Bất đẳng thức

Nghiệp vụ s phạm A mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay sự phát triển của tất cả các nghành khoa học cơ bản cũng nh ứng dụng vào tất cả các nghành công nghiệp then chốt nh : dầu khí , viễn thông , hàng không , đều không thể thiếu toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng của toán học, đa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội . Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí . Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh ( ngời học toán) những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khẳ năng t duy lôgic , một phơng pháp luận khoa học. Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phơng pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc , hệ thống bài tập , sử dụng đúng phơng pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển t duy của học sinh . Đồng thời qua việc học toán học sinh cần đợc bồi dỡng , rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác t duy để giải các bài tập toán trong đó có các bài tập về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính t duy , trí tuệ cho học sinh. Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến tức rộng đặc biệt là với học sinh THCS . Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là: - Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong , ít khai thác , phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải đợc. Tô Thị Kim Lan L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội 1 Nghiệp vụ s phạm - Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch, phơng pháp giải hạn chế , các bài toán bất đẳng thức thờng khó , phải áp dụng các kiến thức khó nh: quy nạp toán học, phản chứng nên học sinh hay ngại và học sinh cha vận dụng đợc toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó nh : cực trị , hàm số . Vì vậy: phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ở trờng phổ thông tôi đã tích luỹ đợc một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin đợc trình bày dới góc độ nhỏ. 2) Mục đích nghiên cứu. a. Đối với giáo viên : - Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b.Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng.Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức. - Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập. - Giải đáp những thắc mắc , sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học. - Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập . Tô Thị Kim Lan L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội 2 Nghiệp vụ s phạm - Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đăng thức 3) Ph ơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK , tài liệu tham khảo của học sinh tại trờng. - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm , học hỏi đồng nghiệp . - Sử dụng phơng pháp phân tích tổng hợp. 4) Nhiệm vụ của đề tài. Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS. Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức , áp dụng để làm bài tập . Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phơng pháp . Chọn lọc , hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phơng pháp giải , cách đổi biến. Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cc trị, giải một số phơng trình dạng đặc biệt . 5)Phạm vi đề tài Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8 và lớp 9. 6) Đối t ợng nghiên cứu và ph ơng pháp tiến hành Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập , ôn tập cuối kì , cuối năm, kì thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT . Tô Thị Kim Lan L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội 3 Nghiệp vụ s phạm Phơng pháp tiến hành : học sinh có kiến thức cơ bản , đa ra phơng pháp giải , bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp , bài tập t giải ( Học sinh về nhà tự làm ) 7) Dụ kiến kết quả của đề tài Khi cha thực hiện đề tài này : học sinh chỉ giải đợc những bài toán đơn giản , hay mắc sai lầm ,hay gặp khó khăn , ngại làm bài tập về bất đẳng thức. Nếu thực hiện đợc đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức , làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức có dạng tơng tự , hạn chế đợc rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức. B NộI DUNG Phần I : áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở trờng thcs I/ Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức 1. Định nghĩa : Cho 2 số a và b ta nói : a lớn hơn b, kí hiệu : a>b a- b>0 a nhỏ hơn b, kí hiệu : a<b a-b<o 2. Các tính chất của bất đăng thức : 2.1. a>b b<a 2.2.Tính chất bắc cầu: a>b, b>c a>c 2.3.Tính chất đơn điệu của phếp cộng : cộng cung một số vào hai vế của bất đẳng thức: a>b a+c>b+c. Tô Thị Kim Lan L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội 4 Nghiệp vụ s phạm 2.4.Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều đợc bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a>b, c > d a+c > b+d * Chú ý : Không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều. 2.5.Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. Nếu a > b , c > d thì a-c > b-d 2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân : a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dơng . a > b , c>0 a.c > b.c b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm a >b , c<0 a.c <b.c 2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm Nếu a>b 0 , c>d 0 thì ac>bd 2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức a>b>o a n >b n . a>b a n >b n với n= 2k ( k Z) 2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng Với m > n > 0 : - Nếu a >1 thì a m > a n . - Nếu a=1 thì a m = a n . - Nếu 0 <a <1 thì a m < a n Tô Thị Kim Lan L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội 5 Nghiệp vụ s phạm 2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu Nếu a >b >0 hoặc a< b<0 thì : ba 11 hoặc ba 11 *Chú ý : Ngoài các bất đẳng thức chặt ( a>b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt (a b) tức là a>b hoặc a=b Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu > ( hoặc dấu < ) có thể thay bởi dấu ( hoặc dấu ) 3.Các bất đẳng thức cần nhớ 3.1 a 2 0; - a 2 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0 3.2 a 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0 3.3 - a a a Đẳng thức xảy ra khi a=0 3.4 a+b a+b Đẳng thức xảy ra khi ab 0 3.5 a-b a-b Đẳng thức xảy ra khi a b 0 hoặc a b 0 *Chú ý : Một số bất đẳng thức chứng minh đơn giản hay đợc áp dụng : a+b 2 ab với mọi a,b 0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b (Bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm) a 2 + b 2 2ab với mọi a,b . Đẳng thức xảy ra khi a=b (a+b) 2 4ab hay ( ) ab ba + 2 2 với mọi a,b . Đẳng thức xảy ra khi a=b 1/a + 1/b 4/a+b với mọi a,b>0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b Tô Thị Kim Lan L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội 6 Nghiệp vụ s phạm a/b+ b/a 2 với ab>0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b (a x+by) 2 (a 2 + b 2 ) (x 2 + y 2 ) với mọi a,b ,x,y. Đẳng thức xảy ra khi a/b=x/y. II- Một số ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số 1. Phơng pháp dùng định nghĩa 1.1. Cơ sở toán học: A B A-B 0 Để chứng minh A B ta chứng minh A-B 0 Tơng tự để chứng minh A B ta chứng minh A-B 0. 1.2. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Chứng minh: 2(x 2 + y 2 ) ( x+y) 2 với mọi x,y Giải: Xét hiệu 2(x 2 +y 2 ) (x+y) 2 = 2x 2 + 2y 2 -x 2 -y 2 -2xy = x 2 -2xy+y 2 = (x-y) 2 0 yx, .Dấu = xảy ra khi x=y Vậy 2(x 2 +y 2 ) 2 )( yx + yx, . Dấu = xảy ra khi x=y Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a b thì a 3 3 b Giải: Xét hiệu: a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2 ) 0 Thừa số (a-b) 0 do giả thiết a b Thừa số (a 2 +ab+b 2 ) = a 2 +2a 4 3 42 22 bbb ++ = (a+ 2 b ) 2 + 4 3 2 b Do (a+ 2 b ) 2 0 ; 4 3 2 b 0 nên a 2 +ab+b 2 0 Tô Thị Kim Lan L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội 7 Nghiệp vụ s phạm Vậy a 3 - b 3 0 suy ra a 3 b 3 Ví dụ 3: Chứng minh 3x 2 +y 2 + z 2 +1 2x(y +z+1) Giải: Xét hiệu: 3x 2 +y 2 + z 2 +1 - 2x(y +z+1) = 3x 2 +y 2 + z 2 +1- 2xy - 2xz 2 = (x 2 -2xy+ y 2 ) + (x 2 -2xz +z 2 ) + ( x 2 2x+1) = (x-y) 2 + (x-z) 2 + (x-1) 2 Vì (x-y) 2 0 yx, Vì (x-z) 2 0 zx, Vì (x-1) 2 0 1,x Nên: (x-y) 2 + (x-z) 2 + (x-1) 2 zyx ,,,0 Hay 3x 2 +y 2 + z 2 +1 - 2x(y +z+1) zyx ,,,0 Vậy 3x 2 +y 2 + z 2 +1 2x(y +z+1) zyx ,,, 1.3 Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 3 33 22 + + baba với a>0 ,b>0 2) x 3 + 4x + 1 > 3 x 2 với x 3 3) c 2 + d 2 +cd 3ab với a+b = c+d 2)Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng 2.1 Cơ sở toán học Để chứng minh bất đẳng thức A B ta biến đổi tơng đơng( dựa vào các tính chất của bất đẳng thức ) : A B C D Tô Thị Kim Lan L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội 8 Nghiệp vụ s phạm Cuối cùng đạt đợc bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên C D Vì các phép biến đổi đều là tơng đơng nên A B Để dùng các phép biến đổi tơng đơng ta đều chú ý các bất đẳng thức sau: (A B) 2 = A 2 2AB+B 2 (A+B+C) 2 = A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2AC+2BC 2.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a,b,c ta luôn có: a 2 +b 2 +c 2 ab+bc+ca Giải: Ta có: a 2 +b 2 +c 2 ab+bc+ca (1) 2a 2 +2b 2 +2c 2 2ab+2bc+2ac 2a 2 +2b 2 +2c 2 - 2ab-2bc-2ac 0 (a 2 -2ab+b 2 ) + (b 2 -2bc+c 2 ) + (c 2 -2ac+a 2 ) 0 (a-b) 2 +(b-c) 2 +(c-a) 2 0 (2) Vì a-b) 2 0 ba, ; (b-c) 2 0 cb, ; (c-a) 2 0 ca, Nên (2) đúng do đó (1) đúng a,b,c Dấu = xảy ra = = = 0 0 0 ac cb ba cba == Ví dụ 2: Chứng minh rằng a 4 +b 4 a 3 b+ab 3 ba, Tô Thị Kim Lan L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội 9 Nghiệp vụ s phạm Giải: a 4 +b 4 a 3 b+ab 3 ( a 4 a 3 b)+(b 4 -ab 3 ) 0 a 3 (a-b) b 3 (a-b) 0 (a-b)(a 3 -b 3 ) 0 (a-b) 2 (a 2 +ab+b 2 ) 0 (a-b) 2 ++ 4 3 ) 2 ( 2 2 bb a 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó a 4 +b 4 a 3 b+ab 3 ba, Ví dụ 3: Chứng minh 3 33 22 + + baba với a>0 ,b>0 Giải: 3 33 22 + + baba 2 ba + (a 2 ab + b 2 ) 2 ba + . ( ) 2 4 ba + ( ) 2 22 4 ba baba + + (vì a>0, b>0 suy ra a+b>0) ( ) ( ) 03 023 0363 2444 2 22 22 2222 + + +++ ba baba baba babababa Bất đẳng thức cuối đúng suy ra 3 33 22 + + baba 2.3 Chú ý : - Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giả trên thay các dấu bằng các dấu Tô Thị Kim Lan L ớp Toán 4 - Hệ Tại chức - ĐHSP Hà Nội 10 [...]... x 1 1+ y2 (**) T (*) (**) x = -1 thay x = -1 vo (2) ta cú : y2 2y + 1 = 0 y = 1 Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht ( x =1 ; y =1 ) Phần II: áp dụng giải toán bất đẳng thức trong hình học I Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học 1 Một số kí hiệu thờng dùng để chỉ các yếu tố của tam giác 1.1 a; b; c tơng ứng là độ dài 3 cạnh AB; AC; BC của ABC 1.2 ; ; tơng ứng là độ lớn các...Nghiệp vụ s phạm Thật vậy ,nếu (1) (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì cha thể kết luận đợc bất đẳng thức (1) có đúng hay không -Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng ,học sinh thờng bỏ qua các phép biến đổi tơng đơng có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ Vì vậy cần lu ý các phép . dương bất kì Giải + Với n=1 ta có bất đẳng thức đúng 1+x ≥ 1 + x + Giả sử bất đẳng thức đúng với n= k tức là : kxx k +≥+ 1)1( Ta phải chứng minh bất đẳng thức. thức cùng chiều. 2.5.Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. Nếu a > b , c > d thì