Luận văn về các nguyên lý biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HOÀNG THỊ MẤN VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ 1.2 Không gian vectơ tôpô 1.3 Không gian mêtric 1.4 Ánh xạ đa trị 1.5 Một số kí hiệu 1.6 Hàm nửa liên tục Nguyên lí biến phân Ekeland 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 2.2 Mở rộng 2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho 2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ toán 15 15 23 cân 23 29 Các dạng tương đương nguyên lí biến phân số nguyên lí biến phân khác 3.1 Dạng hình học nguyên lý biến phân Ekeland 3.1.1 Định lí Bishop-Phelps 3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) 3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) 3.2 Sự tương đương nguyên lí biến phân Ekeland tính đầy đủ không gian mêtric 3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland chứng minh định lí điểm bất động 3.3.1 Định lí điểm bất động Banach 3.3.2 Một kết tinh tế Clarke (Clarke’s Refinement) 6 10 12 12 12 36 36 36 38 41 43 44 44 46 3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk 3.4 Một số nguyên lí biến phân khác 3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 48 51 51 54 58 59 Mở đầu Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle, viết tắt EVP) coi kết quan trọng giải tích phi tuyến bốn thập kỷ vừa qua Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng, hàm f nửa liên tục tập compact X đạt cực tiểu tập Khi X tập không compact hàm f điểm cực trị Với không gian metric đủ X , hàm f bị chặn dưới, với ε > 0, ta tìm điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức inf f ≤ f (xε ) < inf f + ε X X Vào năm 1974, Ekeland phát biểu nguyên lí nói rằng, với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn không gian metric đủ X với điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, ta tìm điểm x cực tiểu chặt hàm ˆ nhiễu hàm ban đầu, đồng thời f (ˆ) ≤ f (x) Không thế, ta có x thể đánh giá khoảng cách x x ˆ Sau đời, nguyên lí biến phân Ekeland trở thành công cụ mạnh giải tích đại Những ứng dụng nguyên lí bao trùm nhiều lĩnh vực: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế, Nguyên lí biến phân Ekeland GS Phạm Hữu Sách [1] sử dụng để nghiên cứu vi phân ánh xạ đa trị điều kiện tối ưu toán qui hoạch có tham gia ánh xạ đa trị Sự tương đương nguyên lí Ekeland với định lí điểm bất động CaristiKirk phát từ lâu Năm 1984 Penot chứng minh nguyên lí tương đương với định lí giọt nước Danes mà sau gọi dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland Trong năm gần đây, nguyên lí mở rộng cho hàm f ánh xạ đơn trị đa trị nhận giá trị không gian vectơ áp dụng toán cân Mục đích luận văn tìm hiểu số kết liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển vectơ) số ứng dụng nguyên lí biến phân Luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kết tôpô giải tích hàm phục vụ cho việc chứng minh định lí Chương Nguyên lí biến phân Ekeland Chương trình bày nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí biến phân Ekeland gồm nguyên lí biến phân Ekeland cho toán cân nguyên lí biến phân Ekeland vectơ Chương Các dạng tương đương nguyên lí biến phân số nguyên lí biến phân khác Chương trình bày dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland gồm định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa định lí giọt nước Ứng dụng định lí điểm bất động gồm định lí điểm bất động Banach, kết tinh tế Clarke, định lí điểm bất động Caristi-Kirk Cuối nguyên lí biến phân Borwein-Preiss nguyên lí DevilleGodefroy-Zizler Luận văn cố gắng trình bày cách có hệ thống (với chứng minh cụ thể chi tiết với chỉnh sửa cần thiết) nguyên lí biến phân Ekeland Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập Trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, Ngày 25 tháng 10 năm 2015 Tác giả luận văn Hoàng Thị Mấn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Giả sử F trường R C Các phần tử F gọi số (đại lượng vô hướng) Một không gian véctơ V định nghĩa trường F tập hợp V không rỗng mà hai phép cộng véctơ phép nhân với số hướng định nghĩa cho tính chất sau thỏa mãn: Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp: Với u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán: Với v, w ∈ V : v + w = w + v; Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa: Với v ∈ V, có phần tử ∈ V, gọi véctơ không: v + = v; Phép cộng véctơ có phần tử đối: Với v ∈ V, tồn w ∈ V : v + w = 0; Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ: Với α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng: Với α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trường số vô hướng: Với α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; Phần tử đơn vị trường F có tính chất phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng: Với v ∈ V : 1.v = v.1 Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian véctơ Tập C ⊆ X gọi tập lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách khác C chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó) Định nghĩa 1.1.3 (Nón) Cho X không gian vectơ Tập K ⊂ X gọi nón có đỉnh ∀x ∈ K, ∀λ ≥ λx ∈ K K gọi nón có đỉnh x0 K − x0 nón có đỉnh Định nghĩa 1.1.4 (Nón đóng) Nón K có đỉnh gọi nón đóng K tập đóng Định nghĩa 1.1.5 (Nón nhọn) Một nón gọi nón nhọn không chứa đường thẳng Định nghĩa 1.1.6 (Nón lồi) Nón K có đỉnh gọi nón lồi K tập lồi, có nghĩa ∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > λ + µ = λx + µy ∈ K Mệnh đề 1.1.1 K nón lồi K nón K + K = K Chứng minh Giả sử K nón Theo định nghĩa ta có ∀x, y ∈ K 1 x ∈ K y ∈ K 2 1 Mặt khác, K nón lồi nên (x + y) = x + y ∈ K Vậy (x + y) ∈ K 2 Suy K + K ⊆ K Vậy K + K = K Đảo lại, K nón nên λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K, ∀x, y ∈ K Mà K + K = K nên λx + (1 − λy) ∈ K hay K tập lồi 1.2 Không gian vectơ tôpô Định nghĩa 1.2.1 (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Họ τ tập X gọi tôpô X (i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ; (ii) Gα ∈ τ với α ∈ I, I tập số ∪α∈I Gα ∈ τ ; (iii) ∀G1 , G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ Tập X với tôpô X gọi không gian tôpô Kí hiệu: (X, τ ) Định nghĩa 1.2.2 Cho (X, τ ) không gian tôpô • Tập G gọi tập mở X G ∈ τ • Tập F gọi tập đóng X X\F ∈ τ Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A tập X Tập U gọi lân cận tập A U có tập mở chứa A Khi A = {x} U lân cận điểm x Định nghĩa 1.2.4 Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ {Gα : α ∈ I} tập X gọi phủ tập A ⊂ X A ⊂ ∪α∈I Gα Nếu I tập hữu hạn ta nói phủ hữu hạn Nếu Gα tập mở ta nói phủ phủ mở Định nghĩa 1.2.5 Tập A ⊂ X gọi tập compact từ phủ mở A ta lấy phủ hữu hạn Nhận xét 1.2.1 Trong trường hợp A ⊂ Rn tập compact A đóng bi chặn Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A tập compact {xk } dãy phần tử A cho xk → a Ta chứng minh a ∈ A Vì A tập compact, theo định nghĩa dãy {xk }k chứa dãy {xk }l hội tụ đến giới hạn thuộc A Ta có a = lim xk = lim xkl ∈ A k→+∞ l→+∞ Vậy A tập đóng Giả sử ngược lại tập A không bị chặn Khi với k ∈ N∗ tồn xk ∈ A cho ||xk || > k Vì A tập compact, dãy {xk } ⊂ A có chứa dãy {xkl }l cho xkl → a ∈ A (l → ∞) Do tính liên tục chuẩn ta có ||xkl || → ||a||, điều mâu thuẫn với bất đẳng thức ||xkl || > kl với l ∈ N∗ Vậy tập A phải bị chặn Điều kiện đủ Giả sử A ⊂ Rn tập hợp đóng bị chặn {xk }k dãy phần tử A Khi {xk }k dãy bị chặn Theo định lí Bozano- Weierstrass không gian Rn dãy bị chặn chứa dãy hội tụ nên dãy {xk }k có chứa dãy {xkl }l cho xkl → a (l → ∞) Vì A tập đóng nên a ∈ A Vậy A tập compact Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian tôpô (X, τ ), A tập X Đối với phần tử x ∈ X ta gọi: (i) Điểm x điểm tập A tồn lân cận x nằm A (ii) Điểm x điểm tập A tồn lân cận x nằm trọn X\A (iii) Điểm x điểm biên tập A x đồng thời không điểm không điểm A Hay nói cách khác, x điểm biên A lân cận x có giao khác rỗng với A X\A Tập hợp điểm biên tập hợp A gọi biên tập hợp A, kí hiệu ∂A Định nghĩa 1.2.7 Cho X , Y hai không gian tô pô Một ánh xạ f từ X vào Y gọi liên tục điểm x0 với lân cận V f (x0 ) tồn lân cận U x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh xạ f gọi liên tục X liên tục điểm x ∈ X Định nghĩa 1.2.8 Ta nói tôpô τ không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tôpô đó, tức nếu: x + y hàm liên tục hai biến x, y , tức với lân cận V điểm x + y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho x ∈ Ux , y ∈ Uy x + y ∈ V αx hàm liên tục hai biến α, x, tức với lân cận V αx có số ε > lân cận U x cho |α − α | < ε, x ∈ U α x ∈ V Một không gian véctơ X có tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính) Định nghĩa 1.2.9 Một không gian véctơ tôpô X gọi không gian véctơ tôpô lồi địa phương X có sở lân cận (của gốc) gồm tập lồi 3.3.2 Một kết tinh tế Clarke (Clarke’s Refinement) Trong định lí điểm bất động Banach, ta thay điều kiện ánh xạ co điều kiện yếu ánh xạ co theo hướng Định nghĩa 3.3.3 Cho (X, d) không gian mêtric đủ Cho x, y ∈ X , ta định nghĩa đoạn thẳng x y [x, y] = {z ∈ X|d(x, z) + d(z, y) = d(x, y)} Định nghĩa 3.3.4 (co theo hướng) Cho (X, d) không gian mêtric đủ ánh xạ φ : X → X Ta gọi φ ánh xạ co theo hướng φ thỏa mãn điều kiện sau (i) φ ánh xạ liên tục (ii) Tồn k ∈ (0, 1) cho với x ∈ X mà φ(x) = x tồn z ∈ [x, φ(x)]\{x} thỏa mãn d(φ(x), φ(z)) ≤ kd(x, z) Định lí 3.3.2 Cho (X, d) không gian mêtric đủ ánh xạ φ : X → X ánh xạ co theo hướng Khi φ có điểm bất động Chứng minh Xét hàm f (x) = d(x, φ(x)) Do hàm khoảng cách hàm φ liên tục nên f liên tục Hơn f bị chặn Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f với ε ∈ (0, − k) ta tìm y ∈ X cho f (y) ≤ f (x) + εd(x, y), ∀x ∈ X (3.12) Ta chứng minh φ(y) = y Giả sử ngược lại φ(y) = y Vì φ ánh xạ co theo hướng nên ta tìm z = y mà z ∈ [y, φ(y)], tức d(y, z) + d(z, φ(y)) = d(y, φ(y)) = f (y) (3.13) d(φ(y), φ(z)) ≤ kd(y, z) (3.14) thỏa mãn Thay x = z (3.12) ta f (y) ≤ f (z) + εd(z, y), 46 tức d(y, z) + d(z, φ(y)) ≤ d(z, φ(z)) + εd(z, y) hay d(y, z) ≤ −d(z, φ(y)) + d(z, φ(z)) + εd(z, y) (3.15) Sử dụng bất đẳng thức tam giác kết hợp với (3.14) ta có d(z, φ(z)) − d(z, φ(y)) ≤ d(φ(y), φ(z)) ≤ kd(y, z) (3.16) Kết hợp (3.15) (3.16) ta d(y, z) ≤ (k + ε)d(y, z), hay (k + ε − 1)d(y, z) ≥ Mặt khác, < ε < − k ta suy k − < k + ε − < Do d(y, z) = dẫn đến y = z (mâu thuẫn) Định lí chứng minh Rõ ràng, co co có hướng Vì Định lí 3.3.2 khái quát hóa định lí điểm bất động Banach Dưới ví dụ áp dụng Định lí 3.3.2 định lí co Banach không làm Ví dụ 3.3.1 Trên X = R2 ta định nghĩa ||x|| = ||(x1 , x2 )|| = |x1 | + |x2 | Đoạn thẳng nối hai điểm (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) hình chữ nhật với bốn đỉnh có tọa độ (x1 , x2 ); (x1 , y2 ); (y1 , x2 ); (y1 , y2 ) Thật vậy, z ∈ [x, y] d(x, z) + d(z, y) = d(x, y), tức |z1 − x1 | + |z2 − x2 | + |z1 − y1 | + |z2 − y2 | = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |, hay ta có |z1 − x1 | + |z1 − y1 | = |x1 − y1 |, |z2 − x2 | + |z2 − y2 | = |x2 − y2 | Do vậy, z thuộc hình chữ nhật đóng có đỉnh điểm (x1 , x2 ), (y1 , y2 ), (y1 , x2 ), (x1 , y2 ) Ánh xạ 3x1 x2 x2 φ(x1 , x2 ) = ( − , x1 + ) 3 47 ánh xạ co theo hướng Thật vậy, y = φ(x) = x với x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) Khi y2 = x2 (trường hợp trái lại ta có y1 = x1 ) Ta chọn đoạn [x, y] điểm z = (x1 , x2 + ε) với ε > Với điểm ta có d(φ(x1 , x2 + ε), φ(x1 , x2 )) 3x1 x2 + ε x2 + ε 3x1 x2 x2 = d(( − , x1 + ); ( − , x1 + )) 3 3 3x1 x2 x2 + ε x2 3x1 x2 + ε − )−( − )| + |(x1 + ) − (x1 + )| = |( 3 3 ε ε + = ε ≤ 3 Mà d((x1 , x2 + ε), (x1 , x2 )) = |x1 − x1 | + |x2 + ε − x2 | = ε Suy d(φ(x1 , x2 + ε), φ(x1 , x2 )) = d((x1 , x2 + ε), (x1 , x2 )) Bởi φ co theo hướng Giả sử x = (x1 , x2 ) điểm bất động φ ta có φ(x) = x tức ( 3x1 x2 x2 − , x1 + ) = (x1 , x2 ) 3 Suy   3x1 − x2 = x1  x + x2 = x 3 Giải hệ phương trình ta x2 = x1 Vậy điểm bất động φ 3x tất điểm có dạng (x, ) Vì điểm bất động φ không nên định lí điểm bất động Banach không áp dụng cho ánh xạ 3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk Với lí luận tương tự sử dụng để chứng minh định lí điểm bất động Caristi-Kirk cho hàm đa trị 48 Định nghĩa 3.3.5 Cho ánh xạ đa trị F : X → 2X , ta nói x điểm bất động F x ∈ F (x) Định lí 3.3.3 Cho (X, d) không gian mêtric đủ hàm f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, bị chặn Cho ánh xạ đa trị F : X → 2X có đồ thị đóng thỏa mãn f (y) ≤ f (x) − d(x, y), ∀(x, y) ∈ graphF (3.17) Khi F có điểm bất động Chứng minh Định nghĩa khoảng cách ρ X × X sau ρ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) := d(x1 , x2 ) + d(y1 , y2 ), ∀(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × X Khi (X × X, ρ) không gian mêtric đủ Thật • Với (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × X ta có ρ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) := d(x1 , x2 ) + d(y1 , y2 ) ≥ Dấu xảy d(x1 , x2 ) = d(y1 , y2 ) = 0, tức x1 = x2 y1 = y2 (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) • Với (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × X ta có ρ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = d(x1 , x2 ) + d(y1 , y2 ) = d(x2 , x1 ) + d(y2 , y1 ) = ρ((x2 , y2 ), (x1 , y1 )) • Với (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) ∈ X × X ta có ρ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) + ρ((x2 , y2 ), (x3 , y3 )) = d(x1 , x2 ) + d(y1 , y2 ) + d(x2 , x3 ) + d(y2 , y3 ) ≥ d(x1 , x3 ) + d(y1 , y3 ) = ρ((x1 , y1 ), (x3 , y3 )) 49 • Giả sử {zn } ⊂ X × X với zn = (xn , yn ) dãy Cauchy X × X Theo định nghĩa ta có, ∀ε > 0, ∃N, ∀m > N, n > N ρ(zn , zm ) < ε, tức d(xn , xm ) + d(yn , ym ) < ε Suy {xn }, {yn } dãy Cauchy X Vì X không gian mêtric đủ nên xn → x ∈ X yn → y ∈ X Do zn → z = (x, y) ∈ X × X Vậy (X × X, ρ) không gian mêtric đủ Chọn ε ∈ (0, ) xét hàm g : X → R ∪ {+∞} xác định g(x, y) = f (x) − (1 − ε)d(x, y) + lgraphF (x, y) Khi g hàm nửa liên tục dưới, bị chặn Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm g ta thấy tồn (ˆ, y ) ∈ graph F cho x ˆ g(ˆ, y ) ≤ g(x, y) + ερ((x, y), (ˆ, y )), ∀(x, y) ∈ X × X x ˆ x ˆ Do đó, với (x, y) ∈ graph F ta có f (ˆ) − (1 − ε)d(ˆ, y ) ≤ f (x) − (1 − ε)d(x, y) + ε(d(x, x) + d(y, y )) (3.18) x x ˆ ˆ ˆ Giả sử z ∈ F (ˆ), thay (x, y) = (ˆ, z ) (3.18) ta ˆ y y ˆ f (ˆ) − (1 − ε)d(ˆ, y ) ≤ f (ˆ) − (1 − ε)d(ˆ, z ) + ε(d(ˆ, x) + d(ˆ, y )) x x ˆ y y ˆ y ˆ z ˆ Suy f (ˆ) − f (ˆ) − d(ˆ, x) ≤ −(1 − 2ε)d(ˆ, y ) x y y ˆ z ˆ Mặt khác, từ (3.17) ta có f (ˆ) − f (ˆ) − d(ˆ, x) ≥ x y y ˆ Vì vậy, ta có đánh giá sau ≤ f (ˆ) − f (ˆ) − d(ˆ, x) ≤ −(1 − 2ε)d(ˆ, y ) x y y ˆ z ˆ Do d(ˆ, y ) = hay y = z Vậy y ∈ F (ˆ) Định lí chứng minh z ˆ ˆ ˆ ˆ y Nhận xét 3.3.1 Từ chứng minh ta thấy F (ˆ) = {ˆ} y y 50 3.4 3.4.1 Một số nguyên lí biến phân khác Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss Định nghĩa 3.4.1 Cho (X, d) không gian mêtric đủ Ta nói hàm liên tục ρ : X × X → [0, ∞] hàm gauge-type không gian mêtric đủ (X, d) thỏa mãn (i) ρ(x, x) = 0, ∀x ∈ X; (ii) Với ε > 0, tồn δ > mà ∀y, z ∈ X ta có ρ(y, z) ≤ δ kéo theo d(y, z) < ε Định lí 3.4.1 (Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss) Cho (X, d) không gian mêtric đủ hàm f : X → R ∪ {+∞} nửa liên tục dưới, bị chặn Giả sử ρ hàm gauge-type (δi )∞ dãy số dương Giả sử i=0 ε > 0, z ∈ X thỏa mãn f (z) ≤ inf f + ε X Khi tồn y dãy {xi } ⊂ X mà ε ε (i) ρ(z, y) ≤ , ρ(xi , y) ≤ i ; δ0 δ0 ∞ ρ(y, xi ) ≤ f (z); (ii) f (y) + i=0 ∞ (iii) f (x) + ∞ δi ρ(y, xi ), ∀x ∈ X\{y} δi ρ(x, xi ) > f (y) + i=0 i=0 Chứng minh Định nghĩa dãy (xi ) (Si ) theo quy nạp x0 := z S0 = {x ∈ X|f (x) + δ0 ρ(x, x0 ) ≤ f (x0 )} (3.19) Vì ρ(x0 , x0 ) = nên f (x0 ) + δ0 ρ(x0 , x0 ) = f (x0 ) Do x0 ∈ S0 hay S0 = ∅ Hơn nữa, S0 đóng f (.) ρ(., x0 ) hàm nửa liên tục Với x ∈ S0 , ta có δ0 ρ(x, x0 ) ≤ f (x0 ) − f (x) ≤ f (z) − inf f ≤ ε X (3.20) Lấy x1 ∈ S0 thỏa mãn f (x1 ) + δ0 ρ(x1 , x0 ) ≤ inf [f (x) + δ0 ρ(x, x0 )] + x∈S0 51 δ1 ε 2δ0 (3.21) Định nghĩa tương tự δk ρ(x, xk ) ≤ f (x1 ) + δ0 ρ(x1 , x0 )} S1 = {x ∈ S0 |f (x) + (3.22) k=0 Tổng quát, giả sử ta xác định xj , Sj , j = 0, 1, , i − thỏa mãn j−1 j−1 δk ρ(xj , xk ) ≤ inf [f (x) + f (xj ) + x∈Sj−1 k=0 εδj , 2j δ0 δk ρ(x, xk )] + k=0 (3.23) j−1 j δk ρ(x, xk ) ≤ f (xj ) + Sj = {x ∈ Sj−1 |f (x) + δk ρ(xj , xk )} (3.24) k=0 k=0 Chọn xi ∈ Si−1 mà i−1 i−1 δk ρ(xi , xk ) ≤ inf [f (x) + f (xi ) + x∈Si−1 k=0 δk ρ(x, xk )] + k=0 εδi 2i δ0 (3.25) Và định nghĩa i Si = {x ∈ Si−1 |f (x) + i−1 δk ρ(x, xk ) ≤ f (xi ) + k=0 δk ρ(xi , xk )} (3.26) k=0 Ta thấy Si tập đóng khác rỗng với = 1, 2, Từ (3.25) (3.26) kết hợp với (3.23), với x ∈ Si ta có i−1 δi ρ(x, xi ) ≤ [f (xi ) + i−1 δk ρ(xi , xk )] − [f (x) + k=0 i−1 ≤ [f (xi ) + k=0 i−1 δk ρ(xi , xk )] − inf [f (x) + x∈Si−1 k=0 ≤ δk ρ(x, xk )] δk ρ(x, xk )] k=0 εδi i δ0 Điều có nghĩa ε (3.27) 2i δ0 Từ ρ hàm gauge-type, bất đẳng thức (3.27) kéo theo d(x, xi ) hội tụ đến diam(Si ) → ρ(x, xi ) ≤ 52 Như {Si } dãy tập đóng lồng Từ tính đầy đủ X kết hợp với (3.20), (3.27) định lí Cantor tồn y ∈ ∩∞ Si thỏa mãn (i) ta có xi → y i=0 Cho x = y , ta có x ∈ ∩∞ Si với số j ta có / i=0 j ∞ δk ρ(x, xk ) ≥ f (x) + f (x) + δk ρ(x, xk ) k=0 j−1 k=0 δk ρ(xj , xk ) > f (xj ) + k=0 Mặt khác từ (3.19), (3.26) y ∈ ∩∞ , q > j , i=0 j−1 f (x0 ) > f (xj ) + δk ρ(xj , xk ) k=0 q−1 ≥ f (xq ) + δk ρ(xq , xk ) k=0 q ≥ f (y) + δk ρ(y, xk ) k=0 Lấy giới hạn hai vế q → ∞ ta có j−1 f (z) = f (x0 ) ≥ f (xj ) + δk ρ(xj , xk ) k=0 ∞ ≥ f (y) + δk ρ(y, xk ) k=0 Vậy (ii) chứng minh Cùng với hai đánh giá suy (iii) Dưới ta phát biểu nguyên lí biến phân Borwein-Preiss không gian định chuẩn Định lí 3.4.2 Cho X không gian Banach với chuẩn ||.|| hàm f : X → R ∪{+∞} hàm nửa liên tục dưới, bị chặn Cho λ > p ≥ Giả sử ε > z ∈ X thỏa mãn f (z) < infX f + ε 53 Khi tồn y dãy (xi ) X mà x1 = z hàm ϕp : X → R xác định ∞ µi ||x − xi ||p ϕp (x) = i=1 ∞ Ở µi > 0, i = 1, 2, µi = mà i=1 (i) ||xi − y|| ≤ λ, n = 1, 2, ; ε (ii) f (y) + p ϕp (y) ≤ f (z); λε ε (iii) f (x) + p ϕp (x) > f (y) + p ϕp (y), ∀x ∈ X\{y} λ λ 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler Một phần quan trọng nguyên lí biến phân Borwein-Preiss dãy tìm Deville, Godefroy Zizler Điều thú vị xem xét định lí Baire phạm trù sử dụng chứng minh Định nghĩa 3.4.2 Tập A gọi trù mật X A = X Tập A gọi không đâu trù mật X intA = ∅ Tập A không gian mêtric X gọi thuộc phạm trù thứ A = ∪∞ An , An tập không đâu trù mật n=1 Tập hợp không thuộc phạm trù thứ gọi thuộc phạm trù thứ hai Định lí 3.4.3 (Định lí phạm trù Barie) Mọi không gian mêtric đủ tập hợp phạm trù thứ hai Chứng minh Giả sử X không gian mêtric đầy đủ X thuộc phạm trù thứ Khi đó, X = ∪∞ An , An tập không đâu trù n=1 mật Vì A1 tập không đâu trù mật, với hình cầu đóng S , có tồn hình cầu đóng S1 ⊂ S cho S1 ∩ A1 = ∅ Có thể lấy bán kính hình cầu S1 nhỏ 1 Tương tự, tồn hình cầu đóng S2 có bán kính nhỏ cho S2 ⊂ S1 , S2 ∩ A2 = ∅ 54 Bằng qui nạp ta dãy hình cầu đóng {Sn } lồng nhau, Sn có bán kính nhỏ Sn ∩An = ∅ (∀n) Theo định lí Cantor, tồn điểm a chung n cho Sn Ta có a ∈ Sn suy a ∈ An (∀n) Vì vậy, a ∈ ∪∞ An = X / / n=1 (vô lí) Định lí hoàn toàn chứng minh Định nghĩa 3.4.3 Cho f : X → R ∪ {+∞} Ta nói f đạt giá trị nhỏ mạnh (strong minimum) x ∈ X f (x) = inf X f xi ∈ X, f (xi ) → f (x) ||xi − x|| → Định nghĩa 3.4.4 Giả sử f bị chặn X , ta định nghĩa ||f ||∞ = sup{|f (x)||x ∈ X} Định nghĩa 3.4.5 Ta nói hàm φ : X → R hàm bump φ bị chặn có giá supp(φ) = {x ∈ X|φ(x) = ∅} bị chặn khác rỗng Định lí 3.4.4 (Nguyên lí biến phân Deville-Godefroy-Zizler) Cho X không gian Banach Y không gian Banach hàm liên tục bị chặn g X thỏa mãn điều kiện sau (i) ||g||∞ ≤ ||g||Y ∀g ∈ Y ; (ii) Mỗi g ∈ Y z ∈ X, hàm x → gz (x) = g(x + z) ∈ Y ||gz ||Y = ||g||Y ; (iii) Mỗi g ∈ Y s ∈ R, hàm x → g(ax) ∈ Y ; (iv) Tồn hàm bump Y Giả sử f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục thường (proper lsc function) bị chặn dưới, tập G tất g ∈ Y mà f + g đạt cực tiểu mạnh X dư (residual) (thực chất tập Gδ trù mật) Chứng minh Cho trước g ∈ Y Ta định nghĩa S(g, a) = {x ∈ X|g(x) ≤ inf X g + a} Ui = {g ∈ Y |diamS(f + g, a) < , ∀a > 0} i Ta rằng, tập Ui trù mật mở Y giao chúng tập G Để chứng minh Ui mở, ta giả sử g ∈ Ui mà tương ứng a > 55 a a Khi đó, với h ∈ Y mà ||g − h||Y < ta có ||g − h||∞ < 3 a Bây giờ, với x ∈ S(f + h, ), ta có a (f + h)(x) ≤ inf (f + h) + X Dễ dàng đánh giá a (f + g)(x) ≤ (f + h)(x) + ||g − h||∞ inf (f + h) + + ||g − h||∞ X a ≤ inf (f + g) + + 2||g − h||∞ ≤ inf (f + g) + a X X a Điều có nghĩa S(f + h, ) ⊂ S(f + g, a) Do h ∈ Ui Để thấy Ui trù mật Y , ta giả sử g ∈ Y ε > Ta cần chứng minh với h ∈ Y mà ||h||Y < ε số a > diamS(f + g + h, a) < i Theo giả thiết (iv) Y chứa hàm bump φ Không tính tổng quát, ta giả sử ||φ||Y < ε Từ giả thiết (ii) ta giả sử φ(0) = 0, φ(0) > Hơn nữa, từ giả thiết (iii) ta giả sử supp(φ) ⊂ B(0, ) Cho 2i φ(0) a= chọn x ∈ X mà φ(0) (f + g)(x) < inf (f + g) + X Cho hàm h xác định h(x) = −φ(x − x) Theo giả thiết (ii), h ∈ Y ||h||Y = ||φ||Y < ε h(x) = −φ(0) Để chứng minh diamS(f +g +h, a) < , cần tập chứa i 1 / hình cầu B(x, ), ||x − x|| > Khi x ∈ S(f + g + h, a), 2i 2i cuối ta có (f + g + h)(x) > inf (f + g + h) + a X 1 ), h(x) = ||x − x|| > 2i 2i (f + g + h)(x) = (f + g)(x) ≥ inf (f + g) > (f + g)(x) − a Bây giờ, supp(h) ⊂ B(x, X = (f + g + h)(x) + φ(0) − 56 φ(0) ≥ inf (f + g + h) + a X Cuối cùng, ta chứng minh ∩∞ Ui = G Dễ dàng thấy G ⊂ i=1 ∞ ∩i=1 Ui Cho g ∈ ∩∞ Ui ta g ∈ G, mà f + g đạt strong minimum i=1 X Đầu tiên thấy rằng, tồn > mà diamS(f + g, ) < với i i Do vậy, tồn điểm x ∈ ∩∞ S(f + g, ) i=1 Giả sử xk ∈ X (f + g)(xk ) → inf X (f + g) Với i > tồn i0 mà (f + g)(xk ) < inf X (f + g) + , ∀i ≥ i0 Bởi vậy, xk ∈ S(f +g, ), ∀i ≥ i0 Và ||xk −x|| ≤ diamS(f +g, ) < k ≥ i0 Do vậy, xk → x, g ∈ G i 57 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí Ekeland cho toán cân nguyên lí biến phân Ekeland vectơ - Trình bày dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland, tương đương với tính đầy đủ không gian mêtric - Ứng dụng định lí điểm bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định lí điểm bất động Caristi-Kirk - Một số nguyên lí biến phân khác 58 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tham khảo [1] Phạm Hữu Sách, Dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland ứng dụng, Hội thảo Giải tích đại ứng dụng, trường hè Huế, Viện Toán học- Trường ĐHSP Huế, 1987 [2] Nguyễn Đông Yên, Giải tích đa trị , Nhà xuất Khoa học Tự nhiên công nghệ, 2007 [3] M Bianchi, G Kassay, R Pini, Existence of equilibria via Ekeland’s principle, J Math Anal Appl 305 (2005) 502-512 [4] M Bianchi, G Kassay, R Pini, Ekeland’s principle for vector equilibrium problems, Nonlinear Analysis 66 (2007) 1454-1464 [5] Jonathan M Borwein, Qiji J Zhu, Techniques of Variational Analysis, Springer, 2004 [B] Tài liệu tham khảo bổ sung [6] Errett Bishop and R R Phelps, A proof that every Banach space is subreflexive, Bull Amer Math Soc., 67:97-98, 1961 [7] Errett Bishop and R R Phelps, The support functionals of a covex set In V L Klee, editor, Proc Sympos Pure Math., Vol VII, page 27-35 Amer Math Soc., Providence, R.I., 1963 [8] Josef Danes, A geometric theorem useful in nonlinear functional analysis, Boll Un Mat Ital (4), 6:369-375, 1972 [9] Ivar Ekeland, Nonconvex minimization problems, Boll Amer Math Soc (N.S.), 1:443-474, 1979 59 [10] C Finet, Variational principles in partially ordered Banach spaces, J Nonlinear Convex Anal, (2001), 167-174 [11] C Finet, L Quarta, C Troestler, Vector- valued variational principles, Nonlinear Anal, 52 (2003), 197-208 [12] A Gopfert, C Tammer, C Zălinescu, On the vectorial Ekeland’s variational principles and minimal points in product spaces, Nonlinear Anal, 39 (2000), 909-922 [13] S Rolewicz, On drop property, Studia Math., 85:27-35, 1986 [14] W Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973 60