hình học lớp 11 cơ bản và nâng cao

HÌNH HỌC 11 GV: PHAN NHẬT NAM PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN A I(-1; 0) O D(1; 0) PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU I . Các ký hiệu và thuật ngữ của phép biến hình : 1. Định nghĩa: Nếu ký hiệu phép biến hình là f thì ta viết ')( MMf  khi đó M’ được gọi là ảnh của M qua phép biến hình f . 2. Phép biến hình của một hình: (H) là một hình tùy ý tronng mặt phẳng và f là một phép biến hình trong mặt phẳng : Phép biến hình f biến (H) thành (H’)    )(/)(')'( MfMMfMH  Vậy để chứng minh (H’) là ảnh của (H) qua phép biến hình f ta cần chứng minh :  M’  (H’)   M  (H) : ')( MMf  3. Phép đồng nhất : Phép biến hình mà biến mỗi điểm M tùy ý trên mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. 4. Phép giời hình: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì Giải sử f là một phép biến hình tùy ý : Nếu ''MN M N thì f là một phép dời hình: Ví dụ : Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho phép biến hình f : a. Chứng minh f là phép dời hình. b. Tìm ảnh của đường thẳng : 2 5 0xy    qua phép dời hình f c. Tìm ảnh của đường tròn     22 ( ): 1 2 2C x y    qua phép dời hình f d. Tìm ảnh của elip 22 ( ): 1 32 xy E  qua phép dời hình f Giải : a. Trong mặt phẳng Oxy, xét hai điểm tùy ý : 11 ( ; )M x y và 22 ( ; )N x y Khi đó : (H) (H’) = (H) : M M’= N N’= : M(x; y) M’(x’; y’) = : M’= PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com Ta có:   11 ' 3; 1M x y ,   22 ' 3; 1N x y         2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ' ' ( 3) ( 3) ( 1) ( 1)M N x x y y x x y y MN             Do đó f là một phép dời hình   dfcm b. Cách 1: (Sử dùng biểu thức tọa độ đặt trưng của f ) Xét ( ; )M x y  ta có Khi đó ta có:   ' 3 ' 3 ' 3; ' 1 ' 1 ' 1 x x x x M x y y y y y                Vì 2 5 0 ( ' 3) 2( ' 1) 5 0M x y x y          ' 2 ' 4 0 ' ': 2 4 0x y M x y         Vậy ảnh của  qua phép dời hình f là ': 2 4 0xy    Cách 2: (Sử dụng tính chất của đường thẳng) Chọn 2 điểm phân biệt M(5; 0), N(1; 2) thuộc đường thẳng : 2 5 0xy    khi đó ta có: Gọi ' ( ) 'f     đi qua hai điểm M’(2; 1) và N’(-2; 3) '(2;1) ' 21 ': ': 2 4 0 42 ' ' (4; 2) M xy xy co VTCP N M                      c. Cách 1: (Sử dùng biểu thức tọa độ đặt trưng của f ) Xét ( ; ) ( )M x y C ta có : N’= : M(x; y) M’(x’; y’) = : M(5; 0) M’= = (5 – 3; 0 + 1) = (2 ; 1) N(1; 2) N’= = (1 - 3; 2 + 1) = (-2 ; 3) : M(x; y) M’(x’; y’) = PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com Khi đó ta có:   ' 3 ' 3 ' 3; ' 1 ' 1 ' 1 x x x x M x y y y y y                Vì 2 2 2 2 ( ) ( ' 3 1) ( ' 1 2) 2 ( ' 4) ( ' 3) 2M C x y x y             22 ' ( '):( 4) ( 3) 2M C x y      Cách 2: (Sử dụng tính chất đường tròn) Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2) và bán kính 2R  Gọi C’(I’,R’) là ảnh của (C) qua phép dời hình f khi đó ta có: ' ( )I f I và '2RR (vì f là phép dời hình nên không thay đổi kích thước của hình ) Vậy ảnh của (C) qua phép dời hình f là 22 ( '):( 4) ( 3) 2C x y    d. (Sử dùng biểu thức tọa độ đặt trưng của f ) Xét ( ; ) ( )M x y C ta có Khi đó ta có:   ' 3 ' 3 ' 3; ' 1 ' 1 ' 1 x x x x M x y y y y y                Vì 2 2 2 2 ( ' 3) ( ' 1) ( 3) ( 1) ( ) 1 ' ( '): 1 3 2 3 2 x y x y M E M E             Vậy ảnh của (E) qua phép dời hình f là 22 ( 3) ( 1) ( '): 1 32 xy E   5. Tính chất của phép dời hình: a. Định lý : Phép dời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn tỷ số khoảng cách của chúng. Biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng. b. Hệ quả: Phép dời hình biến :  Đường thẳng thành đường thẳng  Tia thành tia  Đoạn thẳng thành đoạn thẳng  Tam giác tành tam giác bằng nó (đồng thời biến các tâm của tam giác này thành tâm của tam giác kia(tam giác ảnh)) : I(-1; 2) I’ = : M(x; y) M’(x’; y’) = PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com  Đường tròn thành đường tròn bằng nó (biến tâm đường tròn này thành tâm đường tròn kia)  Biến góc thành góc bằng nó II. Bài tập minh họa: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(-1 ; 2), C(2; - 4) qua phép biến hình f . Từ đó xét xem f có phải là phép dời hình không. ĐS: A’(1; 5) , B(-7; 6), C(3; -1). f : Không phải là phép dời hình. Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình Tìm ảnh của các điểm A(2; 1), B(-1 ; 3), C(-2; 4) qua phép biến hình f . Từ đó xét xem f có phải là phép dời hình không. ĐS: A’(4; 3) , B(-4; -4), C(-7; -7). f : Không phải là phép dời hình. Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình Đây có phải là phép dời hình không? Vì sao? Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 phép biến hình Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình?vì sao? Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 phép biến hình Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình?vì sao? Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình : M’= : M’(x’; y’)= : M’(x’; y’)= : M’(x’; y’)= : M’(x’; y’)= : M’(x’; y’)= : M’(x’; y’)= : M’(x’; y’)= PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 3y – 2 = 0 qua phép biến hình f trên. Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình a. Chứng minh rằng f là phép dời hình. b. Tìm ảnh của đường tròn     22 ( ): 1 2 4C x y    ĐS:     22 ( '): 2 3 4C x y    Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình a. Chứng minh rằng f là phép dời hình. b. Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 c. Tìm ảnh của đường tròn     22 ( ): 3 1 2C x y    d. Tìm ảnh của parabol 2 ( ): 4P y x ĐS: d’: x – 2y – 2 = 0,     22 ( '): 2 1 2C x y    ,     2 ( '): 2 4 1P y x   Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho phép biến hình Khẳng định nào dưới đây sai ? A. f là phép dời hình B. Nến A Oy thì ()f A A (điểm A bất biến đối với phép biến hình f ) C. f là phép đồng nhất. D.   (2;3)fM thuộc đường thẳng 2x + y + 1 = 0 E. M và ()fM đối xứng nhau qua trục hoành. Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 phép biến hình Tìm ảnh của A(4; -1) qua f rồi g (tức là tìm   'A f g A   ) : M’(x’; y’)= : M’(x’; y’)= : M’(x’; y’)= : M’(x’; y’)= : M’(x’; y’)= PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com PHÉP TỊNH TIẾN A. Cơ sở lý thuyết : 1. Định nghĩa : v T : phép tịnh tiến theo vectơ v vMMMM  ':'! . M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v Ký hiệu : )(' MTM v  hoặc v T : M M’  Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định nếu ta biết được vectơ tịnh tiến của nó.  Khi vectơ tịnh tiến là vectơ không thì phép tịnh tiến đó biến mọi điểm M thành chính nó. Ta gọi phép tịnh tiến theo vectơ không là phép đồng nhất. 2. Biểu thức tọa độ : Cho vectơ );( bav . Khi đó ta có phép tịnh tiến : có tọa độ được xác định theo công thức      byy axx ' ' 3. Tính chất của phép tịnh tiến : i. Định lý : Phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tức là : v T : M M’ N N’  MN = M’N’ { hơn nữa khi đó ta có : ''NMMN  } ii. Hệ quả :  Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của chúng.  Phép tịnh tiến theo vectơ v biến :  Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.  Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho.  Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm}. B. Các dạng toán thường gặp : I. Các bài toán tọa độ : 1. Xác định pt ảnh (d’) của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ );( bav : Phương pháp 1:  Chọn điểm M(x 0 ; y 0 ) cụ thể thuộc đường thẳng (d) và vectơ pháp tuyến );( BAn của đường thẳng d.  Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x 0 ’ ; y 0 ’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến v T . M’(x’ ; y’) : M(x ; y) PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com  Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua M’ và có vectơ pháp tuyến );( BAn 0)'()'(:)'( 00  yyBxxAd  Phương pháp 2:  Chọn hai điểm M(x 0 ; y 0 ) , N(x 1 ; y 1 ) cụ thể thuộc đường thẳng (d) .  Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x 0 ’ ; y 0 ’) và N’(x 1 ’ ; y 1 ’) là ảnh của M và N qua phép tịnh tiến v T .  Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’ '' ' '' ' :)'( 10 1 10 1 yy yy xx xx d       2. Xác định pt ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ );( bav :  Xác định tâm O(x 0 ; y 0 ) và bán kính R của đường tròn (C).  Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh O’(x 0 ’ ; y 0 ’) của tâm O qua phép tịnh tiến v T .  Đường tròn (C’) là đường tròn có tâm O’ và bán kính R :     2 2 0 2 0 '':)'( RyyxxC  3. Xác định pt ảnh (H’) của đường (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ );( bav :  Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .  Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến v T )';'( ' ' byaxM byy axx         0)';'()(  byaxfHM  (H’) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến v T  (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’ 0);(:)'(  byaxfH Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (Oxy) cho   1; 2u  a. Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau : Đường thẳng a có phương trình : 3x - 5y + 1 = 0 Đường thẳng b có phương trình : 2x + y + 100 = 0 b. Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : 22 4x 1 0x y y     c. Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) : 22 1 94 xy  d. Viết phương trình ảnh của (H) : 22 1 16 9 xy  Giải: a. Gọi ( ; )M x y a . Xét tịnh tiến M’(x’ ; y’) : M(x ; y) a a’ PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com Theo biểu thức tọa độ ta có: ' 1 ' 1 ( ' 1; ' 2) ' 2 ' 2 x x x x M x y y y y y                 Ta có: ( ' 1; ' 2) 3( ' 1) 5( ' 2) 1 0M x y a x y         3 ' 5 ' 7 0 ' ':3 5 7 0x y M a x y         Vậy ( ) ' u T a a thì ':3 5 7 0a x y   Hoàn toàn tương tự ta có : ( ' 1; ' 2)M x y b   2( ' 1) ( ' 2) 100 0 2 ' ' 100 0x y x y          Do đó 'bb (tức là ':2 100 0b x y   ) {vì b cùng phương với   1; 2u  } b.       22 ' 1 ' 2 4 ' 1 ' 2 1 0x y x y         hay (C’): 22 6x 5 10 0x y y     c.         2 2 2 2 ' 1 ' 2 1 2 1 ( '): 1 9 4 9 4 x y x y E          d.         2 2 2 2 ' 1 ' 2 1 2 1 ( '): 1 16 9 16 9 x y x y H          II. Các bài toán hình học cổ điển : 1. Chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học :  Từ giả thuyết tìm hai điểm cố định phù hợp để xây dựng một vectơ cố định.  Xác định một phép tịnh tiến phù hợp theo vectơ cố định vừa tìm được. (tức là dựng một hình bình hành phù hợp sao cho một cạnh chứa 2 điểm vừa xác định ở bước trên)  Dùng tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến để chứng minh các yếu tố trong hình hoặc xác định các tính chất của hình. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và điểm B’sao cho tia B’B cắt cạnh AC. Phía ngoài tam giác ABC dựng các hình bình hành BB’A’A, BB’C’C và AA”C”C sao cho A là trung điểm của đoạn AA”. Chứng minh rằng : " " ' ' ' 'AA C C BB A A BB C C S S S (với ()H S : diện tích của hình (H)) Giải: Ta có: BB’A’A , BB’C’C và AA”C”C là hình bình hành ''B B A A , ''B B C C và ""AA CC PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com Lại có A là trung điểm của A’A” '"A A AA Do đó : ' " " ' 'A A AA CC C C B B    Theo định nghĩa phé tịnh tiến ta có: Mà 'BB T là phép dời hình nên ta có A’B’C’CA và ABCC”A” là các ngũ giác bằng nhau ' ' ' " "A B C CA ABCC A SS Lại có : ' ' ' ' ' ' ' " " ' ' ' ' " " " ' BB A A BB C C A B C CA ABC ACC A BB A A BB C C ACC A ABCC A ABC S S S S S S S S S S           (đpcm) Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có 63AB  cm, 12CD  cm, 0 60BAD  , 0 150ABC  , 0 90ADC  . Tính độ dài các cạnh BC và DA. Giải: Xét phép tịnh tiến : Khi đó ta có : AM BC và AB = MC = 63 Do đó: ABCM là hình bình hành 00 180 30BCM ABC    (vì 0 150ABC  ) Lại có: 0 0 0 360 ( ) 60 30BCD A B D MCD       Theo định lý cosin cho tam giác MDC ta có: 2 2 2 2 . cos 36 6MD CM CD CM CD MCD MD      cm. Ta có: 2 2 2 144MC MD DC MDC     vuông tại M 00 60 30MDC MDA    A A” A’ C” C C’ B’ B A : A’ A’B’C’CA ABCC”A” C C’ B B’ A” A C” C A D B C M M : A [...]... là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng  Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng Ví dụ: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) {với R  R ' } và đường thẳng  Hãy dựng đường thẳng d song song với  và chắn đường tròn (O) , (O’) những dây cung bằng nhau Giải: K Phân tích: Giả sử dụng được đường A thẳng d //  , cắt (O) và (O’) tại A, B và. .. đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ v = (2; m) Tìm m để phép tịnh tiến Tv biến d thành chình nó Bài 14: Cho đoạn AD cố định dựng một hình bình hành ABCD sao cho AC BD  AD AB Tìm quỹ tích của đỉnh C của hình bình hành ABCD HD: Đặt AD vào hệ trục như hình vẽ (không mất tính tổng quát ta đặt AD = 1) Khi đó ta có: AD  1, AB  x 2  y 2 O I(-1; 0) A AC  ( x  1) 2  y 2 và BD  ( x  1) 2  y 2 AC... ' C  AH  AHCA’ là hình bình hành  HC  AA ' Lại có AA ' cố định (vì A cố định và O cố định) Do đó theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có: A’ A    Lại có H chạy trên đường tròn A, 2 R 2  1 nến C sẽ chạy trên đường tròn A ', 2 R2  1  Vậy quỹ tích của điểm C là đường tròn tâm A’ (đối xứng A qua O) và bán kính 2 R2  1 3 Dựng hình :  (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và vectơ v không đổi... được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài 27: Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác định bởi AB  DM và CBM  CDM Chứng minh rằng ACD  BCM HD: Xét phép tịnh tiến T AB Bài 28: Cho tam giác ABC có đường cao AH Dựng hình vuông BCDE ở phía ngoài tam giác Từ D, E lần lượt dựng đường d và d’ vuông góc với AB, AC Chứng minh hai đường d, d’ và AH đồng quy HD: Xét phép tịnh tiến T : ABC  A ' ED BE GV:PHAN... quỹ tích của điểm H là đường tròn tâm O '  TB 'C (O) (tức là OO '  B ' C )và bán kính R GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B Gọi d là đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt (O) , (O’) lần lượt tại M và N 1 MN 2 Lấy điểm P trên tia AM, điểm Q trên tia AN sao cho AP = AQ =... AA1  GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 www.toanhocdanang.com PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN Bài 17: Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm trong tam giác MBD và MBC  MDC Chứng minh rằng : AMD  BMC HD: TBA : M M '; B D; BMC  AM ' D; MBC  M ' AD A; C AMM’D là tư giác nội tiếp : AMD  AM ' D Bài 18: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định Một điểm M thay đổi trên (O) Tìm quỹ tích điểm... dời hình nào biến (O;R) và (O’;R’) kể cả phép tịnh tiến GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN Bài 23: Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A, B cố định, tâm I di động trên đường tròn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M của BC HD: Xét phép tịnh tiến : T1 2 AB Bài 24: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định Một đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM và AN... bắc qua sông và làm hai đoạn thẳng AM và BN Tìm vị trí M,N sao cho AM + BN là ngắn nhất HD: Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên MN  U Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA + NB = A’N + NB GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 www.toanhocdanang.com PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN Bài 26: Cho hình chữ nhật... ' B '  AB Do đó ta có:  A ' B '  AB ( vì IO // d)   A, B  d   A ' A  B ' B  IO Biện luận: Bài toán có nghiệm hình khi và chỉ khi 2 đường tròn (I, R) và (O’,R’)cắt nhau Khi đó bài toán chỉ có một nghiệm hình GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(-3; 4) qua phép tịnh tiến Tv trong... phải tìm ra một hình bình hành có EM là cạnh và cạnh đối diện của nó phải cố định)  Xác định hình (H) là quỹ tích của điểm E  Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ v Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố định và đáy CD thay đổi Biết AB = a và CD = b (với a, b khôngđổi) Tìm quỹ tích điểm C trong các trường hợp sau a Góc ADB  900 b DA . HÌNH HỌC 11 GV: PHAN NHẬT NAM PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN A I(-1; 0) O D(1; 0) PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT. hiệu và thuật ngữ của phép biến hình : 1. Định nghĩa: Nếu ký hiệu phép biến hình là f thì ta viết ')( MMf  khi đó M’ được gọi là ảnh của M qua phép biến hình f . 2. Phép biến hình. biến hình f . 2. Phép biến hình của một hình: (H) là một hình tùy ý tronng mặt phẳng và f là một phép biến hình trong mặt phẳng : Phép biến hình f biến (H) thành (H’)    )(/)(')'(