MỘT PHƯƠNG PHÁP THAY ĐỔI BIẾN SỐĐối với một số bài toán chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức của các biến số thực a, b, c có tích bằng 1, sẽ dễ dàng hơn khi ta biến đổi về dạng đẳng t
Trang 1MỘT PHƯƠNG PHÁP THAY ĐỔI BIẾN SỐ
Đối với một số bài toán chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức của các biến số thực a, b, c có tích bằng 1, sẽ dễ dàng hơn khi ta biến đổi về dạng đẳng thức hoặc bất đẳng thức của các biến số mới x, y, z với a = xy; b = yz; c = xz Ở đây vì a, b, c khác 0 nên
x, y, z cũng khác 0 và nếu a, b, c dương thì x, y, z cũng dương Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số thực có tích bằng 1 Chứng minh rằng:
1/ 1 a ab+ +1 + 1 b bc+ +1 + 1 c ca+ +1 = 1 (1)
2/ a 1 1
b
− +
1
b 1
c
− +
1
c 1 a
− +
= a 1 1
b
+ −
1
b 1
c
+ −
1
c 1 a
+ −
(2) Giải: Vì abc = 1 nên ta có thể đặt: a = xy; b = yz; c = xz với x, y, z là các số thực khác 0 Khi đó
ta có: Vế` trái của (1) được biến đổi thành:
1/
1
x x
1
y z
+ + +
1
y y 1
z x + + +
1
z z 1
x y + + = xy yz zx+yz+ + xy yz zx+zx+ + xy yz zx+xy+ = xy yz zxxy yz zx++ ++ = 1 2/ Vế trái của (2) biến đổi thành: x 1 z
− +
− +
− +
= x y z y z x z x y
− + − + − +
= (x y z y z x z x y− + )( − +xyz )( − + ) (*)
Tương tự ta cũng biến đổi được vế phải của (2) về biểu thức (*); Suy ra điều chứng minh
Ví dụ 2: (IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng:
1
a 1
b
− +
1
b 1
c
− +
1
c 1 a
− +
≤ 1 Giải: Vì abc = 1 và a, b, c là các số thực dương nên ta có thể đặt: a = xy; b = yz; c = zx với x, y,
z là các số thực dương Theo kết quả của ví dụ 1 ta có: a 1 1
b
− +
1
b 1
c
− +
1
c 1 a
− +
≤ 1 <=>
<=> (x y z y z x z x y− + )( − +xyz )( − + ) ≤ 1 <=> (x – y + z)(y – z + z)(z – x + y) ≤ xyz (*)
Do x, y, z có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 0
Như vậy x – y + z > 0 và y – z + x > 0
+ Nếu z – x + y < 0 thì (*) hiển nhiên đúng
+ Nếu z – x + y > 0; Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:
(x y z y z x− + )( − + )≤x; (y z x z x y− + )( − + ) ≤y và (z x y x y z− + )( − + ) ≤z
Nhân từng vế của các bất đẳng thức trên ta suy ra được (*)
Vậy (*) đúng với mọi x, y, z là các số thực dương
Trang 2Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1 Chứng minh rằng:
1
a b 1+ + b c 1( 1+ ) + c a 1( 1+ ) ≥ 3
Giải: Vì abc = 1 và a, b, c là các số thực dương nên ta có thể đặt: a = xy; b = yz; c = zx với x, y,
z là các số thực dương, thì (1) trở thành: ( )
1
x y 1
y z+ + ( )
1
y z 1
z x+ + ( )
1
z x 1
x y+ ≥ 32
<=> xy zx yz xy zx yzyx + zx + xy
3
2; Đây chính là bất đẳng thức Nét-sbít cho 3 số dương (xy, yz, zx); Suy ra điều chứng minh
+Ngược lại: đối với một số bài toán chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức mà các biểu thức (hoặc biến đổi của chúng) có chứa các biểu thức ab; bc; ac việc đặt x = ab; y =
b
c; z = ca với lưu ý rằng xyz = 1 luôn là một phương pháp hữu hiệu.
Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:
a 2b b 2c c 2a+ + ≤
a 2b b 2c c 2a+ + ≥
Giải: 1/ Bất đẳng thức cần chứng minh <=>
Đặt: x = ab; y = bc; z = ac ta có x, y, z là các số thực dương thoả mãn xyz = 1 Suy ra: (3) <=> 1 1 1 1
x 2 y 2 z 2+ + ≤
<=> (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2) (x + 2) ≤ (x + 2)(y + 2)(z + 2)
<=> (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12 ≤ xyz + 2(xy + yz + xz) + 4(x + y + z) + 8
<=> 4 ≤ xyz + xy + yz + xz <=> 3 ≤ xy + yz + xz Đây là bất đẳng thức đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có: xy + yz + xz ≥ 3 xyz3( )2 = 3xyz = 3
Suy ra điều chứng minh
2/ Có thể chứng minh tương tự câu 1 hoặc sử dụng kết quả câu 1 và đẳng thức:
a 2b b 2c c 2a+ +
+ + + + 2( b c a )
a 2b b 2c c 2a+ +
+ + + = 3 để nhận được bất đẳng thức cần chứng minh
Ví dụ 5: Tìm tất cả các số thực dương a, b, c thoả mãn phương trình:
a b b c c a 2+ + =
Trang 3Giải: Đặt x = ab; y = bc; z = ac; xyz = 1 thì phương trình đã cho tương đương với phương trình:
x 1 y 1 z 1 2+ + =
+ + + Quy đồng mẫu số, khai triển các tích và rút gọn với chú ý xyz = 1) ta được phương trình: (xy + yz + zx) – (x + y + z) = 0
<=> xyz – (xy + yz + zx) + (x + y + z) – 1 = 0
<=> (x – 1)(y – 1)(z – 1) = 0
<=> x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1 <=> a = b; b = c; c = a hay a = b = c
Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:
c c a +a a b +b b c
c a a b b c+ +
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
c c a +a a b + b b c
c a a b b c+ +
<=> .( ) .( ) .( )
+ +
Đặt x = ab; y = bc; z = ca; xyz = 1 thì:
<=> z 1 x 1 y 1y + z + x
+ + + ≥
z 1 x 1 y 1+ + + + +
<=> y(x + 1)(y + 1) + z(y + 1)(z + 1) + x(z + 1) (x + 1) ≥ (x + 1)(y + 1) + (y + 1)(z + 1) + (z + 1) (x + 1)
<=> (xy2 + yz2 +zx2) + (x2 + y2 + z2) + (xy + yz + zx) + (x + y + z) ≥ (xy + yz + zx) + 2(x + y + z) + 3
<=> (xy2 + yz2 +zx2) + (x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z) + 3
<=> (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 + (x + y + z – 3) + (xy2 + yz2 +zx2 – 3) ≥ 0 (**)
Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương với chú ý xyz = 1, ta có:
x + y + z ≥ 3.3xyz = 3 và xy2 + yz2 +zx2 ≥ 3.3(xyz)3 = 3
Từ đó suy ra (**) là bất đẳng thức đúng Nên ta có điều phải chứng minh
Bài tập áp dụng:
1/ Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: 1/ 2 a2 2 b2 2 c2
a 2bc b+ 2ca c+ 2ab≥
a 2bc b+ 2ca c+ 2ab≤
2/ Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a ≥ b ≥ a c
2
+
Chứng minh rằng:
a bc b+ ca c+ ab≥
3 2