tài liệu về giới hạn - đại số lớp 11

GV TRẦN QUỐC NGHĨA Chủ đề GIỚI HẠN – LIÊN TỤC Vấn đề GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A - GIỚI HẠN HỮU HẠN  Giới hạn hữu hạn  lim un =  un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở n   Dãy số (un) có giới hạn L nếu: lim = L  lim (vn – L) = n  n   Lưu ý: Ta viết gọn: lim un = 0, lim un = L  Giới hạn đặc biệt 1) lim =0 n 2) lim n =0 3) lim 5) lim C = C (với C  R) 6) lim qn = q < 1) 8) lim qn = +  q > 9) lim nk = +  với k  N* n =0 4) un =  lim un = 7) lim = (k  N*) nk  Định lí giới hạn • Nếu hai dãy số (un) (vn) có giới hạn ta có: 1) lim(un  vn) = lim un  lim 2) lim(un vn) = lim un lim u limun 3) lim n = (Nếu lim  0) 4) lim(k.un) =k lim un (k  R) limvn 6) lim k un  k limun (nếu un  0) (căn bậc chẵn) 5) limun = lim un 7) lim k 1 un  k 1 limun (căn bậc lẻ) 8) Nếu un  lim  limun  - Định lí kẹp giới hạn dãy số: Cho ba dãy số (un), (vn), (wn)  N* lim un = lim wn = L (vn) có giới hạn lim = L u • Nếu lim un = a lim =   lim n = L Nếu un   wn , n 1) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn 2) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn n 1   Chú ý: e = lim  1+   2,718281828459…, số vô tỉ n   Tổng cấp số nhân lùi vô hạn • Một cấp số nhân có công bội q với q < gọi cấp số nhân lùi vô hạn u Ta có : S = u1 + u1q + u1q2+ … = (với q < 1) 1 q B - GIỚI HẠN VÔ CỰC  Định nghĩa  lim un = +  un lớn số dương lớn tùy ý , kể từ số hạng trở n   lim un =    un nhỏ số âm nhỏ tùy ý , kể từ số hạng trở n   lim un = –  lim (– un) = + n  n   Lưu ý: Ta viết gọn: lim un =   TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2  Định lí =0 un  Neáu lim un = + lim  Nếu lim un =0 (un  0, n  N*)  lim = un  Một vài qui tắc tìm giới hạn Qui tắc 1: Nếu lim un =   lim =  , lim(un.vn) là: Qui tắc 2: Nếu lim un =   lim = L  0, lim(un.vn) là: lim un lim lim(un.vn) + +   +  +  +   + Qui tắc 3: Nếu lim un = L, lim = > < kể từ số hạng trở thì: lim un Dấu L lim(un.vn) + +   +   + +  +  L Dấu lim + +   +  +  un +   + [[[ [[ Dạng Dãy có giới hạn A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Dãy (un) có giới hạn số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết: lim( un )  limun  un  limun     0, n0  * : n  n0  un    Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)  Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp thức, … B BÀI TẬP MẪU VD 1.1 Chứng minh dãy sau có giới hạn 0: n 3 c) u n  n a) u n  (1) n n4 (1) n b) u n  n b) u n  c) u n  n2 c) u n  (0,99) n d) u n  , k nguyên dương nk d) u n  (0,97)n GV TRẦN QUỐC NGHĨA VD 1.2 Chứng minh dãy sau có giới hạn 0: a) u n  n(n  1) b) v n  (1)n cos n n2  VD 1.3 Tính giới hạn sau: a) u n  sin n n 5 b) u n  cos 3n n 1 c) u n  (1) n 3n  d) u n   sin 2n (1, 2) n VD 1.4 Tính: a) lim n  2sin(n  1) n n  23 n b) lim (2)n 33n  c) lim  n 1  n  d) lim  n2 1  n  TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 VD 1.5 Chứng minh dãy sau có giới hạn 0: a) u n  n   n b) v n  n   n VD 1.6 Cho dãy số (un) với u n  a) Chứng minh n 3n u n 1  với n un b) Chứng minh dãy (un) có giới hạn u , u n 1  u n2  n , n  a) Chứng minh  u n  với n b) Tính limun VD 1.7 Cho dãy số (un) với u1  GV TRẦN QUỐC NGHĨA Dạng Khử dạng vô định   A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Đối với dãy un  a0 n m  a1n m1   am , a0  0, b0  chia tử lẫn mẫu phân thức cho lũy b0 n k  b1n k 1   bk thừa lớn n tử nm mẫu nk, việc đặt thừa số chung cho nm mẫu nk rút gọn, khử dạng vô định Kết quả: 0 m  k  a a limun   m  k (dấu + – tùy theo dấu ) b0  b0  m  k  Đối với biểu thức chứa bậc hai, bậc ba đánh giá bậc tử mẫu để đặt thừa số chung đưa thức, việc chia tử mẫu cho lũy thừa số lớn n tử mẫu  Đối với biểu thức mũ chia tử mẫu cho mũ có số lớn tử mẫu, việc đặt thừa số chung cho tử mẫu số hạng  Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … sử dụng kết biết B BÀI TẬP MẪU VD 1.8 Tính giới hạn sau: a) lim 2n  3n  b) lim n  3n  3n  c) lim n3  n2  n 1 2n  n  d) lim 2n  3n  n  TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 VD 1.9 Tính giới hạn sau: 3n  n  n  4n  n  n  3n  d) lim 4n  6n  a) lim n4  n5  (n  2)(3n  1) e) lim 4n  n  b) lim 2n  3n  3n  (2n  1)2 (4  n) f) lim (3n  5)3 c) lim GV TRẦN QUỐC NGHĨA VD 1.10 Tính giới hạn sau: a) lim n  3n  2n  n  3 b) lim n  7n  5n  n  12 c) lim 2n  n  3n d) lim 6n  n  2n  VD 1.11 Tính giới hạn sau: a) lim 4n 2.3n  4n b) lim 3n  2.5n  3.5n c) lim 3.2 n 1  2.3n 1  3n d) lim 22n  5n  3n  5.4n TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 Dạng Khử dạng vô định  -  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Đối với dãy un  am n m  am 1n m 1   a0 , am  đặt thừa số chung m cho thừa số lớn n nm Khi đó: limun   am  limun   am   Đối với biểu thức chứa thức nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa dạng:  A B=  A  A B=  A  B2 A B A B B= A B A  B2 A B A B A B =    3  A B= A B= A A  B3 A2  B A  B A  B3 B= A B = A2  B A  B A B 3 A  A.B  A B B2 A2  A.B  B  Đặc biệt, ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xácđịnh giới hạn có dạng vô định, chẳng hạn: A n3   n    B    n3   n  n  n  ; n  n   n3     n  n  n  n   n3   Đối với biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp xem xét đặt thừa số chung mũ có số lớn nhất, lũy thừa n lớn B BÀI TẬP MẪU VD 1.12 Tính giới hạn sau:  a) lim n  14n    b) lim 2n  3n  19  c) lim 2n  n  d) lim 8n  n  n  GV TRẦN QUỐC NGHĨA VD 1.13 Tính giới hạn sau:  d) lim  n2  n 1  n a) lim n3 1  n   b) lim  e) lim   c) lim n 1  n n n  n  n  3n  f) lim  n3  n2  n3 1  n2   n2 1 n   n3  n TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 10 VD 1.14 Tính giới hạn sau:  a) lim n n  n  d) lim   n2  n   n 1 b) lim  e) lim  n   2n  n   n 1 c) lim 2.3n  n  f) lim 3n   2n  GV TRẦN QUỐC NGHĨA 11 Dạng Cấp số nhân lùi vô hạn A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một cấp số nhân có công bội q với q < gọi cấp số nhân lùi vô hạn u Ta có : S = u1 + u1q + u1q2+ … = (với q < 1) 1 q B BÀI TẬP MẪU VD 1.15 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số: 0,444…; 0,212121… VD 1.16 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 39 , tổng ba số hạng Tìm số 25 hạng đầu công bội cấp số VD 1.17 Cho q  Tính tổng vô hạn sau: a) A   2q  3p   nq n 1  b) B   4q  9p   n 2q n 1  TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 12 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1.1 1.2 Tìm giới hạn sau: 1) lim( 2n3 + 3n + 5) 2) lim 3n  5n  7n 3) lim(3n3  7n + 11) 4) lim 2n  n  n  5) lim  2n  n 6) lim( n3  3n2  2) 2) lim 3) lim Tìm giới hạn sau:j 1) 4) 8) 10) lim 2(n  1)3 (n  n  1) (n  2n  5)(3  2n)6 13) lim 16) lim lim 2n  3n  n3  n2 2n  lim 4n  (n  1)(2n  1) (3n  2)(n  3) 9) 11) lim (2n  1)3 (n  3)5 3(n  1)9 12) lim (n  1)(n  3)  n  (2n  1)(3  n) n  2n  2n  n  14) lim 4n  n  (2n  1)( n  1)(n  2) 15) lim 6n  2n  2n  n (n  1)(n  1) (n  1)(3n  2)3 17) lim 2n  3n  3n  18) lim 2n  n  5n  2) 2n n n  2n  3) lim 6) lim 9) lim 3) lim 6) lim 9) lim 3n   n  2n lim lim lim lim 2 4) lim n n n2 5) lim 7) lim 2n n  n2  n 1 8) lim n(3n  2)(4n  5) (2n  3)2 2) lim 5) lim 8) lim n 2 n 3 2n  n  n n     2n 3n  n  n 1 n 1 (2n n  1)( n  3) (n  1)(n  3) 2n n  n 3 n 2 Tìm giới hạn sau: 1) lim 4) lim n  n   4n  n3 4n   2n  n  2n  n 7) lim 10) lim 1.5 6) 3n  5n  n2  3n  2n  lim 4n  5n  Tìm giới hạn sau: 1) 1.4 5) 4n  n  3n  7) 1.3 4n  n   2n (2  3n)3 (n  1) lim  4n lim n(  n  n) n2   n 4n   2n  n  4n   n 11) lim 2n   n  2n  3n  n  3n   n  n 2n   n 3n  n6  n 1  n2 3n n  12) lim 4n   2n  n( n   2n) n   n2  n  n2 1 n  2n 4n   2n  n  4n  n Tìm giới hạn sau: 1) lim n( n   n  2) 2) lim n( n   n  2) 3) lim(1  n  n  3n  1) 4) lim(2n   4n  6n  7) 5) lim( n  3n  n  5) 6) lim( n  2n  n  1) 7) lim( n  2n  n  1) 8) lim( n  n  n  1) 9) lim 10) lim n   n 1 11) lim( n  n   n  1) 3n   2n  12) lim( n   n ) GV TRẦN QUỐC NGHĨA 13 16) lim( n  n  n ) 17) lim( n  2n  n) 18) lim( n  2n  2n  1) 19) lim( n  n  n) 20) lim( n   n) 21) lim(  n  n) 23) lim( 8n  n    2n) 24) lim( n  3n  n  4n ) n(  n  n) n   2n Tìm giới hạn sau: 1) lim[4n  (2) n ] 2) 1  lim  2n   n  3) lim ( 2) n  4.5n 1 2.4n  3.5n 4)   n 3n  lim    n       5) lim  2n  2n 6) lim (2) n  3n ( 2) n 1  3n 1 8) lim 2n 1  3n 1 n  3n 9) lim 2n  3n  4n 3 2n  3n 1  4n 1  4n  3.4n 12) lim 3n  n 3n  4n n  ( 1) n 10) lim 2n  (1) n 1 7) lim 2n  3n 1 2n  5.3n 3n  2.5n 16) lim  3.5n 11) lim 3n  4n  2.4n  2n 2n  3n  4.5n  17) lim n 1 n  2   5n 1 13) lim 1.7 15) lim( 2n  n  n  1) 14) lim 22) lim 1.6 n2   n 1 3n  13) lim( n  n   n) 14) lim Tính tổng vô hạn: 1 1) S       1 S 7) + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)2 + … 8) 2    5) 4) 1  2) 4.3n  n 1 2.5n  7n  a  a2   an 18) lim ( vôùi a  1; b  1)  b  b2    bn 15) lim 1 S 1    27 S=8+4+2+1+ S 3n  n  n 3n  4n  5n 1  3) 6) S     27 27 81 S  27 81  34 34 34    100 10000 1000000 1.8 Tìm phân số phát sinh số thập phân vô hạn tuần hoàn sau: 1) 34,(12)… 2) 0,(25)… 3) 3,(123)… 4) 2,131131… 1.9 Cho hai dãy số (un) (vn) Chứng minh lim = v  un  với n lim un = Áp dụng tính giới hạn dãy số sau: ( 1) n  n(1)n 1) u n  2) u n  3) u n  4) u n  (0,99) n cos n 5) u n  5n  cos n  n! 2n  1  2n TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 14 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN1.1 TN1.2 Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu lim un   , lim un   B Nếu lim un   , lim un   C Nếu lim un  , lim un  D Nếu lim un   a , lim un  a Cho dãy số  un  với un  u n n 1  Chọn giá trị lim un số sau: n un 1 B Dãy số sau có giới hạn khác 0? n 1 A B n n A TN1.3 TN1.4 n n TN1.7 TN1.8  1 lim TN1.10 TN1.11 C n 1 D cos n n n  5 B     4 n n  2 C    3  4 D     3 n  2 B     3 n D  1 C 1 D  C D  C D có giá trị B   2n  lim   có giá trị  4n  1 A B  4 lim n C  0, 99  n n2 A 3n  5n có giá trị 5n A TN1.9 D Dãy sau giới hạn?  2 A    3 TN1.6 Dãy số sau có giới hạn 0?  3 A    2 TN1.5 C B 2n3  n  có giá trị n  2n  A  B 2 lim 2n  n  có giá trị 3n  2n A B C D 6 C  D C D lim 2n  3n3 có giá trị 2n3  4n  A  B lim GV TRẦN QUỐC NGHĨA TN1.12 TN1.13 15 2n3  n  có giá trị n  2n  A B lim n lim  2n  2n3  1  4n   n  3n  1 3n   A B TN1.14 TN1.15 có giá trị A B TN1.18 B 1 B  9n  n  n  có giá trị 3n  A B lim  TN1.22 C  D  C D C D  C D  C 1 D  C  D  lim  B  n  2n   2n  n có giá trị lim  B   n  2n   n có giá trị B lim   A 2n  n   2n  3n  có giá trị B C  D    lim    có giá trị n2   n 1 A TN1.23 D  n   n2  có giá trị A 1 TN1.21 C  D  lim A  TN1.20 lim  3n  4n  n  1 có giá trị A TN1.19 C lim  2n3  2n  3 có giá trị A  TN1.17 A 2 TN1.16 D 2 có giá trị  2n  n  3n  1 lim  2n  1  n   C  lim B n  A 1 C D   n   n  có giá trị B C D  TN1.24 Nếu lim un  L lim un  có giá trị A L  B L 8 C L 2 D L  TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 TN1.25 Nếu lim un  L lim L 3 A TN1.26 lim B TN1.28 8n3  2n  lim 2n  B  5 lim n L9 C D  C D  C D 1 C  D   2n 1    có giá trị n 1 3 B  n  3n  2 n có giá trị 3 n  3n  22 n  A B C  D  lim lim n  n2  n2  n  lim  B lim A  C  D 1 C D 1 C D C D có giá trị  n - 2n - n có giá trị A  TN1.34 B  A TN1.33 D n lim 3n   có giá trị   A  TN1.32 L 3 C  3n  (1)n cos 3n  lim   có giá trị  n 1   5.2n  TN1.31 L9 B A TN1.30 có giá trị có giá trị A TN1.29 un  n 1 có giá trị n8 A B A TN1.27 16 B  n - n + n có giá trị B  TN1.35 Dãy số sau có giới hạn 0? GV TRẦN QUỐC NGHĨA A un  n2  n  3n 17 B un   3n n  3n C un   2n n5 D un   2n n5 C un   n2 3n  D un  n2  \ n  5n TN1.36 Dãy số sau có giới hạn  ? A un  n  2n 3n  3n B un   2n 3n  TN1.37 Dãy số sau có giới hạn  ? n  3n 2n  n C un  2017 n  2016n 2018  2017n n 1 D un  n  B un  A un  TN1.38 Trong giới hạn sau đây, giới hạn 1? A lim 3n  3n3  B lim 2n3  2n3  3n  3n3  3n D lim n3  n2  C lim 2n  n  n3  2n2 D lim  5n n2  C lim 3n  2n3 2n3  4n D lim  2n 2n  D lim n cos n  n2 C lim TN1.39 Trong giới hạn sau đây, giới hạn ? A lim 5n   5n  B lim n  5n 2 n  TN1.40 Trong giới hạn sau đây, giới hạn ? A lim n2   n3  B lim 2n  n3 2n  TN1.41 Dãy số sau giới hạn? n   A lim  1 sin   n  2    C lim cos   n  2  B lim sin  n  D lim cos  n  TN1.42 Dãy số sau có giới hạn ? A lim sin  n  B lim cos  n  1 TN1.43 Tổng S     n  có giá trị 5 1 A B  1  1 TN1.44 Tổng S       + +  4 2n A TN1.45 TN1.46 B  n2  C lim sin     2n   C D C D C D  n 1      (2n  1) có giá trị 5n  A B  lim lim     n có giá trị n2  TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 A TN1.47 18 B    1 lim      có giá trị  1.2 2.3 n  n  1   A B C D  C D  C –4 D  n cos 2n   là: TN1.48 Kết lim   n    A B TN1.49 Kết lim A – A –  n là: n  2.5 n B TN1.50 Kết lim C  n  2n  3n  B – D – 25 C – D 3n  n TN1.51 Giới hạn dãy số (un) với un = là: 4n  A – B + C n  4.2 n 1  TN1.52 lim : 3.2 n  n A + B – D C D C – D + n  2n  :  5n TN1.53 Chọn kết lim A B   TN1.54 Giá trị lim n   3n  là: A + B – C –2 D n n TN1.55 Giá trị lim  là: A – B C D –2 n   TN1.56 lim  n sin  2n  bằng:   A + B C –2 D – TN1.57 Giá trị lim n n   n  là: A –1 B C D + 2n  TN1.58 Cho dãy số (un) với un = (n  1) Chọn kết limun là: n  n2 1 A – B C D + n 1 TN1.59 lim n : 1 A + B C D –      GV TRẦN QUỐC NGHĨA 10 TN1.60 lim 19 : n  n 1 A + B 10 C D – TN1.61 lim 200  3n  2n : A B C + D –  u n  TN1.62 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định :  Tìm két limun u n1  ,n 1   un A B TN1.63 Tìm giá trị S = +1 A C –1 D D  1  1     n     B C 2 n  n 1 TN1.64 lim n :  n A TN1.65 Tính giới hạn: lim A B C D + n 1  n 1  n B C –1 D     (2n  1) 3n  A B C 3 1  1 TN1.67 Tính giới hạn: lim     n(2n  1)  1.3 3.5 D D TN1.66 Tính giới hạn: lim A B C 1 1  TN1.68 Tính giới hạn: lim     n(n  2)  1.3 2.4 A B C      TN1.69 Tính giới hạn: lim 1  1   1        n   A B TN1.70 Chọn kết lim  A B C D D D n2 1   n2 2n C