DAO HAM RIENG VA VI PHAN

Bài Đạo hàm riêng vi phân toàn phần I Đạo hàm riêng vi phân HÀM HAI BIẾN - Định nghĩa đạo hàm riêng Cho f(x,y) với điểm M ( x0 , y0 ) cố định Đạo hàm RIÊNG theo x f(x,y) ký hiệu: ∂ f ( x0 , y0 ) / f ( x0 , y0 ) = x ∂x M ( x0 , y0 ) ∂ f ( x0 , y0 ) / f ( x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 ) = lim x → x0 ∂x x − x0 Qui tắc tìm đạo hàm riêng Để tìm đạo hàm riêng f theo biến x, ta coi f hàm biến x, biến lại y số, ngược lại f ( x, y ) = − x − y Ví dụ / f x ( x, y ) = ⇒ (4 − x − / f x (1,1) = / f y ( x, y ) = / y )x − 2.1 = − −4y = − 2x Ví dụ 2 Cho f ( x, y ) = ln ( x + y ) Tính / f x (1,2), / f x ( x, y ) = ⇒ / f x (1,2) = / f y ( x, y ) = ( ( ln( x / f y (1,2) ) 2x ln( x + y ) = x x + y2 2 2 + 2y ) )y / / Ví dụ / f x (1,2), Tìm Giải / f y (1,2) f ( x, y ) = ( x + y ) y −1 / • f x ( x, y ) y = y ( x + y ) ⇒ f / (1, 2) = 10 x / fy • ln f = y ln( x + y ) ⇒ f = ln( x + y) + y ×x + y ⇒ / f y ( x, y ) = ⇒ / f y (1,2)   ( x + y )  ln( x + y ) + y ×  x + 2y  y = 25(ln + ) Đạo hàm riêng cấp cao f = f(x,y) Cho f = f(x,y) : Ta lấy đạo hàm riêng Kí hiệu ( ) / / f x ( x, y ) x = // f xx ( x, y ) = ∂ f ( x , y ) ∂x ( ' hàm f x ( x, y ) ) / / f x ( x, y ) y = / f y ( x, y:) Tương tự, đạo hàm riêng hàm ( ∂ f ' ' f y ( x, y) = f yx ( x, y) = ( x, y ) x ∂ y∂ x ) ' ( ) ' ' f y ( x, y ) y // f xy ( x, y ) = = ' f yy ( x, y) = Tiếp tục trình, ta có khái niệm đạo hàm cấp cao : ∂ f ( x, y ) ∂ x∂ y ∂ f ( x , y ) ∂y I Đạo hàm riêng vi phân f = f(x,y) - Chú ý ∂2 f ∂2 f Nói chung ( x0 , y0 ) ≠ ( x0 , y0 ), nên lấy đạo hàm riêng cấp ∂x∂y ∂y∂x cao ta phải ý đến thứ tự lấy đạo hàm Định lý ' ' '' '' f , f , f , f Cho hàm f(x,y) đạo hàm riêng x y xy yx xác định lân cận ( x0 , y0 ) liên tục điểm Khi ∂2 f ∂2 f ( x0 , y0 ) = ( x0 , y0 ) ∂x∂y ∂y∂x Ví dụ x Chứng tỏ hàm f ( x, y ) = e sin y thỏa phương trình Laplace ∂2 f ∂2 f + =0 ∂x ∂y Giải ' f x ( x, y ) = x e sin y ' x f y ( x, y ) = e cos y '' f xx '' f yy x = e sin y x = − e sin y ∂ f ∂ f x x ⇒ + = e sin y − e sin y = ∂x ∂y Hàm f = f(x,y) thỏa phương trình Laplace gọi hàm điều hòa I Đạo hàm riêng vi phân f = f(x,y) Ví dụ Chứng tỏ hàm u ( x, t ) = sin( x − at ) thỏa phương trình sóng ∂ 2u ∂ u =a ∂t ∂x Giải ut' ( x, t ) = − a cos( x − at ) u x' ( x, t ) = cos( x − at ) utt'' = − a sin( x − at ) '' u xx = − sin( x − at ) ∂ 2u ∂ u 2 ⇒ =a = − a sin( x − at ) ∂t ∂x Phương trình sóng mơ tả chuyển động loại sóng: sóng biển, sóng âm hay sóng chuyển động dọc theo sợi dây rung ... riêng vi phân f = f(x,y) Định nghĩa vi phân cấp cao Cho hàm f = f(x,y) df(x,y) hàm hai biến x, y Vi phân (nếu có) vi phân cấp gọi vi. .. y0 )dy Tính chất vi phân Cho f(x,y) g(x,y) khả vi (x0,y0) Khi 1) d (α f ) = α df 2) d ( f + g ) = df + dg 3) d ( fg ) = gdf + fdg f gdf − fdg 4) d ( ) = g g2 I Đạo hàm riêng vi phân f = f(x,y)... f y' liên tục (x0,y0), hàm f(x,y) khả vi (x0,y0) I Đạo hàm riêng vi phân f = f(x,y) Ghi nhớ Vi phân cấp f(x,y) (x0,y0): df ( x0 ,