Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu

Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ BÙI THỊ HỒNG LINH MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 52 46 01 02 Hà Nội - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ BÙI THỊ HỒNG LINH MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 52 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS BÙI KIÊN CƯỜNG Hà Nội - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo giáo khoa Tốn – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học Khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt trình làm khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Bùi Thị Hồng Linh Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận thân em thực hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Bùi Kiên Cường Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Bùi Thị Hồng Linh Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Banach 1.4 Không gian tích vơ hướng, khơng gian Hilbert 1.5 Tích chập 1.5.1 Tích chập tín hiệu liên tục 1.5.2 Tích chập tín hiệu rời rạc 11 Một số khái niệm xác suất thống kê 12 1.6.1 Biến ngẫu nhiên, hàm mật độ 14 1.6.2 Kì vọng, phương sai 16 Biến đổi Fourier 16 1.6 1.7 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU 18 i Footer Page of 161 Header Page of 161 MỤC LỤC 2.1 Tín hiệu lượng tín hiệu công suất 18 2.2 Mật độ lượng hàm tương quan 19 2.2.1 Tín hiệu liên tục theo thời gian 19 2.2.2 Tín hiệu rời rạc theo thời gian 21 Tín hiệu ngẫu nhiên 23 2.3.1 Các tính chất biến ngẫu nhiên 24 2.3.2 Quá trình ngẫu nhiên 26 2.3.3 Hàm tự tương quan hàm tự hiệp phương sai 2.3 trình dừng theo nghĩa rộng 28 2.3.4 Tín hiệu rời rạc theo thời gian 30 2.3.5 Quá trình Ergodic 33 2.3.6 Quá trình nhiễu trắng liên tục theo thời gian 34 2.3.7 Sự truyền trình ngẫu nhiên qua hệ tuyến tính 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích chủ yếu giải tích tín hiệu để lấy thơng tin từ tín hiệu liên quan đến tượng giới thực Ví dụ phân tích lời nói, hình ảnh tín hiệu ứng dụng y học hay địa vật lý Lí cho việc phân tích tín hiệu để hiểu rõ chất tượng vật lí Mặt khác để tìm biểu diễn hiệu tín hiệu đó, cho phép lưu trữ nhỏ gọn việc truyền tin hiệu thông qua môi trường giới thực Các phương pháp phân tích tín hiệu lan truyền rộng rãi, từ giải tích Fourier cổ điển đến nhiều dạng biến đổi tuyến tính thời gian - tần số phương pháp tiếp cận dựa mơ hình tuyến tính phi tuyến Mở đầu việc nghiên cứu tín hiệu, tính chất khái qt tín hiệu, khơng gian tín hiệu Ở việc nghiên cứu bao gồm khơng gian tín hiệu như: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, khái niệm mở đầu tích chập, , mật độ lượng hàm số tương quan tín hiệu xác định; tín hiệu ngẫu nhiên – bắt gặp tất lĩnh vực xử lý tín hiệu, Với mong muốn hiểu biết sâu sắc điều – với hướng Footer Page of 161 Header Page of 161 MỞ ĐẦU dẫn thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường lựa chọn đề tài sau để thực luận văn tốt nghiệp: “Một số khái niệm tốn học giải tích tín hiệu” Mục đích nghiên cứu Đưa số khái niệm tốn học giải tích tín hiệu Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày số khái niệm kết chuẩn bị - Trình bày khơng gian tín hiệu - Trình bày tín hiệu ngẫu nhiên Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Một số khái niệm tốn học giải tích tín hiệu - Phạm vi nghiên cứu: tài liệu liên quan đến số khái niệm toán học giải tích tín hiệu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề 6, Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương Một số khái niệm giải tích tín hiệu Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức giải tích hàm khái niệm không gian metric, không gian định chuẩn, khơng gian Banach, khơng gian tích vơ hướng, khơng gian Hilbert; biến đổi Fourier, lý thuyết tích chập tín hiệu liên tục tín hiệu rời rạc số khái niệm xác suất thống kê cần thiết 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian metric tập hợp X = ∅ với ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn tiên đề sau 1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất); 2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng); 3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác) Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Ánh xạ d gọi metric X, số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x, y Các phần tử X gọi điểm; tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Khơng gian metric kí hiệu M = (X, d) Hay đơn giản X Ví dụ 1.1 Lp (a, b) tất hàm số x(t) đo theo độ đo Lebesgue đoạn [a;b] cho b p a |x(t)| dt < +∞ (p ≥ 1) Với hai hàm số x(t), y(t) ∈ Lp (a, b) ta đặt   p1 b |x(t) − y(t)|p dt d(x, y) =  a Hệ thức xác định metric tập Lp (a, b) Khơng gian tương ứng kí hiệu Lp (a, b) ∞ p |xn |p < ∞}, Ví dụ 1.2 l = {x = (xn )n : (p ≥ 1), với hai dãy số n=1 p x = (xn )n , y = (yn )n ∈ l ta đặt p ∞ |xn − yn |p d(x, y) = n=1 Hệ thức xác định metric lp Không gian tương ứng kí hiệu lp Định nghĩa 1.2 Cho khơng gian metric M = (X, d) Dãy điểm (xn ) ⊂ X gọi dãy M , (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N ∗ )(∀m, n ≥ n0 ), d(xn , xm ) < ε Footer Page 10 of 161 Header Page 32 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU Định nghĩa 2.10 (Hàm đặc trưng) Hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên x xác định sau ∞ eiυx px (υ) dυ, Φx (υ) = −∞ Nghĩa là, ngồi tín hiệu đối số, biến đổi Fourier hàm mật độ xác suất Theo định lí mơmen biến đổi Fourier, mơmen biến ngẫu nhiên cịn tính từ hàm số đặc trưng sau mx(n) 2.3.2 = n n d Φx (υ) (−i) dυ n υ=0 Quá trình ngẫu nhiên Bắt đầu cho việc xem xét sau trình ngẫu nhiên x(t), từ biến ngẫu nhiên xt1 , xt2 , , xtn với xtk = x (tk ), lấy thời điểm t1 < t2 < < tn , n ∈ Z Các tính chất biến ngẫu nhiên mô tả hàm mật độ xác suất chung chúng pxt1 ,xt2 , ,xtn (α1 , α2 , , αn ) Khi đó, tập thứ hai biến ngẫu nhiên lấy từ trình x(t) áp dụng dịch thời gian τ : xt1+τ , xt2+τ , , xtn+τ với xtk+τ = x (tk + τ ) Nếu mật độ chung hai tập cho dịch thời gian τ với n, tức là, ta có pxt1 ,xt2 , ,xtn (α1 , α2 , , αn ) = pxt1+τ ,xt2+τ , ,xtn+τ (α1 , α2 , , αn ) , ∀ n, τ, ta nói q trình dừng ngặt, ngược lại ta gọi q trình khơng dừng Footer Page 32 of 161 26 Header Page 33 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU Định nghĩa 2.11 (Các hàm tự tương quan hàm tự hiệp phương sai q trình khơng dừng) Hàm tự tương quan trình ngẫu nhiên chung định nghĩa mômen bậc hai rxx (t1 , t2 ) =E x(t2 )x (t1 ) ∞ ∞ = ξ1 ξ2 px1 ,x2 (ξ1 , ξ2 ) dξ1 dξ2 , −∞ −∞ x1 = x (t1 ) x2 = x(t2 ) Về hàm tự tương quan cho biết trình giống thời điểm t1 , t2 với kì vọng theo khoảng cách Euclidean, ta có E |x1 − x2 |2 = E |x1 |2 + E |x2 |2 − {rxx (t1 , t2 )} Hàm tự hiệp phương sai trình ngẫu nhiên định nghĩa cxx (t1 , t2 ) =E x(t2 ) − mt2 [x (t1 ) − mt1 ] =rxx (t1 , t2 ) − mt2 mt1 , đó, mtk kí hiệu giá trị kì vọng thời điểm tk ; nghĩa mtk = E {x (tk )} Định nghĩa 2.12 (Quá trình dừng theo nghĩa rộng) Các trình mà giá trị trung bình số hàm số tự tương quan hàm số t1 − t2 gọi q trình dừng theo nghĩa rộng (dù chúng khơng dừng theo định nghĩa trên) Footer Page 33 of 161 27 Header Page 34 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU Định nghĩa 2.13 (Quá trình dừng theo chu kì) Một q trình khơng dừng tính chất lặp lại tuần hồn, ta nói q trình dừng theo chu kì 2.3.3 Hàm tự tương quan hàm tự hiệp phương sai trình dừng theo nghĩa rộng Xét trình dừng theo nghĩa rộng, mơmen bậc mơmen bậc hai độc lập theo thời gian Vì tính dừng ta phải giả thiết thực q trình khơng khả tích tuyệt đối, biến đổi Fourier chúng không tồn Vì lĩnh vực viễn thơng cịn bắt gặp q trình giá trị phức mơ tả q trình băng thông thực băng thông phức, tiếp tục tìm kiếm trình giá trị phức Với trình dừng theo nghĩa rộng, hàm số tự tương quan phụ thuộc vào dịch chuyển thời gian lần tương ứng, cho bởi: rxx (τ ) = E x(t) x (t + τ ) Cho x1 = x (t + τ ) x2 = x(t) giá trị kì vọng E {·} viết: ∞ ∞ rxx (τ ) = E {x1 x2 } = ξ1 ξ2 px1 ,x2 (ξ1 , ξ2 ) dξ1 dξ2 (2.5) −∞ −∞ Giá trị lớn hàm tự tương quan đạt τ = 0, giá trị giá trị trung bình bình phương: ∞ rxx (0) = s2x = E |x|2 = |ξ|2 px (ξ) dξ −∞ Footer Page 34 of 161 28 Header Page 35 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU Hơn ta có rxx (−τ ) = rxx (τ ) Khi trừ kì vọng mx = E {x (t)} trước tính tốn hàm tự tương quan, ta có hàm tự hiệp phương sai cxx (τ ) =E x(t) − mx [x (t + τ ) − mx ] =rxx (τ ) − |mx |2 Định nghĩa 2.14 (Mật độ phổ công suất) Mật độ phổ công suất hay phổ mật độ công suất mô tả phân bố cơng suất tần số Nó định nghĩa biến đổi Fourier hàm tự tương quan ∞ rxx (τ ) e−iωτ dτ Sxx (ω) = (2.6) −∞ ∞ rxx (τ ) = 2π Sxx (ω) eiωτ dω (2.7) −∞ Định nghĩa dựa định lí Wiener-Khintchine, phát biểu mật độ phổ công suất mang nghĩa vật lý cho E |XT (ω)|2 T →∞ T Sxx (ω) = lim với XT (ω) ↔ x (t) rect rect(t) = t T ,   1 |t| ≤ 0.5,  0 ngược lại Footer Page 35 of 161 29 Header Page 36 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU đồng với mật độ phổ xác suất đưa (2.6) Lấy (2.8) với τ = , ta thu ∞ s2x = rxx (0) = 2π Sxx (ω) dω −∞ Định nghĩa 2.15 (Hàm tương quan chéo mật độ phổ công suất chéo) Tương quan chéo trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng x(t) y(t) xác định: rxy (τ ) = E x(t) (t + τ ) Biến đổi Fourier rxy (τ ) mật độ phổ công suất chéo, kí hiệu Sxy Do đó, ta có tương quan ∞ rxy (τ ) e−iωτ dτ Sxy (ω) = −∞ ∞ rxy (τ ) = 2π Sxy (ω) eiωτ dω −∞ 2.3.4 Tín hiệu rời rạc theo thời gian Trong mục trình bày định nghĩa cho tín hiệu rời rạc theo thời gian tương ứng với định nghĩa cho tín hiệu liên tục theo thời gian; hàm tương quan hiệp phương sai Tuy nhiên, chúng trở thành dãy tương quan dãy hiệp phương sai Dãy tương quan xác định rxx (m) = E x(n) x (n + m) Footer Page 36 of 161 30 (2.8) Header Page 37 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU Dãy tự hiệp phương sai xác định sau x(n) − mx [x (n + m) − mx ] cxx (m) = E = rxx (m) − |mx |2 mx = E {x (n)} Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian dãy tự tương quan gọi mật độ phổ công suất (định lí Wiener-Khintchine ) Ta có ∞ Sxx e iω rxx (m) e−iωm = m=−∞ π rxx (m) = 2π Sxx eiω eiωm dω −π Định nghĩa dãy tương quan chéo rxy (m) = E x(n) y (n + m) , biến đổi Fourier rxy (m) mật độ phổ công suất chéo Sxy eiω : π rxy (m) = 2π Sxy eiω eiωm dω −π ∞ iω Sxy e rxy (m) e−iωm = m=−∞ Một dãy hiệp phương sai định nghĩa cxy (m) = E Footer Page 37 of 161 x(n) − mx [y (n + m) − my ] = rxy (m) − mx my 31 Header Page 38 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TOÁN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU với mx = E {x (n)} , my = E {y (n)} Định nghĩa 2.16 (Ma trận tương quan) Ma trận tự tương quan (tương quan chéo) định nghĩa Rxx = E xxH , Rxy = E yxH , x = [x (n) , x (n + 1) , , x (n + Nx − 1)]T y = [y (n) , y (n + 1) , , y (n + Ny − 1)]T xH = xT , xT chuyển vị x cịn yxH tích vơ hướng y xH Vì tính chất đầy, phải lưu ý ma trận tự tương quan Rxx q trình dừng x(n) có cấu trúc Toeplitz sau   rxx (0) rxx (−1) rxx (−Nx + 1)       rxx (1) rxx (0)  Rxx =      rxx (−1)   rxx (Nx − 1) rxx (1) rxx (0) Ở đây, tính chất rxx (−j) = rxx (j), suy từ (2.8) việc quan tâm đến tính dừng sử dụng Footer Page 38 of 161 32 Header Page 39 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU Nếu hai trình x(n) y(n) cặp trình dừng, ta có rxy (−j) = ryx (j), ma trận tương quan chéo Rxy = E yxH có dạng sau  rxy (0) rxy (−1) rxy (−Nx + 1)    rxy (1) rxy (0) Rxy =    rxy (−1)  rxy (Ny − 1) rxy (1) rxy (0)         Ma trận tự hiệp phương sai chéo xác định tương tự việc thay rxy (m) qua cxy (m) 2.3.5 Quá trình Ergodic Một trình ngẫu nhiên gọi trình ergodic, giá trị trung bình tiệm cận giá trị trung bình lấy theo thời gian Hàm tự tương quan trình ergodic liên tục theo thời gian xác định T T →∞ 2T i rxx (τ ) = lim x(t) i x (t + τ ) dt, −T i x (t) thực trình ngẫu nhiên Còn rxx (m) = lim N →∞ 2N + N i x(n) i x (n + m) n=−N hàm tự tương quan trình ergodic cho tín hiệu rời rạc theo thời gian Footer Page 39 of 161 33 Header Page 40 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TOÁN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU 2.3.6 Q trình nhiễu trắng liên tục theo thời gian Một trình nhiễu liên tục theo thời gian dừng theo nghĩa rộng x(t) gọi trắng phổ mật độ công suất số: Sxx (ω) = σ Khi đó, hàm số tự tương quan trình xung Dirac với trọng số σ : rxx (τ ) = σ δ (τ ) Vì cơng suất q trình vơ hạn nên q trình khơng thể thực Tuy nhiên, q trình nhiễu trắng trình mẫu tiện lợi thường sử dụng để mơ tả tính chất hệ có thực Xét q trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng giá trị thực x(t) thử biểu diễn khoảng [−a, a] qua khai triển thành chuỗi sở trực chuẩn thực ϕi (t) L2 (−a, a) Cơ sở thỏa mãn a ϕi (t) ϕj (t) dt =   1 i = j,  0 ngược lại −a Định nghĩa 2.17 (Quá trình nhiễu trắng Gaussian liên tục theo thời gian) Nếu hệ số chuỗi khai triển cho a αi = ϕi (t) x (t) dt −a biến ngẫu nhiên Gaussian với E αi2 = σ Footer Page 40 of 161 34 ∀i Header Page 41 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU ta gọi x(t) trình nhiễu trắng Gaussian Định nghĩa 2.18 (Quá trình nhiễu trắng dải tần hạn chế) Một trình nhiễu trắng dải tần hạn chế trình nhiễu trắng mà mật độ phổ cơng suất số dải tần số khơng ngồi dải tần Định nghĩa 2.19 (Quá trình nhiễu trắng rời rạc theo thời gian) Một trình nhiễu trắng rời rạc theo thời gian trình rời rạc mà phổ mật độ công suất cho Sxx eiω = σ dãy tự tương quan rxx (m) = σ δm0 2.3.7 Sự truyền trình ngẫu nhiên qua hệ tuyến tính Định nghĩa 2.20 (Quá trình liên tục theo thời gian) Ta giả thiết hệ tuyến tính khơng đổi theo thời gian với xung đáp ứng h(t), kích thích q trình ngẫu nhiên x(t) Hàm tương quan chéo trình thu x(t) trình phát y(t) đưa rxy (τ ) = E x(t) y (t + τ ) ∞ E x(t) x (t + τ − λ) h (λ) dλ = −∞ = rxx (τ ) ∗ h (τ ) Footer Page 41 of 161 35 (2.9) Header Page 42 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU Mật độ phổ công suất chéo thu cách lấy biến đổi Fourier (2.9) Sxy (ω) = Sxx (ω) H (ω) Tính hàm tự tương quan tín hiệu làm sau ryy (τ ) =E y(t)y (t + τ ) = E x (t − α) x (t + τ − β) h(α) h (β) dα dβ = rxx (τ + α − β) h(α) h (β) dα dβ = rxx (τ − λ) h (α)h (α + λ) dα dλ = E rxx (τ − λ) rhh (λ) dλ Vì vậy, ta thu được: E ryy (τ ) = rxx (τ ) ∗ rhh (τ ) (2.10) Lấy biến đổi Fourier (2.10) ta thu mật độ phổ cơng suất tín hiệu Syy (ω) = Sxx (ω) |H (ω)|2 Ta thấy pha H (ω) không ảnh hưởng lên Syy Vì có cường độ tần số H (ω) xác định từ Sxx (ω) Syy (ω) Kết cho tín hiệu liên tục theo thời gian hệ ứng dụng trực tiếp tới trường hợp rời rạc theo thời gian, hệ với xung đáp ứng h(n) bị kích thích q trình thu x(n), trình Footer Page 42 of 161 36 Header Page 43 of 161 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU phát y(n) Dãy tương quan chéo thu phát rxy (m) = rxx (m) ∗ h (m) Phổ mật độ công suất chéo trở thành Sxy eiω = Sxx eiω H eiω Với dãy tự tương quan phổ mật độ công suất phát ra, ta E ryy (m) = rxx (m) ∗ rhh (m) Syy eiω = Sxx eiω H eiω Như trước đây, pha H eiω không ảnh hưởng lên Syy eiω Footer Page 43 of 161 37 Header Page 44 of 161 Kết luận Khóa luận trình bày số khái niệm tốn học giải tích tín hiệu Do giải tích tín hiệu cịn nhiều điều mẻ thân em lực dịch thuật nhiều hạn chế, nên có nhiều cố gắng khóa luận chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Footer Page 44 of 161 38 Header Page 45 of 161 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Vũ Viết Yên, Nguyễn Duy Tiến (2001),Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [B] Tài liệu tiếng Anh [5] Alfred Martin (1999), Signal Analysis Wavelets, Filter Banks,Time-Frequency Transforms and Applications, John Wiley and Sons, Canada [6] M W Wong (1991), An Introduction to Pseudo-Differential Operators, World Scientific Footer Page 45 of 161 39 Header Page 46 of 161 Tài liệu tham khảo Footer Page 46 of 161 40 ... ? ?Một số khái niệm tốn học giải tích tín hiệu? ?? Mục đích nghiên cứu Đưa số khái niệm tốn học giải tích tín hiệu Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày số khái niệm kết chuẩn bị - Trình bày khơng gian tín. .. tín hiệu - Trình bày tín hiệu ngẫu nhiên Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Một số khái niệm tốn học giải tích tín hiệu - Phạm vi nghiên cứu: tài liệu liên quan đến số khái niệm tốn học giải tích tín. .. Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU 2.1 Tín hiệu lượng tín hiệu cơng suất Định nghĩa 2.1 Xét tín hiệu tất định liên tục theo thời gian x(t), giá trị thực phức Năng lượng tín hiệu