SKKN TOAN THCS

Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn.. Việc nắm vững các

I- lý do chọn đề tài:

Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dới sự tổ chức hớng dẫn của giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn Trong đó có đổi mới dạy học môn toán, Trong trờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Quá trình giảI toán đặc biệt là giải toán hình học là quá trình rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện đợc những kĩ năng cơ bản trong môn toán

Trong hoạt động dạy học theo phơng pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động Muốn vậy GV cần chỉ cho

HS cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi

để phát hiện kiến thức mới Các phơng pháp thờng là những quy tắc, quy trình nói chung là các phơng pháp có tính chất thuật toán Tuy nhiên cũng cần coi trọng các phơng pháp có tính chất tìm đoán Học sinh cần đợc rèn luyện các thao tác t duy nh phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tơng tự, quy lạ về quen Việc nắm vững các phơng pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu đợc tài liệu,

tự làm đợc bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy

đ-ợc tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó học sinh thấy đđ-ợc niềm vui trong học tập

Là một giáo viên toán trong quá trình tự học bồi dỡng thờng xuyên về đổi mới

ph-ơng pháp dạy học hiện nay bản thân cũng nhận thấy đợc yêu cầu trên là rất phù hợp

và thiết thực Trong quá trình dạy học giải toán giáo viên phải biết hớng dẫn, tổ chức cho học sinh tìm hiểu vấn đề phát hiện và phân tích mối quan hệ giữa các kiến thức

đã học trong một bài toán để từ đó học tìm đợc cho mình phơng pháp giải quyết vấn

đề trong bài Chỉ trong quá trình giải toán tiềm năng sáng tạo của học sinh đợc bộc

lộ và phát huy, các em có đợc thói quen nhìn nhận một sự kiện dới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải một vấn đề, biết đề xuất nhữnh giải pháp khác nhau khi sử lý một tình huống

Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học toán của học sinh còn rất nhiều thiếu xót đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn

Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao các em luôn có cảm giác học hình khó hơn học đại

số Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán là không chịu nghiên cứu kĩ bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán Trong quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn Trình bày cẩu thả, tuỳ tiện …

Về phía giáo viên phần lớn cha nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy giải toán Hầu hết GV cha cho HS làm toán mà chủ yếu giải toán cho học sinh, chú ý đến

số lợng hơn là chất lợng Trong quá trình dạy học giải toán GV ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác t duy và phơng pháp suy luận Thông thờng GV thờng giải đến

đâu vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến đó, không những vậy mà nhiều GV coi việc giải xong một bài toán kết thúc hoạt động GV cha thấy đợc trong quá trình giải toán nó giúp cho học sinh có đợc phơng pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ xung nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể có đợc

Trong quá trình công tác bản thân tôi không ngừng học tập nghiên cứu và vận dụng lý luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình Qua quá trình tập huấn, đợc sự

cộng tác của đồng nghiệp và sự chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trờng tôi đã tiến hành nghiên cứu và vận dụng quan điểm trên vào công tác giảng dạy của mình và thấy rất

có hiệu quả

Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu Đề tài mang tên: “

phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh thông qua giải toán hình học ”.Với mong muốn góp phần nâng coa chất lợng dạy học môn toán theo tinh thần đổi mới

II – mục đích nghiên cứu của đề tài:

Đề tài giúp học sinh rèn luyện phơng pháp suy luận có căn cứ, các thao tác t duy nh: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tợng hoá, tơng tự hoá, lật ngợc vấn đề, quy lạ về quen, … có thói quen dự đoán, tìm tòi, nhìn nhận một vấn đề dới nhiều khía cạnh khác nhau, có năng lực phát hiện vấn đề, giải quết vấn đề, đặt vấn đề, diễn

đạt một vấn đề có sức thuyết phục, sử dụng kí hiệu và thuật ngữ chính xác …Giúp học sinh nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản, có kỹ năng vận dụng các kiến thức vào bài tập và thực tiễn Cung cấp cho các em phơng pháp tự học từ đó các em chủ động, tự tin và sáng tạo trong học toán

Đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trong quá trình đọc và nghiên cứu tài liệu, cũng nh giảng dạy môn toán Đặc biệt đây là kinh nghiệm giúp cho GV tham khảo khi thiết kế bài dạy các tiết luyện tập, ôn tập, luyện thi trong quá trình dạy học của mình

Ngoài mục đích trên đề tài có thể coi nh một giải pháp góp phần thực hiện đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh THCS

III- ph ơng pháp nghiên cứu :

Để hoàn thành đề tài tôi đã sử dụng kết hợp nhiều phơng pháp cụ thể là:

+ Phơng pháp đọc sách, nghiên cứu tài liệu

+ Phơng pháp thực nghiệm

+ Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm

+ Phơng pháp trò chuyện

+ Phơng pháp điều tra, trắc nghiệm

Ngoài ra tôi còn sử dụng một số phơng pháp khác

IV- nội dung nghiên cứu của đề tài:

A- Phần lý luận:

1- Quan niệm vấn đề dạy học giải toán :

Dạy học giải toán bao gồm hai nội dung cơ bản:

+ Tìm tòi lời giải bài toán ( đờng lối ).

+ Trình bày lời giải ( Diễn đạt ).

Trong quá trình giảng dạy hai nội dung này nhiều lúc tiến hành đồng thời nhng nhiều khi tách thành hai quá trình Do vậy trong thực hành cần phân biệt hai nội dung trên và độc lập với nhau vì:

- Giải một bài toán khi có một đờng lối là kết quả của một quá trình bao gồm nhiều khâu và là cái đích cuối cùng của ngời làm toán song dù sao quá trình này vẫn là thứ yếu bởi lẽ dù có kĩ thuật tốt có thành thạo trong các thao tác nhng cha có

đờng lối thì cha có lời giải bài toán Mặt khác trong khâu thực hiện các thao tác khi

đã có phơng hớng là giai đoạn lao động có tính chất kĩ thuật không chứa đựng những yếu tố sáng tạo nh trong giai đoạn tìm tòi lời giải.Chỉ trong quá trình tìm tòi lời giải học sinh mới có cơ hội củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện các thao tác t duy,

ph-ơng pháp suy luận, khả năng phán đoán và lập luận chứng minh, khả năng phát hiện kiến thức mới, vấn đề mới …

- Mặt khác khi đã có đờng lối thì việc trình bày, diễn đạt mới dễ dàng, lôgic, trật

tự, khoa học Rèn luyện đợc cho học sinh thói quen sử dụng kí hiệu, thuật ngữ chính xác và từ đó phát triển đợc t duy lôgic và ngôn ngữ chính xác Giúp học sinh tự tin hơn, chủ động hơn.

2- Rèn luyện phẩm chất trí tuệ thông qua giải toán.

* Tính linh hoạt biểu hiện ở các mặt sau:

+ Kĩ năng thay đổi phơng hớng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của các

điều kiện, biết tìm ra phơng pháp mới để giải quyết vấn đề.

+ Kĩ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngợc lại với cách

đã học.

+ Kĩ năng nhìn một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau.

* Tính độc lập biểu hiệ n:

+ Kĩ năng tự mình thấy đợc vấn đề cần giải quyết, tự mình giải đáp vấn đề đó không đi tìm lời giải có sẵn, không dựa vào ý nghĩ của ngời khác.

+ Có khả năng đánh giá ý nghĩ của ngời khác và tự đánh giá ý nghĩ của bản thân.

* Tính sáng tạo biểu hiện:

+ Tự mình biết tìm ra phơng pháp ngắn gọn, hay nhất, phát hiện kiến thức mới từ vấn đề.

+ Tự mình phát hiện vấn đề và đặt ra vấn đề ( Biết khai thác và phát triển bài toán, biết vận dụng bài toán vào các vấn đề khác, biết tự mở rrộng kiến thức, … ).

3- Các biện pháp để rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trên:

+ Thờng xuyên tập dợt cho học sinh khả năng dự đoán và suy luận có lý, dự đoán thông qua quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp, … để học sinh tự mình phát hiện vấn đề.

+ Ngoài việc sử dụng thành thạo quy tắc, phơng pháp nào đó cần đa ra các bài tập có cách giải quyết riêng.

+ Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán Việc tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán gắn liền với việc nhìn vấn đề với nhiều khía cạnh khác nhau mở đờng cho sự sáng tạo phong phú.

+ Rèn luyện cho học sinh khả năng nhanh chóng chuyển từ t duy thuận sang t duy nghịch

+ Da ra nhiều bài toán không theo mẫu.

Sau đay tôi xin đa ra một số bài toán minh hoạ các công việc cần làm của giáo viên khi hớng dẫn học sinh giải toán hình học 9.

B- phần vận dụng

Bài 1: Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O ) cắt nhau tại A và B Đ’) cắt nhau tại A và B Đ ờng thẳng

vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O ) lần l’) cắt nhau tại A và B Đ ợt tại các điểm C và D Lấy

điểm M trên cung nhỏ CB Đờng thẳng MB cắt (O ) tại N, CM cắt DN tại P.’) cắt nhau tại A và B Đ

a) ΔAMN là tam giác gì? tại sao?

b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp.

c) Gọi Q là giao điểm của AP với (O ) Tứ giác BCPQ là hình gì? tại sao?’) cắt nhau tại A và B Đ

H

ớng dẫn tìm tòi lời giải:

a)- HS dự đoán thông qua quan sát: (ΔAMN cân tại A)

Chứng minh: ΔAMN cân tại A

A M ˆ B A N ˆ B

B m sdA 2

1 B

M ˆ

2

1 B

N ˆ

(Góc nội tiếp) ( Góc nội tiếp) ( (O) bằng (O’) cắt nhau tại A và B Đ))

(?1) Chứng minh ΔAMN cân bằng cách nào?

(?2) Chứng minh nh thế nào để có A M ˆ BA N ˆ B?

Từ sơ đồ học sinh trình bày lời giải:

B m sdA 2

1 B

M ˆ

A   ( Góc nội tiếp ) (1)

B n sdA 2

1

B

N ˆ

A   ( Góc nội tiếp ) (2)

(O) bằng (O’) cắt nhau tại A và B Đ) nên ta có: AmB = AnB (3)

Từ (1), (2) và (3)  A M ˆ B A N ˆ B  ΔAMN cân tại A

b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp



(?3) 0

180 P

D ˆ A P Cˆ



(?4) A Cˆ P A D ˆ P A D ˆ N A D ˆ P 180 0(kề bù)



(?5) A C ˆ P A D ˆ N ( Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)



(?6) A M A N





ΔAMN cân tại A (?3): Để chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp cần chứng minh điều gì ?

(?4) Góc ADP cộng với góc nào bằng 1800 ? ta cần chứng minh điều gì ?

(?5) Muốn chứng minh A C ˆ P A D ˆ N cần chứng minh đợc điều gì ?

(?6) Muốn chứng minh A M A N cần chứng minh đợc điều gì ?

(?7) Chứng minh AM = AN bằng cách nào ?

Học sinh trình bày lời giải:

ΔAMN cân tại A  AM = AN  A M A N  A C ˆ P A D ˆ N ( Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)  A Cˆ PA D ˆ P A D ˆ N A D ˆ P 180 0 (kề bù)  A Cˆ PA D ˆ P 180 0

 tứ giác ACPD nội tiếp

c) HS dự đoán ( BCPQ là hình thang )

Để chứng minh BCPQ là hình thang



(?8) BQ // CP



(?9) A Q ˆ B A P ˆ C ( ở vị trí đồng vị )



(?10) A Q ˆ B A D ˆ C và A P ˆ C A D ˆ C

(? 11)( =

2

1

sđAmB ) (=

2

1

sđ AC ) (?12) 

(Tứ giác ACPD nội tiếp ) (?8) Để chứng minh tứ giác BCPQ là hình thang cần chứng minh đợc điều gì ? (?9) Muốn chứng minh BQ // CP cần chứng minh đợc điều gì ?

(?10) Sử dụng phơng pháp nào để chứng minh A Q ˆ B A P ˆ C ?

(?11) Sử dụng phơng pháp nào để chứng minhA Q ˆ BA D ˆ C ?

(?12) Sử dụng phơng pháp nào để chứng minhA P ˆ C A D ˆ C?

Học sinh trình bày:

Tứ giác ACPD nội tiếp  A P ˆ C A D ˆ C (=

2

1

sđ AC ) (4)

Mặt khác lại có: A Q ˆ B A D ˆ C( =

2

1 sđAmB ) (5)

Từ (4) và (5)  A Q ˆ B A P ˆ C ( ở vị trí đồng vị )  BQ // CP  Tứ giác BCPQ là hình thang

Sau khi giải xong Gv cho HS nhắc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh mục

đích:

* Củng cố kiến thức:

+ Trong hai đờng tròn bằng nhau hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nhau

+ Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau

* Củng cố phơng pháp:

+ PP chứng minh tam giác cân

+ PP chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách sử dụng hai góc kề bù để chỉ ra tổng hai góc đối bằng 1800

+ PP chứng minh hai góc bằng nhau theo quan hệ bắc cầu

+ PP chứng minh hai đờng thẳng song song bằng cách chỉ ra hai góc ở vị trí đồng

vị bằng nhau

Sau khi củng cố GV khuyến khích học sinh tìm tòi cách giải khác

b) Cách 2:Dễ thấy tứ giác AMPN nội tiếp vì có hai góc vuông nh vậy nếu tứ giác ACPD nội tiếp thì C A ˆ D M A ˆ N Giáo viên củng cố PP chứng minh một tứ giác nội tiếp bằng cách sử dụng tứ giác bên cạnh nội tiếp để chỉ ra tổng hai góc đối bằng

1800

Cách 3: Nếu tứ giác ACPQ nội tiếp thì A P ˆ M A D ˆ C A N ˆ B GV củng cố PP chứng minh tứ giác ACPD Bằng cách chứng minh A P ˆ C A D ˆ C

GV: -Em có thể thay đổi yêu cầu phần a, b, c để có một yêu cầu tơng tự mà quá

trình chứng minh không thay đổi.

- Nếu hai đờng tròn không bằng nhau thì kết quả bài toán còn đúng không ? vì sao ?

GV bổ sung yêu cầu

d) Chứng minh: PM.PC = PD.PN.

e) Gọi E là điểm đối xứng với D qua N Chứng minh khi M di dộng trên cung nhỏ

BC thì E luôn nằm trên một đờng tròn cố định.

Bài 2 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Vẽ tiếp tuyến xBx , gọi C, D là hai điểm’) cắt nhau tại A và B Đ

nằm trên đờng tròn và ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AB, Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt Bx tại N.’) cắt nhau tại A và B Đ

a) Chứng minh: AC.AM=AD.AN

b) Chứng minh: tứ giác MNDC nội tiếp.

c) Chứng minh: Tích AC.AM không đổi khi C, D di động trên đờng tròn.

H

ớng dẫn tìm tòi lời giải:

Khai thác giả thiết:

-Ta có: A Cˆ BA D ˆ BA B ˆ M 90 0

a) Chứng minh AC.AM=AD.AN



AM

AD AN

AC







(?3) Góc A chung và A D ˆ C A M ˆ N



(?4)

2

1 C

D ˆ

A  sđAC và

2

C sdA 2

) B C B A ( sd N

M ˆ A













(Góc nội tiếp) (Góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn) Câu hỏi dẫn dắt

(?1) Để chứng minh AC.AM=AD.AN cần chứng minh tỷ lệ thức nào ?

(?2) Để có

AM

AD AN

AC

 cần chứng minh điều gì ?

(?3) Để chứng minh Δ ADC ~ Δ AMN cần chỉ ra các điều kiện nào ?

(?4) Quan sát hình vẽ cho biết cần sử dụng kiến thức nào để chứng minh

N

M ˆ

A

C

D ˆ

Học sinh căn cứ đờng lối trình bày lời giải

2

C sdA 2

) B C B A ( sd

N

M ˆ

A











 (Góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn) (1)

2

1

C

D ˆ

A  sđAC( Góc nội tiếp) (2)

Từ (1) và (2)  A D ˆ C A M ˆ N

Xét ADC và AMN có:





A M ˆ N ( cmt )

C

D ˆ

A

GocAchung

Δ ADC ~ Δ AMN  AN AC AM AD  AC.AM=AD.AN.

b) Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp



(?5) C M ˆ N C D ˆ N 180 0



180 N

D ˆ C C

D ˆ A N

D ˆ C N

M ˆ

C     (Kề bù)



(?7) C M ˆ N A D ˆ C



N

M ˆ A C

D ˆ

Câu hỏi dẫn dắt

(?5) để chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp ta sử dụng phơng pháp nào ? và cần chỉ ra điều gì ?

(?6) Vận dụng kiến thức nào để chứng minh C M ˆ N C D ˆ N 180 0

(?7) Muốn có C M ˆ N C D ˆ N A D ˆ CC D ˆ N cần chứng minh đợc điều gì ?

Đối với học sinh yếu GV có thể đa ra bài tập điền khuyết bảng phụ

N

M ˆ A

C

D ˆ

A   C M ˆ N   C M ˆ N C D ˆ N 180 0 ( )







N

D ˆ

C

N

M ˆ

C) Chỉ cần cho học sinh quan sát và dự đoán các yếu tố không đổi khi C, D di

động mối quan hệ giữa tích cần chứng minh và các yếu tố không đổi theo kiến thức nào đã học

GV cho học sinh đọc lại yêu cầu từng phần cách chứng minh và từ đó củng cố + Phần a là dạng toán có quy trình riêng có thể vận dụng cho nhiều bài khi đi tìm lời giải bài toán đó ?

+Củng cố, khắc sâu kiến thức về góc nội tiếp và góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn + Khắc sâu PP chứng minh tứ giác nội tiếp theo hớng sử dụng góc kề bù để chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng 1800

+ GV có thể đa ra một căn cứ để phán đoán khi chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn nh sau

Nếu tứ giác ABCD có AB cắt CD tại M

mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp.

Hoặc

Nếu tứ giác ABCD có AC cắt BD tại I

Mà IA.IC = IB.ID thì tứ giác ABCD nội tiếp

GV khuyến khích học sinh tìm cách giải khác

Một số bài toán tham khảo:

Bài 3: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ), Một cung tròn BC nằm bên trong tam

giác và tiếp xúc với AB, AC tại B và C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC Trên cung BC lấy một điểm M, kẻ MI, MH, MK lần lợt vuông góc với BC, CA, AB Gọi P là giao điểm của BM và IK, Q là giao điểm của CM và IH

a) Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp.

b) Chứng minh MI2 = MH.MK

c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp Suy ra PQ vuông góc với MI.

H

ớng dẫn :

a) Chỉ ra các góc vuông.

b) Chứng minh ΔMIK~ ΔMHI ( g.g).

c) Vận dụng tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh

tổng hai góc đối bằng 180 0 Chứng minh PQ // BC để có

MI PQ.

Từ phần b có thể khai thác phát triển bài toán khuyến khích học sinh giỏi

VD: Tìm vị trí điểm M sao cho MH.MK lớn nhất.

Bài 4: Cho đờng tròn (O) và dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung lớn BC

sao cho AC > BC, AC > AB; Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau ở E Gọi P,Q lần lợt là giao điểm của

AB với CD; AD với CE

a) Chứng minh DE // BC

b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp

c) Tứ giác PBCQ là hình gì? tại sao?

d) Gọi R là giao điểm của AD và BC Chứng minh .

CR

1 CQ

1 CE

1





H

ớng dẫn :

a) Chứng minh B C ˆ D C D ˆ E ở vị trí so le trong.

b) Chứng minh P A ˆ QC A ˆ Q cùng nhìn PQ

c) Chứng minh B C ˆ P C P ˆ Q ở vị trí so le trong.

CR

1 CQ

1 CE

1





CR

CE CQ

CE

1 



CR

DE CQ

CE





RQ

RD

CQ

CE

 và

RQ

DQ CR

DE



Bài 5: Cho đờng tròn (O) , vẽ dây AB Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau ở P.

a) Chứng minh tứ giác AOBP nội tiếp

b) Kẻ hai dây AC // BD và nằm cùng phía đối với AB Gọi Q là giao điểm của

AD và BC Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp

c) Chứng minh PQ // AC

H

ớng dẫn:

a) Sử dụng hai góc vuông.

b) Sử dụng tứ giác AOPB nội tiếp chứng minh A Q ˆ B A O ˆ B

( chú ý hai dây song song chắn hai cung bằng nhau )

c) Chứng minh P Q ˆ B A C ˆ B ở vị trí đồng vị.

Bài 6: Cho hai đờng tròn (O,R) và (O’) cắt nhau tại A và B Đ,R’) cắt nhau tại A và B Đ) cắt nhau ( R > R’) cắt nhau tại A và B Đ ) Các tiếp tuyến chung

MN và PQ ( M, P nằm trên (O) )

a) Chứng minh ba đờng thẳng MN, PQ, OO’) cắt nhau tại A và B Đ đồng quy tại một điểm

b) Chứng minh tứ giác MNQP nội tiếp

c) Xác định vị trí của (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Đ) sao cho đờng tròn đờng kính OO’) cắt nhau tại A và B Đ tiếp xúc với MN và PQ

d) MQ cắt (O) , (O’) cắt nhau tại A và B Đ) lần lợt tại S và T Chứng minh MS = QT

H

ớng dẫn:

a) Gọi I là giao điểm của MN và PQ

Chứng minh IO, IO là tia phân giác của góc MIP.’) cắt nhau tại A và B Đ

b) Chứng minh MNQP là hình thang cân.

c) Gọi O 1 là tâm đờng tròn đờng kính OO , ’) cắt nhau tại A và B Đ

O 1 H là khoảng cách từ O 1 đến PQ sử dụng đờng trung bình của hình thang chứng minh OO = R + R suy ra (O) tiếp xúc ngoài với (O ).’) cắt nhau tại A và B Đ ’) cắt nhau tại A và B Đ ’) cắt nhau tại A và B Đ

d) Chứng minh MT.MQ = MN 2 và QS.MQ = PQ 2 suy ra MT.MQ = QS MQ ( vì MN

= PQ) suy ra MT = QS suy ra MT + TS = QS + TS suy ra MS = QT.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, một điểm M thay đổi trên cạnh AC Đờng

tròn đờng kính MC cắt BM tại N và cắt NA tại P

a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, N cùng nằm trên một đờng tròn.

b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCP.

c) Gọi D, E là các điểm đối xứng với M qua BA và BC chứng minh tứ giác

BDCE nội tiếp

d) Xác định vị trí của M để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE có đờng kính

nhỏ nhất

H

ớng dẫn:

a) Chứng minh tứ giác có hai góc vuông.

b) Chứng minh A Cˆ P A Cˆ B ( cùng bằng A N ˆ B ).

c) Sử dụng tính chất đối xứng chứng minh

0

180 C

M ˆ B D

M ˆ B C

Eˆ

B

M

D ˆ

d) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BDCE suy ra I

nằm trên trung trực của BC, gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ I xuống BC suy ra

H cố định do BC cố định Lập luận (I) có đờng kính nhỏ nhất khi IB nhỏ nhất khi và chỉ khi IH suy ra M A.

chứng minh hai góc bằng nhau ( Khi chứng minh A N ˆ BA C ˆ P)

Bài 8: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, các điểm C, D nằm trên đờng tròn sao cho

C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC