Co so xac suat hien dai

BỔ SUNG MỘT SỐ BÀI GIẢI MÔN CƠ SỞ XÁC SUẤT HIỆN ĐẠI Bài 1.16 a) Giả sử A = { Ai , iєI} họ độc lập để chứng minh Ā độc lập ta cần chứng minh với họ hữu hạn biến cố Ai1,Ai2,… ,Ain họ {Ai, iєI} ta có: P( Āi1Ai2…Ain) = P(Āi1).P(Ai2) P(Ain) Thật vậy, Ai1 độc lập với Ai2,… ,Ain Hay Āi1 độc lập với Ai2,… ,Ain Nên Āi1 độc lập với (Ai2,… ,Ain ) Do : P( Āi1Ai2…Ain) = P(Āi1).P(Ai2,… ,Ain ) Mặt khác A họ độc lập nên : P(Ai2,… ,Ain ) = P(Ai2) P(Ain ) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh b)  Cm1: ) (đpcm)  Cm2: P( Đặt ; Khi { dãy giảm =>P( (đpcm) Bài 1.17 (1) (2) Ta có: ∞ ∞ n =1 n =1 n n ∞ k =1 n =1 P (I An ) =P(I Bn ) = limP( Bn ) = lim P(I Ak ) = lim ∏ P( Ak ) =∏ P( An ) n →∞ n →∞ k =1 n →∞ Mặt khác: ∞ ∏ (1 + a ) n n =1 hội tụ tuyệt đối tới giá trị khác không ∞ ∑a n =1 n hội tụ tuyệt đối ………………………………………………………………………… Bài 1.21: Quan hệ phụ thuộc hay không độc lập biến cố không gian xác suất tính bắc cầu Ví dụ: Ω=( 1, 2, 3, 4) A=( 1, 2) B=( ) C=( 2; 3) P(1)=P(2)=P(3)=P(4)= Khi A, C không độc lập với B, C độc lập với A Bài 1.22: Gọi A, biến cố độc lập không gian xác suất đó: P(A)P()= P(A)P()= *Cm điều kiện đủ: ta có A biến cố không gian xác suất nên P(A) = => P() = Ngược lại P(A)=1 => P() = => Điều * Cm điều kiện cần: Giả sử biến cố độc lập có tính bắc cầu => 0vô lý Bài 1.26  Cm: Nếu liminf P(An)≥a>0  Cm: Ta có A1,A2,… An; B1, B2, … Bn Với lim inf P(An)≥a>0 Ta có:  = Đfcm Bài 1.31: Ứng với k= 1m, 2,…, tồn hữu hạn điểm x mà xác suất p= F(x+ 0)- F(x) thỏa mãn hệ thức Thật ta thấy : hội tụ hội tụ Suy : p hội tụ Vậy p hữu hạn nên hàm phân phối biến ngẫu nhiên có không đếm điểm gián đoạn Bài 1.32: CMR: Nếu hàm phân phối BNN liên tục toàn trục số (trục số thực R) liên tục Giải: _ Ta có: (Ω, f, P) không gian xác suất, BNN: X:Ω  R có hàm phân phối xác suất liên tục R _ Trên [-A; A], F(x) liên tục nên ta tìm δ > 0, cho: _ Do đó: Bài 1.42: Ta có : E[X] = ∑ i [x]i pi X rời rạc với P( X=xi ) = pi +∞ ∫ [ x] p([ x])dx Và E[X] = −∞ X liên tục có hàm mật độ p Suy : E[X] tồn , E[X]+1 tồn Áp dụng định lý kẹp : [x] = P(Xn =2n , Xn-1=2n-1) x P(| = P(XN = 2n , Xn-1 =22n-1) = X + + X (n − 2) + 2n −1 + n > n ε |) Vì dãy { Xn , n>1 } hội tụ xác xuất theo luật yếu số lớn nên dãy { Xn , n>1 } không tuân Bài 2.22: a) Xn - P 2n EXn = EX n2 = DXn = 1 +0+ 2 EX n2 Khi : =1 - (EXn)2 = n n 1− n 2n n2 n DX = ∑ i n i =1 n ∑1 = i =1 1 n = → 0( n → ∞) n n Vậy (Xn, n>=1) tuân theo LYSL b) Xn -n n P 2n 1− n2 2n EXn = EX n2 = DXn = 1 +0+ 2 EX n2 =1 - (EXn)2 = Khi : n2 n DX = ∑ i n2 i =1 n ∑1 = i =1 1 n = → 0( n → ∞) n n Vậy (Xn, n>=1) tuân theo LYSL c) Xn P -2n 2 n+1 2n 1− 22 n 2 n+1 EXn = EX n2 1 +0+ 2 = EX n2 DXn = =1 - (EXn)2 = Khi : n2 n DX i = ∑ n i =1 n 1 = n = → 0( n → ∞) ∑ n n i =1 Vậy (Xn, n>=1) tuân theo LYSL d) Xn - nα P nα EXn = EX n2 = DXn = n 2α n 2α + = n 2α 2 EX n2 n 2α - (EXn)2 = Khi đó: n DX i = ∑ n i =1 n ∑1 = i i =1 2α 2α n.n 2α n 2α 2α 2α = (1 + + + n ) ≤ = = n 2α −1 → 0(vì 2α -1=1) tuân theo LYSL