Phương trình truyền nhiệt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC MẬU PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT VỚI LÝ THUYẾT NỬA NHÓM VÀ CHUYỂN ĐỘNG BROWN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Lý thuyết nửa nhóm phương trình truyền nhiệt 1.1 Hàm mũ toán tử tuyến tính bị chặn không gian Banach 1.1.1 Ý tưởng 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Các tính chất 1.1.4 Phương trình 1.1.5 Phương trình không 1.2 Khái niệm nửa nhóm 1.2.1 Định nghĩa Các ví dụ 1.2.2 Toán tử sinh 1.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt nửa nhóm 1.3.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 1.3.2 Nửa nhóm toán truyền nhiệt 1.3.3 Định lí Hille - Yosida với nửa nhóm truyền nhiệt 1.3.4 Toán tử sinh nửa nhóm truyền nhiệt Chuyển động Brown 2.1 Khái niệm chuyển động Brown 2.1.1 Quá trình Markov 2.1.2 Ví dụ 2.2 Mối quan hệ chuyển động Brown với lý nhóm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên thuyết nửa http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 6 9 10 22 22 24 26 30 34 34 34 36 36 2.2.1 2.2.2 Chuyển động Brown sinh nửa nhóm co Điều kiện để chuyển động Brown sinh nửa nhóm truyền nhiệt 36 39 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết nửa nhóm toán tử tuyến tính không gian Banach xuất đầu kỉ XX phát triển mạnh vào năm 1948 với định lý sinh Hille – Yosida, đạt tới hoàn chỉnh vào năm 1957 với đời “ Semigroups and Functional Analysis” E Hille R S Philips Vào năm thập kỉ 70, 80 kỉ XX nhờ vào cố gắng nghiên cứu nhiều trường Đại học nhiều trung tâm nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm đạt tới trạng thái hoàn hảo Lý thuyết nửa nhóm trở thành công cụ quan trọng toán học nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình hàm, vật lí lượng tử, học Trong Luận văn xin trình bày ứng dụng lý thuyết nửa nhóm vào phương trình truyền nhiệt chuyển động Brown dựa tài liệu [1] Cấu trúc đề tài gồm hai chương: Chương I: Lý thuyết nửa nhóm phương trình truyền nhiệt Trong phần giới thiệu kiến thức chuẩn bị : Hàm mũ tính chất hàm mũ, biểu diễn nghiệm tổng quát phương trình phương trình không qua hàm mũ Khái niệm nửa nhóm liên tục toán tử, toán tử sinh bổ đề liên quan, trình bày toán Cauchy phương trình truyền nhiệt tìm hàm u(x, t), t > thỏa mãn phương trình truyền nhiệt Chứng minh định lí Hille – Yosida cho toán tử A sinh nửa nhóm co Chương II: Chuyển động Brown Ta biết chuyển động Brown nói riêng trình Markov đóng vai trò quan trọng giải tích ngẫu nhiên Trong phần xét hạt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chuyển động xung quanh tập đo hạt nhớ, hay có tính Markov Biểu diễn mối quan hệ chuyển động Brown với lý thuyết nửa nhóm thông qua Định lí 2.1 Định lí 2.2 Mặc dù cố gắng nhiều trình viết Luận văn trình độ thời gian hạn chế, điều kiện công tác miền núi xa xôi nên không tránh khỏi thiếu sót kiến thức việc sử lí văn Tác giả Luận văn mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp để Luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS.TS.Hà Tiến Ngoạn tận tình giúp đỡ suốt trình làm Luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Trường Đại Học Khoa Học – Đại Học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin trân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tổ Toán – Lí trường THCS Quang Minh – Bắc Quang – Hà Giang tập thể bạn bè đồng nghiệp gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt Luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Đức Mậu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Lý thuyết nửa nhóm phương trình truyền nhiệt 1.1 Hàm mũ toán tử tuyến tính bị chặn không gian Banach 1.1.1 Ý tưởng Xét phương trình : u = au với a ∈ R, (1.1) ẩn hàm u = u(t) hàm số biến số thực t ∈ R Nghiệm tổng quát phương trình u(t) = Ceat , C số thực ∞ a e = k=0 ak a a2 a3 =1+ + + + + k! 2! 3! (1.2) Giả sử U không gian Banach, A ∈ L(U ) không gian toán tử tuyến tính bị chặn U Xuất phát từ (1.2) ta định nghĩa toán tử eA Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho A ∈ L(U ), với L(U) không gian toán tử tuyến tính liên tục bị chặn xác định U Ta định nghĩa ∞ A e = k=0 1.1.3 A A2 A3 Ak =I+ + + + + ∈ L(U ) k! 2! 3! Các tính chất Tính chất 1.1 Mọi A ⊂ L(U ) tồn eA ∈ L(U ) Tính chất 1.2 e0 = I Tính chất 1.3 eI = e.I Tính chất 1.4 eA+B = eA eB , A B giao hoán (A.B=B.A) Chứng minh eA+B = (A + B)k k! k=0 ∞ ∞ = k k! Al B k−l k! l!(k − l)! k=0 l=0 ∞ = l=0 ∞ = ∞ Al B k−l k=1 l!(k − l)! Al ∞ B k−l l! k=l (k − l)! l=0 A B = e e Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.3) Tính chất 1.5 Với A thuộc L(U) tồn (eA )−1 (eA )−1 = e−A Thật : Ta có eA+(−A) = e0 = I suy (eA )−1 = e−A Tính chất 1.6 Xét etA , t ∈ R, ∞ tA e tk Ak k! = k=0 (1.4) Khi etA : R → L(U ) detA = (etA ) = AetA = etA A dt Chuỗi (1.4) hội tụ theo t đoạn hữu hạn Chứng minh(1.5) Chuỗi (1.4) hội tụ theo t ∞ tk Ak k! ∞ = k=0 ∞ k−1 =A k=1 ktk−1 Ak k! k=1 ∞ t Ak−1 =A (k − 1)! (1.5) h=0 th A h h! = AetA = etA A 1.1.4 Phương trình Xét phương trình vi phân u = Au, (1.6) A ∈ L(U ), u = u(t) ẩn hàm nhận giá trị U Định lý 1.1 Nghiệm tổng quát phương trình (1.6) u(t) = eAt C, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.7) http://www.lrc-tnu.edu.vn C ∈ U vectơ Chứng minh a) Giả sử u(t) có dạng (1.7) u (t) = (etA C) = (etA ) C = (AetA ).C = A(etA C) = Au b) Giả sử u(t) nghiệm (1.6) Ta xét hàm số y(t) = e−tA u(t) (1.8) Từ phương trình (1.7) suy y = (e−tA ) u(t) + e−tA u (t) = −e−tA Au(x) + e−tA Au(t) = Suy tồn C ∈ U cho y(t) ≡ C Nhận xét : Xét toán Cauchy u = Au u(t0 ) = u0 Nghiệm toán là: u(t) = e(t−t0 )A u0 = etA (e−t0 A u0 ) 1.1.5 Phương trình không u = A(u) + g(t) (∗) u(t0 ) = u0 Ta giải phương trình phương pháp biến thiên hàm số Xuất phát từ phương trình (1.7) ta tìm nghiệm phương trình (*) dạng u(t) = etA C(t), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.9) http://www.lrc-tnu.edu.vn C(t) hàm số cần tìm Từ phương trình (1.9) suy : u (t) = AetA C(t) + etA C (t) thay vào phương trình (*) : AetA C(t) + etA C (t) = AetA C(t) + g(t) Suy C (t) = e−tA g(t) (1.10) Từ phương trình (1.10) suy C(t) = e−tA g(t)dt + C1 ; C1 ∈ U Nghiệm tổng quát phương trình (*) là: u(t) = etA 1.2 e−tA g(t)dt + C1 (1.11) Khái niệm nửa nhóm 1.2.1 Định nghĩa Các ví dụ Định nghĩa 1.2 Cho B không gian Banach, t > , Tt : B → B toán tử tuyến tính liên tục thỏa mãn: i) T0 = Id; ii) Tt1 +t2 = Tt2 Tt1 ∀t1 , t2 ≥ 0; iii) lim Tt v = Tt0 v với ∀t0 ≥ 0, ∀v ∈ B t→t0 Khi đó, họ {Tt }t≥0 gọi nửa nhóm liên tục toán tử tuyến tính bị chặn Ví dụ 1.1 Cho B không gian Banach hàm bị chặn liên tục [0, ∞), f ∈ Cb0 (R) Cho t ≥ ta đặt Tt f (x) := f (x + t) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... 1.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt nửa nhóm 1.3.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 1.3.2 Nửa nhóm toán truyền nhiệt 1.3.3 Định... trọng toán học nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình hàm, vật lí lượng tử, học Trong Luận văn xin trình bày ứng dụng lý thuyết nửa nhóm vào phương trình truyền nhiệt chuyển động Brown... liên tục toán tử, toán tử sinh bổ đề liên quan, trình bày toán Cauchy phương trình truyền nhiệt tìm hàm u(x, t), t > thỏa mãn phương trình truyền nhiệt Chứng minh định lí Hille – Yosida cho toán