Phương Pháp Khảo Sát Hàm Số (Bí Kíp Hay)

☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 1          −= =++ −=++ a d xxx a c xxxxxx a b xxx 321 133221 321 I/ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN, ĐIỂM CỰC TRỊ. Khảo sát sự biến thiên của hàm số )(xfy = có tập xác ñịnh D:  Tính ñạo hàm y’.  Xét dấu y’: - Nếu 0' ≥ y :Dx ∈ ∀ hàm s ố luôn ñồ ng bi ế n trên D. - N ế u 0' ≤ y :Dx ∈ ∀ hàm s ố luôn ngh ị ch bi ế n trên D. - N ế u 0' ≥ y khi ≥ x x 1 : hàm s ố ñồ ng bi ế n trong ( x 1 ; ∞ + ). 0' < y khi ≤ x x 2 : hàm s ố ngh ị ch bi ế n trong ( ∞ − ; x 2 ). Các bài toán trong ph ầ n ñồ ng bi ế n – ngh ị ch bi ế n thông th ườ ng r ơ i vào hàm số bậc ba nên tôi s ẽ h ướ ng d ẫ n các b ạ n m ộ t s ố d ạ ng toán th ườ ng g ặ p nh ư sau:  Dạng 1: Tìm ñiền kiện ñể hàm số luôn ñồng biến hoặc nghịch biến trên R, ta làm như sau: - Tính cbxaxy ++= 2 ' . - Hàm s ố luôn ñồ ng bi ế n trên R    ≤∆ > ⇔ 0 0 a . - Hàm s ố luôn ngh ị ch bi ế n trên R    ≤∆ < ⇔ 0 0 a .  Dạng 2: Tìm m ñể hàm số ñồng biến hoặc nghịch biến trong khoảng nào ñó, ta làm như sau: - Tính cbxaxy ++= 2 ' . - V ậ n d ụ ng ph ươ ng pháp sau ñ ây: cbxaxxf ++= 2 )( có hai nghi ệ m x 1 , x 2 : + 21 xx << α .0)(. < ⇔ α fa +      < + > ⇔<< α α α 2 0)(. 21 21 xx fa xx . +      > + > ⇔<< α α α 2 0)(. 21 21 xx fa xx . - Kết hợp với trường hợp ñồng biến hoặc nghịch biến trên R. - Kết luận. Các bài toán cực trị thông thường nằm trong hàm số trùng phương hoặc hàm số bậc ba, ñể giải ta phải nhớ ñịnh lí Viét:  Hàm số bậc hai: cbxaxy ++= 2 , (a 0 ≠ ) có hai nghiệm phân biệt, ta có:        = −=+ a c xx a b xx 21 21 .  Hàm số bậc ba: dcxbxaxy +++= 23 , (a 0 ≠ ) có ba nghiệm phân biệt, ta có: ☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 2 Ví dụ: Cho hàm số 2)512()12(3 23 ++++−= xmxmxy . a) Định m ñể hàm số có cực trị. b) Định m ñể hàm số ñồng biến trên R. c) Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu thuộc (0;2). d) Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên (2; ∞ + ). Giải: a) TXĐ: D = R. 512)12(63' 2 +++−= mxmxy . .0512)12(630' 2 =+++−⇔= mxmxy (1) Để hàm số có cực trị khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt.       −< > ⇔>⇔>−⇔>+−+⇔>∆⇔ 6 1 6 1 6 1 02120)512(3)12(90' 222 m m mmmm . b) Hàm s ố ñồ ng bi ế n trên R 6 1 6 1 6 1 0212 0' 0 22 ≤≤−⇔≤⇔≤−⇔    ≤∆ > ⇔ mmm a . c) Hàm s ố ñ ã cho có c ự c ñạ i, c ự c ti ể u thu ộ c (0;2) ⇔ (1) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t sao cho 2,0 21 << xx 6 1 12 5 2 1 2 1 12 5 12 5 6 1 ; 6 1 2120 12 5 12 5 6 1 ; 6 1 2 2.3 )12(6 0 0512 0512 6 1 2 2 0 0)2(.3 0)0(.3 0' 2 21 −<<−⇔            <<− < −> >−< ⇔            <+< < −> >−< ⇔          < + < >+− >+ > ⇔          < + < > > >∆ ⇔ m m m m mm m m m mm m m m m xx f f d) Hàm s ố ñồ ng bi ế n trên R nên s ẽ ñồ ng bi ế n trên (2; ∞ + ) 6 1 6 1 ≤≤−⇒ m th ỏ a. Để hàm s ố ñồ ng bi ế n trên (2; ∞ + ) khi (1) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t 2, 21 <xx (v ẽ b ả ng xét d ấ u y’ s ẽ th ấ y).       << −< ⇔          < < >−< ⇔        < + > >∆ ⇔ 12 5 6 1 6 1 2 1 12 5 6 1 ; 6 1 2 2 0)2(.3 0' 21 m m m m mm xx f . Vậy hàm số ñồng biến trên (2; ∞ + ) ⇔ 12 5 <m .  BÀI TẬP I: 1. Cho hàm s ố : )mm()xmm()x(mxy 1222321 223 −++−−+−= . Đị nh m ñể hàm s ố ñồ ng bi ế n trên (2; ∞ + ). ( Đ S: 2 3 2 ≤≤− m ). 2. Cho hàm s ố : mmxxy −+−= 23 . Đị nh m ñể hàm s ố ñồ ng bi ế n trên (1;2). ( Đ S: 3 ≥ m ). ☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 3 3. Cho hàm số: mx xx y ++= 2 3 23 . Tìm m ñể hàm số ñạt cực ñại, cực tiểu tại các ñiểm có hoành ñộ lơn hơn m. (ĐS: 2 − < m ). 4. Cho hàm s ố : 2)2( 3 +−−= mxxmy . V ớ i giá tr ị nào c ủ a m thì ñồ th ị c ủ a hàm s ố không có c ự c tr ị . ( Đ S: 20 ≤ ≤ m ). 5. Cho hàm s ố 424 22 mmmxxy ++−= . Đị nh m ñể hàm s ố có các ñ i ể m c ự c tr ị t ạ o thành m ộ t tam giác ñề u. ( Đ S: 3 3=m ) II/ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ. Sự tương giao giữa hai ñồ thị: Cho (C 1 ) là ñồ th ị hàm s ố )( 1 xfy = và (C 2 ) là ñồ th ị hàm s ố )( 2 xfy = . S ố ñ i ể m chung c ủ a (C 1 ) và (C 2 ) b ằ ng s ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: )( 1 xf = )( 2 xf mà ta g ọ i ñ ó là ph ươ ng trình hoành ñộ giao ñ i ể m c ủ a (C 1 ) và (C 2 ). Ví dụ: Cho hàm s ố ( ) 32 24 −−== xxxfy có ñồ th ị (C). a) Kh ả o sát và v ẽ ñồ th ị hàm s ố . b) Đị nh k ñể ñườ ng th ẳ ng (d): ky = cắt (C) tại 4 ñiểm phân biệt có hoành ñộ tạo thành cấp số cộng. Giải: a) Các bạn tự giải. Đồ thị: b) Ph ươ ng trình hoành ñộ giao ñ i ể m gi ữ a (C) và (d): kxx =−− 32 24 (1). Số giao ñiểm giữa (C) và (d) bằng với số nghiệm của phương trình (1). Dựa vào ñồ thị ta có: Để (d) cắt (C) tại 4 ñiểm phân biệt khi và chỉ khi 34 − < < − k . Đặt 2 xt = )0( ≥ t 032)( 2 =−−−=⇒ ktttf .         ++= +−= +−−= ++−= ⇒     +−= ++= ⇒+=∆ 41 41 41 41 41 41 4' 4 3 2 1 kx kx kx kx kt kt k Để x 1 , x 2, x 3, x 4 lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:      +−=++++−− +−−=+−+++− ⇔    =+ =+ 4124141 4124141 2 2 342 231 kkk kkk xxx xxx ☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 4 ( ) 25 84 5 4 44141941413 −=⇔=+⇔++=+−⇔++=+−⇔ kkkkkk (th ỏ a ñ k) V ậ y khi 25 84 −=k s ẽ tho ả yêu c ầ u c ủ a bài toán.  BÀI TẬP II: 1. Cho hàm s ố : 33)12()3( 23 −−−−−+= mxmxmxy có ñồ th ị (C m ). Xác ñị nh m ọ i giá tr ị m ñể ñồ th ị (C m ) c ắ t tr ụ c hoành t ạ i 3 ñ i ể m có hoành ñộ d ươ ng. ( Đ S: 2221 −<<− m ) 2. Cho hàm s ố : ).1(4)14(2)1(3 223 +−++++−= mmxmmxmxy V ớ i nh ữ ng giá tr ị nào c ủ a m thì ñồ th ị hàm sô c ắ t tr ụ c hoành t ạ i 3 ñ i ể m phân bi ệ t có hoành ñộ l ớ n h ơ n 1. ( Đ S: 2, 2 1 ≠> mm ) 3. Cho hàm s ố : axxxy +−−= 93 23 . Đị nh a ñể ñồ th ị hàm s ố c ắ t tr ụ c hoành tai 3 ñ i ể m sao cho BCAB = . 4. Xác ñị nh m ñể ñườ ng th ẳ ng (d): 0 = − + myx cắt ñồ thị (C): 1 1 − + = x x y tại hai ñiểm phân biệt. (ĐS: 222222 +>∨−< mm ) 5. Cho hàm số: 1 1 − + = x x y . Chứng minh rằng ñường thẳng (d): mxy + = 2 luôn cắt ñồ thị hàm số tại 2 ñiểm phân biệt A và B thuộc 2 nhánh của ñồ thị. 6. Cho hàm số: 1 1 2 − −+ = x mxx y . Xác ñịnh m ñể ñường thẳng m y = cắt ñồ thị hàm số tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho OBOA ⊥ . (ĐS: 2 51±− =m ). III/ HÀM SỐ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. 1. Hàm số ( ) xfy = Theo ñị nh ngh ĩ a, ta có:    − == )( )( )( xf xf xfy n ế u 0)( 0)( < ≥ xf xf . Do ñ ó ta có cách v ẽ nh ư sau: - V ẽ ñồ th ị hàm s ố )(xfy = và l ấ y ph ầ n ñồ th ị n ằ m trên Ox, sau ñ ó l ấ y ñố i x ứ ng qua tr ụ c Ox ph ầ n ñồ th ị n ằ m d ướ i Ox, ta ñượ c ñồ th ị hàm s ố ( ) xfy = . Ví dụ: V ẽ ñồ th ị c ủ a hàm s ố 1 2 − + = x x y , ta làm nh ư sau: - V ẽ ñồ th ị hàm s ố 1 2 − + = x x y . ☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 5 - Giữ phần ñồ thị trên Ox, lấy ñối xứng qua Ox phần ñồ thị dưới trục Ox. - Cuối cùng ta ñược ñồ thị 1 2 − + = x x y 2. Hàm số ( ) .xfy = Đ ây là hàm s ố ch ẵ n trên mi ề n xác ñị nh c ủ a nó. Do ñ ó ta có cách v ẽ nh ư sau: - V ẽ ñồ th ị hàm s ố )(xfy = và lấy phần ñồ thị nằm bên phải trục Oy, sau ñó lấy ñối xứng qua trục Oy, ta ñược ñồ thị hàm số ( ) .xfy = Ví dụ: Vẽ ñồ thị của hàm số 1 2 − + = x x y , ta làm như sau: - Vẽ ñồ thị hàm số 1 2 − + = x x y . - Gi ữ nguyên ph ầ n ñồ th ị bên ph ả i tr ụ c Oy, sau ñ ó l ấ y ñố i x ứ ng ph ầ n ñồ th ị ñ ó qua Oy. ☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 6 - Cuối cùng ta ñược ñồ thị hàm số 1 2 − + = x x y . • Chú ý: Hiểu và làm tốt phần này, các bạn sẽ giải tốt các bài toán bi ện luận số nghiệm của phương trình bằng ñồ thị.  BÀI TẬPIII: 1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 056 3 =−+− mxx . 2. Tìm m ñể ph ươ ng trình: 02)1(2 =+++− mxmx có 2 nghi ệ m phân bi ệ t. ( Đ S: 1;2 > − < mm ). 3. Định tất cả các giá trị của tham số a sao cho phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: ( ) 022 2 =+++− axax (ĐS: a > 2). IV/ BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN. Điều kiện tiếp xúc giữa hai ñường cong: Cho (C 1 ) là ñồ thị hàm số )( 1 xfy = và (C 2 ) là ñồ thị hàm số )( 2 xfy = . (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:    = = )(')(' )()( 21 21 xfxf xfxf Tiếp tuyến của ñồ thị:  Tiếp tuyến tại một ñiểm: Cho hàm số )(xfy = có ñồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại ñiểm );( 00 yxM có phương trình: 000 )).((' yxxxfy +−= .  Tiếp tuyến ñi qua một ñiểm: Cho hàm số )(xfy = có ñồ thị (C) và ñiểm );( 00 yxA . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua ñiểm A. Cách giải: - Phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua ñiểm A có dạng: 00 )( yxxky +−= (1) (k là hệ số góc của tiếp tuyến). - Sử dụng ñiều kiện tiếp xúc giữa ñồ thị và tiếp tuyến ta ñược hệ phương trình:    = +−= kxf yxxkxf )(' )()( 00 - Giải hệ trên ta tìm ñược k, thế k vào (1) ta ñược phương trình tiếp tuyến cần tìm. Lưu ý: Số tiếp tuyến kẻ ñược từ ñiểm A chính bằng với số hệ số góc k. Vì thế khi gặp những bài toán biện luận số tiếp tuyến của ñồ thị (C) từ ñiểm A, ta cần biện luận số nghiệm k mới ñáp ứng yêu cầu bài toán. ☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 7 Ví dụ 1: Cho hàm số: 183 23 +−+= xxxy có ñồ thị (C). a) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1;2). b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ N(-1;9). c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với ñường phân giác thứ nhất. d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với 1 8 1 : +=∆ xy . Giải: a) TX Đ : D=R. 863' 2 −+= xxy . ⇒ = 1)1('y Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1;2): 12)1.(1 + = + − = xxy . b) Phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua N(-1;1) có dạng: 9)1( + + = xky . Tiếp tuyến tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:      =−+ ++=+−+ (2) 863 (1) 9)1(183 2 23 kxx xkxxx 0 (VN) 0662 0 0)662.( 0662 9)1)(863(183 :có ta(2), vào(1)Thay 2 2 23 223 = ⇔    =++ = ⇔ =++⇔ =++⇔ ++−+=+−+ x xx x xxx xxx xxxxxx ⇒ − = ⇒ = 80 kx Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ầ n tìm: .189)1(8 + − = + + − = xxy c) G ọ i M( 0 x ; 0 y ) là ti ế p ñ i ể m.Vì ti ế p tuy ế n song song v ớ i ñườ ng phân giác th ứ nh ấ t nên .1 = k    −= = ⇒    −= = ⇔=−+⇔=⇒ 3 1 3 1 18631' 0 0 2 x x x x xxy Thay 0 x vào (C) ta tìm ñượ c 0 y . - ⇒ −= ⇒ = 31 00 yx Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n: .431 − = − − = xxy - ⇒ = ⇒ −= 253 00 yx Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n: .28253 + = + + = xxy d) Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n có d ạ ng: .8 bxy + − = Ti ế p tuy ế n ti ế p xúc v ớ i (C) khi và ch ỉ khi h ệ sau có nghi ệ m:    == −== ⇔      −=−+ +−=+−+ 5,1 2,0 8863 8183 2 23 bb xx xx bxxxx ⇒ Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n: 18 + − = xy , 58 + − = xy . Ví dụ 2: Cho (C): .1 24 +−= xxy Tìm m ọ i ñ i ể m thu ộ c Oy sao cho qua m ỗ i ñ i ể m ñ ó có th ể k ẻ ñượ c 3 ti ế p tuy ế n v ớ i (C). Giải: G ọ i m)M(0; là ñ i ể m c ầ n tìm. Ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng (d) ñ i qua M có d ạ ng: mkxy + = . (d) ti ế p xúc (C) khi và ch ỉ khi h ệ sau có nghi ệ m: (2) 24 (1) 1 3 24      =− +=+− kxx mkxxx Thay (2) vào (1), ta có: 013)24(1 24324 =−+−⇔+−=+− mxxmxxxxx (3). Đặ t 013)( ).0( 22 =−+−= ⇒ ≥= mtttftxt (4). Để có 3 ti ế p tuy ế n c ủ a (C) k ẻ t ừ M thì c ầ n có 3 h ệ s ố góc k ⇔ (3) có 3 nghi ệ m phân bi ệ t ⇔ (4) có m ộ t nghi ệ m 0 = t và nghi ệ m còn l ạ i 0 > t ☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 8 101 0 3 1 01 0 0)0( =⇔=−⇔      > =− ⇔    > = ⇔ mm m S f . M(0;1). ⇒ Vậy trên trục tung có một ñiểm M(0;1) duy nhất có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến với ñồ thị (C).  BÀI TẬP IV: 1. Cho hàm số: 1)1( 3 +++= xmxy có ñồ thị (C m ). Định m ñể ñồ thị hàm số tiếp xúc với ñường thẳng (d): 1 + = my . (ĐS: 4 1 2 =∨−= mm ) 2. Cho hàm s ố : 1 24 −−+= mmxxy . Đị nh m ñể ñồ th ị hàm s ố ti ế p xúc v ớ i ñườ ng th ẳ ng 22 − = xy t ạ i ñ i ể m có hoành ñộ 1 = x . ( Đ S: 1 − = m ) 3. Cho (C): 23 23 +−= xxy . Tìm trên ñườ ng th ẳ ng 2 − = y , các ñ i ể m mà t ừ ñ ó có th ể k ẻ ñế n (C) hai ti ế p tuy ế n vuông góc nhau. ( Đ S:       −2; 27 55 M ) 4. Cho hàm s ố : 2 23 + + = x x y có ñồ th ị (C). Tìm nh ữ ng ñ i ể m trên (C) mà ti ế p tuy ế n t ạ i ñ ó có h ệ s ố góc b ằ ng 4. Vi ế t nh ữ ng ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n ñ ó. ( Đ S: ( ) ( ) 3;7-M ; 1;1M −− ) 5. Cho (C m ) là ñồ th ị c ủ a hàm s ố : 0, )13( 2 ≠ + +−+ = m m x mmxm y . Đị nh m ñể t ạ i giao ñ i ể m c ủ a (C m ) và Ox, ti ế p tuy ế n c ủ a (C m ) song song v ớ i ñườ ng th ẳ ng (d): xy = + 10 . Vi ế t ph ươ ng trình các ti ế p tuy ế n ñ ó. ( Đ S: 5 1 ,1 −=−= mm ) 6. Đị nh m ñể qua I(2; -1) có th ể d ự ng hai ti ế p tuy ế n vuông góc nhau v ớ i ñồ th ị (C m ) c ủ a hàm s ố : 0, 2 ≠ +− = m x mmxx y . ( Đ S: )5,1 = = mm V/ TÂM VÀ TRỤC ĐỐI XỨNG Đối xứng qua trục tung: Đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố f(x)y = ñố i x ứ ng qua tr ụ c tung khi và ch ỉ khi trên mi ề n xác ñị nh c ủ a nó hàm f(x) là m ộ t hàm ch ẵ n: f(x)f(-x) = . Đối xứng qua một ñiểm I(x 0 ; y 0 ): Gi ả s ử ta ph ả i ch ứ ng minh ñồ th ị (C): y = f(x) ñố i x ứ ng qua I(x 0 ;y 0 ). • Ch ọ n ñ i ể m I(x 0 ; y 0 ) làm m ố c m ớ i. • Tr ụ c hoành m ớ i: IX // Ox. • Tr ụ c tung m ớ i: IY // Oy. • V ậ n d ụ ng công th ứ c ñổ i tr ụ c b ằ ng phép t ị nh ti ế n theo    += += → Yyy Xxx 0 0 :OI thay vào hàm s ố F(X)Y f(x)y = ⇒ = . Ch ứ ng t ỏ F(X) là m ộ t hàm l ẽ : F(-X) = -F(X). Đối xứng qua gốc toạ ñộ O: G ọ i M(a; b), M’(a’; b’). M ñố i x ứ ng v ớ i M’ qua O    = = ⇔ -bb' -aa' . Ví dụ 1: Cho (C): 1332 23 +−+= mmxxy . Đị nh m ñể (C) có 2 ñ i ể m ñố i x ứ ng nhau qua g ố c to ạ ñộ O. Giải: G ọ i M(x; y) và M’(-x; -y) ñố i x ứ ng nhau qua O. M, M’ ∈ (C) 01330266 1332 1332 22 23 23 =+−⇔=+−⇒      +−+−=− +−+= ⇔ mmxmmx mmxxy mmxxy . ☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 9 Để phương trình có nghiệm thì 13 và3 + − mm ph ả i trái d ấ u 3 1 00)13(3 >∨<⇔<+−⇔ mmmm . V ậ y giá tr ị m ph ả i tìm là: 3 1 0 >∨< mm . Đối xứng qua ñường phân giác thứ nhất ( ∆ ) y = x: G ọ i M(a; b), M’(a’; b’). M ñố i x ứ ng v ớ i M’ qua ñườ ng phân giác th ứ nh ấ t      = = ∆⊥ ⇔ ab' ba' )( MM' . Ví dụ 2: Cho hàm s ố (C): 1 13 2 − +− = x xx y và (d): m x y + − = . Đị nh m ñể (C) và (d) có 2 giao ñ i ể m ñố i x ứ ng qua ñườ ng th ẳ ng xy = ∆ : . Giải: Phương trình hoành ñộ giao ñiểm giữa (C) và (d):    =+++− ≠ ⇔+−= − +− )1( 01)4(2 1 1 13 2 2 mxmx x mx x xx ⇒∀>+=+−+=∆ mmmm ,08)12(8)4( 22 (1) luôn có 2 nghiệm 21 , xx . Mặt khác ta thấy 21 , xx ≠ 1, m ∀ . Do ñó (C) và (d) có 2 giao ñiểm );N( và);(M 2211 yxyx . Nhận xét rằng (d) ∆ ⊥ . Để M và N ñối xứng qua xy = ∆ : thì phải có: .4 2 4 21 12 21 12 21 =⇔= + ⇔=+ ⇒    +−= +−= ⇔    = = mm m mxx mxx mxx yx yx Vậy giá trị m phải tìm là: m = 4. Đối xứng qua ñường thẳng (D) y = ax + b, a 0 ≠ : Nếu A và B ñối xứng nhau qua (D) thì: ( ) ( )    = ⊥ (D)B,d(D)A,d (D)AB . Gọi H là giao ñiểm giữa AB và (D), ta có: AH AB 2 = (H là trung ñiểm của AB). Ví dụ 3: Định m ñể ñồ thị (H): 1 2 − + − = x x y và ñường thẳng (d): mxy + − = 2 có 2 giao ñiểm A và B ñối xứng nhau qua ñường thẳng 3 2 1 : +=∆ xy . Giải: Phương trình hoành ñộ giao ñiểm giữa (H) và (d):    =+++− ≠ ⇔+−= − +− (1) 02)3(2 1 2 1 2 2 mxmx x mx x x 72)2(8)3( 22 −−=+−+=∆ mmmm . Để cho (H) và (d) có 2 giao ñiểm A và B thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt 21 , xx ≠ 1     +> −< ⇔    ≠ >−− ⇔    ≠ >∆ ⇔ 221 221 01 072 1 0 2 m m mm x (*) Nhận xét rằng (d) ∆ ⊥ . Giao ñiểm I giữa (d) và ∆ là nghiệm của hệ:        − = − = ⇔      += +−= 5 12 5 62 3 2 1 2 m y m x xy mxy I là trung ñiểm của ñoạn AB. Ta có: 13 5 124 2 3 2 21 =⇔ − = + ⇔=+ m mm xxx I thỏa (*). ☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 10  BÀI TẬP V: 1. Tìm tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số: 33 23 +−−= xxy (ĐS: I(-1; 1)) 2. Cho hàm số (C): 1 12 − − = x x y . Ch ứ ng t ỏ giao ñ i ể m I c ủ a hai ñườ ng ti ệ m c ậ n là tâm ñố i x ứ ng c ủ a (C). 3. Cho (C): .43 323 aaxxy +−= Xác ñị nh a ñể các ñ i ể m c ự c tr ị c ủ a ñồ th ị (C) ñố i x ứ ng nhau qua ñườ ng th ẳ ng (d): x y = . ( Đ S: 2 2 ±=a ) 4. Cho (C): 1 2 − = x x y . Tìm 2 ñ i ể m A và B n ằ m trên (C) và ñố i x ứ ng nhau qua ñườ ng th ẳ ng (d): 1 − = xy . (ĐS:         +− −         −− 2 22 ; 2 2 ; 2 22 ; 2 2 BA ) 5. Đị nh m ñể ñồ th ị (H): 1 22 2 − +− = x xx y và ñườ ng th ẳ ng (d): m x y + − = có 2 giao ñ i ể m A và B ñố i x ứ ng nhau qua ñườ ng th ẳ ng 3: + = ∆ xy ( Đ S: m = 9) VI/ KHOẢNG CÁCH Phương pháp giải: Tìm t ọ a ñộ các ñ i ể m liên quan. Áp d ụ ng các công th ứ c:  Kho ả ng cách t ừ );( 00 yxA ñế n tr ụ c 0 yOx = , ñế n tr ụ c 0 xOy =  Kho ả ng cách gi ữ a hai ñ i ể m ( ) ( ) 2 12 2 122211 :);( và);( yyxxAByxByxA −+−=  Kho ả ng cách t ừ ñ i ể m );( 00 yxA ñế n ñườ ng th ẳ ng 0:)( = + + ∆ CByAx ( ) 22 00 )(, BA CByAx Ad + ++ =∆ Ví dụ: Cho hàm s ố 1 52 − + − = x x y có ñồ th ị (C). Tìm ñ i ể m M trên (C) sao cho t ổ ng kho ả ng cách t ừ M ñế n hai ti ệ m c ậ n c ủ a (C) là nh ỏ nh ấ t. Giải: G ọ i (C) 1 52 ; 0 0 ∈       − +− x x xM hay         − +− 1 3 2; 0 0 x xM )1( 0 ≠x . Ti ệ m c ậ n ñứ ng: )(d 01 1 =−x ; Ti ệ m c ậ n ngang: ).(d 02 2 =+y Ta có: 1 3 121))(,())(,( 0 00021 − +−=++−=+= x xyxdMddMdT Áp d ụ ng b ấ t ñẳ ng th ứ c cô-si, ta có: 32min32 1 3 .12 0 0 = ⇒ = − −≥ T x xT . D ấ u “=” x ả y ra ( ) 3131 1 3 1 0 2 0 0 0 ±=⇔=−⇔ − =−⇔ xx x x )32;31( );32;31( −−−+−+⇒ MM . Vậy có hai ñiểm M cần tìm: )32;31( );32;31( −−−+−+ MM . [...]... (3m 2 − 2) x − 2 (1) (m là tham s ) 18 Cho hàm s y = x + 3m a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) khi m = 1 b Tìm các giá tr c a m ñ góc gi a hai ti m c n c a ñ th hàm s (1) b ng 450 (Đ thi ĐH Kh i A – 2008) ☺ Bí Kíp Kh o Sát Hàm S ☺ lot_xac2010@yahoo.com 14 19 Cho hàm s y = 4 x 3 − 6 x 2 + 1 (1) a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) b Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th hàm s (1), bi t r ng ti p tuy n ñó ñi qua... Cho hàm s y = x −1 a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) khi m = -1 b Tìm m ñ ñ th hàm s (1) ti p xúc v i ñư ng th ng y = x (Đ thi ĐH Kh i D – 2002) 2 mx + x + m 4 Cho hàm s y = (1) (m là tham s ) x −1 a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) khi m = -1 b Tìm m ñ ñ th hàm s (1) c t tr c hoành t i hai ñi m phân bi t có hoành ñ dương (Đ thi ĐH Kh i A – 2003) 3 2 5 Cho hàm s y = x − 3 x + m (1) (m là tham s ) a Kh o sát. .. = x 2 + mx − 2m − 4 3 Cho hàm s y = Đ nh m ñ hàm s có c c ñ i, c c ti u Tìm qu tích ñi m c c ñ i x+2 1 c a ñ th hàm s trên (ĐS: y = − x 2 + x − 1, x < −2 ) 4 2 x + (2m + 1) x + m + 1 4 Cho hàm s y = Đ nh m ñ hàm s có c c tr Tìm qu tích ñi m c c ti u c a x −1 2 x 3 − 3x + 1 ñ th hàm s trên (ĐS: y = , x >1) 3( x − 1) ☺ Bí Kíp Kh o Sát Hàm S ☺ lot_xac2010@yahoo.com 12 1 Cho hàm s y = − x 3 + 3mx 2 +... ) a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) khi m = 2 b Tìm m ñ hàm s (1) có hai ñi m phân bi t ñ i x ng nhau qua g c t a d (Đ thi ĐH Kh i B – 2003) 2 x − 2x + 4 6 Cho hàm s y = x−2 a Kh o sát và v ñ th hàm s b Tìm m ñ ñư ng th ng (d ) : y = mx + 2 − 2m c t ñ th hàm s trên t i 2 ñi m phân bi t (Đ thi ĐH Kh i D – 2003) 2 − x + 3x − 3 7 Cho hàm s y = (1) 2( x − 1) a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) b Tìm m ñ ñư... y = m c t ñ th hàm s (1) t i 2 ñi m A và B sao cho AB = 1 (Đ thi ĐH Kh i A – 2004) 3 2 8 Cho hàm s y = x − 3mx + 9 x + 1 (1) (m là tham s ) a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) khi m = 2 b Tìm m ñ ñi m u n c a ñ th hàm s (1) thu c ñư ng th ng y = x + 1 (Đ thi ĐH Kh i D – 2004) 1 9 G i (Cm) là ñ th c a hàm s y = mx + (1) (m là tham s ) x 1 a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) khi m = 4 b Tìm m ñ hàm s (1) có c... ) x + m 3 − m 2 (1) (m là tham s ) a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) khi m = 1 b Tìm k ñ phương trình: − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 2k 2 = 0 có 3 nghi m phân bi t c Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua 2 ñi m c c tr c a ñ th hàm s (1) (Đ thi ĐH Kh i A – 2002) 2 Cho hàm s y = mx 4 + m 2 − 9 x 2 + 10 (1) (m là tham s ) a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) khi m = 1 b Tìm m ñ hàm s (1) có 3 ñi m c c tr (Đ thi ĐH Kh i... Kh i B – 2008) 3 2 (1) 20 Cho hàm s y = x − 3 x + 4 a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) b Ch ng minh r ng m i ñư ng th ng ñi qua ñi m I(1; 2) v i h s góc k (k > -3) ñ u c t ñ th hàm s (1) t i 3 ñi m phân bi t I, A, B ñ ng th i I là trung ñi m c a AB (Đ thi ĐH Kh i D – 2008) x+2 (1) 21 Cho hàm s y = 2x + 3 a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) b Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th hàm s (1), bi t ti p tuy n ñó... ☺ Bí Kíp Kh o Sát Hàm S ☺ ) lot_xac2010@yahoo.com 13 x 2 + (m + 1) x + m + 1 10 G i (Cm) là ñ th c a hàm s y = (1) (m là tham s ) x +1 a Kh o sát và v ñ th hàm s (1) khi m = 1 b Ch ng minh r ng v i m b t kỳ, ñ th (Cm) luôn luôn có 2 ñi m c c tr và kho ng cách gi a hai ñi m ñó b ng 20 (Đ thi ĐH Kh i B – 2005) 1 3 m 2 1 11 G i (Cm) là ñ th c a hàm s y = x − x + (1) (m là tham s ) 3 2 3 a Kh o sát và... th hàm s (1) khi m = 2 b G i M là ñi m thu c (Cm) có hoành ñ b ng -1 Tìm m ñ ti p tuy n c a (Cm) t i M song song v i ñư ng th ng 5 x − y = 0 (Đ thi ĐH Kh i D – 2005) 3 2 12 a Kh o sát và v ñ th hàm s y = 2 x − 9 x + 12 x − 4 b Tìm m ñ phương trình sau có 6 nghi m phân bi t: 2 x − 9 x 2 + 12 x = m (Đ thi ĐH Kh i A – 2006) 2 x + x −1 13 Cho hàm s y = x+2 a Kh o sát và v ñ th (C) hàm s ñã cho b Vi t phương. .. bi t A, B sao cho tam giác OAB 25 Cho hàm s y= 3 (O là g c to ñ ) có di n tích b ng (Đ thi ĐH Kh i B – 2010) 26 Cho hàm s y = − x − x + 6 a Kh o sát và v ñ th (C) hàm s ñã cho 4 2 b Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C), bi t ti p tuy n vuông góc v i ñư ng th ng y = 1 x −1 6 (Đ thi ĐH Kh i D – 2010) -Chúc các b n thành công ☺ Bí Kíp Kh o Sát Hàm S ☺ lot_xac2010@yahoo.com 15 . – 2005) ☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 14 10. Gọi (C m ) là ñồ thị của hàm số 1 1)1( 2 + ++++ = x mxmx y (1) (m là tham số) . a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m =. th ị hàm s ố (1) b ằ ng 45 0 . ( Đề thi Đ H Kh ố i A – 2008) ☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ lot_xac2010@yahoo.com 15 19. Cho hàm số 164 23 +−= xxy (1). a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) trị của ñồ thị hàm số (1). (Đề thi ĐH Khối A – 2002) 2. Cho hàm số ( ) 109 224 +−+= xmmxy (1) (m là tham số) . a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm m ñể hàm số (1) có 3 ñiểm