DAO ĐỘNG TẮT DẦN I Hiện tượng Một vật thực trình dao động điều hoà trình lý tưởng, thực tế vật dao động học xảy môi trường chịu tác dụng lực cản mà kết làm cho vật dao động với biên độ giảm dần Dao động gọi dao động tắt dần II Nguyên nhân Nguyên nhân chung lực cản môi trường ma sát sinh hệ Năng lượng tiêu hao dạng nhiệt tương ứng với giảm dần biên độ dao động III Bài toán ma sát khô Phương trình động lực học chuyển động vật nặng Xét lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m gắn vào đầu lò xo có độ cứng k, đầu cố định Giả thiết lắc lò xo nằm ngang hệ số ma sát trượt hệ số ma sát nghỉ kí hiệu µ mx" = −kx ± μmg Dấu trước số hạng cuối (+) khoảng thời gian vật chuyển động ngược chiều Ox, dấu (−) khoảng thời gian vật chuyển động chiều Ox Vị trí cân vật trình dao động Xét lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m gắn vào đầu lò xo có độ cứng k, đầu cố định Giả thiết lắc lò xo nằm ngang hệ số ma sát trượt hệ số ma sát nghỉ kí hiệu µ Ban đầu vật VTCB O Dùng tay kéo vật cho lò xo dãn A Fđh Fms Fđh Fđh Fms O1 = x0 Vị trí cân nơi cho ∑ ⃗F = Gọi vị trí vị trí cho độ biến dạng lò xo x0 thì: μmg kx0 = μmg → x0 = k Ta có vị trí cân O1 O2 tương ứng với li độ x0 −x0 Fms O2 O Vật từ biên dương vào, chịu tác dụng lực ma sát Fms = μmg A Xét chi tiết chuyển động: + Ban đầu vật vị trí +A + Vật chuyển động hướng tới VTCB, lấy O1 làm VTCB + Sau qua O1 , vật sang “bên kia”, dừng lại vị trí A1 , với A1 đối xứng với A qua O1 (tại ?) A A1 O O1 • A • • A − x0 A − x0 OA1 = ? + Bây giờ, vật O1 , chuyển động phía O Khi chuyển động này, vật lấy O2 làm VTCB Và vật chuyển động đến vị trí A2 với A2 đối xứng với A1 qua O2 A A1 • O2 O • • A − 3x0 OA2 = ? A2 A • A − 3x0 + Tương tự trên, vật lại chuyển động từ A2 sang A3 với A3 đối xứng với A2 qua O1 + Điều kiện để vật dừng lại lực kéo (lực đàn hồi lò xo nằm ngang) nhỏ lực ma sát nghỉ (vật dừng lại nên ma sát, mà ma sát nghỉ) k|x| ≤ μmg → |x| ≤ x0 Vật dừng lại vị trí biên độ An nằm khoảng O1 O2 * Nhận xét: Cứ sau nửa chu kì, ‘biên độ’ lại giảm lượng 2x0 , hay nói cách khác, vật ‘tiến lại gần O’ khoảng 𝟐𝐱 𝟎 Bài tập - Tính vận tốc vị trí Tìm vị trí dừng lại sau Tìm số lần dao động Tìm quãng đường mà vật dừng hẳn Cách xử lý: - Tìm vận tốc vị trí đó: Sử dụng định lý bảo toàn lượng: Luôn Ví dụ Cho vật nặng m, móc vào lò xo có độ cứng k, dao động với hệ số ma sát μ Ban đầu kéo vật khỏi VTCB O đoạn A buông tay Hỏi vật có vận tốc cực đại vị trí nào? A O O1 A • • A − x0 Giải + Trong trình di chuyển, lực ma sát gây công âm Ams = −μmgs, di chuyển nhiều, vật lượng + Ta biết, vật dao động ma sát, vận tốc cực đại VTCB Nhưng có vị trí O, O1 , O2 : Chắc chắn O2 , lý luận trên, di chuyển nhiều, vật nhiều lượng Tại O1 , ta gọi VTCB mới, lò xo dãn đoạn x0 = μmg k , nên động ‘một phần’ Tại O, lò xo không biến dạng, không năng, O lại nhỏ O1 Vậy ta tính vận tốc O O1 : + Tại O: 1 𝐤 mvO2 = kA2 − μmgA → 𝐯𝐎𝟐 = 𝐀𝟐 − 𝟐𝛍𝐠𝐀 2 𝐦 + Tại O1 : vO1 Lại có x0 = μmg k 1 mvO1 + kx02 = kA2 − μmg(A − x0 ) 2 k k k = A2 − x02 − 2μg(A − x0 ) = [ (A + x0 ) − 2μg] (A − x0 ) m m m k → m x0 = μg k 𝐤 → vO1 = ( A − μg) (A − x0 ) = (𝐀 − 𝐱 𝟎 )𝟐 m 𝐦 So sánh: k k 2k k2 k2 (A − x0 )2 − A2 + 2μgA = − Ax0 + x02 + 2μgA = x02 > m m m m m Vậy, vận tốc O1 lớn hơn, toàn trình dao động tắt dần, vật đạt tốc độ cực đại O1 , lần vO1 − vO2 = Tương tự, yêu cầu tính vị trí bất kì: Sử dụng bảo toàn lượng - Tìm vị trí dừng lại sau Tìm số lần dao động Tìm quãng đường mà vật dừng hẳn Cách xử lý: Đếm, lâu Ví dụ Một lắc lò xo dao động mặt phẳng nằm ngang Ban đầu kéo vật đến vị trí lò xo bị dãn 9,5cm thả sau quãng đường 8,5cm; vật đạt tốc độ cực đại 85 cm/s Bỏ qua lực cản không khí tác dụng vào vật a) Tính quãng đường vật chuyển động từ lúc bắt đầu dao động đến lúc dừng lại b) Tính thời gian chuyển động vật Giải Ta thấy kéo lò xo dãn 9,5cm 8,5cm vật A đạt tốc độ cực đại → Dao động tắt dần A = 9,5cm; x0 = 9,5 − 8,5 = 1cm O O1 A • • A − x0 k m m k Lại có vmax = √ (A − x0 )2 = 85 cm/s → T = 2π√ = 0,2π s a) Vẽ lần dao động, nhớ phải lấy đối xứng qua O1 O2: Điểm dừng cuối điểm F Tổng quãng đường vật là: s = 2(8,5 + 6,5 + 4,5 + 2,5 + 0,5) = 45cm b) Vật nửa chu kì (3 lượt lượt về) nên 5T 5.0,2π = = 0,5π s 2 Ví dụ Chứng minh biên độ dao động tắt dần giảm theo cấp số cộng, với trường hợp lắc lò xo nằm ngang, hệ số ma sát μ t= Giải Gọi ΔA độ giảm biên độ sau lần qua VTCB lần thứ i ΔA = Ai − Ai+1 Độ giảm trước sau công lực ma sát: 2 kA − kA = |Ams | = μmgs i i+1 với s = Ai + Ai+1 Biến đổi ta được: ΔA = Ai − Ai+1 = 2μmg = const k Như vậy, sau nửa chu kì, biên độ giảm lượng 2μmg k = 2x0 , biên độ giảm theo cấp số cộng với công sai ΔA = 2μmg = 2x0 k Số lần vật dao động: N A0 = ΔA Ví dụ Tính quãng đường vật từ lúc thả đến lúc vật dừng lại, cách tổng quát n= Giải Giả sử vật dừng vị trí x với −x0 ≤ x ≤ x0 gọi tổng quãng đường vật s, ta có: 2 k(A2 − x ) A2 − x kA = kx + μmgs → s = = 2 2μmg ΔA Xét tỉ số A ΔA = n + q với (q < 1) thì: + Nếu q = 0: Vật dừng lại VTCB O, đó: A2 s= ΔA + Nếu q = 0,5: Vật dừng lại O1 O2 , đó: A2 − x02 s= ΔA + Nếu 0,5 < q < 1: Vật dừng lại trước qua VTCB O, biên độ cuối vật An = qΔA = x0 + r ΔA với r = q − 0,5 Khi k(A2n − x ) = μmg(An − x) → An + x = 2x0 → x0 + rΔA + x = 2x0 Ta tính x quãng đường s A2 − x s= ΔA + Nếu < q < 0,5: Vật dừng lại sau qua VTCB O, biên độ cuối vật An = ΔA + p Khi k(A2n − x ) = μmg(An + x) → An − x = ΔA Ta tính x quãng đường s A2 − x s= ΔA Ta thấy ta hoàn toàn giải toán cách tổng quát, công thức loằng ngoằng ! Không khuyến khích cách sử dụng Bài tập Câu Một lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m vật m = 100g, dao động mặt phẳng ngang, hệ số ma sát vật mặt ngang μ = 0,02 Kéo vật lệch khỏi VTCB đoạn 10cm thả nhẹ cho vật dao động Quãng đường vật từ bắt đầu dao động đến dừng hẳn là: A s = 50m B s = 25m C s = 50cm D s = 25cm Câu Một lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m vật m = 1000g, dao động mặt phẳng ngang, hệ số ma sát vật mặt ngang μ = 0,01 Cho g = 10m/s2, lấy π2 = 10 Kéo vật lệch khỏi VTCB đoạn 8cm thả nhẹ cho vật dao động Số chu kì vật thực từ bắt đầu dao động đến dừng hẳn là: A N = 10 B N = 20 C N = D N = 25 Câu Một lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 50N/m vật m = 1kg, dao động mặt phẳng ngang, hệ số ma sát vật mặt ngang μ = 0,1 Cho g = 10m/s2, lấy π2 = 10 Kéo vật lệch khỏi VTCB đoạn 5cm thả nhẹ cho vật dao động Vật dao động tắt dần dừng lại vị trí cách vị trí cân đoạn xa Δℓmax bao nhiêu? A Δℓmax = 5cm B Δℓmax = 7cm C Δℓmax = 3cm D Δℓmax = 2cm Câu Một lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg lò xo có độ cứng N/m Vật nhỏ đặt giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giá đỡ vật nhỏ 0,1 Ban đầu giữ vật vị trí lò xo bị nén 10 cm buông nhẹ để lắc dao động tắt dần (g = 10 m/s2) Tốc độ lớn vật nhỏ đạt trình dao động là: A 10√30 cm/s B 20√6 cm/s C 40√2 cm/s D 40√3 cm/s Câu Một lắc đơn gồm dây mảnh dài ℓ có gắn vật nặng nhỏ khối lượng m Kéo lắc khỏi vị trí cân góc α0 = 0,1 rad thả cho dao động nơi có gia tốc trọng trường g Trong trình dao động lắc chịu tác dụng lực cản có độ lớn FC không đổi ngược chiều chuyển động lắc Tìm độ giảm biên độ góc ∆α lắc sau chu kì dao động Con lắc thực số dao động N dừng? Cho biết FC = mg 10−3 N A ∆α = 0,004rad, N = 25 B ∆α = 0,001rad, N = 100 C ∆α = 0,002rad, N = 50 D ∆α = 0,004rad, N = 50 Câu Cho lắc đơn dao động môi trường không khí Kéo lắc lệch khỏi phương thẳng đứng góc 0,1 rad thả nhẹ Biết lực cản không khí tác dụng lên lắc không đổi 0,001 lần trọng lượng vật Coi biên độ giảm chu kì Số lần lắc lắc qua vị trí cân từ lúc bắt đầu dao động đến lúc dừng lại là: A 25 B 50 C 100 D 200 Câu Một lắc đồng hồ coi lắc đơn có chu kì dao động T = 2s, vật nặng có khối lượng m = 1kg Biên độ góc dao động lúc đầu α0 = 50 Do chịu tác dụng lực cản không đổi FC = 0,011 N nên dao động được mọ t thời gian rò i dừng lạ i Xac định t A t = 20s B t = 80s C t = 40s D t = 10s Câu Một lắc đồng hồ coi lắc đơn có chu kì dao động T = 2s, vật nặng có khối lượng m = 1kg, dao động nơi có g = π2 = 10 m/s2 Biên đọ goc dao động lúc đầu α0 = 50 Do chịu tác dụng lực cản không đổi FC = 0,011 N nên dao động tắt dần Người ta dùng pin co suất điện động 3V điện trở không đáng kể để bổ sung lượng cho lắc với hiệu suất qua trình bổ sung 25% Pin có điện lượng ban đầu Q0 = 104 C Hỏi đồng hồ chạy thời gian t lại phải thay pin? A t = 40 ngày B t = 46 ngày C t = 92 ngày D t = 23 ngày ... m = 1kg, dao động nơi có g = π2 = 10 m/s2 Biên đọ goc dao động lúc đầu α0 = 50 Do chịu tác dụng lực cản không đổi FC = 0,011 N nên dao động tắt dần Người ta dùng pin co suất điện động 3V điện... 50N/m vật m = 1kg, dao động mặt phẳng ngang, hệ số ma sát vật mặt ngang μ = 0,1 Cho g = 10m/s2, lấy π2 = 10 Kéo vật lệch khỏi VTCB đoạn 5cm thả nhẹ cho vật dao động Vật dao động tắt dần dừng lại vị... đường vật chuyển động từ lúc bắt đầu dao động đến lúc dừng lại b) Tính thời gian chuyển động vật Giải Ta thấy kéo lò xo dãn 9,5cm 8,5cm vật A đạt tốc độ cực đại → Dao động tắt dần A = 9,5cm; x0