phuong trinh laplace va phuong trinh truyen nhiet
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Khoa Vật lý Bài tập PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT & PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE Biên soạn: Lee Ein Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013 Methods of Mathematical Physics SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 1 Phương trình truyền nhiệt Bài 1: Tìm nhiệt độ ( ) ux,t trên một thanh dẫn nhiệt dài L mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng hai đầu thanh được giữ ở 0 và nhiệt độ ban đầu tại các điểm ( ) Mx trên thanh được cho bởi hàm số ( ) fx với 0xL ££ . Áp dụng kết quả này hãy tìm ( ) ux,t khi biết thanh dài 2 mét với ( ) fxx = khi 0x1 ££ và ( ) fx2x =- khi 1x2 ££ Phương trình truyền nhiệt: 2 2 2 uu a tx ¶¶ = ¶¶ với 0xL t0 ££ ì í ³ î Điều kiện ban đầu: ( ) t0 ufx = = với [ ] x0;L "Î Điều kiện biên: x0xL uu0 == == với t0 "³ Tách biến: ( ) ( ) ( ) ux,tXx.Tt = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 XxTtaXxTt ¢¢¢ Þ= ( ) () ( ) () 2 XxTt const XxaTt ¢¢¢ Þ==-l= ( ) ( ) ()() 2 XxXx0 (1) TtaTt0 (2) ¢¢ ì +l= ï Þ í ¢ +l= ï î Điều kiện biên: ( ) ( ) X0XL0 == (3) Giải phương trình (1) - Trường hợp 1: 0 l= ( ) XxAxB Þ=+ Thay điều kiện (3) ( ) () X0A.0B0 AB0 XLA.LB0 ì =+= ï ÞÞ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0ux,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 2: 0 l< ( ) xx XxAeBe a-a Þ=+ với a=-l Thay điều kiện (3) ( ) () LL X0AB0 AB0 XLAeBe0 a-a ì =+= ï ÞÞ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0ux,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 3: 0 l> ( ) XxAcosxBsinx Þ=a+a với a=l Thay điều kiện (3) ( ) () X0A00 sinL0 XLABsinL0 ì =+= ï ÞÞa= í =+a= ï î Lk Þa=p với k = 1, 2, 3,… k L p Þa= Phương trình (1) có vô số nghiệm: () k kx XxBsin L p = Methods of Mathematical Physics SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 2 Giải phương trình (2), ta có nghiệm: () 2 2 ka t at L k TtC.eC.e p æö - ç÷ -l èø == với 2 2 k L p æö l=a= ç÷ èø Suy ra: () 2 ka t L k k1 kx ux,tCesin L p æö +¥ - ç÷ èø = p = å Dựa vào điều kiện đầu: ( ) t0 ufx = = () k k1 kx fxCsin L +¥ = p Þ= å () L k 0 2kx Cfxsindx LL p Þ= ò Áp dụng: Ta có: () () () 212 k 001 kxkxkx Cfxsindxfxsindxfxsindx 222 ppp ==+ òòò () () () () () 12 k 01 2 1 12 0 01 1 12 01 222 kxkx Cxsindx2xsindx 22 2x2 2xkx2kxkx2kx coscosdxcoscosdx k2k2k2k2 2k22kx2k22kx cossincossin k2kk2k2kk2 4k4k8k sinsinsin 222 kkk pp Þ=+- - -pppp =++- pppp -pppp =++- pppppp ppp =+= ppp òò òò Đáp số: () () 2 ka t 2 2 k1 8kkx ux,tsinesin 22 k p æö +¥ - ç÷ èø = pp = p å Methods of Mathematical Physics SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 3 Bài 2: Tìm nhiệt độ ( ) ux,t trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x0 = của thanh được giữ ở 0 u , còn đầu kia được giữ ở 1 u , nhiệt độ ban đầu tại các điểm ( ) Mx trên thanh là 2 u Phương trình truyền nhiệt: 2 2 2 uu a tx ¶¶ = ¶¶ với 0x1 t0 ££ ì í ³ î Điều kiện ban đầu: 2 t0 uu = = với [ ] x0;1 "Î Điều kiện biên: 01 x0x1 uu, uu == == với t0 "³ Đặt ( ) ( ) ( ) 001 vx,tux,tuuux =-+- ( ) () 001 x0x0 001 x1x1 vuuuu.00 vuuuu.10 == == ì =-+-= ï Þ í =-+-= ï î Với ( ) ( ) ( ) 010 ux,tvx,tuuux =++- . Phương trình truyền nhiệt trở thành: 2 2 2 vv a tx ¶¶ = ¶¶ Với điều kiện đầu: ( ) 2001 t0 vuuuux = =-+- Và điều kiện biên: x0x1 vv0 == == Tách biến: ( ) ( ) ( ) vx,tXx.Tt = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 XxTtaXxTt ¢¢¢ Þ= ( ) () ( ) () 2 XxTt const XxaTt ¢¢¢ Þ==-l= ( ) ( ) ()() 2 XxXx0 (1) TtaTt0 (2) ¢¢ ì +l= ï Þ í ¢ +l= ï î Điều kiện biên: ( ) ( ) X0X10 == (3) Giải phương trình (1) - Trường hợp 1: 0 l= ( ) XxAxB Þ=+ Thay điều kiện (3) ( ) () X0A.0B0 AB0 X1A.1B0 ì =+= ï ÞÞ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0vx,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 2: 0 l< ( ) xx XxAeBe a-a Þ=+ với a=-l Thay điều kiện (3) ( ) () X0AB0 AB0 X1AeBe0 a-a ì =+= ï ÞÞ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0vx,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 3: 0 l> ( ) XxAcosxBsinx Þ=a+a với a=l Methods of Mathematical Physics SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 4 Thay iu kin (3) ( ) () X0A00 sin0 X1ABsin0 ỡ =+= ù ịịa= ớ =+a= ù ợ k ịa=p vi k = 1, 2, 3, k ịa=p Phng trỡnh (1) cú vụ s nghim: ( ) k XxBsinkx =p Gii phng trỡnh (2), ta cú nghim: () () 2 2 kat at k TtC.eC.e -p -l == vi ( ) 2 2 k l=a=p Suy ra: () () 2 kat k k1 vx,tCesinkx +Ơ -p = =p ồ () 1 k2001 0 C2uuuuxsinkxdx ộự ị=-+-p ởỷũ ỏp s: ()() () 2 kat 010k k1 ux,tuuuxCesinkx +Ơ -p = =+-+p ồ Bi 3: Tỡm nhit ( ) ux,t trờn mt thanh dn nhit di L một khụng cha ngun nhit, bit rng hai u thanh cỏch nhit v nhit ban u ti cỏc im ( ) Mx trờn thanh c cho bi hm s ( ) fx vi 0xL ÊÊ . p dng kt qu ny hóy tỡm ( ) ux,t khi bit thanh di 2 một vi ( ) 0 fxu = khi 0x1 ÊÊ v ( ) fx0 = khi 1x2 ÊÊ Phng trỡnh truyn nhit: 2 2 2 uu a tx ảả = ảả vi 0xL t0 ÊÊ ỡ ớ ợ iu kin ban u: ( ) t0 ufx = = vi [ ] x0;L "ẻ iu kin biờn: x0xL uu 0 xx == ảả == ảả vi t0 " Tỏch bin: ( ) ( ) ( ) ux,tXx.Tt = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 XxTtaXxTt  ị= ( ) () ( ) () 2 XxTt const XxaTt  ị==-l= ( ) ( ) ()() 2 XxXx0 (1) TtaTt0 (2)  ỡ +l= ù ị ớ  +l= ù ợ iu kin biờn: ( ) ( ) X0XL0  == (3) - Trng hp 1: 0 l= ( ) XxAxB ị=+ Thay iu kin (3): ( ) X0A0  ị== ( ) 0 XxB0 ị=ạ T phng trỡnh (2), ta cú: ( ) ( ) 0 Tt0TtC0  =ị=ạ Vy () 0 0 a ux,tBC 2 == - Trng hp 2: 0 l< ( ) xx XxAeBe a-a ị=+ vi a=-l ( ) xx XxAeBe a-a  ị=a-a Methods of Mathematical Physics SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 5 Thay iu kin (3) ( ) () LL X0AB0 AB0 XLAeBe0 a-a  ỡ =-= ù ịị== ớ  =-= ù ợ ( ) ( ) Xx0ux,t0 ị=ị= (loi) - Trng hp 3: 0 l> ( ) XxAcosxBsinx ị=a+a vi a=l ( ) XxAsinxBcosx  ị=-aa+aa Thay iu kin (3) ( ) () X00B0 sinL0 XLAsinL00  ỡ =+= ù ịịa= ớ  =-aa+= ù ợ Lk ịa=p vi k = 1, 2, 3, k L p ịa= Phng trỡnh (1) cú vụ s nghim: () k kx XxAcos L p = Gii phng trỡnh (2), ta cú nghim: () 2 2 ka t at L k TtC.eC.e p ổử - ỗữ -l ốứ == vi 2 2 k L p ổử l=a= ỗữ ốứ Suy ra: () 2 ka t L 0 k k1 a kx ux,tCecos 2L p ổử +Ơ - ỗữ ốứ = p =+ ồ Vi () L 0 0 2 afxdx L = ũ v () L k 0 2kx Cfxcosdx LL p = ũ p dng: Ta cú: ()()() 212 0 001 afxdxfxdxfxdx ==+ ũũũ 1 1 0000 0 0 audxuxu ị=== ũ V: 1 1 00 k0 0 0 2u2u kxkxk Cucosdxsinsin 2k2k2 ppp === pp ũ ỏp s: () 2 ka t 2 00 k1 u2u kkx ux,tsinecos 2k22 p ổử +Ơ - ỗữ ốứ = pp =+ p ồ Methods of Mathematical Physics SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 6 Bài 4: Tìm nhiệt độ ( ) ux,t trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x0 = của thanh cách nhiệt, còn đầu kia được giữ ở nhiệt độ 1 u , nhiệt độ ban đầu tại các điểm ( ) Mx trên thanh là ( ) 1 ux,0ux = với 0x1 ££ Phương trình truyền nhiệt: 2 2 2 uu a tx ¶¶ = ¶¶ với 0x1 t0 ££ ì í ³ î Điều kiện ban đầu: 1 t0 uux = = với [ ] x0;1 "Î Điều kiện biên: x0 u 0 x = ¶ = ¶ và 1 x1 uu = = với t0 "³ Đặt ( ) ( ) 1 vx,tux,tu =- 1 x1x1 x0x0 111 t0t0 vuu0 vu 0 tt vuuuxu == == == ì =-= ï ¶¶ ï Þ== í ¶¶ ï ï =-=- î Với ( ) ( ) 1 ux,tvx,tu =+ . Phương trình truyền nhiệt trở thành: 2 2 2 vv a tx ¶¶ = ¶¶ Tách biến: ( ) ( ) ( ) vx,tXx.Tt = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 XxTtaXxTt ¢¢¢ Þ= ( ) () ( ) () 2 XxTt const XxaTt ¢¢¢ Þ==-l= ( ) ( ) ()() 2 XxXx0 (1) TtaTt0 (2) ¢¢ ì +l= ï Þ í ¢ +l= ï î Điều kiện biên: ( ) () X00 X10 ¢ ì = ï í = ï î (3) - Trường hợp 1: 0 l= ( ) XxAxB Þ=+ ( ) XxA ¢ Þ= Thay điều kiện (3): ( ) () X0A0 AB0 XLAB0 ¢ ì == ï Þ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0vx,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 2: 0 l< ( ) xx XxAeBe a-a Þ=+ với a=-l ( ) xx XxAeBe a-a ¢ Þ=a-a Thay điều kiện (3) ( ) () X0AB0 AB0 X1AeBe0 a-a ¢ ì =-= ï ÞÞ== í =+= ï î ( ) ( ) Xx0vx,t0 Þ=Þ= (loại) - Trường hợp 3: 0 l> ( ) XxAcosxBsinx Þ=a+a với a=l ( ) XxAsinxBcosx ¢ Þ=-aa+aa Methods of Mathematical Physics SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 7 Thay iu kin (3): ( ) () X00B0 cos0 X1Acos0  ỡ =+= ù ịịa= ớ =a= ù ợ ( ) 2k1 2 +p ịa= vi k = 0, 2, 3, Phng trỡnh (1) cú vụ s nghim: () ( ) k 2k1x XxAcos 2 +p = Gii phng trỡnh (2), ta cú nghim: () () 2 2 2k1a t 2 at k TtC.eC.e ộự +p - ờỳ -l ởỷ == vi () 2 2 2k1 2 ộự +p l=a= ờỳ ởỷ Suy ra: () () () 2 2k1a t 2 k k1 2k1x vx,tCecos 2 ộự+p +Ơ - ờỳ ởỷ = +p = ồ Da vo iu kin u: 11 t0 vuxu = =- ( ) 11k k1 2k1x uxuCcos 2 +Ơ = +p ị-= ồ () ( ) 1 k11 0 2k1x C2uxucosdx 2 +p ị=- ũ Bi 5: Tỡm nhit ( ) ux,t trờn mt thanh dn nhit di L một cú cha ngun nhit (cho bi hm s ( ) gx,t ), bit rng hai u thanh c gi 0 v nhit ban u ti cỏc im ( ) Mx trờn thanh c cho bi hm s ( ) fx vi 0xL ÊÊ . p dng kt qu ny hóy tỡm ( ) ux,t khi bit thanh di 2 một vi ( ) 2 gx,tx2x =- vi 0x2 ÊÊ , nhit ban u ti cỏc im ( ) Mx trờn thanh l 0 Phng trỡnh truyn nhit: () 2 2 2 uu agx,t tx ảả =+ ảả vi 0xL t0 ÊÊ ỡ ớ ợ iu kin biờn: x0xL uu0 == == vi t0 " Ta xột nghim: ()() k k1 kx ux,tTtsin L +Ơ = p = ồ iu kin ban u: ()() k t0 k1 kx ufxT0sin L +Ơ = = p == ồ vi [ ] x0;L "ẻ () () L k 0 2kx T0fxsindx LL p ị= ũ (*) Ta vit: ()() k k1 kx gx,tGtsin L +Ơ = p = ồ () () L k 0 2kx Gtgx,tsindx LL p ị= ũ Methods of Mathematical Physics SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 8 Phng trỡnh truyn nhit: () () () 2 2 kkk k1k1k1 kxkkxkx TtsinaTtsinGtsin LLLL +Ơ+Ơ+Ơ === pppp ổử  =-+ ỗữ ốứ ồồồ () ()()() ()() 22 kkkkkk kaka TtTtGtTtTtGt LL pp ổửổử  ị=-++= ỗữỗữ ốứốứ Nghim ca phng trỡnh vi phõn: () () 2 ka t L kR TtC.eTt p ổử - ỗữ ốứ =+ vi ( ) R Tt l nghim riờng. T iu kin (*): ( ) ( ) ( ) ( ) kRkR T0CT0CT0T0 ị=+ị=- Suy ra: () () 2 ka t L R k1 kx ux,tC.eTtsin L p ổử +Ơ - ỗữ ốứ = ộự p ờỳ =+ ờỳ ởỷ ồ p dng: () 2 k 0 kx T00.sindx0 1 p == ũ () () () () () () () () () 2 2 21 2 k 00 0 2 2 2 3 0 0 0 k 3 22xx kxkx4kx Gtx2xsindxcosx1cosdx 2k2k2 2x1 4kx2kx422kx16 0sinsindx0coscosk1 kk2k2kkk2 k 1611 k - ppp =-=+- pp ộự ổử - ppp ờỳ =+-=+=p- ỗữ ỗữ pppppp ờỳ p ốứ ởỷ ộự ởỷ = p ũũ ũ Ta cú: () () () () k 2 kk 3 1611 ka TtTt 2 k ộự p ổử ởỷ  += ỗữ ốứ p Nghim phng trỡnh vi phõn: () () 2 ka t 2 kR TtC.eTt p ổử - ỗữ ốứ =+ ( ) R TtDconst ị== () () () () kk 2 35 2 16116411 ka 0DD 2 kka ộựộự p ổử ởỷởỷ ị+=ị= ỗữ ốứ pp Ngoi ra, ta cú: () () () k k 5 2 6411 T0C0 ka ộự ởỷ =+= p Nu k chn C0 ị= (loi). Suy ra k phi l () () () 55 22 k kaka C 128 6411 pp ị== ộự ởỷ Methods of Mathematical Physics SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 9 Vy: () () () 2 ka t 5 2 2 k 5 2 kae 128 Tt 128 ka p ổử - ỗữ ốứ p =- p ỏp s: () () () 2 ka t 5 2 2 5 2 k1 kae 128kx ux,tsin 128L ka p ổử - ỗữ ốứ +Ơ = ộự ờỳ p p =- ờỳ p ờỳ ờỳ ởỷ ồ Bi 6: Tỡm nhit ( ) ux,t trờn mt thanh dn nhit di 1 một khụng cha ngun nhit, bit rng u x0 = ca thanh c gi nhit 0, cũn u kia ca thanh cú nhit cho bi () t 1 u1,t e = ( t0 " ), nhit ban u ti cỏc im ( ) Mx trờn thanh l ( ) ux,0x = vi 0x1 ÊÊ Phng trỡnh truyn nhit: 2 2 2 uu a tx ảả = ảả vi 0x1 t0 ÊÊ ỡ ớ ợ iu kin ban u: t0 ux = = vi [ ] x0;1 "ẻ iu kin biờn: t x0x1 u0, ue - == == vi t0 " t ( ) ( ) t vx,tux,tex - =- t x0x0 t x1x1 t0t0 vue00 vue10 vux0 - == - == == ỡ =-ì= ù ị=-ì= ớ ù =-= ợ Vi ( ) ( ) t ux,tvx,tex - =+. Phng trỡnh truyn nhit tr thnh: () 222 t22t2 222 vvvvvv exaaexagx,t txtxtx ảảảảảả -==+ị=+ ảảảảảả vi ( ) t gx,tex - = Vi iu kin u: t0 v0 = = v iu kin biờn: x0x1 vv0 == == Ta xột nghim: ()() k k1 vx,tTtsinkx +Ơ = =p ồ iu kin ban u: () k t0 k1 v0T0sinkx +Ơ = = ==p ồ vi [ ] x0;1 "ẻ () 1 k 0 T020sinkxdx0 ị=p= ũ (*) Ta vit: ()() k k1 gx,tGtsinkx +Ơ = =p ồ [...]... Methods of Mathematical Physics Phng trỡnh Laplace Bi 1: Tỡm nhit dng u ( x,y ) trờn mt hỡnh ch nht (chiu di L v chiu rng m) vi nhit trờn 2 biờn x = 0 v x = L gi 0, cũn nhit trờn 2 biờn y = 0 v y = m ln lt l f ( x ) v F ( x ) vi 0 Ê x Ê L p dng kt qu ny hóy tỡm u ( x,y ) trờn mt hỡnh vuụng cú cnh 1 một vi f ( x ) = sin 5px v F ( x ) = 0 vi 0 Ê x Ê 1 Phng trỡnh Laplace: Du ( x,y ) = 0 ị ả2u ả2u ả2u... ỗ Bi 2: Tỡm nhit dng u ( x,y ) trờn mt hỡnh ch nht vụ hn vi nhit trờn 2 biờn x = 0 v x = 1 gi 0, cũn nhit trờn 2 biờn y = 0 v y đ +Ơ ln lt l f ( x ) = 1 - x v F ( x ) = 0 vi 0 Ê x Ê 1 Phng trỡnh Laplace: Du ( x,y ) = 0 ị ả2u ả2u ả2u ả2u + 2 =0 ị 2 =- 2 ảx 2 ảy ảx ảy iu kin biờn: u x =0 = u x =1 = 0 u y=0 = 1 - x , lim u = 0 yđƠ Tỏch bin: u ( x,y ) = X ( x ) Y ( y ) ị X ( x ) Y ( y ) = - X (... trờn mt hỡnh trũn tõm O bỏn kớnh R = 2 bit rng nhit trờn biờn cho bi: a) u ( 2, j ) = 3 + sin j vi 0 Ê j Ê 2 p b) u ( 2, j ) = 3 vi 0 Ê j Ê p v u ( 2, j ) = 0 vi p < j Ê 2 p ỡ"j ẻ [0;2 p] Phng trỡnh Laplace: Du ( r, j ) = 0 vi ớ ợ 0ÊrÊ2 Trong ta cc: Du ( r, j ) = 0 ị v u r =2 = 3 + sin j 1 ả ổ ảu ử 1 ả 2 u r + =0 r ảr ỗ ảr ữ r 2 ảj2 ố ứ Xột u ( r, j ) = V ( r ) F ( j ) Ta cú: ị ảu ảu = V ( r ) F... ị r = rV ( r ) F ( j ) ảr ảr ả ổ ảu ử r = V ( r ) F ( j ) + rV ( r ) F ( j ) = ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) ở ỷ ảr ỗ ảr ữ ố ứ ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) V ( r ) F ( j ) ỷ Phng trỡnh Laplace tr thnh: ở + =0 2 r ị F ( j ) F ( j) = r ộV ( r ) + rV ( r ) ự ở ỷ -V ( r ) ị ỡ F ( j ) + lF ( j ) = 0 ù ịớ 2 ù r V ( r ) + rV ( r ) - lV ( r ) = 0 ợ F ( j ) F ( j) = r r 2 V ( r... Bi 4: Tỡm nhit dng u ( r,j ) trờn mt hỡnh bỏn nguyt tõm O bỏn kớnh R = 1 bit rng nhit trờn ng kớnh c gi nhit 0, cũn nhit trờn cung trũn cho bi u (1, j ) = 3j vi 0 Ê j Ê p ỡ"j ẻ [0; p] Phng trỡnh Laplace: Du ( r, j ) = 0 vi ớ ợ 0 Ê r Ê1 Vi u r =1 = 3j v u j=0 = u j=p = 0 1 ả ổ ảu ử 1 ả 2 u Trong ta cc: Du ( r, j ) = 0 ị r + =0 r ảr ỗ ảr ữ r 2 ảj2 ố ứ Xột u ( r, j ) = V ( r ) F ( j ) Ta cú: ị ảu... ị r = rV ( r ) F ( j ) ảr ảr ả ổ ảu ử r = V ( r ) F ( j ) + rV ( r ) F ( j ) = ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) ở ỷ ảr ỗ ảr ữ ố ứ ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) V ( r ) F ( j ) ỷ Phng trỡnh Laplace tr thnh: ở + =0 2 r ị F ( j ) F ( j) = r ộV ( r ) + rV ( r ) ự ở ỷ -V ( r ) ị ỡ F ( j ) + lF ( j ) = 0 ù ịớ 2 ù r V ( r ) + rV ( r ) - lV ( r ) = 0 ợ F ( j ) F ( j) = r r 2 V ( r... trũn tõm O bỏn kớnh R = 1 bit rng nhit trờn 4 2 bỏn kớnh c gi nhit 0, cũn nhit trờn cung trũn cho bi u (1, j ) = 2j2 - pj vi Bi 5: Tỡm nhit dng u ( r,j ) trờn 0ÊjÊ p 2 ỡ ộ pự ù"j ẻ ờ0; ỳ Phng trỡnh Laplace: Du ( r, j ) = 0 vi ớ ở 2ỷ ù 0 Ê r Ê1 ợ Vi u r =1 = 2j2 - pj v u j=0 = u j= p = 0 2 Trong ta cc: Du ( r, j ) = 0 ị 1 ả ổ ảu ử 1 ả 2 u r + =0 r ảr ỗ ảr ữ r 2 ảj2 ố ứ Xột u ( r, j ) = V ( r ) F... ị r = rV ( r ) F ( j ) ảr ảr ả ổ ảu ử = V ( r ) F ( j ) + rV ( r ) F ( j ) = ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) r ở ỷ ảr ỗ ảr ữ ố ứ ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) V ( r ) F ( j ) ỷ Phng trỡnh Laplace tr thnh: ở + =0 2 r ị F ( j ) F ( j) = r ộV ( r ) + rV ( r ) ự ở ỷ -V ( r ) ị ỡ F ( j ) + lF ( j ) = 0 ù ịớ 2 ù r V ( r ) + rV ( r ) - lV ( r ) = 0 ợ F ( j ) F ( j) = r r 2 V ( r... 6: Tỡm nhit dng u ( r,j ) trờn mt hỡnh vnh khn tõm O bỏn kớnh trong v ngoi l R1 = 1 v R 2 = 2 bit rng nhit trờn biờn cho bi u (1, j ) = u1 v u ( 2, j ) = u 2 vi 0 Ê j Ê 2p ỡ"j ẻ [0;2 p] Phng trỡnh Laplace: Du ( r, j ) = 0 vi ớ ợ 1Ê r Ê 2 Vi u r =1 = u1 v u r =2 = u 2 1 ả ổ ảu ử 1 ả 2 u Trong ta cc: Du ( r, j ) = 0 ị r + =0 r ảr ỗ ảr ữ r 2 ảj2 ố ứ Xột u ( r, j ) = V ( r ) F ( j ) Ta cú: ị ảu ảu... ị r = rV ( r ) F ( j ) ảr ảr ả ổ ảu ử = V ( r ) F ( j ) + rV ( r ) F ( j ) = ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) r ở ỷ ảr ỗ ảr ữ ố ứ ộ V ( r ) + rV ( r ) ự F ( j ) V ( r ) F ( j ) ỷ Phng trỡnh Laplace tr thnh: ở + =0 2 r ị F ( j ) F ( j) = r ộV ( r ) + rV ( r ) ự ở ỷ -V ( r ) ị ỡ F ( j ) + lF ( j ) = 0 ù ịớ 2 ù r V ( r ) + rV ( r ) - lV ( r ) = 0 ợ F ( j ) F ( j) = r r 2 V ( r