cơ học môi trường liên tục

cơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tục

PGS ts Trần văn Liên học môi trờng liên tục h nội, 2008 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên Lời nói đầu Cơ học môi trờng liên tục l ngnh khoa học nghiên cứu chuyển vị, biến dạng v ứng suất môi trờng liên tục điều kiện cân hay chuyển động tác động bên ngoi nh ngoại lực, chuyển vị, nhiệt độ, v.v Cơ học môi trờng liên tục l sở chung để nghiên cứu v phát triển ngnh cụ thể nh thủy khí động lực, lý thuyết đn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, nhiệt động lực học, v.v Cuốn sách ny đợc biên soạn sở bi giảng học môi trờng liên tục tác giả cho lớp kỹ s chất lợng cao (PFIEV) v kỹ s công trình Trờng Đại học Xây dựng Mục đích tác giả l giúp cho cho ngời đọc có nhìn tổng quan môn học trờng kỹ thuật m cung cấp khái niệm bản, phơng pháp cần thiết v ứng dụng có tính minh hoạ học môi trờng liên tục tính toán kỹ thuật Đồng thời sách ny sử dụng lm ti liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên thuộc ngnh kỹ thuật nh xây dựng, giao thông, thủy lợi, hng hải, khí, v.v , học viên cao học v cán khoa học trẻ lĩnh vực chuyên ngnh Cơ học vật rắn biến dạng Xin cảm ơn Trờng Đại học Xây dựng, Bộ môn sức bền vật liệu tạo điều kiện v ủng hộ việc hon thnh sách ny Đặc biệt xin cảm ơn GS TSKH Đo Huy Bích, GS TS Nguyễn Văn Phó, GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm, PGS TS Lê Ngọc Hồng, PGS TS Lê Ngọc Thạch v PGS TS Tô Văn Tấn đồng nghiệp Bộ môn sức bền vật liệu Trờng Đại học Xây dựng đọc kỹ v cho nhiều ý kiến xác đáng nội dung nh cách trình by Cuốn sách ny không tránh khỏi sai sót, mong nhận đợc góp ý đồng nghiệp Các ý kiến góp ý đợc đón nhận cách trân trọng v xin gửi về: Bộ môn sức bền vật liệu - Trờng Đại học Xây dựng, 55 đờng Giải phóng, H Nội, Tel (04)38691462 Tác giả Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên Mục lục Lời nói đầu Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu 0.1 Khái niệm học môi trờng liên tục 0.2 Các giả thiết học môi trờng liên tục 10 Chơng Khái niệm ten xơ 1.1 Khái niệm đại lợng vô hớng, véc tơ v ten xơ 13 1.2 Trờng vô hớng 14 1.3 Véc tơ v trờng véc tơ 15 1.4 Ten xơ hệ tọa độ Descartes vuông góc 20 Chơng Trạng thái biến dạng 2.1 Nghiên cứu chuyển động theo Lagrange v Euler 38 2.2 Ten xơ biến dạng hệ tọa độ Descartes vuông góc 44 2.3 Nghiên cứu trạng thái biến dạng môi trờng liên tục 55 2.4 Các phơng trình tơng thích biến dạng 60 2.5 Ten xơ tốc độ biến dạng 63 Chơng Trạng thái ứng suất 3.1 Ngoại lực 66 3.2 Trạng thái ứng suất 67 3.3 Phơng trình vi phân cân hay chuyển động 70 3.4 Ten xơ ứng suất 75 3.5 Nghiên cứu trạng thái ứng suất môi trờng liên tục 78 3.6 Phân tích ten xơ ứng suất thnh ten xơ lệch v ten xơ cầu 84 Chơng Các phơng trình học môi trờng liên tục 4.1 Định luật bảo ton khối lợng 92 4.2 Định luật biến thiên động lợng Định luật biến thiên mômen động lợng 94 4.3 Các trình nhiệt động lực môi trờng 97 4.4 Định luật nhiệt động lực học thứ 98 4.5 Định luật nhiệt động lực học thứ hai 102 4.6 Các phơng trình học môi trờng liên tục 105 Chơng Lý thuyết đn hồi tuyến tính 5.1 Định luật Hooke tổng quát 110 5.2 Định luật Hooke cho vật thể đn hồi tuyến tính, v đẳng hớng 116 5.3 Cách đặt bi toán lý thuyết đn hồi tuyến tính, v đẳng hớng 122 5.4 Cách giải bi toán đn hồi theo chuyển vị Phơng trình Lamé 126 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên 5.5 Cách giải bi toán đn hồi theo ứng suất Phơng trình Beltrami Michell 128 5.6 Định lý Kirchhoff nghiệm bi toán đn hồi tĩnh 131 5.7 Cách đặt bi toán thuận v ngợc lý thuyết đn hồi Nguyên lý cục Saint Venant Nguyên lý độc lập tác dụng 133 5.8 Kéo nén thẳng hình lăng trụ 136 5.9 Xoắn thẳng hình lăng trụ 138 Chơng Bi toán phẳng lý thuyết đn hồi hệ tọa độ Descartes vuông góc 6.1 Trạng thái biến dạng phẳng 144 6.2 Trạng thái ứng suất phẳng Trạng thái ứng suất phẳng suy rộng 147 6.3 Các phơng trình bi toán phẳng 151 6.4 Hm ứng suất Airy 153 6.5 Hm ứng suất có dạng đa thức đại số 158 6.6 Hm ứng suất có dạng chuỗi lợng giác 167 6.7 Phơng pháp sai phân hữu hạn 170 Chơng Bi toán phẳng lý thuyết đn hồi hệ tọa độ cực 7.1 Các phơng trình 178 7.2 Trờng hợp ứng suất không phụ thuộc vo góc cực: Bi toán đối xứng trục v bi toán uốn túy cong 182 7.3 Bi toán nêm chịu lực tập trung đỉnh 189 7.4 Bi toán bán phẳng chịu lực tập trung biên 194 7.5 Bi toán bán không gian chịu lực tập trung biên 199 Chơng Tấm mỏng đn hồi 8.1 Định nghĩa v giả thiết 201 8.2 Quan hệ chuyển vị v biến dạng 202 8.3 ứng lực Quan hệ vật lý 203 8.4 Phơng trình vi phân cân 206 8.5 Điều kiện biên 211 8.6 Phân loại bi toán mỏng 214 8.7 Uốn hình chữ nhật 216 8.8 Phơng pháp sai phân 220 8.9 Bi toán hệ tọa độ cực 224 Chơng Phơng pháp phần tử hữu hạn bi toán đn hồi tuyến tính 9.1 Phơng pháp phần tử hữu hạn 228 9.2 Mô tả toán học phơng pháp phần tử hữu hạn 231 9.3 Phơng pháp phần tử hữu hạn bi toán 239 9.4 Phơng pháp phần tử hữu hạn bi toán phẳng lý thuyết đn hồi 254 9.5 Phơng pháp phần tử hữu hạn bi toán chịu uốn 261 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên 9.6 Phơng pháp ma trận độ cứng động lực 264 Chơng 10 Lý thuyết dẻo 10.1 Quan hệ ứng suất biến dạng ngoi giới hạn đn hồi 273 10.2 Điều kiện dẻo Mặt chảy v đờng cong chảy 276 10.3 Các lý thuyết dẻo đơn giản 280 10.4 Về lý thuyết dẻo 287 10.5 Cách đặt bi toán v phơng pháp giải lý thuyết dẻo 289 10.6 Các đờng trợt trạng thái biến dạng phẳng 292 10.7 Bi toán ống hình trụ chịu áp lực 298 Chơng 11 Lý thuyết từ biến 11.1 ảnh hởng thời gian đến ứng suất v biến dạng 302 11.2 Lý thuyết từ biến 305 11.3 Các mô hình học vật thể biến dạng 308 11.4 Cách đặt bi toán v phơng pháp giải lý thuyết từ biến 313 11.5 Một số ví dụ tính toán theo lý thuyết từ biến ổn định 316 Chơng 12 Cơ học chất lỏng v chất khí 12.1 áp suất thủy tĩnh Ten xơ ứng suất nhớt 320 12.2 Chất lỏng nhớt tuyến tính Newton 321 12.3 Chất lỏng lý tởng 324 12.4 Khái niệm dòng chảy dừng, dòng không xoáy, dòng chảy 327 Bi tập 329 Ti liệu tham khảo 351 Phụ lục A Ma trận v phép tính ma trận 352 Phụ lục B Chơng trình phần tử hữu hạn tính toán số v symbolic MatLab 361 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên Danh mục ký hiệu Hệ tọa độ, ten xơ x1 , x2 , x3 Các tọa độ Euler hệ Descartes vuông góc X1 , X2 , X3 Các tọa độ Lagrange hệ Descartes vuông góc x, y, z Tọa độ Descartes vuông góc r, , z Tọa độ cực (trụ) r ei Véc tơ đơn vị hệ trục tọa độ r , , Hệ tọa độ mặt cắt có pháp tuyến ngoi r r t Thời gian V Miền không gian môi trờng liên tục chiếm chỗ S Mặt biên thể tích V ( , , ); l (l1 , l , l ) Véc tơ pháp tuyến ngoi mặt ij Ten xơ Kronecker eijk Ten xơ Levi Civita , aij , aijk Ten xơ hạng (véc tơ), hạng 2, hạng I1 , I2 , I3 Bất biến thứ nhất, thứ hai v thứ ba ten xơ hạng hai Toán tử nabla , Toán tử Laplace ba chiều, hai chiều cij Ma trận côsin phơng grad Građiên hm vô hớng div, rot Đive v rôta trờng véc tơ J Ma trận Jacobian phép biến đổi det(A) Định thức ma trận A Hằng số, đặc trng học vật liệu E Môđun đn hồi Young G Môđun đn hồi trợt Hệ số nở ngang Poisson Mật độ khối lợng , Các số Lamé K Môđun biến dạng thể tích D Độ cứng trụ Et Môđun tái bền tl Giới hạn tỷ lệ ch , ch Giới hạn chảy kéo, trợt túy b (b,k , b,n) Giới hạn bền (khi kéo, nén) dh Giới hạn bền di hạn H Môđun đn hồi tức thời Hệ số nhớt hay hệ số cản vật liệu *, * Các hệ số nhớt chất lỏng Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên * Hệ số nhớt khối chất lỏng Môi trờng liên tục m r R r H K U u Q A b r c (c1 , c , c ) T k S s Khối lợng Véc tơ động lợng môi trờng Véc tơ mô men động lợng môi trờng Động môi trờng Nội môi trờng hay đn hồi ton phần cho vật thể đn hồi Nội riêng (mật độ nội năng) môi trờng hay đn hồi đơn vị khối lợng cho vật thể đn hồi Nhiệt môi trờng Công môi trờng Hằng số xạ nhiệt Véc tơ vận tốc truyền nhiệt Nhiệt độ tuyệt đối (Kelvin) Hệ số truyền nhiệt Fourier Entrôpi môi trờng Mật độ entrôpi p áp suất nhiệt động & Tốc độ biến dạng thể tích W Thế biến dạng đơn vị thể tích W* Công bù W Thế biến dạng thể tích WD Thế biến dạng hình dáng WP Công biến dạng dẻo Chuyển vị, biến dạng r r u (u , u , u ); u (u x , u y , u z ) r u (u r , u , u z ) r v (v1 , v , v ) r w(w1 , w2 , w3 ) Chuyển vị điểm vật chất hệ tọa độ Descartes v hệ tọa độ cực (trụ) Vận tốc chuyển động Gia tốc chuyển động Gij Ten xơ biến dạng hữu hạn Green Aij Ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi ij Ten xơ biến dạng bé ij Ten xơ quay tuyến tính r r Véc tơ quay tuyến tính Biến dạng thể tích tỷ đối Biến dạng góc tb Độ dãn trung bình ten xơ biến dạng bé , , Các biến dạng ten xơ biến dạng bé r Biến dạng di tơng đối theo phơng Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên ijD Ten xơ lệch biến dạng ijS Ten xơ cầu biến dạng Cờng độ biến dạng trợt u Cờng độ biến dạng ij Ten xơ hớng biến dạng eij Ten xơ tốc độ biến dạng ij Ten xơ xoáy biến dạng &ij Ten xơ tốc độ biến dạng bé &u Cờng độ tốc độ biến dạng E Biến dạng đn hồi P Biến dạng dẻo, biến dạng d C Biến dạng từ biến w Độ võng Ngoại lực, ứng suất r r F (F1 , F2 , F3 ); F (Fx , Fy , Fz ) r F (Fr , F , Fz ) r K (K , K , K ) r r P (P , P , P ); P (Px , Py , Pz ) r p ( p , p , p ) Lực thể tích hệ tọa độ Descartes v hệ tọa độ cực (trụ) Lực khối r Lực mặt biên có pháp tuyến r Véc tơ ứng suất ton phần mặt cắt có pháp tuyến ij Ten xơ ứng suất r Véc tơ ứng suất pháp mặt cắt có pháp tuyến r r Véc tơ ứng suất tiếp mặt phẳng tb Giá trị ứng suất pháp trung bình ten xơ ứng suất , , Các ứng suất ten xơ ứng suất ijD Ten xơ lệch ứng suất Ten xơ cầu ứng suất S ij , , Các ứng suất tiếp T Cờng độ ứng suất tiếp u Cờng độ ứng suất ij Ten xơ hớng ứng suất & ij Ten xơ tốc độ ứng suất ij Ten xơ ứng suất nhớt S Hm tổng ứng suất Hm xoắn Saint Venant Hm ứng suất Prandtl Hm ứng suất Airy Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên Nx , Ny , Sx , Sy , S, Qx , Qy , Các thnh phần ứng lực mặt trung bình Mx , My , Mxy , Myx , H p Tải trọng ngang phân bố F Hm ứng lực Phơng pháp phần tử hữu hạn M, C, K U P ue Ue Ne=(N1 , N2 , ) Be e , e De Me , Ce , Ke PV , PS P ; P 0 Ma trận khối lợng, cản, độ cứng hệ Véc tơ chuyển vị nút hệ hệ tọa độ tổng thể Véc tơ tải trọng quy nút hệ Trờng chuyển vị phần tử hệ tọa độ địa phơng Véc tơ chuyển vị nút hệ tọa độ phần tử Hm dạng phần tử hữu hạn Ma trận quan hệ biến dạng chuyển vị nút phần tử Véc tơ thnh phần biến dạng, ứng suất phần tử Ma trận số đn hồi phần tử hữu hạn Ma trận khối lợng, cản, độ cứng phần tử Véc tơ tải trọng thể tích, lực mặt quy nút Véc tơ tải trọng quy nút ứng suất, biến dạng ban đầu PC Véc tơ tải trọng tập trung nút hệ tọa độ tổng thể Ma trận chuyển đổi chuyển vị nút từ hệ tọa độ địa Te phơng sang hệ tọa độ tổng thể A Diện tích tiết diện I Mô men quán tính tiết diện Ae Diện tích phần tử tam giác phẳng h Độ dầy phần tử tam giác phẳng, phần tử i Số ảo i = K U Ma trận độ cứng động lực P Véc tơ biên độ phức tải trọng quy nút i e Tần số dao động qe* Biên độ tải trọng dọc trục hay tải trọng ngang E Môđun đn hồi phức Véc tơ biên độ phức chuyển vị nút Tần số dao động riêng hệ Tham số động lực Biên độ chuyển vị dọc trục hay chuyển vị ngang , Hệ số cản nhớt vật liệu v môi trờng K1 , K2 , K3 , K4 Các hm Krylov q e1 , q e , q e3 , q e v qe Các thnh phần v véc tơ tải trọng Re1 , Re2 , Re3 , Re4 v Re Các thnh phần v véc tơ ứng lực tiết diện Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên Mở đầu 0.1 khái niệm học Môi trờng liên tục 0.1.1 Đối tợng, mục đích v phạm vi học môi trờng liên tục Đối tợng học môi trờng liên tục l vật thể hữu hạn có cấu tạo vật chất liên tục v khoảng cách điểm chúng thay đổi thời gian chuyển động Các vật thể ny đợc gọi l môi trờng liên tục hay continuum Khái niệm môi trờng đợc dùng để vật thể với ý nghĩa l kích thớc vật thể lớn nhiều so với kích thớc hạt vật chất, phân tử, mạng tinh thể cấu tạo nên vật chất Tính chất liên tục đợc hiểu l điểm hình học không gian vật thể, ta lấy đợc phần tử vật chất bé tùy ý bao quanh điểm (hay l vật chất lấp đầy không gian vật thể) Mục đích học môi trờng liên tục l thiết lập tính chất chung v quy luật chuyển động môi trờng liên tục nh quy luật lực chất lỏng tác dụng lên vật chuyển động nó; liên quan tải trọng ngoi v biến dạng vật thể rắn, v.v Nếu học lý thuyết nghiên cứu cân hay chuyển động chất điểm, hệ chất điểm rời rạc v vật rắn tuyệt đối học môi trờng liên tục l phần rộng lớn học, nghiên cứu chuyển động môi trờng có biến dạng nh chất khí, chất lỏng, vật rắn biến dạng v môi trờng đặc biệt nh trờng điện từ, trờng xạ, trờng hấp dẫn, v.v Các phơng trình cân hay chuyển động học môi trờng liên tục l mở rộng phơng trình học lý thuyết Cơ học môi trờng liên tục l sở chung để phát triển lý thuyết đn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, thủy động lực học, khí động lực học, nhiệt động lực học v nhiều ngnh khác vật lý v học Tính chất chung v liên hệ mật thiết ngnh học v vật lý kể trên, m tiên tởng nh khác nhau, bắt buộc ta phải nghiên cứu chúng nh thể thống 0.1.2 Nội dung v phơng pháp học môi trờng liên tục Các nghiên cứu học môi trờng liên tục phát triển theo hai hớng: - Nghiên cứu tính chất học môi trờng, tức l phát v nghiên cứu quy luật vật lý môi trờng chịu tác dụng lực ngoi - Thiết lập bi toán học thnh bi toán toán học v phát triển phơng pháp giải bi toán cụ thể Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên Bản thân việc giải bi toán cụ thể học môi trờng liên tục toán học đợc xem l học môi trờng liên tục Điều giải thích chí trờng hợp đơn giản nhất, bi toán học môi trờng liên tục đợc đặt mặt toán học khó v giải đợc cách có hiệu phơng tiện toán học đại Do buộc phải thay đổi cách đặt bi toán v tìm cách giải gần dựa sở giả thuyết v kiến thức học khác 0.2 Các giả thiết học môi trờng liên tục 0.2.1 Quan điểm tợng vĩ mô Cấu trúc phân tử v lực tơng tác chúng phức tạp, lúc no biết đợc Ta theo dõi chuyển động hạt bản, chúng nhiều v cha biết trớc lực tơng tác chúng với Điều quan trọng l cần ý rằng, thông thờng không cần thiết phải biết chuyển động hạt Trên thực tế, ta cần số đặc trng trung bình quy ớc dựa quy luật v giả thuyết chung thu đợc thực nghiệm vật thể có kích thớc vĩ mô (hữu hạn) Đây l quan điểm tợng vĩ mô - ý đến trình, hiệu ứng v tính chất quan trọng vật thể hữu hạn m ta quan sát sử dụng tợng khác thiên nhiên v kỹ thuật Một phơng pháp khác nghiên cứu môi trờng vật chất đợc phát triển vật lý l phơng pháp thống kê dựa quan điểm xác xuất sử dụng đặc trng trung bình từ tập hợp lớn hạt Các phơng pháp thống kê dùng giả thuyết bổ sung tính chất hạt, tơng tác chúng v giản ớc tính chất v tơng tác ny Cần lu ý nhiều trờng hợp không tồn sở để xây dựng phơng pháp nh Tuy nhiên chúng l phơng tiện hiệu để giải bi toán, phơng trình tơng ứng thu đợc vô phức tạp 0.2.2 Giả thuyết tính chất liên tục môi trờng Tất vật chất cấu tạo từ hạt riêng lẻ nhng chúng có nhiều thể tích m ta quan tâm, nên xem gần nh môi trờng chiếm chỗ không gian cách liên tục Giả thiết tính liên tục môi trờng vật chất đợc đặt xuất phát từ quan điểm vĩ mô Nh vậy, môi trờng liên tục hay continuum dùng để vật thể có cấu tạo vật chất liên tục v khoảng cách điểm chúng thay đổi thời gian chuyển động 10 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên Việc lý tởng hóa nh l cần thiết, nghiên cứu chuyển động môi trờng liên tục, ta sử dụng công cụ tính toán l phép tính vi phân v tích phân hm liên tục 0.2.3 Giả thuyết không gian Euclide Không gian l tập hợp điểm đợc cho trớc số gọi l tọa độ điểm Không gian Euclide l không gian m ta xây dựng hệ tọa độ Descartes cho điểm không gian Vị trí điểm không gian hon ton xác định nhờ hệ tọa độ Descartes vuông góc cho ton không gian x, y, z Khoảng cách hai điểm M1(x1,y1,z1) v điểm M2(x2,y2,z2) xác định theo công thức r= (x1 x2 )2 + ( y1 y )2 + (z1 z )2 (0.2.1) Cơ học môi trờng liên tục giả thiết không gian l Euclide ba chiều Cơ học xây dựng không gian Euclide gọi l học Newton Kinh nghiệm chứng tỏ không gian vật lý thực phạm vi không lớn với độ xác cao xem l không gian Euclide Không phải không gian no vẽ hệ tọa độ Descartes cho ton không gian Để đơn giản ta xét không gian hai chiều Rõ rng l mặt phẳng ta vẽ hệ tọa độ Descartes có hai tọa độ cho ton mặt phẳng Trên mặt cầu bán kính cong khác không, ta vẽ hệ có hai tọa độ, để khoảng cách hai điểm l độ di cung đờng tròn lớn đợc xác định công thức (0.2.1) Trên mặt cầu vẽ hệ tọa độ Descartes miền lân cận bé điểm Trong trờng hợp không gian ba chiều lúc no vẽ hệ tọa độ Descartes cho ton không gian Để tránh nhầm lẫn điểm môi trờng liên tục v điểm không gian môi trờng liên tục chiếm chỗ, ta dùng khái niệm điểm để vị trí không gian cố định, khái niệm phần tử hay hạt để vật chất chứa thể tích vô bé môi trờng liên tục (chất điểm) 0.2.4 Giả thuyết thời gian tuyệt đối hệ quy chiếu quán tính Khái niệm thời gian liên quan đến thực nghiệm v cần thiết học Mỗi tợng học luôn đợc mô tả theo quan điểm ngời quan sát no Nói chung, thời gian phụ thuộc vo hệ quy chiếu ngời quan sát Hệ quy chiếu, chuyển động tự môi trờng (l chuyển động vật hay môi trờng không chịu tác động lực ngoi) xảy với vận tốc không đổi, đợc gọi l hệ quy chiếu quán tính Nếu hai hệ chuyển động thẳng với nhau, 11 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên hệ l quy chiếu quán tính, hệ l hệ quy chiếu quán tính Do hệ quy chiếu chuyển động thẳng hệ quy chiếu quán tính l hệ quy chiếu quán tính Cơ học môi trờng liên tục giả thiết thời gian tuyệt đối, lý tởng, trôi qua nh ngời quan sát hệ quy chiếu quán tính: tu hỏa, máy bay, giảng đờng, v.v ta dùng thời gian tuyệt đối lý tởng hóa để mô tả thực tế v không kể đến hiệu ứng lý thuyết tơng đối hẹp Trên đây, ta đa ba giả thuyết dùng để xây dựng lý thuyết chuyển động vật thể biến dạng Các kết luận rút từ lý thuyết ny thờng phù hợp với thực nghiệm, nhng lúc no Trong trờng hợp cần thiết, mô hình không gian v thời gian xác hóa v mở rộng Nhng tất mở rộng sau ny xây dựng sở học Newton dựa vo giả thuyết trình by Bản chất giả thuyết trở nên dễ hiểu trình phát triển lý thuyết sau ny Tóm lại, học môi trờng liên tục l ngnh khoa học nghiên cứu, thiết lập tính chất, quy luật chuyển động môi trờng với giả thiết môi trờng l liên tục (continuum) không gian Euclide v dùng thời gian tuyệt đối, lý tởng, nh với ngời quan sát hệ quy chiếu quán tính 12 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên Chơng khái niệm ten xơ 1.1 Khái niệm đại lợng vô hớng, véc tơ v ten xơ Trong toán học v vật lý nói chung, đặc biệt học nói riêng, ta thờng gặp loại đại lợng khác nhau: - Đại lợng vô hớng l đại lợng m đợc đặc trng số theo đơn vị đo chọn nh nhiệt độ, khối lợng, tỷ khối, lợng, độ ẩm, v.v - Đại lợng véc tơ l đại lợng m đợc đặc trng số số đo theo đơn vị đo xác định, m hớng không gian nh chuyển dịch chất điểm, vận tốc, gia tốc, lực, v.v Cần phân biệt ba loại véc tơ: véc tơ tự có điểm đặt chọn tùy ý; véc tơ trợt có điểm đặt thay đổi dọc theo véc tơ đó, ví dụ lực đặt vo vật thể rắn l véc tơ trợt; véc tơ buộc có điểm đặt cố định, ví dụ nh xét chuyển động điểm vật chất phải lấy điểm tác dụng lực l vị trí điểm vật chất Việc nghiên cứu véc tơ buộc v véc tơ trợt dẫn đến việc nghiên cứu véc tơ tự do, dới ta xét véc tơ tự - Đại lợng ten xơ đặc trng cho trạng thái vật thể nh trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất môi trờng liên tục, phân bố mômen quán tính trục khác qua điểm no vật thể rắn, xung lợng trờng điện từ, độ cong điểm không gian phi Euclide, v.v Ten xơ l đại lợng tổng quát bao hm đại lợng vô hớng v véc tơ Dựa vo khái niệm ten xơ, ta bao quát đặc trng tất đại lợng, xem chúng l ten xơ hạng không (vô hớng), hạng (véc tơ) v hạng Ten xơ có đặc điểm chung l không phụ thuộc vo cách chọn hệ tọa độ dùng để mô tả chúng, nghĩa l hệ tọa độ cho ten xơ hệ thống đại lợng no đấy, gọi l thnh phần ten xơ Nếu thnh phần ten xơ cho hệ tọa độ, đợc xác định hệ tọa độ no khác, định nghĩa ten xơ bao hm quy luật biến đổi thnh phần Các qui luật vật lý v học thờng đợc biểu diễn dới dạng hệ thức ten xơ Viết phơng trình dới dạng ten xơ, cho phép thiết lập quy luật bất biến, không phụ thuộc vo cách chọn hệ tọa độ Do tính chất tuyến tính v đồng phép biến đổi ten xơ, nên phơng trình ten xơ hệ tọa độ ny, hệ tọa độ khác Tính bất biến hệ thức ten xơ phép 13 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên biến đổi hệ tọa độ l nguyên nhân để sử dụng có hiệu phép tính ten xơ học v vật lý 1.2 Trờng vô hớng Trờng vô hớng l hm vô hớng tọa độ điểm miền xác định hm số ( x1 , x , x3 , t ) với x1 , x2 , x3 l tọa độ không gian, t l thời gian Građiên trờng vô hớng l véc tơ có hớng m hm tăng nhanh v có độ lớn đạo hm theo hớng grad = = r r r e1 + e2 + e3 x1 x x3 (1.2.1) r r r với e1 , e2 , e3 l véc tơ phơng đơn vị hệ tọa độ sở Ox1x2x3 , ký hiệu đọc l nabla Về mặt hình học, véc tơ građiên vuông góc với mặt mức (hay mặt đẳng trị) đợc xác định từ phơng trình ( x1 , x , x3 , t ) = const Khi véc tơ pháp tuyến đơn vị r điểm cho trớc mặt ny l r = r r r e1 + e2 + e3 x3 x1 x grad = grad + x1 x 2 + x3 (1.2.2) Ký hiệu với = = + + x12 x 22 x32 (1.2.3) đợc gọi l toán tử Laplace, đọc l laplacien Phơng trình vi phân đạo hm riêng = + + =0 x12 x 22 x32 (1.2.4) đợc gọi l phơng trình Laplace v nghiệm phơng trình Laplace đợc gọi l hm điều hòa Theo định lý trung bình hm điều hòa, giá trị hm điều hòa điểm no trung bình số học giá trị hm số mặt cầu (v theo thể tích) với tâm điểm cho Phơng trình 2 = + + + + = x1 x x3 x1 x x3 (1.2.5) đợc gọi l phơng trình song điều hòa hay điều hòa kép v nghiệm phơng trình ny đợc gọi l hm song điều hòa hay điều hòa kép 14 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên Ví dụ 1.2.1: Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng qua ba điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) cho trớc nằm trục tọa độ nh hình 1.2.1 Giải: Phơng trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C l x2 ( x1 , x , x3 ) = B x1 x x3 + + = a b c Véc tơ građiên có dạng e2 O grad = x1 e1 A e3 1r 1r 1r e1 + e2 + e3 a b c Do đó, véc tơ pháp tuyến mặt phẳng l C r = x3 Hình 1.2.1 1r 1r 1r e1 + e2 + e3 a b c grad = 2 grad 1 + + a b c Nếu mặt phẳng ABC nghiêng ba trục tọa độ ( a = b = c ) , véc tơ pháp tuyến l r = r 1 r r r , , e1 + e2 + e3 , thông thờng ta hay chọn 3 3 1.3 Véc tơ v trờng véc tơ 1.3.1 Các phép tính véc tơ Trong không gian ba chiều, ta lập hệ tọa độ Descartes vuông góc Ox1x2x3 l r tam diện thuận theo quy tắc bn tay phải Một véc tơ a không gian đợc xác định ba hình chiếu a1 , a2 , a3 trục tọa độ (hình 1.3.1) v r a1 , a2 , a3 đợc gọi l tọa độ vuông góc hay l thnh phần véc tơ a Độ di r véc tơ a xác định theo công thức x2 r a2 a = a2 + a2 + a2 (1.3.1) a O a1 x1 a3 x3 Hình 1.3.1 Đờng chéo OB hình bình hnh dựng véc r r r r tơ OA = a v AB = b l tổng hai véc tơ OB = a + b , r r đờng chéo CA l hiệu véc tơ ny CA = a b (hình 1.3.2) r r Tích vô hớng (hay tích trong) hai véc tơ a v b l đại lợng vô hớng có giá trị tích độ di véc tơ với côsin góc chúng 15 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên a C a+b b O rr rr r r r r a.b = b a = a b cos(a , b ) B b a-b a (1.3.2) r r Nếu véc tơ a vuông góc với véc tơ b tích vô hớng hai véc tơ ny không Tích vô hớng véc tơ đơn vị tọa độ l i = j r r ei e j = ij = i j A Hình 1.3.2 (1.3.3) r r r Nếu b = hình chiếu véc tơ a lên véc tơ b tích vô hớng hai véc tơ r r ny Tọa độ l tích vô hớng véc tơ a v véc tơ đơn vị ei rr = a.ei (1.3.4) r r r Tích véc tơ (hay tích ngoi, tích có hớng) hai véc tơ a v b l véc tơ c có r r độ lớn diện tích hình bình hnh dựng véc tơ a , b v có hớng vuông góc với mặt phẳng véc tơ ny cho tam diện hình thnh véc tơ r r r a , b , c l tam diện thuận (hình 1.3.3) c=aìb r r r r r r r r c = a ì b ; c = a b sin(a , b ) (1.3.5) b a Biểu diễn dới dạng định thức r r e1 e2 r r a ì b = det a1 a b b r e3 a3 b3 (1.3.6) d=bìa Tích véc tơ tính giao hoán tức l r r v r r r Hình 1.3.3 c = a ì b = b ì a = d r r r Tích hỗn hợp (hay tích véc tơ kép) ba véc tơ a , b , c l đại lợng vô hớng có giá trị thể tích hình hộp giới hạn véc tơ ny Tích hỗn hợp ny l số r r r dơng véc tơ a , b , c lập thnh tam diện thuận a1 r rr r r r ab c = a.(b ì c ) = det b1 c [ ] a2 b2 c2 a3 b3 c3 (1.3.7) 1.3.2 Biến đổi thnh phần véc tơ quay trục tọa độ r Giả thiết hệ trục tọa độ Descartes ban đầu xi với véc tơ đơn vị ei xoay quanh gốc r tọa độ O trở thnh hệ trục tọa độ Descartes xi với véc tơ đơn vị ei nh 16 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên hình 1.3.4 Ký hiệu C = (cij ) l ma trận côsin góc hợp trục xi r r với trục cũ xj v l góc véc tơ ei v véc tơ e j Theo (1.3.2), ta có r r rr cij = cos( xi , x j ) = cos(ei , e j ) = eie j x2 (1.3.8) x2 x2 x1 a x2 e2 e3 O e3 x3 e2 e2 e2 x1 e1 e1 e1 x1 O e3 = e3 e1 x3 = x3 x1 x3 Hình 1.3.4 Hình 1.3.5 r r Các véc tơ đơn vị ei biểu diễn qua véc tơ đơn vị cũ e j r r r e1 e1 c11 c12 c13 e1 r r r e2 = c21 c22 c23 e2 = Ce2 er er c c c er 31 32 33 (1.3.9) Ngợc lại, ký hiệu C = (cij ) l ma trận cô sin góc hợp trục cũ xi với trục xj , ta có r r rr cij = cos( xi , x j ) = cos(ei , ej ) = ei ej (1.3.10) So sánh (1.3.8) v (1.3.10), ta thấy c'ij = c ji tức l ma trận C = (cij ) v ma trận C = (cij ) l chuyển vị r r Từ (1.3.10), ta biểu diễn véc tơ sở cũ ei qua véc tơ sở e j r e1 c11 r e2 = c 21 er c 31 c12 c 22 c32 r r e1 c13 e1 r r e2 = C e2 c23 r er e3 c33 (1.3.11) So sánh (1.3.9) v (1.3.11), ta thấy ma trận C = (cij ) v ma trận C = (cij ) l nghịch đảo 17 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên Nh vậy, ma trận côsin phơng (cij ) lập thnh ma trận trực giao C = C = C T (1.3.12) Khi hệ trục tọa độ Descartes ban đầu Ox1x2x3 quay mặt phẳng Ox1x2 góc ngợc chiều kim đồng hồ quanh trục x3 trở thnh hệ trục tọa độ Ox1 x2 x3 nh hình 1.3.5, ma trận côsin phơng có dạng cos C = (cij ) = cos 90 + cos 90 ( ) ( cos 90 ) cos cos 90 cos 90 cos cos 90 = sin cos 0 sin cos 0 (1.3.13) r Bây ta xét thay đổi thnh phần véc tơ a quay hệ trục tọa độ Khi r r thân véc tơ a không thay đổi, nhng thnh phần tọa độ véc tơ a hệ trục cũ xj thay đổi thnh hệ trục xi Ta có khai triển r r r a = ei = aiei i =1 (1.3.14) i =1 rr rr với = a.ei v = a.ei Sử dụng (1.3.8) kết hợp với (1.3.9), ta đợc 3 rr r r rr = a.ei = a. cij e j = cij a.e j = cij a j i =1 i =1 (1.3.15) i =1 Tơng tự, sử dụng (1.3.10) kết hợp với (1.3.11) ta có 3 rr r r rr = a.ei = a. cij e j = c ji a.e j = c ji a j i =1 i =1 (1.3.16) i =1 1.3.3 Trờng véc tơ Trờng véc tơ l hm véc tơ tọa độ điểm miền không gian xác r định hm số a ( x1 , x2 , x3 , t ) với x1 , x2 , x3 l tọa độ không gian, t l thời gian Đại lợng vô hớng a r r a a div(a ) = .a = + + x1 x x3 (1.3.17) r đợc gọi l đive (hay phân kỳ) trờng véc tơ a Đại lợng véc tơ r e1 r r rot(a ) = ì a = det x1 a r e2 x2 a2 r e3 a3 a2 r a1 a3 r a2 a1 r e1 + e2 + e3 (1.3.18) = x3 x2 x3 x1 x2 x3 x1 a3 r đợc gọi l rôta (hay xoáy) trờng véc tơ a 18 Cơ học môi trờng liên tục Trần Văn Liên r r Các đại lợng div(a ) ; rot (a ) đóng vai trò quan trọng nghiên cứu môi trờng liên tục Giá trị đive liên quan đến lợng vật chất qua mặt thể tích vô bé bao quanh điểm xét Véc tơ rôta liên quan đến chuyển động quay chất điểm quanh điểm xét r r r r r Ví dụ 1.3.1: Khai triển véc tơ a (1,2,1) thnh hai véc tơ a = v + v véc tơ v theo phơng pháp tuyến với mặt phẳng ABC nghiêng với ba trục tọa độ (ví dụ r 1.2.1), véc tơ v nằm mặt phẳng ABC Giải: Véc tơ pháp tuyến ngoi mặt phẳng ABC nghiêng ba trục tọa độ l r r r ,1 ,1 Hình chiếu véc tơ a lên phơng pháp tuyến l ( ) rr v = a = r = r v thu đợc véc tơ v v = v = r = r r 3 r Từ ta xác định đợc véc tơ v nằm mặt phẳng ABC r r = a v = r = 3 r Độ di véc tơ v theo (1.3.1) l 2 = + + = r r Để kiểm tra kết tính, dựa vo điều kiện véc tơ v vuông góc với véc tơ v nên r tích vô hớng hai véc tơ ny không r r v = 3 = r2 r Cũng kiểm tra dựa vo hệ thức Pitago a = 19 r + , ta có