i) Đi m x m c a t p A n u t n t i nh t m t lân c n c a x n m A (ii) Đi m x m c a t p A n u t n t i nh t m t lân c n c a x n m tr n X∴A (iii) Đi m x m biên c a t p A n u x đ ng th i không m không m c a A Hay nói cách khác, x m biên c a A n u m i lân c n c a x đ u có giao khác r ng v i A X∴A T p h p nh ng m biên c a t p h p A đư c g i biên c a t p h p A, kí hi u ∂A Đ nh nghĩa 1.2.7 Cho X, Y hai không gian tô pô M t ánh x f t X vào Y đư c g i liên t c t i m x0 n u v i m i lân c n V c a f (x0) đ u t n t i m t lân c n U c a x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh x f đư c g i liên t c X n u liên t c t i m i m x ∈ X Đ nh nghĩa 1.2.8 Ta nói m t tôpô τ không gian véctơ X tương h p v i c u trúc đ i s , n u phép toán đ i s X liên t c tôpô đó, t c n u: x + y m t hàm liên t c c a hai bi n x, y, t c v i m i lân c n V c a m x + y đ u có m t lân c n Ux c a x m t lân c n Uy c a y cho n u x ∈ Ux, y ∈ Uy x + y ∈ V αx m t hàm liên t c c a hai bi n α, x, t c v i m i lân c n V c a αx đ u có m t s ε > m t lân c n U c a x cho |α − α | < ε, x ∈ U α x ∈ V M t không gian véctơ X có m t tôpô tương h p v i c u trúc đ i s g i m t không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô n tính) Đ nh nghĩa 1.2.9 M t không gian véctơ tôpô X đư c g i không gian véctơ tôpô l i đ a phương n u X có m t s lân c n (c a g c) ch g m t p l i 48 Đ nh nghĩa 3.3.5 Cho ánh x đa tr F : X → 2X, ta nói x m b t đ ng c a F n u x ∈ F (x) Đ nh lí 3.3.3 Cho (X, d) không gian mêtric đ hàm f : X → R ∪ {+∞} hàm n a liên t c dư i, b ch n dư i Cho ánh x đa tr F : X → 2X có đ th đóng th a mãn f (y) ≤ f (x) − d(x, y), ∀(x, y) ∈ graphF Khi F có m t m b t đ ng Ch ng minh Đ nh nghĩa kho ng cách ρ X ⋅ X sau ρ((x1, y1), (x2, y2)) := d(x1, x2) + d(y1, y2), ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ X ⋅ X Khi (X ⋅ X, ρ) không gian mêtric đ Th t v y • V i m i (x1, y1), (x2, y2) ∈ X ⋅ X ta có ρ((x1, y1), (x2, y2)) := d(x1, x2) + d(y1, y2) ≥ D u b ng ch x y d(x1, x2) = d(y1, y2) = 0, t c x1 = x2 y1 = y2 (x1, y1) = (x2, y2) • V i m i (x1, y1), (x2, y2) ∈ X ⋅ X ta có ρ((x1, y1), (x2, y2)) = d(x1, x2) + d(y1, y2) = d(x2, x1) + d(y2, y1) = ρ((x2, y2), (x1, y1)) • V i m i (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈ X ⋅ X ta có ρ((x1, y1), (x2, y2)) + ρ((x2, y2), (x3, y3)) = d(x1, x2) + d(y1, y2) + d(x2, x3) + d(y2, y3) ≥ d(x1, x3) + d(y1, y3) = ρ((x1, y1), (x3, y3)) 49 (3.17) • Gi s {zn} ⊂ X ⋅ X v i zn = (xn, yn) dãy Cauchy X ⋅ X Theo đ nh nghĩa ta có, ∀ε > 0, ∃N, ∀m > N, n > N ρ(zn, zm) < ε, t c d(xn, xm) + d(yn, ym) < ε Suy {xn}, {yn} dãy Cauchy X Vì X không gian mêtric đ nên xn → x ∈ X yn → y ∈ X Do zn → z = (x, y) ∈ X ⋅ X V y (X ⋅ X, ρ) không gian mêtric đ Ch n ε ∈ (0, 1) xét hàm g : X → R ∪ {+∞} xác đ nh b i g(x, y) = f (x) − (1 − ε)d(x, y) + lgraphF (x, y) Khi g hàm n a liên t c dư i, b ch n dư i Áp d ng nguyên lí bi n phân Ekeland cho hàm g ta th y r ng t n t i (ˆ ˆ) ∈ graph F cho x, y g(ˆ ˆ) ≤ g(x, y) + ερ((x, y), (ˆ ˆ)), ∀(x, y) ∈ X ⋅ X x, y x, y Do đó, v i m i (x, y) ∈ graph F ta có f (ˆ) − (1 − ε)d(ˆ ˆ) ≤ f (x) − (1 − ε)d(x, y) + ε(d(x, ˆ) + d(y, ˆ)) (3.18) x x, y x y Gi s ˆ ∈ F (ˆ), thay (x, y) = (ˆ, ˆ) (3.18) ta đư c z y yz f (ˆ) − (1 − ε)d(ˆ ˆ) ≤ f (ˆ) − (1 − ε)d(ˆ, ˆ) + ε(d(ˆ, ˆ) + d(ˆ, ˆ)) x x, y y yz yx Suy f (ˆ) − f (ˆ) − d(ˆ, ˆ) ≤ −(1 − 2ε)d(ˆ, ˆ) x y yx zy M t khác, t (3.17) ta có f (ˆ) − f (ˆ) − d(ˆ, ˆ) ≥ x y yx Vì v y, ta có đánh giá sau ≤ f (ˆ) − f (ˆ) − d(ˆ, ˆ) ≤ −(1 − 2ε)d(ˆ, ˆ) x y yx zy zy Do d(ˆ, ˆ) = hay ˆ = ˆ V y ˆ ∈ F (ˆ) Đ nh lí đư c ch ng minh zy yz y y Nh n xét 3.3.1 T ch ng minh ta th y F (ˆ) = {ˆ} y 50 y 3.4 M t s nguyên lí bi n phân khác 3.4.1 Nguyên lí bi n phân Borwein-Preiss Đ nh nghĩa 3.4.1 Cho (X, d) không gian mêtric đ Ta nói r ng hàm liên t c ρ : X ⋅ X → [0, ∞] m t hàm gauge-type không gian mêtric đ (X, d) n u th a mãn (i) ρ(x, x) = 0, ∀x ∈ X; (ii) V i m i ε > 0, t n t i δ > mà ∀y, z ∈ X ta có ρ(y, z) ≤ δ kéo theo d(y, z) < ε Đ nh lí 3.4.1 (Nguyên lí bi n phân Borwein-Preiss) Cho (X, d) không gian mêtric đ hàm f : X → R ∪ {+∞} n a liên t c dư i, b ch n dư i Gi s ρ hàm gauge-type (δi)∞ dãy s dương Gi s r ng i=0 ε > 0, z ∈ X th a mãn f (z) ≤ inf f + ε X Khi t n t i y m t dãy {xi} ⊂ X mà (i) ρ(z, y) ≤ ε , ρ(xi, y) ≤ ε ; δ (ii) f (y) + (iii) f (x) + ∞0 2iδ0 ρ(y, xi) ≤ f (z); i=0 ∞ ∞ δiρ(y, xi), ∀x ∈ X∴{y} δiρ(x, xi) > f (y) + i=0 i=0 Ch ng minh Đ nh nghĩa dãy (xi) (Si) theo quy n p b t đ u t x0 := z S0 = {x ∈ X|f (x) + δ0ρ(x, x0) ≤ f (x0)} (3.19) Vì ρ(x0, x0) = nên f (x0) + δ0ρ(x0, x0) = f (x0) Do x0 ∈ S0 hay S0 = ∅ Hơn n a, S0 đóng c f (.) ρ(., x0) đ u hàm n a liên t c dư i V i m i x ∈ S0, ta có δ0ρ(x, x0) ≤ f (x0) − f (x) ≤ f (z) − inf f ≤ ε (3.20) X L y x1 ∈ S0 th a mãn f (x1) + δ0ρ(x1, x0) ≤ xinf [f (x) + δ0ρ(x, x0)] + δ1δε ∈S0 51 (3.21) 20 Đ nh nghĩa tương t δkρ(x, xk) ≤ f (x1) + δ0ρ(x1, x0)} S1 = {x ∈ S0|f (x) + (3.22) k=0 T ng quát, gi s r ng ta xác đ nh xj, Sj, j = 0, 1, , i − th a mãn j −1 f (xj) + k=0 j−1 δkρ(xj, xk) ≤ x inf [f (x) + ∈ S j−1 k=0 j δkρ(x, xk)] + 2εδδ , (3.23) j j0 j −1 Sj = {x ∈ Sj−1|f (x) + δkρ(x, xk) ≤ f (xj) + δkρ(xj, xk)} (3.24) k=0 k=0 Ch n xi ∈ Si−1 mà i−1 f (xi) + k=0 i−1 δkρ(xi, xk) ≤ x∈ [f (x) + inf S i−1 k=0 δkρ(x, xk)] + 2εδi i (3.25) δ0 Và đ nh nghĩa i Si = {x ∈ Si−1|f (x) + i−1 δkρ(x, xk) ≤ f (xi) + δkρ(xi, xk)} (3.26) k=0 k=0 Ta th y Si m t t p đóng khác r ng v i m i = 1, 2, T (3.25) (3.26) k t h p v i (3.23), v i m i x ∈ Si ta có i−1 δiρ(x, xi) ≤ [f (xi) + i−1 δkρ(xi, xk)] − [f (x) + k=0 i−1 ≤ [f (xi) + k=0 δkρ(x, xk)] k=0 i−1 δkρ(xi, xk)] − x∈ [f (x) + inf S i−1 δkρ(x, xk)] k=0 ≤ 2εδi i δ0 Đi u có nghĩa ρ(x, xi) ≤ 2εδ i0 (3.27) T ρ m t hàm gauge-type, b t đ ng th c (3.27) kéo theo d(x, xi) h i t đ u đ n th diam(Si) → 52 Như v y {Si} dãy t p đóng l ng T tính đ y đ c a X k t h p v i (3.20), (3.27) đ nh lí Cantor t n t i nh t y ∈ ∩∞ Si th a mãn (i) ta có xi → y i=0 Cho b t kì x = y, ta có x ∈ ∩∞ Si b i v y v i m t s j ta có / i=0 ∞ j δkρ(x, xk) ≥ f (x) + f (x) + δkρ(x, xk) k=0 k=0 j−1 δkρ(xj, xk) > f (xj) + k=0 M t khác t (3.19), (3.26) y ∈ ∩∞ , b t kì q > j, i=0 j −1 δkρ(xj, xk) f (x0) > f (xj) + k=0 q −1 δkρ(xq, xk) ≥ f (xq) + k=0 q δkρ(y, xk) ≥ f (y) + k=0 L y gi i h n hai v q → ∞ ta có j −1 δkρ(xj, xk) f (z) = f (x0) ≥ f (xj) + k=0 ∞ δkρ(y, xk) ≥ f (y) + k=0 V y (ii) đư c ch ng minh Cùng v i hai đánh giá suy (iii) Dư i ta phát bi u nguyên lí bi n phân Borwein-Preiss không gian đ nh chu n Đ nh lí 3.4.2 Cho X không gian Banach v i chu n ||.|| hàm f : X → R∪{+∞} hàm n a liên t c dư i, b ch n dư i Cho λ > p ≥ Gi s r ng ε > z ∈ X th a mãn f (z) < infXf + ε 53 Khi t n t i y m t dãy (xi) X mà x1 = z m t hàm ϕp : X → R xác đ nh b i ∞ µi||x − xi||p ϕp(x) = i=1 ∞ µi > 0, i = 1, 2, µi = mà i=1 (i) ||xi − y|| ≤ λ, n = 1, 2, ; (ii) f (y) + ε ϕp(y) ≤ f (z); p λε (iii) f (x) + p ϕp(x) > f (y) + ε ϕp(y), ∀x ∈ X∴{y} λ 3.4.2 p λ Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler M t ph n quan tr ng c a nguyên lí bi n phân Borwein-Preiss dãy đư c tìm b i Deville, Godefroy Zizler dư i Đi u thú v xem xét đ nh lí Baire v ph m trù đư c s d ng th ch ng minh Đ nh nghĩa 3.4.2 T p A đư c g i trù m t X n u A = X T p A đư c g i không đâu trù m t X n u intA = ∅ T p A không gian mêtric X đư c g i thu c ph m trù th nh t n u A = ∪∞=1An, An t p không đâu trù m t n T p h p không thu c ph m trù th nh t đư c g i thu c ph m trù th hai Đ nh lí 3.4.3 (Đ nh lí ph m trù Barie) M i không gian mêtric đ t p h p ph m trù th hai Ch ng minh Gi s X không gian mêtric đ y đ X thu c ph m trù th nh t Khi đó, X = ∪∞=1An, An t p không đâu trù n m t Vì A1 t p không đâu trù m t, v i hình c u đóng b t kì S, có t n t i hình c u đóng S1 ⊂ S cho S1 ∩ A1 = ∅ Có th l y bán kính c a hình c u S1 nh Tương t , t n t i hình c u đóng S2 có bán kính nh cho S2 ⊂ S1, S2 ∩ A2 = ∅ 54 B ng qui n p ta đư c dãy hình c u đóng {Sn} l ng nhau, Sn có bán kính nh Sn∩An = ∅ (∀n) Theo đ nh lí Cantor, t n t i m a chung n cho m i Sn Ta có a ∈ Sn suy a ∈ An (∀n) Vì v y, a ∈ ∪∞=1An = X / /n (vô lí) Đ nh lí hoàn toàn đư c ch ng minh Đ nh nghĩa 3.4.3 Cho f : X → R ∪ {+∞} Ta nói f đ t giá tr nh nh t m nh (strong minimum) t i x ∈ X n u f (x) = infX f b t kì xi ∈ X, f (xi) → f (x) ||xi − x|| → Đ nh nghĩa 3.4.4 Gi s f b ch n X, ta đ nh nghĩa ||f ||∞ = sup{|f (x)||x ∈ X} Đ nh nghĩa 3.4.5 Ta nói r ng hàm φ : X → R m t hàm bump n u φ b ch n có giá supp(φ) = {x ∈ X|φ(x) = ∅} b ch n khác r ng Đ nh lí 3.4.4 (Nguyên lí bi n phân Deville-Godefroy-Zizler) Cho X m t không gian Banach Y m t không gian Banach c a hàm liên t c b ch n g X th a mãn u ki n sau (i) ||g||∞ ≤ ||g||Y ∀g ∈ Y ; (ii) M i g ∈ Y z ∈ X, hàm x → gz(x) = g(x + z) ∈ Y ||gz||Y = ||g||Y ; (iii) M i g ∈ Y s ∈ R, hàm x → g(ax) ∈ Y ; (iv) T n t i m t hàm bump Y Gi s f : X → R ∪ {+∞} m t hàm n a liên t c dư i thư ng (proper lsc function) b ch n dư i, t p G c a t t c g ∈ Y mà f + g đ t c c ti u m nh X dư (residual) (th c ch t t p Gδ trù m t) Ch ng minh Cho trư c g ∈ Y Ta đ nh nghĩa S(g, a) = {x ∈ X|g(x) ≤ infX g + a} Ui = {g ∈ Y |diamS(f + g, a) < 1, ∀a > 0} i Ta ch r ng, m i t p Ui trù m t m Y giao c a chúng t p G Đ ch ng minh Ui m , ta gi s r ng g ∈ Ui mà m t tương ng a > 55 Khi đó, v i b t kì h ∈ Y mà ||g − h||Y < a ta có ||g − h||∞ < a Bây gi , v i b t kì x ∈ S(f + h, a), ta có 3 (f + h)(x) ≤ inf(f + h) + a X D dàng đánh giá (f + g)(x) ≤ (f + h)(x) + ||g − h||∞ inf(f + h) + a + ||g − h||∞ X a + 2||g − h|| ≤ inf(f + g) + a ∞ ≤ inf(f + g) + X X Đi u có nghĩa S(f + h, a) ⊂ S(f + g, a) Do v y h ∈ Ui Đ th y r ng m i Ui trù m t Y , ta gi s g ∈ Y ε > Ta ch c n ch ng minh r ng v i h ∈ Y mà ||h||Y < ε m t s a > diamS(f + g + h, a) < i Theo gi thi t (iv) Y ch a m t hàm bump φ Không m t tính t ng quát, ta có th gi s r ng ||φ||Y < ε T gi thi t (ii) ta gi s φ(0) = 0, b i v y φ(0) > Hơn n a, t gi thi t (iii) ta có th gi s r ng supp (φ) ⊂ B(0, ) Cho a= 2i φ(0) ch n x ∈ X mà (f + g)(x) < inf(f + g) + φ(0) Cho hàm h xác đ nh b i h(x) = −φ(x − x) Theo gi thi t (ii), h ∈ Y ||h||Y = ||φ||Y < ε h(x) = −φ(0) X Đ ch ng minh diamS(f +g +h, a) < 1, c n ch r ng t p đư c ch a i hình c u B(x, ), n u ||x − x|| > Khi x ∈ S(f + g + h, a), / 2i 2i cu i ta có (f + g + h)(x) > inf(f + g + h) + a X Bây gi , supp(h) ⊂ B(x, ), b i v y h(x) = n u ||x − x|| > 2i (f + g + h)(x) = (f + g)(x) ≥ inf(f + g) > (f + g)(x) − a X = (f + g + h)(x) + φ(0) − φ(0) ≥ inf(f + g + h) + a X 56 2i Cu i cùng, ta ch ng minh r ng ∩∞ Ui = G D dàng th y r ng G ⊂ i=1 ∩i=1 i ∞ U Cho g ∈ ∩∞ Ui ta s ch r ng g ∈ G, mà f + g đ t strong minimum i=1 X Đ u tiên th y r ng, t n t i > mà diamS(f + g, ai) < v i m i i i Do v y, t n t i nh t m x ∈ ∩∞ S(f + g, ai) i=1 Gi s r ng xk ∈ X (f + g)(xk) → infX(f + g) V i i > t n t i i0 mà (f + g)(xk) < infX(f + g) + ai, ∀i ≥ i0 B i v y, xk ∈ S(f +g, ai), ∀i ≥ i0 Và ||xk −x|| ≤ diamS(f +g, ai) < n u k ≥ i Do v y, x → x, b i v y g ∈ G k i 57 K T LU N Lu n văn trình bày m t s v n đ sau: - Nguyên lí bi n phân Ekeland c n, m r ng nguyên lí Ekeland cho toán cân b ng nguyên lí bi n phân Ekeland vectơ - Trình bày d ng hình h c c a nguyên lí bi n phân Ekeland, s tương đương v i tính đ y đ c a không gian mêtric - ng d ng đ nh lí m b t đ ng Banach, ánh x co theo hư ng, đ nh lí m b t đ ng Caristi-Kirk - M t s nguyên lí bi n phân khác 58 Tài li u tham kh o [A] Tài li u tham kh o [1] Ph m H u Sách, D ng hình h c c a nguyên lí bi n phân Ekeland ng d ng, H i th o Gi i tích hi n đ i ng d ng, trư ng hè Hu , Vi n Toán h c- Trư ng ĐHSP Hu , 1987 [2] Nguy n Đông Yên, Gi i tích đa tr , Nhà xu t b n Khoa h c T nhiên công ngh , 2007 [3] M Bianchi, G Kassay, R Pini, Existence of equilibria via Ekeland's principle, J Math Anal Appl 305 (2005) 502-512 [4] M Bianchi, G Kassay, R Pini, Ekeland's principle for vector equilibrium problems, Nonlinear Analysis 66 (2007) 1454-1464 [5] Jonathan M Borwein, Qiji J Zhu, Techniques of Variational Analysis, Springer, 2004 [B] Tài li u tham kh o b sung [6] Errett Bishop and R R Phelps, A proof that every Banach space is subreflexive, Bull Amer Math Soc., 67:97-98, 1961 [7] Errett Bishop and R R Phelps, The support functionals of a covex set In V L Klee, editor, Proc Sympos Pure Math., Vol VII, page 2735 Amer Math Soc., Providence, R.I., 1963 [8] Josef Danes, A geometric theorem useful in nonlinear functional analysis, Boll Un Mat Ital (4), 6:369-375, 1972 [9] Ivar Ekeland, Nonconvex minimization problems, Boll Amer Math Soc (N.S.), 1:443-474, 1979 59 [10] C Finet, Variational principles in partially ordered Banach spaces, J Nonlinear Convex Anal, (2001), 167-174 [11] C Finet, L Quarta, C Troestler, Vector- valued variational principles, Nonlinear Anal, 52 (2003), 197-208 [12] A Gopfert, C Tammer, C Zălinescu, On the vectorial Ekeland's variational principles and minimal points in product spaces, Nonlinear Anal, 39 (2000), 909-922 [13] S Rolewicz, On drop property, Studia Math., 85:27-35, 1986 [14] W Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973 60 ... Chương Nguyên lí bi n phân Ekeland Chương trình bày nguyên lí bi n phân Ekeland c n, m r ng c a nguyên lí bi n phân Ekeland g m nguyên lí bi n phân Ekeland cho toán cân b ng nguyên lí bi n phân. .. toán 15 23 cân b ng 23 29 Các d ng tương đương c a nguyên lí bi n phân m t s nguyên lí bi n phân khác 3.1 D ng hình h c c a nguyên lý bi n phân Ekeland 3.1.1 Đ nh lí Bishop-Phelps... 12 Nguyên lí bi n phân Ekeland 2.1 Nguyên lí bi n phân Ekeland c n 2.2 M r ng 2.2.1 Nguyên lí bi n phân Ekeland cho 2.2.2 Nguyên lí bi n phân Ekeland vectơ