GIẢI TÍCH PHỨC toán học

CHNG I GII TCH PHC Đ1 S PHC I Dng i s ca s phc c xỏc nh z = x + iy ú : x = Rez gi l phn thc ca z y = Imz gi l phn o ca z Cho hai s phc z1 = x1 + iy1 ;z = x + iy ta núi z1 = z x1 = x v y1 = y s phc z = x iy gi l s phc liờn hp ca z = x + iy Mt phng phc c th hin bi mt h trc ta .Trong ú trc 0y c gi l trc o,cũn trc 0x l trc thc Khi cho z = x + iy thỡ tng ng vi M(x,y) trờn m/p c gi l ta v ca M uuuu r di vect OM c gi l mụdun ca s phc z = x + iy v uuuu r OM = x + y = z = r uur uuuu r ẳ Gúc 0x,OM = + k2 c gi l Argumen ca z ,cũn = argz gi l argumen ( ) phn chớnh ca z z = r ( cos + isin ) c gi l dng lng giỏc ca s phc z = z.z Cụng thc Moavr: n z = r ( cos + isin ) z n = r ( cos + isin ) = r n ( cosn + isin n ) tha nhn: cos + isin = ei (cụng thc le) Vớ d: a) Arg(z1 + z ) = Argz1 +Argz b) Arg z1 = Argz1 - Argz z2 c) z1z = z1 z d) z1 / z = z1 / z e) Vi Re z > v Rea > thỡ z1 = z = v z1,2 thỡ f) az vi n > 5) Hm Lụgarit l hm ngc ca hm W = ez v vit W = Lnz khai trin ta c Lnz = ln z + i(arg z + k2) vi k Z ,cũn ln z = ln z + i arg z c gi l nhỏnh chớnh ca Lnz Cỏc tớnh cht ca Lnz tng t nh thc.Riờng o hm ca Lnz ta phi thc hin trờn tng nhỏnh 6) Hm lng giỏc ngc,ú l cỏc hm a tr : a) W = arcsin z = -iln(iz+ z ) b) W = arccosz = -iln(z+ z 1) i + iz c) W = arctan z = l n iz Vớ d:Tớnh Re(arctgei ) vi nhn 7) Hm ly tha tng quỏt W=z a vi a = + i v vit W=eaLnz c th W = e( + i) ln z + iArgz = e ln z Argz ei ( ln z + Argz ) Đ3:TCH PHN HM BIN PHC ằ ,chia AB ằ bi cỏc im I nh ngha:Cho hm f(z) xỏc nh trờn ng L = AB chia theo th t A z ,z1 ,z ,z3 z n B trờn cung t z k n z k +1 ly bt k im k n nu tn ti gii hn lim d f (k )z k ú d = max z k k =0 vi z k = z k +1 z k ằ v cỏch chn k thỡ gii hn ú gi l v gii hn khụng ph thuc vo phộp chia AB tớch ằ v vit phõn hm f(z) dc theo cung AB f (z)dz ằ AB Vi z = x + iy v f (z) = U(x, y) + iV(x, y) ú dz = dx + idy thỡ f (z)dz = U(x, y)dx V(x, y)dy + i V(x, y)dx + U(x, y)dy ằ AB ằ AB ằ AB Do ú cỏch tớnh v cỏc tớnh cht ca tớch phõn hm bin phc hon ton nh tớch phõn ng loi Vớ d: Tớnh z z = (z dz z0 )n vi n  Nu cú hm F(z) tha F(z) = f (z) thỡ ằ z AB z=B f (z)dz = F(z) z = A = F(B) F(A) ằ AB II nh lý Cụsi:Nu hm f(z) gii tớch G cú biờn L(trn) thỡ ẹ f (z)dz = L III Cụng thc tớch phõn Cụsi : Nu hm f(z) gii tớch G cú biờn L(trn) v z G thỡ f (z) z zo dz = f (zo ) 2i ẹ L Chng minh : Ta cú f (z) f (z) f (z o ) dz dz = dz + f (z ) o z zo z zo ẹ z zo 2i ẹ 2i ẹ 2i L L L mt khỏc f (z) f (z ) < vỡ f (z) liờn tc ti z , nờn f (z) dz f (z) f (z o ) dz f (z o ) ẹ = dz < ẹ ẹ 2i L z z o 2i z z i z z o o L L tc l f (z) dz = f (z o ) ẹ 2i L z z o Vớ d : a) I = b) I = IV dz z2 z = ẹ ẹ z = z zdz +9 Tớch phõn loi Cụsi :Gi s L l ng cong trn tng khỳc f(z) liờn tc trờn L,khi ú f ( ) d c gi l tớch phõn loi Cụsi z L z L thỡ F(z) = f ( ) d gii tớch D khụng z L nh lý : Cho f(z) liờn tc trờn L,khi ú F(z) = cha L (n) v F (z) = n! f ( ) d 2i L ( z) n +1 c bit L l ng cong kớn, t cụng thc tớch phõn cụ si ta cú f (n) (z) = n! f ( ) d ẹ 2i L ( z) n +1 Vớ d : a) I = b) I = cos z ẹ z = (z 1) (z 5) dz dz ẹ (z2 1)3 z =1 Đ4: CHUI TAYLOR-LAURENT I Chui Taylor: Mi hm f(z) gii tớch ti z = a luụn biu din di dng f (z) = f (n) (a) n n! ( z a ) n Khai trin Taylor ca mt s hm s cp c bn ti z = z 2n +1 a) sin z = (1) ( 2n + 1) ! n =0 n z 2n b) cos z = ( 1) ( 2n ) ! n =0 z c) e = n zn n = n! ix c bit z = ix ta cú e = 2n 2n +1 (ix) n n z n z = ( 1) + i ( 1) ( 2n ) ! n ( 2n + 1) ! n = n! n =0 =0 eix = cos x + isin x (Cụng thc Euler) v II Chui Laurent: nh lý v nh ngha : Hm f(z) gii tớch G = { r < z a < R} ; z G thỡ luụn cú f (z) = n = cn ( z a ) Khai trin ú gi l chui Laurent ca f(z) n ti tõm z = a ú cn ( z a ) gi l phn u n =0 n n =1 c n ( z a) n gi l phn chớnh Chng minh : Theo tớch phõn Cụsi f (z) = f ( ) f ( ) f () d = d d ẹ ẹ ẹ 2i C z 2i L z 2i L z ú L1 v L l hai ng trũn tõm z = a G,sao cho gii hn bi L1 v L cha z Ta cú 1 = z ( a) (z a) vi L a > z a ; (z a) n = ( a) (z a) n = ( a) n +1 f ( ) f ()d d = (z a) n (1) ẹ ẹ n + 2i L z n = 2i L ( a) 2 f ( ) f ()d d = ( a) n (2) Tng t vi L1 ẹ ẹ n + 2i L z n = 2i L (z a) 1 Trong (2) t n + = k f ()d f ()d n (z a) n (z a) + ẹ ẹ ẹ n + n + 2i L ( a) 2i L ( a) n = L2 n =1 tớch phõn trờn L1 v L khụng ph thuc vo ng ly tớch phõn Nờn ta t cn = III f ()d vi n = 0, 1, 2, 3, ú l iu phi chng minh ẹ 2i L ( a) n +1 PHN LOI IM BT THNG 1) Khụng im: z = a c gi l khụng im ca f(z) nu f (a) = im z = a c gi l khụng im cp m ca f(z) nu: f (z) = (z a) m (z) ú (a) v gii tớch ti z = a 2) nh ngha: z = a c gi l im bt thng cụ lp ca hm f(z) nu lõn cn ca z = a ch cú nht a l im bt thng ca f(z) Gi s z = a l im bt thng cụ lp ca hm f(z) lim f (z) = A thỡ z = a gi l im bt thng b c z a Nu phn chớnh ca khai trin Laurent ti z = a ch cú hu hn s hng tc l n =1 c n ( z a) n = cm ( z a) m + c m +1 ( z a) m + + c ú c m thỡ z = a za c gi l cc im cp m Nu phn chớnh ca khai trin Laurent ti z = a cú vụ s s hng thỡ z = a c gi l im bt thng ct yu 3) nh lý : Cho f (z) = f1 (z) ú f (z) nhn z = a l khụng im cp m v f (z) f1 (a) Thỡ f(z) nhn z = a l cc im cp m Đ5:THNG D V NG DNG I THNG D 1) nh ngha 1: Cho z l im bt thng cụ lp ca hm f(z) thỡ 2i ẹ f (z)dz z zo = r khụng ph thuc vo ng ly tớch phõn.Nờn ta gi 2i ẹ z zo = r f (z)dz l thng d ca f(z) ti z Ký hiu Res [ f (z),z o ] = 2i ẹ f (z)dz z zo = r 2) nh ngha 2:ta gi thng d ca hm f (z) ti z = (nu nú khụng l gii hn ca im bt thng cụ lp z ) Res [ f (z), ] = 2i ẹ f (z)dz tớch phõn ly theo ly theo chiu thun chiu kim ng C h Trong ú gii hn bi C cha mi im bt thng ca hm s f (z) M Gi s f (z) cú { a k } k =1 l cỏc im bt thng cụ lp (k c z = nu nú khụng l gii hn ca im bt thng cụ lp no c).Khi ú Res [ f (z), ] + M k =1 Res [ f (z),a k ] = 3) Cụng thc tớnh : Ta ó cú cn = f ()d ( z )n +1 vi n = 0, 1, 2, 3, Khi 2i ẹ L n = c1 = f (z)dz ú c1 l h s khai trin Laurent ti z0 2i ẹ L 4) Cỏch tớnh thng d: a) Thng d cc im cp m : Res [ f (z),a ] = (m 1) lim (z a) m f (z) (m 1)! z a 10 4) Tớnh tr :Cho hm f (t) thỡ hm (t a)f (t a) gi l hm tr ca f (t) vi a>0 v f (t) Ô F(p) thỡ (t a)f (t a) Ô e pa F(p) 5) Hm xung v biu din hm qua hm (t) :Hm xung l hm cú dng (t) f (t) = a < t < b t (a,b) ú ta cú f (t) = (t a)(t) (t b)(t) T 6) nh ca hm tun hon:Cho f (t) = f (t + T) thỡ + ta cú f (t) Ô e pt f (t)dt = o =e pT + e pt f (t + T)dt = e pT o + e f (t) Ô pu e pt f (t)dt epT f (u)du T T T + pu pT pu pu e f (u)du e f (u)du ữ = e F(p) e f (u)du = F(p) ữ 0 T F(p) = e pu f (u)du e pT V D:Tỡm nh ca hm f (t) = sin t 7) o hm ca hm gc: cho f (t) Ô F(p) Tỡm nh ca hm f (k) (t) vi k = ta cú f (t) Ô + e pt f (t)dt = e pt f (t) + +p + e pt f (t)dt = pF(p) f (0) vi k = thỡ f (t) Ô p [ pF(p) f (0) ] = p F(p) pf (0) f (0) vy f (k) (t) Ô p k F(p) p k 1f (0) p k 2f (0) pf (k 2) (0) f (k 1) (0) t 8) Tớch phõn hm gc : cho f (t) Ô F(p) Tỡm nh ca hm f (u)du 16 t Chng minh : Gi s f (u)du = (t) v (t) Ô (p) Khi ú (t) Ô p(p) (0) nhng (0) = Mt khỏc (t) = f (t) ,nờn (p) = F(p) p 9) o hm hm nh: cho f (t) Ô F(p) Tỡm gc ca F(k) (p) Chng minh:Ta ó cú F(p) = + tf (t)dt tf (t) Ô F(p) nờn tip tc ly o hm theo p hai v ta c F(p) = + (t) f (t)dt ,tc l ( t) f (t) Ô F(p) F(k) (p) Ô ( t)k f (t) 10) Tớch phõn hm nh : cho f (t) Ô F(p) Tỡm gc ca F(u)du (nu hi t) p Chng minh: Ta cú + e ut p + + + f (t) pt f (t) ut f (t)dt du = f (t)dt e du = e dt F(u)du Ô t t p p + 11) Tớch chp v nh ca nú : Cho hai hm f (t) v g(t) thỡ f (u)g(t u)du c gi l tớch chp ca hai hm f (t) v g(t) Ký hiu : f g = + f (u)g(t u)du LU í: f g = gf 17 Nu f (t) v g(t) l hai hm gc thỡ + t f (u)g(t u)du = f (u)g(t u)du v vi f (t) Ô F(p) v g(t) Ô G(p) thỡ f g Ô F(p)G(p) Chng minh:Ta cú f g Ô + (f g)e pt dt = + t + + pt pt f (u)g(t u)du e dt = g(t u)e dt f (u)du u t t u = v thỡ + + g(v)e p(u + v) + + pv dv f (u)du = g(v)e dv e pu f (u)du = F(p)G(p) 0 12) Cụng thc Duyhammen:Cho f (t) Ô F(p) v g(t) Ô G(p) thỡ pF(p)G(p) = p [ F(p) f (0) ] G(p) + f (0)G(p) Ô f (0)g(t) + f g hoc pF(p)G(p) = p [ G(p) g(0) ] F(p) + f (0)F(p) Ô f (0)f (t) + g f (t) 13) iu kin mt hm l nh ca mt hm gc nh lý : Gi s hm F(p) l hm bin phc tha Gii tớch na mt phng Re p > so F(p) = plim a + i F(p)dp hi t tuyt i vi Re p a > so a i a + i F(p)e pt dp Khi ú F(p) l nh ca hm gc f (t) v f (t) c xỏc nh f (t) = 2i a i 14) Cụng thc tỡm hm gc ca mt phõn thc thc s 18 Cho F(p) = A(p) (ti gin).Gi s a k (k = 1,M) l cỏc cc im ca F(p) thỡ F(p) l B(p) nh M pt ca hm gc f (t) v f (t) = R esF(p)e ,p = a k k =1 III ng dng gii phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh h s hng s: Cho phng trỡnh a o x (n) + a1x (n 1) + a x (n 2) + a x (n 3) + + a n 1x + a n x = f(t) tha iu kin x (k) (0) = x k vi k = 0,n Cỏch gii : Gi s x Ô X thay x (k) B p k X p k 1x o p k x1 px k x k v f(t) Ô F(p) Qua ú ta tớnh c X = A(p) T õy ta tỡm c x(t) B(p) Chỳ ý: i vi h phng trỡnh ta cng lm tng t V D: a) y + (t + 1)y + ty = y(0) = 1; y(0) = b) Gii h phng trỡnh x 3x 4y + = y + x + y = vi iu kin x(0) = x (0) = y(0) = y(0) = Đ2:PHẫP BIN I FOURIER I Nhc li mt s v chui Fourier ao + a n cos nx + b n sin nx Cho hm f(x) tun hon chu k thỡ luụn cú f(x) = n =1 ú: 19 a o = f(x)dx a n = f(x)cosxdx vi n = 1,2,3 b n = f(x)sinnxdx vi n = 1,2,3 Khi f(x) tun hon chu k 2l thỡ luụn cú f(x) = ao n n + a n cos x + b n sin x n =1 l l ú cỏc h s c xỏc nh l a o = f(x)dx l l l n a n = f(x)cos xdx vi n = 1,2,3 l l l l n b n = f(x)sin xdx vi n = 1,2,3 l l l Nu hm f(x) l hm chn thỡ b n = vi n = 1,2,3 cũn hm f(x) l hm l thỡ a n = vi n = 0,1,2,3 II Phộp bin i Fourier 1) nh lý : Hm f(x) kh tớch trờn R v tha iu kin irichlet thỡ + + f(x) = d f (t)cos (t x)dt (1) Ta cú f (t)cos (t x) l hm chn theo v f (t)sin (t x) l theo nờn + + + + 1 f(x) = d f (t) [ cos (t x) isin (t x) ] dt = d f (t)e i (t x)dt (2) 20 Khi ú (1) v (2) c gi l cụng thc tớch phõn Fourier thc v phc tng ng,v ta cú + + + + 1 i (t x) ix it d f (t)e dt = e f (t)e dt d 2) nh ngha : Ta gi + f (t)e it dt l bin i Fourier ca hm f(x) a) f$() = + f$()eix d l bin i Fourier ngc ca hm f(x) b) f(x) = Nu f(x) l hm chn thỡ f(x) = = V f$() = cũn f(x) = + + d f (t) [ cos t cos x sin t sin x ] dt + + cos x f (t)cos tdt d + f (t)cos t dt gi l bin i Fourier theo cosin + f$()cos xd gi l bin i Fourier ngc theo cosin Cũn f(x) l hm l tng t ta cú f$() = v f(x) = + f (t)sin tdt gi l bin i Fourier theo sin + f$()sin x d gi l bin i Fourier ngc theo sin LU í : a) Cỏc nh ngha trờn cú ý ngha thun tỳy toỏn hc 21 b) Nu hm x(t) l hm dng súng theo bin thi gian t (vi tn s f),t = 2f + + + + i t i u i2ft i2 fu x(t) = e x(u)e du d = e x(u)e du df thỡ ta cú c) Trong k thut thỡ ngi ta nh ngha : )= X(f + x(u)e i2 fu du l bin i Fourier ca hm x(t) x(t) = + )e X(f i2 ft du l bin i Fourier ngc ca hm x(t) Ký hiu : F{ f (x)} = f () { l bin i Fourier thun hoc f(x) Ô f$() } F f () = f (x) l bin i Fourier ngc t d) Hm Dirac (t) = t = + ú l hm chn v tha (t)dt =1 + Vi mi hm f (t) liờn tc ti luụn cú f (t)(t)dt = f (0) Khi ú (t) Ô + (t)e i2 ft dt = F { 1} + = ei2 ft df v (at) = (t) vi a a V D: a) Tỡm hm f (t) chn tha + f (x)cos tdt = > 22 + Qua ú tớnh tớch phõn I = sin x x2 Chng minh:Ta cú f (x) = + + 0 dx f (x)cos tdt cos xd = (1 )cos xd =1 sin x sin x cos x cos x = = ữ x x x = x2 + T ( cos x ) cos xdx = x2 + > x ữ cos xd x = ữ 2 x ữ + sin 2 sin u u2 cos 2udu = Vi = thỡ I = > > b) Tỡm hm l f (t) tha + Do hm l nờn f (t) = t < f (u)sin(ut)du = t t + + f (u)sin udu sin td f (t) = sin td + sin td ữ = ( cos t 2coss2t ) v ữ t c) T bin i Fourier ca f(x) = e x + vi x Tớnh I = x sin mx x2 + dx 23 Chng minh:Thỏc trin hm f(x) = e x thnh hm l,khi ú bin i Fourier l ) = X( + + u u e sin udu = e sin u e cosu e u sin udu ữ = ữ +1 u =0 u =0 u Ta cú f(x) = + + )sin xd l bin i Fourier ngc ca f(x) = e x nờn X( sin x d = +1 + sin x + d = e x I= + .e m dx = x2 + x sin mx 3) Cỏc tớnh cht (trong k thut): ) v F{ y(t)} = Y(f ) vi ; = cosnt thỡ a) Tuyn tớnh : Cho F{ x(t)} = X(f ) + Y(f ) F{ x(t) + y(t)} = X(f f ) thỡ F{ x(at)} = X b) ng dng : Cho F{ x(t)} = X(f ữ a a )= T X(f + x(u)e i2 fu du F{ x(at)} = + x(au)e i2 fu + f + f i2 v f ) a > a du = X( du = x(v)e a a a Khi a < ta cú kt qu F{ x(at)} = + x(au)e i2 fu i2 v f) a du = X( du = x(v)e a a a Tng hp ta cú F{ x(at)} = f X ữ a a ) thỡ F{ x(t t )} = e i2 t o X(f ) c) Tr : Cho F{ x(t)} = X(f { } f ) ) thỡ F ei2 fo t x(t) = X(f d) Dch chuyn nh : Cho F{ x(t)} = X(f 24 ) thỡ e) iu ch:Cho F{ x(t)} = X(f à + f ) F{ x(t)cos(i2f t)} = X(f f ) + X(f { } ) ) thỡ F x (k) (t) = (i2f ) k X(f f) o hm ca hm gc: Cho F{ x(t)} = X(f Chng minh: vi k = thỡ x (t) = + )e (i2f )X(f i2 ft vi k = thỡ x (t) = + (i2f ) ) df tc l F{ x (t)} = (i2f )X(f 2à ) Qua ú ta X(f )ei2ft df tc l F{ x (t)} = (i2f ) X(f c diu phi chng minh { } (n) (f ) ) thỡ F t n x(t) = (i2) n X g) o hm hm nh : Cho F{ x(t)} = X(f (k) (f ) = Vỡ X + (i2u) k { { } (n) (f ) hay x(u)e i2fu du tc l F (i2t) n x(t) = X } (n) (f ) F t n x(t) = (i2) n X ) v F{ y(t)} = Y(f ) thỡ F{ x y} = X(f )Y(f ) h) Tớch chp: Cho F{ x(t)} = X(f Chng minh: Ta cú F{ x y} = + + i2ft x(u)y(t u)du dt e + + + + i2 ft i2 fu )Y(f ) = x(u) y(t u)e dt du = x(u)e du y(v)e i2fv dv = X(f III Bin i Fourier hu hn n =+ Cho dóy s { x(n)} n = Bin i Fourier hu hn ca nú c xỏc nh 25 )= X(f n =+ x(n)e i2nf (khi chui v phi hi t) n = ) kớ hiu: F{ x(n)} = X(f )ei2 nf df V cụng thc bin i ngc l x(n) = X(f )ei2 fn df ta cú x(n) = Nu t = 2f thỡ t x(n) = X(f 2 )e X( in d n =+ iu kin dóy tớn hiu ri rc { x(n)} n = cú bin i Fourier hu hn l: n = x(n) < (tc l chui hi t) n = ) v F{ y(n)} = Y(f ) Tớnh cht: Cho F{ x(n)} = X(f ) + Y(f ) 1) Tuyn tớnh: F{ x(n) + y(n)} = X(f ) 2) Tr : F{ x(n n o )} = ei2n o f X(f { } i2 n f f ) 3) Dch chuyn nh: F e o x(n) = X(f o IV Bin i Fourier ri rc: Khi cỏc hm s biu din cho cỏc tớn hiu thỡ bin i Fourier ca chỳng c gi l biu din ph.Vic tớnh toỏn bin i Fourier da vo mỏy tớnh phi c ri rc húa bng cỏch chn mt s hu hn cỏc giỏ tr mu theo thi gian v ph cng nhn c ti mt s hu hn cỏc tn cú s 1) nh ngha: Cho dóy s x(n) xỏc nh vi n { 0, 1, 2, 3, ,N-1} 26 Chui Fourier ri rc ca dóy x(n) c xỏc nh X(k) = N x(n)e i2 kn N ú k Z n =0 t W= i2 eN Khi ú X(k) = N x(n)W kn v n =0 a) W mN = v W mN + n = W n Chng t W tun hon chu k N N b) W kn k =0 N W kn = N n = l N ( l Ơ ) = nu n l N v k =0 N Vỡ n l N thỡ W n v W Nn = nờn W kn = k =0 Cũn n = l N thỡ W = nờn n ( ) Wn 1-W n N =0 N 1= N k =0 2) nh ngha:Bin i Fourier ri rc ca dóy tớn hiu tun hon chu k N c xỏc nh : X(k) = N x(m)W mk m =0 vi k = 0, N-1 T nh ngha ta thy a) X(k + mN) = X(k) Chng t X(k) l hm tun hon chu k N b) Bin i Fourier ri rc ca dóy tớn hiu x(n) l kt qu mt chu k ca chui Fourier ri rc 27 3) nh lý:Vi mi dóy tớn hiu x(n) tun hon chu k N,thỡ N x(n) = X(k)W nk c gi l bin i Fourier ngc ca dóy tớn hiu x(n) tun N k =0 hon chu k N Chng minh: Tht vy: N N N 1 N N nk mk nk k(n m) X(k)W = x(m)W W = x(m)W ữ ữ ữ ữ N k =0 N k = m = N k = m = N N k(m n) 1 N k(n n) = x(m) W = x(n) W = x(n) m , n N ữ ữ N N m =0 k =0 k =0 VD:Cho dóy tớn hiu x(n) tun hon chu k N chn tha x(n) = x(n + N/2) CMR bin i Fourier ri rc X(k) ca dóy x(n) tha X(k) =0 = Chng minh:Ta cú X(k) N x(n)W kn n =0 = N + N m= N N k km x(m)W W = N + N m= N N = x(n + N / 2)W kn n =0 x(m)W km = X(k) T ú X(k) =0 V QUAN H GIA PHẫP BIN I LAPLACE V FOURIER nh lý : Gi s hm F(p) l hm bin phc tha 28 Gii tớch na mt phng Re p > so F(p) = plim a + i F(p)dp hi t tuyt i vi Re p a > so a i a + i F(p)e pt dp Khi ú F(p) l nh ca hm gc f (t) v f (t) c xỏc nh f (t) = 2i a i Cho mt hm f (t) tha cỏc iu kin ca mt hm gc phộp bin i Laplace, f (t) cú nh Fourier thỡ f (t) kh tớch trờn Ă Tc f (t) < Met ( < 0) a + i i 1 e pt F(p)dp Do < chn a = , nờn f (t) = e pt F(p)dp Ta ó cú f (t) = 2i a i 2i i + $ ) , hay ta vit li eit F(i)d ú F(i) = F( t p = i thỡ f (t) = + + i t i u f (t) = f (u)e du e d c bit = 2f : x(t) = + + i2ft i2 fu x(u)e du d e $ ) vi p = i Nh vy :vi F(p) Ô f (t) thỡ F(p) = F( Vớ d: Tỡm bin i Fourier ca hm (t 1) t > x(t) = < t < Chng minh: 29 Theo Laplace: x(t) = (t 1)(t 1) 2e p p3 = 2e i (i)3 = 2i 2Ô 2e p p3 vi p = i thỡ cos isin Mt khỏc $ ) = F( + t =+ (t 1) e it 2(t 1)e it 2e it 2e i it (t 1) e dt = = i (i) (i)3 t =1 (i)3 30