Hình học trên mặt cầu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ BÍCH NGUYÊN HÌNH HỌC TRÊN MẶT CẦU Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN MINH Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Các kiến thức 1.1 Đường tròn lớn đường tròn nhỏ 1.2 Kinh độ vĩ độ Tam giác cầu 13 16 2.1 Khái quát tam giác cầu 2.1.1 Tam giác cầu yếu tố 2.1.2 Tính chất tam giác cầu 16 16 18 2.1.3 Tam giác cầu cực 2.2 Các định lí tam giác cầu 19 22 2.2.1 2.2.2 Định lí hàm sin Định lí cosin thứ 22 23 2.2.3 2.2.4 Hướng tàu Định lí hàm số cosin thứ hai 25 27 2.2.5 Định lý hàm số cotang 2.3 Các công thức theo góc, cạnh chia đôi 2.3.1 Công thức góc chia đôi 28 31 31 2.3.2 Công thức tổng hai góc chia đôi, hiệu hai góc chia đôi 2.4 Giải tam giác cầu 32 33 2.4.1 2.4.2 Khái quát chung Giải tam giác cầu biết cạnh 33 34 2.4.3 2.4.4 Giải tam giác cầu biết cạnh góc xen cạnh Giải tam giác cầu biết cạnh góc đối diện với cạnh 36 2.4.5 Giải tam giác cầu biết góc cạnh đối diện với góc 2.5 Tam giác cầu vuông Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 42 43 2.5.1 2.5.2 Tam giác cầu vuông Hai quy tắc dễ nhớ Nêpe 43 44 2.5.3 Các ví dụ ứng dụng 45 Thiên cầu 3.1 Độ cao góc cực; Độ thiên góc 50 50 3.1.1 Độ cao góc cực 3.1.2 Độ thiên góc 3.2 Biểu đồ cho nam bán cầu thấy đường chân trời 50 53 57 3.2.1 3.2.2 Biểu đồ cho nam bán cầu Những thấy đường chân trời 57 58 3.3 Độ lệch tiêu chuẩn thiên cầu địa tâm cách tính góc tam giác cầu P ZX 3.3.1 Độ lệch tiêu chuẩn thiên cầu địa tâm 60 60 3.3.2 Cách tính góc tam giác cầu P ZX 3.4 Sự tiến thẳng độ nghiêng; Quỹ đạo trái đất 62 64 3.4.1 3.4.2 Sự tiến thẳng độ nghiêng Quỹ đạo trái đất 64 66 3.5 Kinh độ vĩ độ thiên; Thời gian thiên văn 3.5.1 Kinh độ vĩ độ thiên 3.5.2 Thời gian thiên văn 69 69 70 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 74 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời mở đầu Việc ứng dụng hình học mặt phẳng nhiều chuyên gia với nhiều công trình nghiên cứu khác Tuy nhiên, từ người phát trái đất mặt phẳng mà hình cầu việc nghiên cứu hình học phẳng chưa đáp ứng yêu cầu nghiên cứu thiên văn hàng hải Vì thúc lĩnh vực nghiên cứu ”Hình học cầu” Hình học cầu đời phần đáp ứng nhu cầu nghiên cứu việc lại biển, việc lại sao, vũ trụ, Vì vậy, hình học cầu thiếu môn học nghiên cứu thiên văn hàng hải Việc nghiên cứu hình học cầu niềm say mê không người đặc biệt người trực trực tiếp dạy toán Chính để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập tác giả chọn đề tài ”Hình học mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu luận văn Đề tài nhằm phần đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc học tập em học sinh, sinh viên nghiên cứu lĩnh vực thiên văn, hàng hải Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tài liệu tham khảo Chương Các kiến thức Chương đưa kiến thức định nghĩa, định lý tính chất hình học cầu Chương Tam giác cầu Chương đưa định nghĩa, tính chất tam giác cầu, tam giác cầu cực; định lý công thức tam giác cầu Đặc biệt, chương đưa phương pháp giải tam giác cầu kèm theo ví dụ minh họa cho trường hợp cụ thể Đồng thời chương muốn giới thiệu việc ứng dụng hình học cầu lĩnh vực hàng hải Chương Thiên cầu Chương đưa định nghĩa, tính chất yếu tố liên quan tới thiên cầu Đồng thời chương giới thiệu cách xác định vị trí thiên cầu như: tính góc cầu tam giác cầu, tính góc phương vị, góc giờ, độ lệch vị trí xác định thiên cầu Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp tiến TS Nguyễn Văn Minh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc người thầy mình, người nhiệt tình hướng dẫn bảo mong muốn học hỏi thầy nhiều Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên, thầy cô giáo dạy lớp Cao học Toán K3 tạo điều kiện thuận lợi truyền Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thụ kiến thức cho suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu-các thầy cô giáo tổ Toán-trường THPT Nhã Nam-tỉnh Bắc Giang, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ khích lệ hoàn thành luận văn Để hoàn thành luận văn này, tác giả tập trung học tập nghiên cứu cách nghiêm túc suốt khóa học Tuy nhiên,do hạn chế thời gian, trình độ hiểu biết nên trình thực không tránh khỏi sai sót, tác giả mong nhận bảo thầy cô giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên 2011 Nguyễn Thị Bích Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức 1.1 Đường tròn lớn đường tròn nhỏ Trước hết ta có vài định nghĩa sau Hình cầu vật thể giới hạn mặt bao gồm điểm có khoảng cách không đổi tới điểm cố định gọi tâm hình cầu Đoạn thẳng nối điểm mặt cầu với tâm gọi bán kính Đoạn thẳng qua tâm nối hai điểm mặt cầu gọi đường kính Giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng đường tròn B C A O D Giả sử AB giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng đó, O tâm hình cầu Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng; lấy D thuộc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn giao tuyến nối OD, CD Vì OC vuông góc với mặt phẳng nên góc √ OCD góc vuông; CD = OD2 − OC Do O C cố định nên OC số; OD số bán kính hình cầu nên CD số Như điểm giao tuyến cách C khoảng không đổi, tức C tâm đường tròn giao tuyến Giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng gọi đường tròn lớn mặt phẳng qua tâm hình cầu, gọi đường tròn nhỏ mặt phẳng không qua tâm hình cầu Như bán kính đường tròn lớn với bán kính hình cầu Trục đường tròn đường kính hình cầu vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn; hai điểm đầu đường kính gọi cực đường tròn Khoảng cách từ cực đường tròn lớn đến mặt phẳng chứa đướng tròn Các cực đường tròn nhỏ có khoảng cách khác đến mặt phẳng chứa đường tròn; chúng gọi tương ứng cực gần xa P S FC E T R D O A X B B’ Y Q Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trên hình vẽ, EAB đường tròn lớn, mặt phẳng chứa qua tâm hình cầu Giả sử QOP đường kính hình cầu vuông góc với mặt phẳng (EAB) Lấy điểm R tùy ý OP , vẽ mặt phẳng qua R song song với (EAB) giao với hình cầu theo đường tròn nhỏ F CD Các điểm P, Q cực đường tròn lớn EAB đường tròn nhỏ F CD Giả sử P CAQ đường tròn lớn qua cực P, Q cắt F CD, EAB C A; P DB cung đường tròn lớn khác qua P, Q Khi ta nói P có góc cầu xác định theo cách sau: Vẽ tiếp tuyến P S, P T tương ứng với cung P A, P B ; hiển nhiên P T song song với OB, P S song song với OA Góc SP T gọi góc cầu P tạo cung đường tròn lớn P A, P B AOB Khoảng cách từ điểm đường tròn đến cực đường tròn P B C A D O P’ Giả sử O tâm hình cầu, AB đường tròn bất kì, C tâm, P P cực đường tròn Lấy D thuộc đường tròn; nối √ CD, OD, P D Khi P D = P C + CD2 ; P C CD không đổi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn P D không đổi Giả sử có đường tròn lớn qua P D dây cung P D không đổi, tức cung đường tròn lớn nằm P D số D chạy đường tròn AB Cung đường tròn lớn tính từ cực tới điểm đường tròn 900 P B C O A Giả sử P cực đường tròn lớn ABC cung P A có số đo 900 Thậy ta thấy P O vuông góc với (ABC) P cực (ABC), P OA 900 nghĩa sđ P A 900 Góc trương tâm hình cầu cung đường tròn lớn nối cực đường tròn lớn góc mặt phẳng chứa đường tròn A B M O C N D E Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... trái đất mặt phẳng mà hình cầu việc nghiên cứu hình học phẳng chưa đáp ứng yêu cầu nghiên cứu thiên văn hàng hải Vì thúc lĩnh vực nghiên cứu Hình học cầu Hình học cầu đời phần đáp ứng nhu cầu nghiên... tuyến Giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng gọi đường tròn lớn mặt phẳng qua tâm hình cầu, gọi đường tròn nhỏ mặt phẳng không qua tâm hình cầu Như bán kính đường tròn lớn với bán kính hình cầu Trục đường... tâm hình cầu Đoạn thẳng nối điểm mặt cầu với tâm gọi bán kính Đoạn thẳng qua tâm nối hai điểm mặt cầu gọi đường kính Giao tuyến mặt cầu với mặt phẳng đường tròn B C A O D Giả sử AB giao tuyến mặt