bat dang thuc

-1nguyễn việt phơng Nguyn Việt phơng Trng THPT S Qung Trch Lp 10A -2nguyễn việt phơng BI TP V BT NG THC Cễ-SI(AM-GM) Bi Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + a+b+c Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú ( + b) + ( + c) + ( + a) 2(a+b+c) Suy + + a+b+c (dpcm) ng thc xy a=b=c. Bi cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + ab+bc+ca Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú. ( + ab) + ( + bc) + ( + ca) 2(a+b+c) 2(ab+bc+ca) Suy + + ab+bc+ca (dpcm) ng thc xy a=b=c Bi Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + + + Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú. ( + ) + ( + )+ ( + ) + + Suy + + + + (dpcm) ng thc xy a=b=c Bi Cho a,b.c l cỏc s thc dng CMR + + a + b + c Li gii p dng BDT Cụ-Si tacú. + ab + + bc + + ca 2(a+b+c) Vy cn chng minh.ab + bc + ca a + b + c p dng BDT Cụ-Si ta cú. a+a+b 3ab ; b+b+c 3bc ; c+c+a 3ca Cng v vi v ba BDT trờn suy (dpcm). ng thc xy a=b=c Bi Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho mn a+b+c=1 CMR + + Li gii ta cú mt h qu ca BDT Cụ-Si l. + + .+ p dng h qu trờn ta cú. + + = (dpcm) -3nguyễn việt phơng ng thc xy a=b=c. Bi Cho a,b,c l cỏ s thc dng tho mn a+b+c=1 CMR + + Li gii .Ta cú + + + + (BDT Cụ-Si) Tip tc ỏp dng h qu trờn ta li cú: + + .2 = (a+b+c=1) (dpcm) ng thc xy a=b=c. Bi Cho a,b,c l cỏc s thc dung. CMR + + a+b+c Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú. ( +b+c) + ( +c+a) + ( +a+b) 3(a+b+c) Suy + + a+b+c (dpcm). Bi Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR a + b + c abc(a+b+c) Li gii .BDT trờn tng ung vi a + b + c abc+bca+cab Ta cú BDT sau. a+b+c ab+bc+ca p dng BDT trờn ta cú. a + b + c ab+bc+ca (ab)(bc)+(bc)(ca)+(ca)(ab) = abc+bca+cab (dpcm) ng thc xy a=b=c. Bi 9(BDT Nebist) Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú. + + +1 + +1= (a+b+c)( + + ) p dng BDT Cụ-si ta cú. 2(a+b+c)( + + ) 33 = Suy + + = (dpcm). Cỏch ta s dng i bin ri s dng BDT Cụ-Si chng minh t x =a+b ;y =b+c ;z=c+a Suy =a+b+c a = y = ; b = z = ;c = BDT cn chng minh tng ng vi + + + + + + + Hay ( + + + + + ) iu ny ỳng ta s dung BDT Cụ-Si. -4nguyễn việt phơng Ngoi cũn cú rt nhiu cỏch chng minh khỏc nhng õy ch cp n BDT Cụ-Si nờn tụi khụng a ra. ng thc xy a=b=c. Bi 10 Cho a,b.c l cỏ s thc dng. CMR + + Li gii Ta cú BDT cho tng ng vi. + + = 3( + + ) = Suy (dpcm). ng thc xy a=b=c. Bi 11 Cho a,b.c l cỏ s thc dng tho mn abc=1 CMR + + Li gii BDT cho tng ng vi. + + = + + + + = (dpcm). ng thc xy a=b=c. Bi 12(Sa tm) Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú. + + + + + a+b+c Suy cn chng minh + + ab+ac+bc+ba+ca+cb 2(a+b+c) ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) 2(a+b+c) iu ny ỳng vỡ ab(a+b) a+b ; bc(b+c) b+c ca(c+a) a+c Vy Suy (dpcm). ng thc xy a=b=c. Bi 13 Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú. + + + + + a+b+c Suy + + a+b+c = (dpcm). ng thc xy a=b=c. Bi 14 Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Li gii theo BDT Cụ-si ta cú -5nguyễn việt phơng + + (+ +) Theo BDT Nebist ta li cú + + Vy + + (dpcm). Bi 15 Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú. + + + + ng thc xy a=b=c. Vy cn chng minh + + iu ny ỳng vỡ + + (Bi 13). Suy (dpcm). Bi 16 Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú. + + + + + a+b+c Vy cn chng minh. + + (b+c)a + (c+a)b + (a+b)c 2(a+b+c) ab(a+b) +bc(b+c) +ca(a+b) 2(a+b+c) iu ny ỳng vỡ. ab(a+b) a+b ; bc(b+c) b+c ; ca(a+b) a+c (dpcm). ng thc xy a=b=c. Bi 17 Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Li gii Ta cú (a+b+c) 3(a+b+c) Suy Vy ta cn chng minh + + + + + + + iu ny ỳng theo BDT Cụ-Si cho s Suy (dpcm). ng thc xy a=b=c. Bi 18 Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Li gii .BDT cn chng minh tng ng vi. + + + + + ( + + ) +( + + ) p dng BDT Cụ-Si ta cú ( + + ) +( + + ) + =6 (dpcm) ng thc xy a=b=c. Bi 19 Cho a,b,c l cỏc s thc dng. -6nguyễn việt phơng CMR + + Li gii .õy l mt bi tng i khú!cho nờn ta chuyn BDT v dang sau. + + + + + ( + + ) +( + + ) +( + + ) Do + + (H qu ca BDT Cụ-Si) Cụng vic cũn li l chng minh + + p dng BDT Cụ-Si ta cú. + + ; + + + + Suy + + + + + + + Ta cn chng minh + + + + iu ny ỳng vỡ + ; + ; + Cụng v vi v BDT trờn Suy + + + + M ta li cú + + Vy + + Suy + + (dpcm) ng thc xy a=b=c Bi 20 Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Li gii tng t nh bi trờn ta cú + + = + + + + + Rt t nhiờn ta cú + + Vy ta cn chng minh. + + Hon ton tng t bi trờn cỏc bn t chng minh ng thc xy a=b=c. T Bi Toỏn trờn ta suy c dng tng quỏt ca nú. (Nguyn Xuõn Thng) Cho s a,b,c l cỏc s thc dng.m,n nguyờn dng + + 2( + + ) Bi 21 Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + (a+b+c) Li gii Tht n gin p dng BDT Cụ-Si ta cú + + + + = + + = (a+b+c) = (a+b+c) (dpcm). ng thc xy a=b=c. -7nguyễn việt phơng Bi 22 Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR (a+bc)(b+ca)(c+ab) abc (Hệ Quả BDT Schur) Li gii Bài toán hoàn toàn tơng đơng với toán Cho a,b c cạnh tam giác p nửa chu vi CMR (pa)(pb)(pc) p dng BDT Cụ-Si ta cú. (a+bc)(b+ca) ()= b Hon ton tng t ta cú (b+ca)(c+ab) c; (c+ab)(a+b c) a Nhõn v vi v BDT trờn ta c. [(a+bc)(b+ca)(c+ab)] abc Suy (a+bc)(b+ca)(c+ab) abc (dpcm). Bi 23 (Sa tm) Cho a,b,c số thực dơng. CMR + + 2(a+b+c) Li gii Rt t nhiờn p dng BDT Cụ-Si ta cú 3a+1= a+a+a+1 = 4a Hon ton tung t v ta cn chng minh BDT. + + 2(a+b+c) + + Tip tc p dng BDT Cụ-Si ta cú. + + + + + a+b+c Vy ta cn chng minh. + + Tht vy BDT trờn tng ng vi. ab+bc+ca a+b+c iu ny ỳng theo HQ BDT Cụ-Si. Vy suy (dpcm). ng thc xy a=b=c. Bi 24(Sa tm)Cho a,b,c l ba cnh ca1tam giỏc p l na chu vi CMR + + 2( + + ) Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú + = Hon ton tng t ta cú. + ; + -8nguyễn việt phơng Cng v vi v BDT trờn ta cú. + + 2( + + ) (dpcm). ng thc xy a=b=c hay tam giỏc ú u. Bi 25(Sa tm) Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + + + Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú. + = Hon ton tng t ta cú. + ; + Cng v vi v BDT trờn ta c. + + + + (dpcm) ng thc xy a=b=c. Bi 26 Cho a,b,c l s thc dng. CMR + + ( + + ) Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú. = ( + + +) Hon ton tng t ta cú ( + +); ( + +) Cng v vi v BDT trờn ta cú. + + ( + + )= ( + + ). Cú bn li lm theo kiu ny. = ( + ) (( + + + )) = ( + + + ). Lm tng t ta c (dpcm).ng thc xy a=b=c.Dự lm theo cỏch no cng c nhng cỏc bn nờn lm cỏch u. Bi 26.(Sa tm) Cho a,b l 2s dng tho mn a+b=1 CMR + Li gii Bi toỏn nhỡn thỡ rt n gin nhng y khú khn.Bi toỏn th hin tớnh sỏng to BDT Cụ-Si. Ta cú = + ; = + Cng ng thc trờn ta cú + = (a+b) + + = + + M ta li cú + = -9nguyễn việt phơng vy + + = (dpcm). ng thc xy khi. a=b= . Bi 27 cho a,b,c l cỏc s thc dng tho mn a+b+c=3 CMR + + Li gii p dng BDT Cụ-Si ta cú. + + M ta li cú ab+bc+ca a+b+c Suy = Vy + + (dpcm). ng thc xy a=b=c. Bi 28 Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + + + Li gii R rng õy l mt BDT khụng i xng.Bõy gi ta tỡm cỏch chuyn v mt BDt i xng. ý ta t x =a ; y =b ; z =c BDT cn chng tng ng vi. + + + + p dng BDT Cụ-Si ta cú. + + (+ + + + +) = ( + + ). Suy + + + + hay + + + + (dpcm). ng thc xy a=b=c a=b=c=1. Nu bn no ỏp dng BDT Cụ-si t u thỡ hon ton c nhng nú cha l r c bn cht. Bi 29 Cho a,b,c l cỏc s thc dng . CMR + + . Li gii t BDT trờn lm ta liờn tng n BDT nebist.Ta phi i bin lm v dng ca BDT nebist! t x =1 ;y =b ;z=bc BDT cn chng minh tng ng vi. + + (ỳng) Vy + + (dpcm). ng thc xy b=bc=1hay b=c=1. Bi 30(Sa tm) Cho a,b,c l cỏc s thc dng . CMR + + + + + Li gii õy l mt bi toỏn khụng n gin chỳt no! - 10 nguyễn việt phơng Ta thy khụng th ỏnh giỏ ln hn c nờn ta nhõn c hai v BDT cho a+b+c.khi ú BDT cn CM tng ng vi (a+b+c)( + + ) + + + + + + a( + ) + b( + ) + c( + ) + + iu ny hin nhiờn ỳng ta p dng BDT Cụ-Si. a( + ) hon ton tng t ta Suy (dpcm). ng thc xy a=b=c. Bi 31Cho a,b,c l cỏc s thc dong. CMR + + + + + Li gii nhõn c hai v BDT vi ab+bc+ca ta c. + + + + + + + + + (ab+bc+ca)( + + ) 18 p dng BDT Cụ-Si ta cú + + + + + + + + = ; (ab+bc+ca)( + + ) Cng v vi v 2BDT trờn ta Suy ra. + + + + + (dpcm). ng thc xy a=b=c. Bi 32(Sa tm)Cho a,b,c l cỏc s thc dng cú tng bng CMR + + + 30 Li gii õy l mt bt ng thc hay ũi hi tớnh khộo leo s dng BDT Cụ-Si. Ta lm nh sau + + Vy ta cn chng minh. + 30 p dng BDT Cụ-Si ta cú + + + + (do 3(ab+bc+ca)(a+b+c)) = =30 (dpcm). ng thc xy a=b=c= . Bi 33(Sa tm) Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho mn abc=1. CMR + + Li gii r rng ta khú cú th s dng BDT Cụ-Si + - 11 nguyễn việt phơng Cho nờn ta trụng ch ỏnh giỏ mu. Theo BDT Cụ-Si thỡ a+b 2ab b+1 2b Suy = . Hon ton tng t ta cú + + (+ +) M ta li cú + + = = + + = =1 Vy + + (dpcm). ng thc xy a=b=c=1. Bi 34(Sa tm) cho a,b,c l cỏc s thc dng tho mn + + =2. CMR abc Li gii ta cú = 2( + )= + = + Hon ton tng t ; Nhõn v vi v BDT trờn ta c abc (dpcm) Chỳ ý dng tng quỏt ca nú l. Cho a1,a, ,a l cỏc s thc dng tho mn. + + .+ n1 Khi ú ta cú BDT a1a .a Bi 35(Sa tm) Cho a,b,c l cỏc s tc dng tho mn + + =1 CMR abc Li gii t iu kin ta cú = + =(+) Tng t ta cú ; Nhõn v vi v BDT trờn ta c. Suy abc (dpcm). ng thc xy a=b=c=1. Mt Bi BDT hay! (Sa tm) Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + + + Li gii Bi toỏn khỏ thỳ v v khú ỏnh giỏ nhng may mn l ta cú th s dng i bin a v mt BDT n gin hn. t x =a+b ;y =b+c; z =c+a. - 12 nguyễn việt phơng Suy a = b = c = BDT tng ng vi + + + + (+ +) +(+ +) (+ +)3 iu ny ỳng vi BDT Cụ-Si. Suy + + + + (dpcm). ng thc xy a=b=c. Cỏch 2. Ta cú th cng thờm mt lng ỏnh giỏ c hai. lng ta cn cng l + + vi lng nh trờn ta cú + + + + + = = + + =3 M + + + + + =3 Suy + + + + (dpcm). ng thc xy a=b=c. Bi Tp t gii. Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + + + Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + abc + abc + abc. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + a+b+c Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + ( + + ) Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR + + Cho a,b,c l cỏc s thc dng. - 13 nguyễn việt phơng CMR + + 9(Sa tm) Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR (1+a)(1+b)(1+c) (1+) 10(Sa tm) Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho mn a+b+c CMR (1+ )(1+ )(1+ ) 64 11(Belarus1999) Cho a,b,c l cỏ s thc dng tho a+b+c=3 CMR + + Mt s bi toỏn BDT khú 1(Nguyn Xuõn Thng) Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + + + + + + Li gii õy tụi xin a cỏch chng minh. Cỏch dựng bin i tng ng. Ta cú BDT tng ng vi. (ab)(a+b)+(bc)(b+c)+(ca)(c+a) abc(a+b+c+ab+bc+ca) (ab)(a+bc)+(bc)(b+ca)+(ca)(c+ab) abc+bca+cab + + a+b+c+ab+bc+ca ab+bc+ca + + + (a+b+c) + + (a+b+c) + + a+b+c (*) n õy BDT hin nhiờn ỳng nhng chỳng ta th chng minh(*) bng cỏch khỏc VD bi trờn t x=ab ;y=bc ;z=ca Khi ú BDT(*) tng ng vi. x+y+z xy+yz+zx (ỳng) Suy (dpcm) Cỏch dựng BDT Cụ-Si. p dng BDT Cụ-Si ta cú + ; + ; + Suy + + + + (1) tip tc ỏp dng BDT Cụ-Si ta cú + ; + ; + + ; + ; + Suy + + 2( + + ) (2) Cng v vi v BDT (1) v (2) suy + + + + + + + (dpcm). - 14 nguyễn việt phơng ng thc xy a=b=c. ( Nguyn Xuõn Thng) Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + + 12 5( + + ) Li gii Ta thy õy l BDT rt phc cho nờn ta phi bin di v dng n gin hn. Ta cú + = = = = Hon ton tng t ta cú 4+4= ; 4+4= Vy BDT tng ng vi + + + + Ta xột nhõn c t v mu vi z ta uc (BDT Bunhiacopxki) Tng t ta cú ; Suy + + + + Vy ta cn chng minh + + + + t a= ;b= ;c= bdt cn chng minh tng ng vi a+b+c ab+bc+ca (ỳng) suy (dpcm). ng thc xy a=b=c. 3(JBMO 2002 Shortlist) Cho a,b,c l cỏc số thực dơng. CMR + + + + HD thc bi ny khụng khú Ta ỏp dng BDT Cụ-Si nh sau. + a + + b + + c 2( + + ) Bõy gi ta ch cn chng minh a+b+c + + Theo BDT Cụ-Si thỡ + b + + c + + a 2(a+b+c) Hay a+b+c + + Suy (dpcm). ng thc xy a=b=c. 4(Hong Kong,2000) Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho abc=1 CMR + + - 15 nguyễn việt phơng HD BDT tng ng vi + + + + + Ta cú + + Bõy gi ta ch cn chng minh + + (*) (*) ( + + )(a+b+c) S dng BDT Cụ-si ta cú + + = a+b+c = (abc=1) Nhõn v vi BDT trờn suy (dpcm). ng thc xy a=b=c=1. 5(IMO Shortist,1990) Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng tho mn ab+bc+cd+da =1 CMR + + + HD lm c bi ny ta cn ỏp dng BDT sau. + + .+ BDT cn chng minh tng ng vi. + + + p dung BDT trờn ta cú. + + + R rng 2(ac+bd) a+b+c+d (BDT Bunhiacopxki) 2(ab+bc+ca+da) 2(a+b+c+d) Suy = = (dpcm) ng thc xy a=b=c. 6(Iran 2005) Cho a,b,c l cỏc s thc dng. CMR ( + + ) (a+b+c)( + + ) HD BDT tng ng vi + + + 2( + + ) + + + + + + + + + + + 3+ + + Ta cú + + + 2( + + ) (BDT Cụ-Si) M + + Suy + + + + Li cú + + Cụng v vi v BDT trờn Suy ( + + ) (a+b+c)( + + ) (dpcm) ng thc xy a=b=c. 7(Austria,2005) Cho a,b,c l cỏ s thc dng CMR + + + HD bi ny kụng h khú ! - 16 nguyễn việt phơng Ta vit li BDT tng ng vi + + + + + + p dng BDT Cụ-Si ta cú + + Tng t + + ; + + ; + + Cng v vi v BDT trờn ta cú 3( + + + ) 3( + + + ) Hay + + + + + + (dpcm). ng thc xy a=b=c. 8(Japan,2005) Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho a+b+c=1 CMR a + b + c HD l bi toỏn quc t nhng nú cng n gin m thụi ! p dng BDT Cụ-Si ta cú a + b + c = =1 Suy (dpcm) ng thc xy a=b=c. 9(IMO Shortist 1998) Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho abc=1 CMR + + HD bi ny l mt bi toỏn khú liờn quan n k thut chn im ri BDT Cụ-Si. p dng BDT Cụ-Si ta cú + + hon ton tng t ta cú + + ;+ + Cng v vi v BDT trờn ta cú + + (a+b+c) = = (abc=1) Suy (dpcm). ng thc xy a=b=c=1. Cỏc bn cú th th lm cỏc bi BDT sau. (Nguyn Việt Phơng) Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + (Nguyn Việt Phơng) Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + (Nguyn Việt Phơng) Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + T bi v cỏc bn th ỏnh giỏ + + v + + xem biu thc no mnh hn (Sa tm) Cho a,b,c l cỏc s thc dng - 17 nguyễn việt phơng CMR + + (Iran 1996 Jichen) Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR (ab+bc+ca)( + + ) (Nguyn Việt Phơng) Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + (Nguyn Việt Phơng) Cho a,b,c l cỏc s thc dng CMR + + bi toỏn trờn rt l khú nu cỏc bn ch S dng BDT Cụ-Si thỡ cha m cỏ bn cũn dng thờm s BDT khỏc Mong rng cỏc bn s cú nhng li gii gn hn v p cho nhng vớ d m tụi a trờn Xin cỏm n c bi vit ca tụi! Nguyn Việt Phơng Ngy 14/12/2010 . nguyÔn viÖt ph¬ng CMR + + ≥ Lời giải .Đây là một bài tương đối khó!cho nên ta chuyển BDT về dang sau. + + + + + ≥  ( + + ) +( + + ) ≥ +( + + ) Do + + ≥ (Hệ quả của BDT Cô-Si) Công việc