Về các nguyên lý biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HOÀNG THỊ MẤN VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ 1.2 Không gian vectơ tôpô 1.3 Không gian mêtric 1.4 Ánh xạ đa trị 1.5 Một số kí hiệu 1.6 Hàm nửa liên tục Nguyên lí biến phân Ekeland 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 2.2 Mở rộng 2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho 2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ toán 15 15 23 cân 23 29 Các dạng tương đương nguyên lí biến phân số nguyên lí biến phân khác 3.1 Dạng hình học nguyên lý biến phân Ekeland 3.1.1 Định lí Bishop-Phelps 3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) 3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) 3.2 Sự tương đương nguyên lí biến phân Ekeland tính đầy đủ không gian mêtric 3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland chứng minh định lí điểm bất động 3.3.1 Định lí điểm bất động Banach 3.3.2 Một kết tinh tế Clarke (Clarke’s Refinement) 6 10 12 12 12 36 36 36 38 41 43 44 44 46 3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk 3.4 Một số nguyên lí biến phân khác 3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 48 51 51 54 58 59 Mở đầu Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle, viết tắt EVP) coi kết quan trọng giải tích phi tuyến bốn thập kỷ vừa qua Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng, hàm f nửa liên tục tập compact X đạt cực tiểu tập Khi X tập không compact hàm f điểm cực trị Với không gian metric đủ X , hàm f bị chặn dưới, với ε > 0, ta tìm điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức inf f ≤ f (xε ) < inf f + ε X X Vào năm 1974, Ekeland phát biểu nguyên lí nói rằng, với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn không gian metric đủ X với điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, ta tìm điểm xˆ cực tiểu chặt hàm nhiễu hàm ban đầu, đồng thời f (ˆ x) ≤ f (x) Không thế, ta đánh giá khoảng cách x ˆ x Sau đời, nguyên lí biến phân Ekeland trở thành công cụ mạnh giải tích đại Những ứng dụng nguyên lí bao trùm nhiều lĩnh vực: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế, Nguyên lí biến phân Ekeland GS Phạm Hữu Sách [1] sử dụng để nghiên cứu vi phân ánh xạ đa trị điều kiện tối ưu toán qui hoạch có tham gia ánh xạ đa trị Sự tương đương nguyên lí Ekeland với định lí điểm bất động CaristiKirk phát từ lâu Năm 1984 Penot chứng minh nguyên lí tương đương với định lí giọt nước Danes mà sau gọi dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland Trong năm gần đây, nguyên lí mở rộng cho hàm f ánh xạ đơn trị đa trị nhận giá trị không gian vectơ áp dụng toán cân Mục đích luận văn tìm hiểu số kết liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển vectơ) số ứng dụng nguyên lí biến phân Luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kết tôpô giải tích hàm phục vụ cho việc chứng minh định lí Chương Nguyên lí biến phân Ekeland Chương trình bày nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí biến phân Ekeland gồm nguyên lí biến phân Ekeland cho toán cân nguyên lí biến phân Ekeland vectơ Chương Các dạng tương đương nguyên lí biến phân số nguyên lí biến phân khác Chương trình bày dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland gồm định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa định lí giọt nước Ứng dụng định lí điểm bất động gồm định lí điểm bất động Banach, kết tinh tế Clarke, định lí điểm bất động Caristi-Kirk Cuối nguyên lí biến phân Borwein-Preiss nguyên lí DevilleGodefroy-Zizler Luận văn cố gắng trình bày cách có hệ thống (với chứng minh cụ thể chi tiết với chỉnh sửa cần thiết) nguyên lí biến phân Ekeland Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập Trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, Ngày 25 tháng 10 năm 2015 Tác giả luận văn Hoàng Thị Mấn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Giả sử F trường R C Các phần tử F gọi số (đại lượng vô hướng) Một không gian véctơ V định nghĩa trường F tập hợp V không rỗng mà hai phép cộng véctơ phép nhân với số hướng định nghĩa cho tính chất sau thỏa mãn: Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp: Với u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán: Với v, w ∈ V : v + w = w + v; Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa: Với v ∈ V, có phần tử ∈ V, gọi véctơ không: v + = v; Phép cộng véctơ có phần tử đối: Với v ∈ V, tồn w ∈ V : v + w = 0; Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ: Với α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng: Với α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trường số vô hướng: Với α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; Phần tử đơn vị trường F có tính chất phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng: Với v ∈ V : 1.v = v.1 Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian véctơ Tập C ⊆ X gọi tập lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách khác C chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó) Định nghĩa 1.1.3 (Nón) Cho X không gian vectơ Tập K ⊂ X gọi nón có đỉnh ∀x ∈ K, ∀λ ≥ λx ∈ K K gọi nón có đỉnh x0 K − x0 nón có đỉnh Định nghĩa 1.1.4 (Nón đóng) Nón K có đỉnh gọi nón đóng K tập đóng Định nghĩa 1.1.5 (Nón nhọn) Một nón gọi nón nhọn không chứa đường thẳng Định nghĩa 1.1.6 (Nón lồi) Nón K có đỉnh gọi nón lồi K tập lồi, có nghĩa ∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > λ + µ = λx + µy ∈ K Mệnh đề 1.1.1 K nón lồi K nón K + K = K Chứng minh Giả sử K nón Theo định nghĩa ta có ∀x, y ∈ K 1 x ∈ K y ∈ K 2 1 Mặt khác, K nón lồi nên (x + y) = x + y ∈ K Vậy (x + y) ∈ K 2 Suy K + K ⊆ K Vậy K + K = K Đảo lại, K nón nên λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K, ∀x, y ∈ K Mà K + K = K nên λx + (1 − λy) ∈ K hay K tập lồi 1.2 Không gian vectơ tôpô Định nghĩa 1.2.1 (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Họ τ tập X gọi tôpô X (i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ; (ii) Gα ∈ τ với α ∈ I, I tập số ∪α∈I Gα ∈ τ ; (iii) ∀G1 , G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ Tập X với tôpô X gọi không gian tôpô Kí hiệu: (X, τ ) Định nghĩa 1.2.2 Cho (X, τ ) không gian tôpô • Tập G gọi tập mở X G ∈ τ • Tập F gọi tập đóng X X\F ∈ τ Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A tập X Tập U gọi lân cận tập A U có tập mở chứa A Khi A = {x} U lân cận điểm x Định nghĩa 1.2.4 Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ {Gα : α ∈ I} tập X gọi phủ tập A ⊂ X A ⊂ ∪α∈I Gα Nếu I tập hữu hạn ta nói phủ hữu hạn Nếu Gα tập mở ta nói phủ phủ mở Định nghĩa 1.2.5 Tập A ⊂ X gọi tập compact từ phủ mở A ta lấy phủ hữu hạn Nhận xét 1.2.1 Trong trường hợp A ⊂ Rn tập compact A đóng bi chặn Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A tập compact {xk } dãy phần tử A cho xk → a Ta chứng minh a ∈ A Vì A tập compact, theo định nghĩa dãy {xk }k chứa dãy {xk }l hội tụ đến giới hạn thuộc A Ta có a = lim xk = lim xkl ∈ A k→+∞ l→+∞ Vậy A tập đóng Giả sử ngược lại tập A không bị chặn Khi với k ∈ N∗ tồn xk ∈ A cho ||xk || > k Vì A tập compact, dãy {xk } ⊂ A có chứa dãy {xkl }l cho xkl → a ∈ A (l → ∞) Do tính liên tục chuẩn ta có ||xkl || → ||a||, điều mâu thuẫn với bất đẳng thức ||xkl || > kl với l ∈ N∗ Vậy tập A phải bị chặn Điều kiện đủ Giả sử A ⊂ Rn tập hợp đóng bị chặn {xk }k dãy phần tử A Khi {xk }k dãy bị chặn Theo định lí Bozano- Weierstrass không gian Rn dãy bị chặn chứa dãy hội tụ nên dãy {xk }k có chứa dãy {xkl }l cho xkl → a (l → ∞) Vì A tập đóng nên a ∈ A Vậy A tập compact Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian tôpô (X, τ ), A tập X Đối với phần tử x ∈ X ta gọi: (i) Điểm x điểm tập A tồn lân cận x nằm A (ii) Điểm x điểm tập A tồn lân cận x nằm trọn X\A (iii) Điểm x điểm biên tập A x đồng thời không điểm không điểm A Hay nói cách khác, x điểm biên A lân cận x có giao khác rỗng với A X\A Tập hợp điểm biên tập hợp A gọi biên tập hợp A, kí hiệu ∂A Định nghĩa 1.2.7 Cho X , Y hai không gian tô pô Một ánh xạ f từ X vào Y gọi liên tục điểm x0 với lân cận V f (x0 ) tồn lân cận U x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh xạ f gọi liên tục X liên tục điểm x ∈ X Định nghĩa 1.2.8 Ta nói tôpô τ không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tôpô đó, tức nếu: x + y hàm liên tục hai biến x, y , tức với lân cận V điểm x + y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho x ∈ Ux , y ∈ Uy x + y ∈ V αx hàm liên tục hai biến α, x, tức với lân cận V αx có số ε > lân cận U x cho |α − α | < ε, x ∈ U α x ∈ V Một không gian véctơ X có tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính) Định nghĩa 1.2.9 Một không gian véctơ tôpô X gọi không gian véctơ tôpô lồi địa phương X có sở lân cận (của gốc) gồm tập lồi KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí Ekeland cho toán cân nguyên lí biến phân Ekeland vectơ - Trình bày dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland, tương đương với tính đầy đủ không gian mêtric - Ứng dụng định lí điểm bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định lí điểm bất động Caristi-Kirk - Một số nguyên lí biến phân khác 58 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tham khảo [1] Phạm Hữu Sách, Dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland ứng dụng, Hội thảo Giải tích đại ứng dụng, trường hè Huế, Viện Toán học- Trường ĐHSP Huế, 1987 [2] Nguyễn Đông Yên, Giải tích đa trị , Nhà xuất Khoa học Tự nhiên công nghệ, 2007 [3] M Bianchi, G Kassay, R Pini, Existence of equilibria via Ekeland’s principle, J Math Anal Appl 305 (2005) 502-512 [4] M Bianchi, G Kassay, R Pini, Ekeland’s principle for vector equilibrium problems, Nonlinear Analysis 66 (2007) 1454-1464 [5] Jonathan M Borwein, Qiji J Zhu, Techniques of Variational Analysis, Springer, 2004 [B] Tài liệu tham khảo bổ sung [6] Errett Bishop and R R Phelps, A proof that every Banach space is subreflexive, Bull Amer Math Soc., 67:97-98, 1961 [7] Errett Bishop and R R Phelps, The support functionals of a covex set In V L Klee, editor, Proc Sympos Pure Math., Vol VII, page 27-35 Amer Math Soc., Providence, R.I., 1963 [8] Josef Danes, A geometric theorem useful in nonlinear functional analysis, Boll Un Mat Ital (4), 6:369-375, 1972 [9] Ivar Ekeland, Nonconvex minimization problems, Boll Amer Math Soc (N.S.), 1:443-474, 1979 59 [...]... một số vấn đề sau: - Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ - Trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland, sự tương đương với tính đầy đủ của không gian mêtric - Ứng dụng định lí điểm bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định lí điểm bất động Caristi-Kirk - Một số nguyên lí biến phân khác 58 Tài liệu... bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định lí điểm bất động Caristi-Kirk - Một số nguyên lí biến phân khác 58 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tham khảo chính [1] Phạm Hữu Sách, Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland và ứng dụng, Hội thảo Giải tích hiện đại và ứng dụng, trường hè Huế, Viện Toán học- Trường ĐHSP Huế, 1987 [2] Nguyễn Đông Yên, Giải tích đa trị , Nhà xuất bản Khoa học Tự nhiên và