Phương pháp khảo sát hàm số

+ Giao điểm của toạ độ với 2 trục toạ độ... BÀI TẬP ÁP DỤNG Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau.. Bước 3: Giới hạn và tiệm cận... Bước 4: Giới hạn và tiệm cận.

PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ

BẬC 3: y = f(x) = ax3 + bx2 + Cx + d

Bước 1: MXĐ : D = R

Bước 2: y’ = f’(x) = 3ax3 + 2bx2 + C

Bước 3: y’ = 0  3ax3 + 2bx2 + C = 0

’ = ?

* Nếu ' 0

>0

a

 





  y’> 0 hàm số đồng biến trên R và không có cực trị

* Nếu ' 0

< 0

a

 





  y’ < 0 hàm số nghịch biến trên R và không có cực trị

* Nếu ’>  y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt

 1 1



 Bảng xét dấu y’

x -  x1 x2 +

y’ cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

 Tuyên bố đồng biến, nghịch biến và hàm số có 2 cực trị

Bước4: y”= f”(x) = 6ax +2b

y” = 0  x =

-3

a

b; y =?

Bước 5: Bảng xét dấu y”

x -  -b/3a +

y” cùng dấu với a 0 trái dấu vơi a

lồi hoặc lõm điểm uốn lõm hoặc lồi

(-b/3a ; ? )

Bước 6: Giới hạn

a > 0 : limx y =  a < 0: limx  y = 

Bước 7 : Bảng Biến Thiên (BBT)

x -  +

y’

y

Bước 7: Vẽ đồ thị

+ Giao điểm của toạ độ với 2 trục toạ độ.

x = 0  y = d

y = 0 

+ Một số điểm khác ( bảng giá trị )

x ( 3 điểm ) -b/3a ( 3 điểm )

y ?

* Chú ý trong bảng giá trị phải có nghiệm y’ và y’’ nếu có Bước 8: Đồ thị hàm số rơi vào 1 trong 4 dạng sau

y y

x x

0 0

a > 0 , Có 2 cực trị a > 0 , không có cực trị y y x x

a < 0 , có 2 cực trị a < 0 , khong có cực trị

Bước 9:* Nhận xét : Đồ thị hàm số nhận điểm uốn

I ;?

3

b a



BÀI TẬP ÁP DỤNG

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1) y = 4x3 – 2x2 – 3x + 1 ; 2) y = x3 – 3x2 – 4x + 12 ; 3) y = x3 – 3x2 + 6x – 8 4) y = x3 + 15x2 +68x - 96 ; 5) y = x3 -4x + 3 ; 6) y = x3 + 6x2 +9x - 4 7) y = -x3 – 3x2 + 4 8) y = -2x3 + 3x2 - 4 ; 9) y = x3 - 3x2 +5x -2 10) y =

-3

3

x + 2x2 – 3x -1 ; 11) y = 4x3 – 3x ; 12) y = x3 -3x

13) y = x3 – 3x2 + 2x ; 14) y = - 2x2 + 1 ; 15) y = x3 _ 1

16) y = - x3 – 2x2 ; 17) y = -x3 + 3x2 + 9x -1 ; 18) y = - x3 – 2x2 + x

19) y = x3 – 4x2 + 4x ; 20) y = -1

3x

2 – 2x2 – 3x + 1 ; 21) y = x3 – 3x2 + 2x 22) y = x3 – 3x2 + 3x + 1 ; 23) y = x3 – 6x2 +9x – 1 ; 24) y = - x3 – 3x2 – 4 25) y = x3 – 7x + 6 ; 26) y = x3 + 1

PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ

BẬC 4: y = f(x) = ax4 bx2 + c

( TRÙNG PHƯƠNG )

Bước1: MXĐ : D = R

Bước2: y’(x) = 4ax3 + 2bx

y’(x) = ax3 + 2bx = 0

* Nếu a,b cùng dấu

 x = 0 ; y = C

BXD y’

x - 0 +

y’ Trái dấu a 0 cùng dấu a

 Tuyên bố đồng biến,nghịch biến,và h/s có 1 cực trị

*nếu a,b trái dấu

x = 0 ; y = C

y’ =0  x = b/ 2a ; y = ?

x = - b/ 2a ; y = ?

BXD y’

A>0

x - - b/ 2a 0 b/ 2a + y’ - 0 + 0 + 0 +

 Tuyên bố khoảng đồng biến,nghịch biến,hàm số có 3 cực trị

A<0

x - - b/ 2a 0 b/ 2a + y’ + 0 - 0 + 0 -

 Tuyên bố khoảng đồng biến,nghịch biến h/s có 3 cực trị

Bước3: y’’= 12ax2 + 2b

* Nếu a , b > 0  y’’> 0  h/s luôn lồi trrên R & không có điểm uốn

* Nếu a , b < 0  y’’< 0  h/s luôn lồi trên R & không có điểm uốn

* Nếu a,b trái dấu

y” = 0  x =  b a/ 6 ; y = ?

BXD y”

x   - b a/ 6 b a/ 6 +

y” cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a (c) lồi hoặc Điểm uốn lõm hoặc Điểm uốn lồi hoặc lõm ( b/ 6a;?) lồi ( b a/ 6 ; ? ) lõm Bước4 : Giới hạn A>0 limx = + A>0 limx = - Bước5 BBT x - +

y

y”

Bước6 : Vẽ đồ thị + Giao điểm của đồ thị hàm số với 2 trục toạ độ x = 0  y = C y = 0  ax4 + bx2 + C = 0 + Một số điểm khác ( bảng giá t

x (7điểm) gồm điểm của y’ , y’’ nếu có

y Bước7 : đồ thị hàm số rơi vào 1 trong 4 trường hợp sau

y y

x x

o o

a > 0 , b  0 a > 0 , b< 0

y y

x x

o o a < 0 , b  0 a < 0 , b< 0 Bước8: * Nhận xét : Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

BÀI TẬP ÁP DỤNG Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau 1) y = x4 – 2x2 + 1 ; 2) y = - x4 – 2x2 ; 3) y = x4 – 3x2 + 2 4) y = x4 – 4x2 + 3 ; 5) y = x4 – 5x2 + 4 ; 6) y = x4 – 4x2 7) y = -x4 + 2 ; 8) y = -x4 + 3 ; 9) y = x4 – 2x2

10) y = x4 – 1 PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM NHẤT BIẾN

y = f(x) = ax+b cx+d. Bước 1: MXĐ: D = R\ {-d/c} Bước 2: y’= f’(x) = 2 2 ( ) ( ) a d a c D c x d c x d     * Nếu D > 0  h/s đồng biến trên từng khoảng xác định * Nếu D < 0  h/s nghịch biến trên từng khoảng xác định Bước 3: Giới hạn và tiệm cận x limd c/ y  x = - d/c là tiện cận đứng lim x y   = a/c  x = a/c là tiệm cận ngang Bước 4: BBT: D > 0 D < 0

x - - d/c + x - - d/c +

y’ + + y’ – –

y + a/c y a/c + a/c - - a/c

Bước 5: Vẽ đò thị :

+ Giao điểm của đồ thị (c) với 2 trục toạ độ

x = 0  y = b/d ; y = 0  x = - b/a

+ Một số điểm khác

x (3 điểm) -d/c (3 điểm)

y

Bước 6: Đồ thị hàm số rơi vào một trong 2 dạng sau

TCN

TCĐ TCĐ

Bước 7: * Nhận xét : Đồ thị hàm số mhận giao điểm của hai tiệm cận (-d/c ; a/c) làm tâm đối xứng

BÀI TẬP ÁP DỤNG

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ SAU

1

x

x



 ; 2) y = 3

3

x x



 ; 3) y = 5 6

6

x x



 ; 4) y = 2 3

3

x x



 5) y = 4 2

2

x

x



 ; 6) y = 6 1

x x



 ; 7) y = 5 2

x x



 ; 8) y = 3

3

x x





2

x

x



 ; 10) y = 5

3

x x



 ; 11) y = 2 6

3

x x



 ; 12) y = 4 2

5

x x



 13) y = 3 4

1

x

x



 ; 14) y = 5

2

x x



 ; 15) y = 3

1

x x



 ; 16) y = 4 2

7

x x





8

x

x





PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

y =

2 ax

bx c

a x b

x

a x b



 Bước 1: MXĐ: D = R\ {-b’/a’}

a

a x b



 

Bước 3: * Nếu y’ > 0  h/s đồng biến trên từng khoảng xác định

* Nếu y’< 0  h/s nghịch biến trên từng khoảng xác định

x1 = ? ; y = ?

* Nếu y’ = 0 

x1 = ? ; y = ?

BXD: y’

x -  x1 x2 + 

y’ cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

– Tuyên bố đồng biến, nghịch biến và 2 cực trị

Bước 4: Giới hạn và tiệm cận

limx y = ? ; x limb a'/ 'y =   x = -b’/a’ là tiệm cận đứng

lim



   = 0  y = x  là TCX

Bước 5: BBT

x -  + 

y’

y

Bước 6: Vẽ đồ thị:

+ Giao điểm của (c) với 2 trục toạ độ

x = 0  y = c/b’

y = 0  ax2 + bx + c = 0

+ Một số điểm khác

x (3đ’) -b’/a’ (3đ’)

Bước 7: Đồ thị hàm số rơi vào 1 trong 4 dạng sau

y y

x x

o o

TCĐ TCX TCX TCĐ

 < 0, 2 cực trị  > 0 , 2 cực trị

y y

x x

0 0

TCĐ TCX TCX TCĐ

Không có cực trị,  < 0 Không có cực trị, > 0

Bước 8: * Nhận xét : Đồ thị h/s nhận giao điểm của 2 tiệm cận (-b’/a’;?) làm TĐX

BÀI TẬP ÁP DỤNG

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ SAU

1) y =

2

6 2

x

 ; 2) y =

2 1 1

x

 

 ; 3) y =

2

2

x

 4) y = x – 1- 6

2

x  ; 5) y =

2 1

x

x  ; 6) y = 1-2

x

1 x 7) y =

2

2 1

x

 

 ; 8) y = 1-x + 1

2

x  ; 9) y =

2

2

x

 10) y =

2

2

x

x



 ; 11) y =

1

x

 ; 12) y =

2 1

x

x 

13) y =

2

1 1

x

 

 ; 14) y =

2 2 2

x

 ; 15) y =

2 5 1

x

 16) y =

2

1

x

 ; 17) y =

2 1

x

 ; 18) y =

1

x

 19) y =

2

1

x

 ; 20) y = x + 1

1

x  ; 21) y = x + 1 +

1 1

x 

22) y = 1

1

x  ; 23) y =

2 3 2 1

x

 ; 24) y =

2 4 3 3

x

 25) y =

2

1

x

 ; 26) y = x + 1

2

x  ; 27) y =

2

1

x x



 28) y = - x - 1

2

x  ; 29) y =

2

2

x x



 ; 30) y = - 1 – x + 3

2

x 

31) y =

2

2

x

x  ; 32) y = -x + 3 -

3 2

x  ; 33) y =

2 2

x

x 

34) y =

2 2

1

x



 ; 35) y = - x - 5

1

x  ; 36) y =

2 4 2

x





37) y = 2x - 1

3

x  ; 38) y =

2 2 1 3

x

 ; 39) y = 1- x + 2

3

40) y =

2 5 6

1

x

 ; 41) y = 3x – 1 + 2

2

x  ; 42) y =

1

x

 43) y = 4 – x - 1

1

x  ; 44) y =

2 4

x

x  ; 45) y =

 46) y =

2

2

x

x



