b Chứng minh PX là một σ-đại số trên X.. c Cho một ví dụ về σ-đại số trên X khác với 2 câu trên.. Chứng minh rằng T i∈I Mi là một σ-đại số trên X.. Bài 6 Cho X là một không gian đo được
Trang 1A Bài tập phần độ đo
Bài 1 Cho X là 1 tập khác rỗng
a) Chứng minh {∅, X} là một σ-đại số trên X
b) Chứng minh P(X) là một σ-đại số trên X
c) Cho một ví dụ về σ-đại số trên X khác với 2 câu trên
Bài 2 Cho X là một tập khác rỗng và {Mi}i∈I là một họ các σ-đại số trên X Chứng minh rằng T
i∈I
Mi là một σ-đại số trên X
Định nghĩa: Cho X là tập khác rỗng và M ⊂ P(X) Ta nói giao của tất cả các σ-đại số trên
X chứa M là một σ-đại số sinh bởi M và kí hiệu là σ(M)
Bài 3 Chứng minh rằng:
a) Nếu M là một σ-đại số thì σ(M) = M
b) Tìm σ(M) với M = {∅} và M = {K}
c) Nếu M1 ⊂ M2 ⊂ σ(M1) thì σ(M2) = σ(M2)
Bài 4 Cho ε là một σ-đại số trên X và X0 ⊂ X
a) Chứng minh rằng M1 = {A ∩ X0|A ∈ ε} là một σ-đại số trên X0
b) Chứng minh rằng nếu ε = σ(M) thì M1 = σ(M0) khi M0 = {A ∩ X0|A ∈ M}
Bài 5 Cho X là một tập khác rỗng và ε là một σ-đại số lớn nhất trên X Đặt µ(A) = |A| (bản
số của A, cardinal of A) Lúc đó µ có là độ đo dương trên ε hay không?
Bài 6 Cho X là một không gian đo được với σ-đại số ε và µ là độ đo dương trên ε, A là một phần tử của ε Ta đặt M = {A ∩ N : N ∈ ε} và µ1(K) = µ(K) với mọi K ∈ M
Chứng minh rằng: (A, M, µ1) là một không gian đo được
Trang 2Bài 7 Cho X là một tập khác rỗng và x ∈ X Với mỗi A ∈ P(X) ta được
δx(A) =
1 nếu x ∈ A
0 nếu x /∈ A Chứng minh δx(A) là độ đo dương
Bài 8 Cho X là không gian đo được với σ-đại số ε và độ đo dương µ A và B là các phần tử của ε sao cho A ⊂ B Chứng minh rằng µ(A)6 µ(B)
Bài 9 Cho (X, ε, µ) là một không gian đo được và f là một song ánh từ X vào Y Ta đặt
M= {f (B) : B ∈ ε} và µ1(A) = µ(f−1(A)), ∀A ∈ M
Chứng minh (Y, M, µ1) là một không gian đo được
Bài 10 Cho (X, ε, µ) là một không gian đo được và {Bn}n∈N⊂ ε thoả mãn
B1 ⊂ B2 ⊂ ⊂ Bn⊂ Chứng minh
µ
+∞
[
k=1
Bk
!
= lim
n→+∞µ(Bn)
Bài 11 Cho X = N và đặt Ck = {m 6 k : m ∈ N} với mọi k 6 1 Khi đó đẳng thức µ
+∞
T
k=1
Ck
= lim
n→+∞µ(Cn) có đúng không? Vì sao?
Bài 12 Cho (X.ε, µ) là một không gian đo được và {Dn} ⊂ ε thoả mãn µ(D1) < +∞ và
D1 ⊃ D2 ⊃ ⊃ Dm Chứng minh
µ
+∞
\
k=1
Dk
!
= lim
n→+∞µ(Dn)
Bài 13 Chứng minh mọi hàm đơn đều là ánh xạ đo được
Bài 14 Cho (X, ε, µ) là một không gian đo được và f là một ánh xạ đo được trên (X, ε) Giả
sử f (x) là một tập hữu hạn các phần tử trong R Chứng minh f là một hàm đơn
Bài 15 Cho (X, ε) là một không gian đo được và fm là một dãy các ánh xạ đo được trên (X, ε)
trên R Chứng minh các ánh xạ
g(x) = sup
m>1
fm(x), h(x) = inf
m>1fm(x) và u(x) = lim
m→∞inf fm(x) đo được
Trang 3Bài 16 Cho f là một hàm đo được Chứng minh rằng |f |, f+, f− đo được.
Bài 17 Chứng minh mọi hàm liên tục hầu khắp nơi trên R đều đo được
Bài 18 Cho f là hàm đo được và g là hàm liên tục trên R Chứng minh g ◦ f là hàm đo được Bài 19 Cho ánh xạ
f (x) =
x−3 nếu x 6= 0
0 nếu x = 0
và g(x) =
(x − 1)−1 nếu x 6= 1
−∞ nếu x = 1
có là ánh xạ đo được trên (R, B) không?
Chú ý: B là σ-đại số Borel trên R gồm các khoảng mở trong R
Bài 20 Cho (X, ε, µ) là một không gian đo được và f là một ánh xạ đo được từ (X, ε) vào [0; ∞] Chứng minh có một dãy các hàm đơn {sm} trên X sao cho
i) 0 6 s1(x) 6 s2(x) 6 6 f (x), ∀x ∈ X
ii) sm(x) → f (x), ∀x ∈ X
Trang 4Bài tập phần lý thuyết tích phân
Bài 1 Phát biểu và chứng minh định lý Hội tụ đơn điệu
Bài 2 Phát biểu và chứng minh định lý Hội tụ bị chận
Bài 3 Phát biểu và chứng minh Bổ đề Fatou
Định nghĩa: Cho (X, ε, µ) là một không gian đo được và một tính chất P = {P (x) : x ∈ X}
Ta nói P đúng hầu khắp nơi trên X theo độ đo µ( viết là µ − h.k.n hay h.k.n trên X), nếu có một tập A ∈ ε và µ(A) = 0 sao cho P (x) đúng với mọi x ∈ X\A
Ví dụ: Ta có f = g h.k.n nếu tập A = {x ∈ X : f (x) 6= g(x)} có µ(A) = 0
Bài 4 Chứng minh (L1(X, µ) , k.k) là một không gian Banach Trong đó
kf k1 =
Z
X
|f |dµ , ∀f ∈ L1(X, µ) Bài 5 Cho (X, ε, µ) làm một không gian đo được, A ∈ ε và {λm} là các hàm đo được không
âm Chứng minh rằng
Z
A
+∞
X
m=1
λmdµ =
+∞
X
m=1
Z
A
λmdµ
Bài 6 Cho f là một hàm số đo được và g là một hàm số khả tích trên không gian đo được (X, ε, µ) Giải sử |f | ≤ g Chứng minh f là một hàm số khả tích trên X
Bài 7 Cho f là một hàm khả tích không âm trên R Đặt K = {x ∈ K : f (x) < +∞} Chứng minh rằng tập R\A có độ đo không
Bài 8 Cho hàm số f : [0; 1] → R với f (0) = 0 và f (x) = x−1 khi x > 0 Chứng minh rằng f khả tích trên [0; 1] và tính
1
R
0
f (x)dx
Bài 9 Cho dãy {fm} các hàm số không âm và khả tích Lebesgue trên R và thoả mãn
+∞
P
m=1
R
R
fmdx
hội tụ trong R Chứng minh rằng
+∞
P
m=1
fm khả tích Lebesgue trên R và Z
R
+∞
X
m=1
fmdx =
+∞
X
m=1
Z
R
fmdx
Trang 5Bài 10 Cho hàm số g : Rd× (a; b) → R (d ∈ R) và giả sử rằng
i) Với mỗi y ∈ (a; b) thì hàm số x 7→ g(x, y) khả tích Ledesgue trên Rd;
ii) Tồn tại hàm số ϕ : Rs→ R sao cho ϕ(x) = lim
y→b −g(x, y), với mọi x ∈ Rd; iii) Tồn tại số thực dương M sao cho với mọi y ∈ (a; b) thì
Z
Rd
g(x, y)dx 6 M ;
iv) g(x, y1) ≤ g(x, y2) nếu y1 ≤ y2, với mọi x ∈ Rd và
lim
y→b −
Z
Rd
g(x, y)dx =
Z
Rd
ϕ(x)dx
Bài 11 Cho hàm số f : Rd× (a; b) → R, yo ∈ [a; b] và giả sử rằng
i) Với mỗi y ∈ (a; b), hàm số x 7→ f (x, y) đo được trên R;
ii) Tồn tại g : Rd → R khả tích Lebesgue và thoả mãn với mọi y ∈ (a; b), |f(x, y)| ≤ g(x), với mọi x ∈ Rd;
iii) Tồn tại hàm ϕ : Rd → R sao cho ϕ(x) = lim
y→y 0f (x, y), với mọi x ∈ Rd Chứng tỏ rằng ϕ khả tích Lebesgue trên Rd và
lim
y→y 0
Z
Rd
f (x, y) =
Z
Rd
ϕ(x)d(x)
Bài 12 Cho hàm số g : Rd× (a; b) → R và giả sử rằng
i) Với mỗi y ∈ (a; b), hàm số y 7→ g(x, y) khả tích Lebesgue trên Rd;
ii) Với mỗi x ∈ Rd, hàm số y 7→ g(x, y) khả vi trên (a; b);
iii) Tồn tại hàm số ϕ : Rd→ R khả tích Lebesgue sao cho
∂
∂yg(x, y)
6 ϕ(x) , với mọi (x, y) ∈ Rd× (a; b)
Trang 6Chứng tỏ rằng hàm số y 7→ G =
Rd
g(x, y)dx khả vi trên (a; b) và
d
dyG(y) =
Z
Rd
∂
∂yg(x, y)dx.
Bài 13 Cho số thực α > 1 và hàm số f đo được trên R thoả mãn
|f (x)| ≤ 1
1 + |x|α h.k.n trên R Chứng minh rằng f khả tích Lebesgue trên R
Bài 14 Cho 0 < α < 1 và hàm số f đo được trên đoạn [a; b] Cho x0 ∈ (a; b) và giả sử tồn tại
số thực dương M sao cho
|f (x)| ≤ M
|x − x0|α ∀x ∈ [a; b] · Chứng ming rằng f khả tích Lebesgue trên [a; b]
Bài 15 Chứng minh rằng hàm đo được f trên đoạn [−a; a] (a > 0) thoả mãn
|f (x)| ≤ 3
2|x|α h.k.n trên [−a; a]
không khả tích Lebesgue trên [−a; a] khi α ≥ 1
Bài 16 Chứng tỏ rằng hàm số
f (x) =
sin x
x nếu x > 0
1 nếu x = 0 không khả tích Lebesgue trên [0; +∞)
Bài 17 Chứng minh các hàm số sau khả tích trên tập xác định tương ứng
a) f (x) = sin x
x
2
, x ∈ R
b) f (x) = e−k|x|, x ∈ R và k > 0
c) f (x) = x−α, x ∈ (1; +∞) và α > 1
Trang 7Bài 18 Các hàm số sau đây có khả tích Lebesgue trên miền xác định tương ứng hay không?
Vì sao?
a) f (x) = 1, x ∈ (0; +∞)
b) f (x) = x, x ∈ [−1; 1)
c) f (x) = e
x
√
x, x ∈ (0; 1).
d) f (x) = e−x, x ∈ (0; +∞)
e) f (x) = e−x2, x ∈ R
f) f (x) =√
x, x ∈ (0; +∞)
g) f (x) = √31
x2, x ∈ (1; +∞)
h) f (x) = 1
x√
x, x ∈ (0; +∞).
i) f (x) = x cos4x, x ∈ (1; +∞)
j) f (x) = 3 −cos x
x , x ∈ (1; +∞).
k) f (x) = χ(0;1)(x) ·√1
x + χ[1;+∞)(x) · x, x ∈ (0; +∞).
Bài 19 Tính các tính phân sau dưới dạng chuỗi số:
a)
1
R
0
ex− 1
x dx.
b)
1
R
0
sin x
x dx.
Bài 20 Chứng minh các hàm số sau liên tục:
a) A(t) =
1
R
0
sin(tx(s))ds, với s 7→ x(s) là hàm đo được trên (0; 1)
b) B(t) =
1
R
0
x(s) sin(ts)ds, với s 7→ x(s) là hàm khả tích Lebesgue trên (0; 1)
Trang 8c) C(t) =
+∞
R
0
x(s) sin(ts)ds, với s 7→ x(s) khả tích Lebesgue trên (0; +∞)
Bài 21 Cho f khả tích Lebesgue trên R Đặt bf (t) =
+∞
R
−∞f (x) exp {−itx} dx, t ∈ R Chứng minh rằng
a) t 7→ bf (t) là hàm liên tục trên R
b) lim
t→+∞f (t) = limb
t→−∞f (t) = 0.b
...Bài 13 Cho số thực α > hàm số f đo R thoả mãn
|f (x)| ≤ 1
1 + |x|α h.k.n R Chứng minh f khả tích Lebesgue R
Bài 14 Cho < α < hàm số f đo. ..
Bài 15 Chứng minh hàm đo f đo? ??n [−a; a] (a > 0) thoả mãn
|f (x)| ≤ 3
2|x|α h.k.n [−a; a]
không khả tích Lebesgue [−a; a] α ≥
Bài 16...
sin x
x nếu x > 0
1 x = khơng khả tích Lebesgue [0; +∞)
Bài 17 Chứng minh hàm số sau khả tích tập xác định tương ứng
a) f (x) = sin x
x
2