KIẾN THỨC CƠ BẢN I - ĐỊNH NGHĨA Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian gọi là dao động tắt dần.. Phương trình động lực học của chuển động của vật nặng mx '' kx mg F kx: lực
Trang 1DAO ĐỘNG TẮT DẦN
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
I - ĐỊNH NGHĨA
Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian gọi là dao động tắt dần
II – NGUYÊN NHÂN
Nguyên nhân chung là do lực cản của môi trường và ma sát sinh ra ở trong hệ Năng lượng tiêu hao dưới dạng nhiệt tương ứng với sự giảm dần biên độ dao động
III – KIỂU DAO ĐỘNG TẮT DẦN DO LỰC MA SÁT KHÔ
Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu lò xo có độ cứng k, đầu kia
cố định Giả thiết rằng con lắc lò xo nằm ngang và hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và kí hiệu là µ
1 Phương trình động lực học của chuển động của vật nặng
mx '' kx mg
F kx: lực kéo về
(1.1)
Dấu trước số hạng cuối cùng là (+) trong khoảng thời gian vật chuyển động ngược chiều Ox, là dấu (-) trong khoảng thời gian vật chuyển động cùng chiều Ox
2 Vị trí cân bằng của vật trong quá trình dao động
Xét sự tương tự giữa chuyển động của vật với con lắc lò xo đặt thẳng đứng (định tính)
k
O1
O
P
chiều chuyển động
ms
F
chiều chuyển động
B
ms
F
O2
B
O2
O
P
- Vai trò của P và F ms là như nhau
+ Trọng lực P không ảnh
hưởng tới chu kì dao động
của con lắc; lực F ms cũng
không ảnh hưởng tới chu
kì dao động của con lắc
+ P làm VTCB của con lắc
được kéo xuống đoạn OO 1
= mg/k ; Lực F ms cũng làm
VTCB của dao động chuyển từ O đến O 1 với
OO 1 = F ms /k
- Vai trò của P và F ms là như nhau
+ Trọng lực P không ảnh
hưởng tới chu kì dao động
của con lắc; lực F ms cũng
không ảnh hưởng tới chu
kì dao động của con lắc
+ P làm VTCB của con lắc
được kéo xuống đoạn OO 2
= mg/k ; Lực F ms cũng làm
VTCB của dao động chuyển từ O đến O 2 với
OO 2 = F ms /k
Trang 2* Xét cụ thể chuyển động của vật nặng với điều kiện ban đầu : Vật được kéo đến tọa độ x = A0 và thả không vận tốc đầu Trong quá trình chuyển động của vật, hợp lực tác dụng lên vật :
mg
k
Như vậy, vật nặng chịu tác dụng của lực kéo về tỉ lệ với khoảng cách từ điểm O1 (có tọa độ
mg
k
) đến vật, và luôn hướng về O1.Vì vậy, vật sẽ thực hiện một nửa dao động điều hòa với tần
m
, từ vị trí x = A0 qua vị trí cân bằng mới O 1 và dừng lại tại vị trí đối xứng với vị trí ban đầu
qua O1 Vị trí này có tọa độ - A0 + 2x0 Biên độ dao động là A0 – x0
Khi vật tới vị trí này, nếu Fdh Fmsnmaxthì vật chuyển động ngược trở lại theo chiều trục Ox và
thực hiện tiếp nửa dao động điều hòa với tần số góc k
m
qua vị trí cân bằng O 2 (có tọa độ
mg
k
) và dừng lại tại điểm có tọa độ A – 4x0 Trong giai đoạn này, chuyển động của vật
cũng là điều hòa với cùng tần số góc ω như giai đoạn trước nhưng vị trí cân bằng là O2 và biên độ là A – 3a
Quá trình dao động được thực hiện cho tới khi vật dừng lại
* Tọa độ của các vị trí biên :
*Tóm lại :
- Sau mỗi nửa chu kì, biên độ dao động giảm một lượng 0
2 mg
k
chu kì, vị trí biên nhích lại gần O một đoạn là 2x 0
- Sau mỗi chu kì, biên độ dao động giảm một lượng là 4x 0
3 Điều kiện để vật dừng lại hẳn
a) v = 0
mg
k
B BÀI TẬP
I ĐỘ GIẢM CƠ NĂNG CỦA DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1 Phần trăm cơ năng bị mất sau 1 chu kì
Ta chỉ xét trường hợp dao động tắt dần chậm (ma sát nhỏ) , độ giảm biên độ sau mỗi chu kì
rất nhỏ → A + A' ≈2A
O2
Trang 3A A
là phần trăm biên độ bị giảm trong một chu kì
VD1 Một con lắc dao động tắt dần trong môi trường với lực ma sát rất nhỏ Cứ sau mỗi chu kì, biên độ giảm
đi 3% Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu phần trăm?
Lời giải
Do dao động tắt dần chậm vì lực ma sát nhỏ nên sau mỗi chu kì, phần trăm năng lượng của con lắc bị mất đi
là :
2 Phần trăm cơ năng bị mất sau n chu kì
- Phần trăm biên độ bị giảm sau n chu kì : hna = A An
A
- Phần trăm biên độ còn lại sau n chu kì : An na
1 h
- Phần trăm cơ năng còn lại sau n chu kì :
2
nw
h
- Phần trăm cơ năng bị mất (chuyển thành nhiệt) sau n chu kì : n
nw
W-W
1 h
VD1 Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần, sau ba chu kì đầu tiên biên độ của nó giảm đi 10% Phần
trăm cơ năng còn lại sau khoảng thời gian đó là
Giải
Theo bài ra sau 3 chu kì biên độ giảm đi 10% nên ta có :
2 2
VD2 Một con lắc lò xo đang dao động với cơ năng ban đầu của nó là 8J, sau 3 chu kì đầu tiên biên độ của
nó giảm đi 10% Phần cơ năng chuyển thành nhiệt sau khoảng thời gian đó là :
Giải
Phần trăm cơ năng còn lại sau 3 chu kì là :
2
Trang 4II ĐỘ GIẢM BIÊN ĐỘ TRONG DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1 Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì Biên độ dao động sau n dao động
- Ta chỉ xét dao động tắt dần chậm nên độ giảm biên độ sau một chu kì rất nhỏ
- Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát thực hiện trong chu kì đó :
2 2
ms
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì : 4Fms
A k
- Độ giảm biên độ sau nửa chu kì: A 2Fms
- Biên độ dao động còn lại sau n chu kì: An = A – n.∆A
VD1 Con lắc lò xo dao động theo phương ngang, lò xo nhẹ có độ cứng 100N/m, vật nhỏ dao động có khối
lượng 100g, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,01 Độ giảm biên độ sau mỗi lần vật qua vị trí cân bằng
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì: ∆A = 4Fms 4.0,01.10.0,1 3
0, 4.10 m
- Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì : A
0,2mm 2
VD2 Một vật khối lượng 100g nối với một lò xo có độ cứng 100(N/m) Đầu còn lại của lò xo gắn cố định,
sao cho vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 8cm rồi buông nhẹ Lấy gia tốc trọng trường 10m/s2 Khi hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,2 Biên
độ dao động của vật sau 5 chu kì dao động là:
Giải
Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì : A 4 mg 0,8cm
k
Biên độ dao động của vật sau 5 chu kì : A' = A – 5.∆A = 4cm
2 Số dao động thực hiện được và thời gian trong dao động tắt dần
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì : 4Fms
A k
- Tổng số dao động thực hiện được: N A
A
t N.T N.2
k
Trang 5- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì : 4Fms
A k
- Tổng số dao động thực hiện được : N = A/∆A = 25
VD2 Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một lò xo nhẹ có k = 100N/m, một đầu cố định, một đầu gắn vật
nặng có khối lượng m = 0,5kg Ban đầu kéo vật theo phương thẳng đứng khỏi vtcb 5cm rồi buông nhẹ cho vật dao động Trong quá trình dao động vật luôn chịu ác dụng của lực cản có đọ lớn bằng 1/100 trọng lực tác dụng lên vật Coi biên độ của vật giảm đều trong từng chu kì, g = 10m/s2 Số lần vật qua vtcb kể từ khi thả vật đến khi nó dừng hẳn bằng bao nhiêu?
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì : ∆A = 4Fms/k=0,2cm
- Tổng số dao động thực hiện được : N A 25
A
- Tổng số lần qua vtcb : 25.2 = 50 lần
VD3 Một con lắc lò xo m = 100g, k = 100N/m, dao động trên mặt phẳng ngang với biên độ ban đầu là
10cm g = 10m/s2 Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng 0,1 Tìm thời gian dao động
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì : 4Fms
A k
- Tổng số dao động thực hiện được : N A
A
- Thời gian thực hiện dao động: t N.T N.2 m
k
VD4 Một vật khối lượng m nối với lò xo có độ cứng k Đầu còn lại của lò xo gắn cố định, sao cho vật có
thể dao động theo trục Ox trên mặt phẳng nghiêng so với mặt nằm ngang góc 600 Hệ số ma sát 0,01 Từ vtcb truyền cho vật vận tốc đầu 50(cm/s) thì vật dao động tắt dần Xác định khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn Lấy gia tốc trọng trường 10m/s2
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì:
0 ms
A
- Tổng số dao động thực hiện được :
0
N
Trang 6III QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG TẮT DẦN
Bài toán: Một CLLX đặt trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng là µ Ban đầu kéo vật ra khỏi vị trí cân bẳng (Lò xo không biến dạng) một đoạn A 0 rồi buông nhẹ Tính quãng đường vật đi được từ lúc thả vật đến lúc dừng lại
Bài giải:
Cách 1
+ Xác định vị trí 0
mg x
k
+ Tìm số lần vật thực hiện 1/2 dao động : 0
0
A
m, n 2x
* Nếu n > 5 → Số lần 1/2 dao động là a = m + 1
* Nếu n ≤ 5 → Số lần 1/2 dao động là a = m
+ Thời gian dao động là : t a.T
2
+ Quãng đường vật đi được : S = 2A0.a – x0.(2 + 6 + 10 +…) ; (trong ngoặc là cấp số cộng với công sai là 4)
→ S2A a0 2.x a0 2
Cách 2
+ Tính xo = mg
k
+ Gọi A là độ giảm biên độ trong 1/2 chu kì A = 2mg
k = 2xo
+ Xét tỉ số Ao
∆A = n + q (q < 1) Ta có các trường hợp sau:
1 q = 0 (Ao chia hết cho ∆A): vật chắc chắn dừng lại ở VTCB (các bạn tự CM), khi đó
s = Ao
2
∆A
2 q = 0,5 (Ao là số ban nguyên lần ∆A): vật dừng lại ở vị trí có |x| = xo Khi đó:
s = Ao
2
– xo2
3 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước khi dừng của vật là An = q.∆A = xo + rΔA (r = q – 0,5)
Vật sẽ dừng trước khi qua VTCB Ta có
1
2k(An – x
2
) = mg(An – x) An + x = = 2xo
xo + rΔA + x = 2xo x = xo – rΔA = (1 –2 r)xo x=ΔA(1-q)
s = Ao
2
– x2
∆A với x tính được theo công thức trên
4 0 < q < 0,5: Trước đó ½ chu kì, biên độ của vật là : An = ∆A + p Vật dừng lại sau khi qua VTCB 1 đoạn x Ta có
1
Trang 7- Trong nửa chu kì cuối , vật sẽ chuyển động từ điểm M nào đó nằm ngoài đoạn O1O2 đến điểm M’ nằm trong đoạn O1O2
- Tọa độ vật khi dừng : xA0n.2a với n là số nguyên lần nửa chu kì
+ Vật dừng khi : a xa a A0n.2aa Giải bất phương trình trên để tính n từ đó suy ra tọa độ vật khi dừng
- Theo định luật bảo toàn năng lượng : 02 2
Ví dụ 1
Con lắc lò xo nằm ngang có k
m = 100(s
2
), hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và cùng bằng
0,1 Kéo vật ra khỏi VTCB 1 đoạn Ao rồi buông Cho g = 10m/s2 Tìm quãng đường tổng cộng vật đi được trong các trường hợp sau:
1 Ao = 12cm 2 Ao = 13cm 3 Ao = 13,2cm 4 Ao = 12,2cm
Áp dụng cụ thể cho bài toán trên:
∆A = 2cm ; xo = 1cm
1 Ao = 12cm, chia hết cho A nên s = 12
2
2 = 72cm
2 Ao = 13cm, chia cho A ra số bán nguyên, vật dừng cách VTCB1 đoạn xo nên
s = 13
2
12
2 = 84cm
3 Ao = 13,2cm: Ao
A = 6,6 Biên độ cuối cùng là An = 0,6.A = 1,2cm Vật dừng lại trước khi qua VTCB
1
2k(An
2
x2) = mg(An x) An + x = A x = 2 1,2 = 0,8cm
s = 13.2
2
0.82
4 Ao = 12,2cm Biên độ cuối cùng là An1 = 2,2cm vật dừng cách VTCB một đoạn x = 0,2cm
s = 12.2
2
0.22
* Các phần trên dùng công thức S2A a0 2.x a0 2 đều cho kết quả đúng
Ví dụ 2
Một con lắc lò xo gồm lò xo k = 100N/m và vật nặng m =160g đặt trên mặt phẳng nằm ngang Kéo vật đến
vị trí lò xo dãn 24,0mm rồi thả nhẹ Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là µ = 5/16 Lấy g = 10m/s2 Từ lúc thả đến lúc dừng lại, vật đi được quãng đường bằng
A 43,6mm B 60,0mm C 57,6mm D 56,0mm
Giải
* Ta có : x0 = 5.10 – 3 (m)
* 0
0
2, 4
2x 2.5 → a = 2
S2A a2.x a 2.24.22.5.2 56 mm
Kết luận : Theo tôi, bài toán về quãng đường đi trong dao động tắt dần nên làm theo cách 1 là chính xác,
nhanh gọn nhất