phuong trinh laplace va phuong trinh truyen nhiet

phuong trinh laplace va phuong trinh truyen nhiet

Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Phương trình truyền nhiệt

rằng hai đầu thanh được giữ ở 0 và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M x( ) trên thanh được cho bởi hàm số f x( ) với 0 x L£ £ Áp dụng kết quả này hãy tìm u x,t( ) khi biết thanh dài 2 mét với

( )

f x =x khi 0 x 1£ £ và f x( )= -2 x khi 1 x 2£ £

Phương trình truyền nhiệt:

2 2 2

í ³

Điều kiện ban đầu: ut 0= =f x( ) với " Îx [ ]0;L

Điều kiện biên: ux 0= =ux L= =0 với " ³t 0

- Trường hợp 3: l >0ÞX x( )=A cos x Bsin xa + a với a = l

Thay điều kiện (3) ( )

Methods of Mathematical Physics Giải phương trình (2), ta có nghiệm: ( )

2

a t L k

T t C.e C.e

p

æ ö -ç ÷

- l è ø

2

2 kL

=

=

på

Bài 2: Tìm nhiệt độ u x,t( ) trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x 0= của thanh được giữ ở u0, còn đầu kia được giữ ở u1, nhiệt độ ban đầu tại các điểm M x( ) trên thanh là u2

Phương trình truyền nhiệt:

2 2 2

í ³

Điều kiện ban đầu: ut 0= =u2 với " Îx [ ]0;1

Điều kiện biên: ux 0= =u , u0 x 1= =u1 với " ³t 0

Với điều kiện đầu: vt 0= =u2-u0+(u0-u x1)

Và điều kiện biên: vx 0= =vx 1= =0

Methods of Mathematical Physics Thay điều kiện (3) ( )

Phương trình (1) có vô số nghiệm: X xk( )=Bsin k xp

Giải phương trình (2), ta có nghiệm: ( ) a t2 ( k a t ) 2

k

T t =C.e- l =C.e- p với 2 ( )2

k

l = a = p Suy ra: ( ) ( ) 2

k a t k

rằng hai đầu thanh cách nhiệt và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M x( ) trên thanh được cho bởi hàm số f x( ) với 0 x L£ £ Áp dụng kết quả này hãy tìm u x,t( ) khi biết thanh dài 2 mét với

( ) 0

f x =u khi 0 x 1£ £ và f x( )=0 khi 1 x 2£ £

Phương trình truyền nhiệt:

2 2 2

í ³

Điều kiện ban đầu: ut 0= =f x( ) với " Îx [ ]0;L

Điều kiện biên:

Thay điều kiện (3) ( )

k a t

a t L k

T t C.e C.e

p

æ ö -ç ÷

- l è ø

2

2 kL

a u dx u x u

Và:

1 1

k 0

0 0

Methods of Mathematical Physics

rằng đầu x 0= của thanh cách nhiệt, còn đầu kia được giữ ở nhiệt độ u1, nhiệt độ ban đầu tại các điểm M x( ) trên thanh là u x,0( )=u x1 với 0 x 1£ £

Phương trình truyền nhiệt:

2 2 2

í ³

Điều kiện ban đầu: ut 0= =u x1 với " Îx [ ]0;1

Điều kiện biên:

Thay điều kiện (3): ( )

2k 1 a

t 2

a t k

T t C.e C.e

é + p ù -ê ú

t 2 k

hàm số g x,t( )), biết rằng hai đầu thanh được giữ ở 0 và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M x( )

trên thanh được cho bởi hàm số f x( ) với 0 x L£ £ Áp dụng kết quả này hãy tìm u x,t( ) khi biết thanh dài 2 mét với g x,t( )=x2-2x với 0 x 2£ £ , nhiệt độ ban đầu tại các điểm M x( )

Methods of Mathematical Physics Phương trình truyền nhiệt:

p

æ ö -çè ÷ø

= + với T tR( ) là nghiệm riêng

Từ điều kiện (*): ÞT 0k( )= +C T 0R( )Þ =C T 0k( )-T 0R( )

2

k a tL

0 0

p

æ ö -çè ÷ø

= + ÞT tR( )= =D const

( ) ( )

( ) ( )

rằng đầu x 0= của thanh được giữ ở nhiệt độ 0, còn đầu kia của thanh có nhiệt độ cho bởi

í ³

Điều kiện ban đầu: ut 0= =x với " Îx [ ]0;1

Điều kiện biên: ux 0= =0, ux 1= =e-t với " ³t 0

Methods of Mathematical Physics

-+ -

-

Bài 7: Tìm nhiệt độ u x,t( ) trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x 0= của thanh có nhiệt độ cho bởi u 0,t( )=3t (" ³t 0), còn đầu kia của thanh được giữ ở nhiệt độ 0, nhiệt độ ban đầu tại các điểm M x( ) trên thanh là u x,0( )=0 với 0 x 1£ £

Phương trình truyền nhiệt:

2 2 2

í ³

Điều kiện ban đầu: ut 0= =0 với " Îx [ ]0;1

Điều kiện biên: ux 0= =3t, ux 1= =0 với " ³t 0

Methods of Mathematical Physics

không chứa nguồn nhiệt, biết rằng nhiệt độ trên 4 cạnh của hình chữ nhật được giữ ở 0 và nhiệt

độ ban đầu tại các điểm M x,y( ) trên hình chữ nhật được cho bởi hàm số f x,y( ) với

0 x L£ £ và 0 y m£ £ Áp dụng kết quả này hãy tìm u x,y,t( ) của một hình vuông có cạnh 2 mét với f x,y( )=xy x 2 y 2( - )( - ) với 0 x 2£ £ và 0 y 2£ £

Phương trình truyền nhiệt: u 2

a ut

¶ = D

2 2 2

ï £ £í

ï ³î

Điều kiện ban đầu: ut 0= =f x,y( ) với " Îx [ ]0;L và " Îy [ ]0;m

Điều kiện biên: x 0 x L

Xét V x,y( )=X x Y y( ) ( ) là nghiệm, phương trình (1) trở thành:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ï a + b = lî

- Trường hợp 3: a >0ÞX x( )=A cos x Bsin xj + j với j = a

Thay điều kiện biên ( )

Methods of Mathematical Physics

( )

L m kn

0 0

( ) ( ) ( )

Bài 9: Tìm nhiệt độ u x,t( ) trên một thanh dẫn nhiệt dài vô hạn không chứa nguồn nhiệt, biết rằng nhiệt độ ban đầu tại các điểm M x( ) trên thanh được cho bởi hàm số f x( ) với " Îx R

Áp dụng kết quả này hãy tìm u x,t( ) khi biết nhiệt độ ban đầu tại các điểm M x( ) trên thanh là

( ) 0

f x =u khi 0 x 1£ £ và f x( )=0 khi x 0< hoặc x 1>

Phương trình truyền nhiệt:

2 2 2

với l = a2 Þ a ÎR Þ có vô số nghiệm: X xa( )=A( )a cos x Ba + ( )a sin xa

Vậy ta có vô số nghiệm: u x,t( ) A( )cos x B( )sin x e- a a 2 2 t

a =éë a a + a a ùû( ) ( ) ( ) a 2 2 t

u x,t A cos x B sin x e d

+¥

- a -¥

( ) ( )

1

A f z cos zdz

21

p ò ò

Methods of Mathematical Physics

w = ò ws s Xét dI( ) ( ) ( ) 2

d

+¥

-s -¥

ï

í

= -s s Þ =ï

I

w -

Þ = ò s = p

2

2 2

z x 4a t

1

2a t

+¥ --¥

0

u1

đầu x 0= cách nhiệt và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M x( ) trên thanh được cho bởi hàm số

( )

f x với x 0³ Áp dụng kết quả này hãy tìm u x,t( ) khi biết nhiệt độ ban đầu tại các điểm

( )

M x trên thanh là f x( )=u0 khi 0 x 1£ £ và f x( )=0 khi x 1>

Xét thanh dẫn nhiệt dài vô hạn:

Phương trình truyền nhiệt:

2 2 2

Methods of Mathematical Physics với l = a2 Þ a ÎR Þ có vô số nghiệm: X xa( )=A( )a cos x Ba + ( )a sin xa

Vậy ta có vô số nghiệm: u x,ta( )=éëA( )a cos x Ba + ( )a sin x ea ùû - aa 2 2 t

( ) ( ) ( ) a 2 2 t

u x,t A cos x B sin x e d

+¥

- a -¥

( ) ( )

1

A f z cos zdz

21

w = ò ws s Xét dI( ) ( ) ( ) 2

d

+¥

-s -¥

ï

í

= -s s Þ =ï

( )

2 4

I

w -

Þ = ò s = p

2

2 2

z x 4a t

1

2a t

+¥ --¥

Điều kiện ban đầu: ut 0= =f x( ) với " Îx éë0;+¥)

Kéo dài thanh thành thanh vô hạn có điều kiện đầu: F x( ) ( )=f x khi xÎéë0;+¥)

Khi đó, u x,t( ) của thanh vô hạn là: ( ) ( ) ( )

2 2

z x 4a t

1

2a t

+¥ --¥

zF z e dz 0

+¥ -¥

-Þ ò = với " ³t 0( )

1

2a t

+ +¥ - --¥

0

u1

Methods of Mathematical Physics Tính tích phân:

( ) 2 2

z x 1

0 4a t 1

z x 1

0 4a t 2

Phương trình Laplace

nhiệt độ trên 2 biên x 0= và x L= giữ ở 0, còn nhiệt độ trên 2 biên y 0= và y m= lần lượt

là f x( ) và F x( ) với 0 x L£ £ Áp dụng kết quả này hãy tìm u x,y( ) trên một hình vuông có cạnh 1 mét với f x( )=sin 5 xp và F x( )=0 với 0 x 1£ £

Phương trình Laplace: Du x,y( )=0 2u2 2u2 0

- Trường hợp 3: l >0ÞX x( )=A cos x Bsin xa + a với a = l

Thay điều kiện biên ( )

Methods of Mathematical Physics Với

và x 1= giữ ở 0, còn nhiệt độ trên 2 biên y 0= và y® +¥ lần lượt là f x( )= -1 x và

- Trường hợp 3: l >0ÞX x( )=A cos x Bsin xa + a với a = l

Thay điều kiện biên ( )

Methods of Mathematical Physics

k y y

lim elim e 0

trên biên cho bởi:

- Trường hợp 2: l <0 Þ F j =( ) Aeaj+Be-aj với a = -l

Vì F j( ) tuần hoàn với chu kỳ T 2= p nên A B 0= = Þ F j =( ) 0

( )

u r, 0

Þ j = (loại)

- Trường hợp 3: l >0 Þ F j =( ) A cosaj +B sinaj với a = l

Vì F j( ) tuần hoàn với chu kỳ T 2= p nên a = =n 1,2,3,

Methods of Mathematical Physics

b u 2,( )j =3 với 0£ j £ p và u 2,( )j =0 với p < j £ p2

Ta có:

2 0

0 0

n

n

0 0

Bài 4: Tìm nhiệt độ dừng u r,j( ) trên một hình bán nguyệt tâm O bán kính R 1= biết rằng nhiệt độ trên đường kính được giữ ở nhiệt độ 0, còn nhiệt độ trên cung tròn cho bởi u 1,( )j = j3

với 0£ j £ p

Phương trình Laplace: Du r,( )j =0 với [ ]0;

0 r 1

ì"jÎ pí

- Trường hợp 2: l <0Þ F j =( ) Aeaj+Be-aj với a = -l

Thay điều kiện (3) ( )

( ) 0AeapA B 0Be-ap 0 A B 0

ï

ÞíF p =ïî + = Þ = = ( ) 0 u r,( ) 0

Þ F j = Þ j = (loại)

- Trường hợp 3: l >0Þ F j =( ) A cosaj +B sinaj với a = l

Methods of Mathematical Physics Thay điều kiện (3) ( )

( ) A cos0 A 0 0B sin 0 sin 0

ï

ÞíF p =ïî ap + ap = Þ ap = k

=

Bài 5: Tìm nhiệt độ dừng u r,j( ) trên 1

4 hình tròn tâm O bán kính R 1= biết rằng nhiệt độ trên

2 bán kính được giữ ở nhiệt độ 0, còn nhiệt độ trên cung tròn cho bởi u 1,( )j = j - pj2 2 với

ï £ £î

Methods of Mathematical Physics Thay điều kiện (3)

( ) 0 u r,( ) 0

Þ F j = Þ j = (loại)

- Trường hợp 3: l >0Þ F j =( ) A cosaj +B sinaj với a = l

Thay điều kiện (3)

( )0 A 0 0

sin 02

A cos Bsin 0

pï

Þí æ öF p = a +p a =p Þ a =

ç ÷

ï è øî

k2

k 2

3 0

Đáp số: ( ) ( )

k

2k 3

Methods of Mathematical Physics

- Trường hợp 2: l <0 Þ F j =( ) Aeaj+Be-aj với a = -l

Vì F j( ) tuần hoàn với chu kỳ T 2= p nên A B 0= = Þ F j =( ) 0

( )

u r, 0

Þ j = (loại)

- Trường hợp 3: l >0 Þ F j =( ) A cosaj +B sinaj với a = l

Vì F j( ) tuần hoàn với chu kỳ T 2= p nên a = =n 1,2,3,

1

n n n 1

0 0

2 2

1

n n n 1

0 0

1

u sin n1

n

u cos n1

n

p

p p

p p

n n

0 2

p -

ï

pïî

ò ò ò

(II)

Từ hệ phương trình (I) và (II), ta tính được: 0 ( 2 1 1)

0

n n n n

a 2u

2 u ub

ln 2

=ì

íï

0 0

2

au2

ïî

* Ngoài ra, bài toán có thể tính trực tiếp:

Vì ur 1= =u1 và ur 2= =u2 là hằng số Þu r,( ) ( )j =f r không phụ thuộc vào j

Methods of Mathematical Physics

- Trường hợp 2: l <0 Þ F j =( ) Aeaj+Be-aj với a = -l

Vì F j( ) tuần hoàn với chu kỳ T 2= p nên A B 0= = Þ F j =( ) 0

( )

u r, 0

Þ j = (loại)

- Trường hợp 3: l >0 Þ F j =( ) A cosaj +B sinaj với a = l

Vì F j( ) tuần hoàn với chu kỳ T 2= p nên a = =n 1,2,3,

( )

2 0 0 2

n n n

0 2

ï

pïî

ò ò ò

n n

n n n

0 2

p -

ï

pïî

ò ò ò

(II)

Từ hệ phương trình (I) và (II), ta tính được:

0 0

a 010b

ln 2

n 1

=ì

ïï =íï

=ïî

0 0 1

1 1

1

1 1

a 010b