C1 HAMSOLUONGGIAC PHUONGTRINHLUONGGIAC

NGUYỄN BẢO VƯƠNG TOÁN 11 CHƯƠNG I.HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÍ THUYẾT I Các công thức lƣợng giác Các đẳng thức: * sin2   cos2   với  * tan .cot   với   k với   k 2 cos2  *  cot   với   k sin  Hệ thức cung đặc biệt A.Hai cung đối nhau:   *  tan   cos( )  cos  tan( )   tan  B Hai cung phụ nhau:  cos(    )  sin  tan(  )  cot  sin( )   sin  cot( )   cot     sin(  )  cos   cot(  )  tan  C Hai cung bù nhau:     sin(   )  sin  cos(   )   cos  tan(   )   tan  cot(   )   cot  d) Hai cung  :     sin(  )   sin  tan(  )  tan  Các công thức lượng giác A Công thức cộng cos( a  b)  cos a.cos b sin a.sin b tan( a  b)  cos(  )   cos  cot(  )  cot  sin( a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b tan a  tan b tan a tan b b) Công thức nhân sin 2a  2sin a cos a BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC cos 2a  cos2 a  sin2 a   2sin2 a  2cos2 a  sin 3a  3sin a  4sin a cos3a  4cos3 a  3cos a C Công thức hạ bậc  cos 2a  cos 2a sin a  cos2 a  2  cos 2a tan a   cos 2a D Công thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b  [cos( a  b)  cos( a  b)] sin a.sin b  [cos( a  b)  cos( a  b)] sin a.cos b  [sin( a  b)  sin( a  b)] e Công thức biến đổi tổng thành tích cos a  cos b  cos sin a  sin b  sin tan a  tan b  tan a  tan b  ab ab cos ab ab cos 2 sin( a  b) cos a cos b sin( a  b) cos a cos b cos a  cos b  2 sin s in a - sin b  cos ab ab sin sin ab ab II Tính tuần hoàn hàm số Định nghĩa: Hàm số y  f ( x) xác định tập D gọi hàm số tuần hoàn có số T  cho với x  D ta có x  T  D f ( x  T )  f ( x) Nếu có số T dương nhỏ thỏa mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần hoàn với chu kì T III Các hàm số lƣợng giác Hàm số y  sin x  Tập xác định: D  R  Tập giác trị: [  1;1] , tức 1  sin x  x  R    Hàm số đồng biến khoảng (   k 2;  k 2) , nghịch biến khoảng 2  3 (  k 2;  k 2) 2  Hàm số y  sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng  Hàm số y  sin x hàm số tuần hoàn với chu kì T  2  Đồ thị hàm số y  sin x BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC y - -5 - -2 3 -3 -3 O   5 2 3 2 x 2 Hàm số y  cos x  Tập xác định: D  R  Tập giác trị: [  1;1] , tức 1  cos x  x  R  Hàm số y  cos x nghịch biến khoảng ( k 2;   k 2) , đồng biến khoảng (  k 2; k 2)  Hàm số y  cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng  Hàm số y  cos x hàm số tuần hoàn với chu kì T  2  Đồ thị hàm số y  cos x  Đồ thị hàm số y  cos x cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x theo véc tơ v  (  ; 0) y - -5 -3 - -2 -3 3  O  3 2 5 x Hàm số y  tan x  Tập xác định : D    \   k, k   2   Tập giá trị:  Là hàm số lẻ  Là hàm số tuần hoàn với chu kì T        Hàm đồng biến khoảng    k;  k     Đồ thị nhận đường thẳng x   Đồ thị   k , k  làm đường tiệm cận BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC y - -2 -5 -3 2 -  2 5 3  2 x 2 O Hàm số y  cot x \k, k   Tập xác định : D       Tập giá trị: Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T   Hàm nghịch biến khoảng  k;   k   Đồ thị nhận đường thẳng x  k, k   Đồ thị làm đường tiệm cận y - -2 -5 -3 2 -  2 5 3  2 x 2 O B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề Tập xác định tập giá trị hàm số Phƣơng pháp  Hàm số y  f ( x) có nghĩa  f ( x)  f ( x) tồn có nghĩa  f ( x)  f ( x) tồn f ( x)  sin u( x)   u( x)  k, k    cos u( x)   u( x)   k, k   1  sin x, cos x   Hàm số y  BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Các ví dụ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:  2 y  tan( x  ) y  cot (  3x) Lời giải    2 Điều kiện: cos( x  )   x    k  x   k 6  2  TXĐ: D  \   k, k   3  2 2 2   3x)    x  k  x  k 3  2   \  k , k   9  Điều kiện: sin( TXĐ: D  Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: tan x  y   cot(3x  ) sin x  Lời giải   sin x  1 x    k 2     Điều kiện:   sin(3x  )   x     k   18    n  ; k, n   Vậy TXĐ: D  \   k 2,   18   y  tan 5x sin x  cos 3x   Ta có: sin x  cos 3x  sin x  sin   3x  2   x   7x    cos    sin    2 4  4       x  10  k cos x      x    Điều kiện: cos       x   k 2 2 4    k 2   7x     0 sin   x   14        k   2m ,  n2,   Vậy TXĐ: D  \    14   10 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Bài Tìm tập xác định hàm số y  A D  C D   sin x cos 3x   2  \k , k       \k , k       \k , k     D D  \  k , k   B D        Lời giải: 2 Điều kiện: cos 3x    cos 3x   x  k , k  2  TXĐ: D  \  k , k    Bài Tìm tập xác định hàm số y  A D  C D   cos 3x  sin x     \   k , k         \   k , k      3  \   k , k      D D  \   k , k   B D        Lời giải: Do  cos 3x  x  nên hàm số có nghĩa   sin 4x     sin x  1  x    k , k      TXĐ: D  \   k , k      Bài Tìm tập xác định hàm số y  tan(2 x  )  3 k   ,k  A D  \   B D  8  C D   3 k  \  ,k 7  3 k  ,k D D  \   4  3 k   \  ,k  5        Lời giải:     k  x   3 k  ,k Vậy TXĐ: D  \   8 Điều kiện: x  3   k ,k    Bài Tìm tập xác định hàm số sau y   cot x  sin 3x BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM NGUYỄN BẢO VƢƠNG A D  C D  HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC   n2 \  k,  ; k, n     n2 \  k,  ; k, n            n2 \k ,  ; k, n     n2 D D  \  k,  ; k, n   B D        Lời giải:  x  k  x  k  Điều kiện:    2 sin 3x   x   k    n2  Vật TXĐ: D  \  k,  ; k, n     Bài Tìm tập xác định hàm số sau y  A D  C D   2  \  k , k 2; k   3   2  \  k , k 2; k   5  sin x  cos 3x  4  B D  \   k , k 2; k   5   4  D D  \   k , k 2; k   7  Lời giải: 5x x : Điều kiện: sin x  cos 3x   cos sin  2  5x  5x    2   k cos   2 x   k    5 sin x   x  k  x  k 2    2  2  , k 2; k   TXĐ: D  \   k 5  Bài Tìm tập xác định hàm số sau y  A D  C D       \  k ,  k ; k   12 4       \  k ,  k ; k   4  tan x sin x  cos x      B D  \   k ,  k ; k   3       D D  \   k ,  k ; k   12 3  Lời giải:      x k  x   k     Điều kiện:   sin x  cos x  2 sin(2 x   )    BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC        x   k  x   k    x    k x    k    12      TXĐ: D  \   k ,  k ; k   12 4  Bài Tìm tập xác định hàm số sau y  cot x sin x    5     5 \ k,  k 2,  k 2; k   B D  \ k ,  k 2,  k 2; k  6      5    5 C D  \ k,  k 2,  k 2; k   D D  \ k,  k 2,  k 2; k     Lời giải:  x  k  x  k   Điều kiện:    sin x  sin  sin x         x  k  x  k        x   k 2 x  x  2 cos(  12 ) sin(  12 )      x   k 2   5  TXĐ: D  \ k,  k 2,  k 2; k   6   A D          Bài Tìm tập xác định hàm số sau y  tan( x  ).cot( x  )  3    3   A D  \   k,  k; k   B D  \   k,  k; k   4  4      3   C D  \   k,  k; k   D D  \   k,  k; k   4  5  Lời giải:     3  x    k  x   k  Điều kiện:   x    k  x    k 3    3   TXĐ: D  \   k,  k; k   4  BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC  Bài Tìm tập xác định hàm số sau y  tan(2 x  )       A D  \   k , k   B D  \   k , k   2 3  4        C D  \   k , k   D D  \   k , k   2  12  8  Lời giải:       k  x  k 12    \  k , k    12  Điều kiện: x  TXĐ: D  Bài 10 Tìm tập xác định hàm số sau y  tan 3x.cot 5x A D  C D    n \  k , ; k , n  6   n \  k , ; k , n  6         n \  k , ; k , n  5   n D D  \   k , ; k , n  4 B D        Lời giải:    x   k  cos 3x    Điều kiện:  sin 5x   x  n    n  TXĐ: D  \   k , ; k , n   6  Vấn đề Tính chất hàm số đồ thị hàm số Phƣơng pháp Cho hàm số y  f ( x) tuần hoàn với chu kì T * Để khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, ta cần khảo sát vẽ đồ thị hàm số đoạn có độ dài T sau ta tịnh tiến theo véc tơ k.v (với v  (T ; 0), k  ) ta toàn đồ thị hàm số * Số nghiệm phương trình f ( x)  k , (với k số) số giao điểm hai đồ thị y  f ( x) y  k * Nghiệm bất phương trình f ( x)  miền x mà đồ thị hàm số y  f ( x) nằm trục Ox Chú ý: BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Dễ thấy (3) không thỏa (**) Biểu diễn (4) đường tròn lượng giác ta điểm B1 , B2 , B3 Trong có hai điểm B2 , B3 nằm Ox ( sin x  ) y B1 O B2 x B3  5 Hai điểm ứng với cung: x    k 2 x    k 2 6 Vậy nghiệm phương trình cho là: x     k Bài 2: Giải phương trình : cos 3x tan 4x  sin 5x A x  k 2, x   k 3  16  k 3 B x  k , x   16  k C x  k , x   16 D x  k, x   k  16 Lời giải: Điều kiện: cos 4x  Phương trình  sin 4x cos 3x  sin 5x cos 4x  sin7 x  sin x  sin9x  sin x  sin9x  sin7 x  x  k , x   k  16  Với x  k cos 4x  cos 4k   BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 133 NGUYỄN BẢO VƢƠNG  Với x  HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC   k   k cos x  cos     với k  16 4  Vậy nghiệm phương trình là: x  k, x  Bài 3: Giải phương trình  k , k  16  sin 3x  cos 3x    sin x  sin x A x   17   n x   2n 12 12 B x   17   2n x   n 12 12 C x   17   n x   2n 12 12 D x   17   2n x   2n 12 12 Lời giải:  sin 3x  cos 3x  Phương trình    2  sin 3x  cos 3x    sin x  sin x sin 3x  cos 3x  sin 3x  cos 3x  (*)      5 sin x  x  k (1), x   k (2)     12 12  Với nghiệm x    k 12     sin 3x  cos 3x  sin   3k   cos   3k    k  2n 4  4   Với nghiệm x  5  k 12  5   5  sin 3x  cos 3x  sin   3k   cos   3k    k  2n      Vậy nghiệm phương trình cho là: x   17   2n x   2n 12 12 Bài 4: Giải phương trình : tan 2x tan 3x tan7 x  tan 2x  tan 3x  tan7 x  k  2(2t  1) k  A x  với  k  3(2t  1) , t   k  6(2t  1)   k  2(2t  1) k  B x  với  k  5(2t  1) , t  12  k  6(2t  1)  BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 134 NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC  k  2(2t  1) k  C x  với  k  5(2t  1) , t   k  6(2t  1)   k  2(2t  1) k  D x  với  k  3(2t  1) , t  12  k  6(2t  1)  Lời giải:    x   k cos x       Điều kiện: cos x    x   k cos x     k   x  14   Phương trình   tan 2x(1  tan 3x tan7 x)  tan 3x  tan7 x Nếu tan 3x tan7 x   tan x  tan7 x  vô lí Nên ta có phương trình :  tan x   10 x  2 x  m  x  tan 3x  tan x  tan10 x  tan 3x tan x m 12 Loại nghiệm: Với toán sử dụng phương pháp loại nghiệm cách biểu diễn lên đường tròn lượng giác hay phương pháp thử trực tiếp phải xét nghiều trường hợp Do ta lựa chọn phương pháp đại số    m k    6k  m 12    m k    4k  m 12  m  12t    m k    12 k  m   ,t  k  t  14 12   k  2(2t  1) k  KL: Nghiệm phương trình là: x  với  k  3(2t  1) , t  12  k  6(2t  1)  Vấn đề Phƣơng trình lƣợng giác chứa tham số BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 135 NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Đây chuyên đề giới thiệu, nên giáo viên minh họa toán tự luận cho học sinh, chuyển toán trắc nghiệm thật không tốt Các ví dụ Ví dụ Tìm giá trị m để phương trình: sin( x   )  2m  vô nghiệm 10 Lời giải:    2m  Phương trình  sin  x    10    Nếu 1  2m      m  phương trình có nghiệm 2   2m   x   10  arcsin  k 2   x  9  arcsin 2m   k 2  10  m    phương trình vô nghiệm  Nếu  m   Ví dụ Giải biện luận phương trình: m cos 2x  m  Lời giải:  Nếu m  m1    phương trình có nghiệm m m1 x   arccos  k 2 m  Nếu m  phương trình vô nghiệm Ví dụ Cho phương trình : (m  1)cos x  2sin x  m  Giải phương trình m  2 Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải: Với m  ta có phương trình : 3cos x  2sin x  1 BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 136 NGUYỄN BẢO VƢƠNG  13 cos x  Với sin   13 sin x   ,cos   13  x     arccos 1 13 HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 13  cos( x  )   13   ;    0;  13  2  k 2  x    arccos 1 13  k 2 Phương trình cho có nghiệm  (m  1)2   ( m  3)2  m   Ví dụ Tìm m để phương trình:  m  1 cosx   m  1 sinx  2m  có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1  x2   Lời giải: Ta có phương trình cho tương đương với m 1 2m  2 m 1 cosx  2m  2  cos  x     cos (Trong cos   sinx  2m  m2  2m+3 (với đk 1  m 1 2m  2 2m  2 2m+3 ; cos  m2   (*) ) )  x      k 2 Do x1 , x2 có dạng x1      k1 2; x2      k2 2 (Vì x1,x2 thuộc họ nghiệm x1  x2  l2, l  Z ) Do đ ó: x1  x2    2( k1 k2 )2    cos 2( k1 k2 )2  cos    cos 2  Mặt khác cos2  2cos2  nên ta có:  m 1   m  1        2 m2   2m   2 BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 137 NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC  m2  4m    m   (ko thoả mãn (*)) Vậy không tồn m thoả mãn yêu cầu toán CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài Giải biện luận phương trình sau: 4sin 2x  2m   tan(2 x  )  m   ( m  1)cos2 (4 x  )  2m  m cot (2 x  )  2m  Lời giải: Phương trình  sin x   Nếu 2m   x  nghiệm  x   2m  (1)   2m      m  phương trình (1) có 2 2m  arcsin  k , k  2m   arcsin  k 2  5 3   Nếu m   ;     ;   phương trình (1) vô nghiệm 2 2   Lời giải:  Nếu m   phương trình (1) vô nghiệm    2m (2)  Nếu m   phương trình đa cho  cos2  x     m1   2m  m   m  ( ; 0]  (1; )   1  m  +) Nếu  1  m   2m   m    2m Phương trình (2)  cos  x     3 m1  BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 138 NGUYỄN BẢO VƢƠNG  2x  HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC    2m   2m    arccos    k 2  x    arccos    k , k    m1   m        m  1 +) Nếu  phương trình (2) vô nghiệm m  Lời giải: Với giá trị m ta có phương trình cho tương đương với 2x    k  arctan( m  1)  k  x   arctan( m  1)  12 2 Lời giải:  Nếu m   phương trình vô nghiệm    2m   Nếu m  phương trình ch tương đương với cot  x    8 m  +) Nếu (4) 2m  1     m  phương trình (4) vô nghiệm m  m  +) Nếu phương trình (4) có nghiệm   m  2x   2m    m   k    arc cot    k  x   arc cot   , k       m 16 m     Bài Giải biện luận phương trình sau: m sin2 2x  m   (2m  1) tan2 3x  m  Lời giải:  Nếu m   phương trình vô nghiệm  Nếu m   phương trình  sin 2 x  1 m m  1 m m  +)   1 m  m    phương trình vô nghiệm m  m  BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 139 NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC  x   +) m   phương trình có nghiệm :  x     1 m  arcsin     k  m    1 m    arcsin     k  2 m   Lời giải:  Nếu m   phương trình vô nghiệm  Nếu m  m2 phương trình  tan 3x  2m  +) Nếu 2  m   phương trình vô nghiệm  m  2  m   k +) Nếu    phương trình có nghiệm x  arc t an    2m   m     Bài Cho phương trình (m  1)sinx  m cos x  2m  (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x   , giải phương trình với giá trị m vừa tìm đượC Tìm m để phương trình cho có nghiệm Lời giải: Phương trình có nghiệm x     3 ( m  1)sin  m cos  2m   m  3 Bạn đọc tự giải phương trình Lời giải: Phương trình có nghiệm  (m  1)  m2  (2m  1)2  m2  m    m  Bài Tìm tất giá trị tham số m để phương trình BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 140 NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC cos 2x  cos2 x  3sin x  2m  có nghiệm Lời giải: Phương trình  3sin x  3sin x  2m  2 Đặt t  sin, t    1;1 Ta có phương trình : 3t  3t  2m  Xét hàm số f (t)  3t  3t , t    1;1 Bảng biến thiên t 1 f (t ) Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình cho có nghiệm   2m    1  m    cos 2x  (2m  1)cos x  m   có nghiệm  ;   2  Lời giải: Phương trình  2cos x   2m  1 cosx  m   cos x     cos x  1 cos x  m      cos x  m    Ta có : x   ;    1  cos x  2    Suy phương trình cho có nghiệm x   ;    1  m  2  Bài 5: Giải biện luận phƣơng trình :     8m2  sin3 x  4m2  sin x  2m cos3 x  BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 141 NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Lời giải:  Nếu m  , phương trình  sin3 x  sin x  sin x cos2 x   sin x   x  k  Nếu m  , chia hai vế phương trình cho cos3 x  ta   (8m2  1) tan x  (4m2  1) tan x  tan x  2m   4m2 tan3 x  (4m2  1) tan x  2m   (2m tan x  1)(2m tan2 x  tan x  2m)     x  arctan  k  tan x  tan x  m     2m 2m      x  arctan(4m)  k  2m tan x  tan x  2m   tan x  4m  2 KL:  Nếu m  phương trình có nghiệm x  k  Nếu m  phương trình có nghiệm x k 1 k , x  arctan  k, x  arctan(4m)  2m 2 2m sin x cos x   sin x  cos x    Lời giải:   t2  Đặt t  sin x  cos x  cos  x   , t    2;   sin x cos x    4  Thay vào phương trình ta có: t  m(t  1)  t    (t  1)(mt  m  1)     mt   m   x   k 2      t   cos  x     4   x  k 2  Xét phương trình : mt   m (*) BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 142 NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC +) Nếu m   (*) vô nghiệm +) Nếu  m  1   1 m m   2  m m  m    m  1    (*)  t   1 m   1 m    1 m  x   arccos   cos  x      k 2 m 4 m  m 2  1 m m  +)  vô nghiệm  (*)  t  m  1   m  1  KL:  Nếu 1   m  1   phương trình có nghiệm x    k 2 , x  k   m  1   phương trình có nghiệm  Nếu   m  1  x  1 m     k 2, x  k 2, x   arccos    k2  m 2 m cot x  cos2 x  sin x cos6 x  sin x Lời giải: Phương trình  m cos x cos x  sin x  3sin x cos x  Phương trình có nghiệm: x   Phương trình:   k m hay 3mt  4t  4m  (*)  sin x  3sin x Với t  sin x    1;1 \0  +) m  phương trình vô nghiệm +) m   phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt t1t2   nên có có nhiều nghiệm thuộc   1;1 BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 143 NGUYỄN BẢO VƢƠNG Nghiệm t  HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 2   3m2    1;1   3m   m 3m  3m2    3m2  9m4  144m2   m  Nghiệm t  2   3m2    1;1   3m   m vô nghiệm 3m m    Vậy : * Nếu  phương trình cho có nghiệm x   k  m  m    * Nếu  phương trình cho có nghiệm x   k  m  2   3m2  2   3m2 x  arcsin  k, x   arcsin  k 3m 2 3m Bài 6: Tìm m để phương trình m cos 2x  sin x  cos x cot x có nghiệm thuộc  0; 2  Lời giải: (1)  sin x  Phương trình   cos x( m sin x  1)  (2)  Nếu m   phương trình  cos 2x  x  3 5 7  m  thỏa yêu cầu toán ,x  ,x  ,x  4 4  m  Vì phương trình có nghiệm  0; 2  nêu yêu cầu toán  phương trình m sin x   vô nghiệm có nghiệm m   m        m  Điều xảy   m      m      m m 1 Vậy  giá trị cần tìm  m   BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 144 NGUYỄN BẢO VƢƠNG (1  m) tan x  HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC   3m  có nhiều nghiệm thuộc khoảng cos x    0;    Lời giải: Phương trình  Đặt t  1 m   4m  cos x cos x  t  x   1;   cos x Ta có phương trình : (1  m)t  2t  4m  (*) Yêu cầu toán  (*) có nhiều nghiệm t   (*) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2   1  m  m  1, m      '   m( m  1)    t1  t2   (t1  1)  (t2  1)  t t  (t  t )   (t1  1)(t2  1)  12     m  1, m  m  1, m  m  1, m      m     2m  2 0  0  0  m   1  m 1  m 1 1  m    4m  3m   m1 3 1  m   m    1 m    m tan x  tan x   có nghiệm cos2 x Lời giải: Phương trình  m tan x  tan x    tan x  (m  1) tan2 x  tan x   (1)  m   (*)  tan x   m  Ta có (*) có nghiệm   '  2m    m  Vậy m  giá trị cần tìm BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 145 NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC   cos 4x  cos2 3x  m sin2 x có nghiệm x   0;   12  Lời giải:  cos x m(1  cos x) Phương trình  cos2 x    2  cos3 2x  cos2 2x  3cos 2x   m(1  cos 2x)  cos x   (cos x  1)(4 cos x   m)    cos x  m         Vì x   0;   x   0;   cos x   ;1    12   6   Do phương trình cho có nghiệm  m3  1 0 m1 4 Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin x  cos4 x – cos2x  sin 2 x  m  Lời giải: Phương trình   sin 2 x  cos x  m   cos2 2x  4cos 2x  3  4m Đặt t  cos 2x  t  1;1 Ta có phương trình f (t )  t  4t  4m  Bảng biến thiên t 1 f (t ) 3 BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 146 NGUYỄN BẢO VƢƠNG HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC – PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm  3  4m    2  m  Bài 9: Chứng minh phương trình cosx  mcos2x  có nghiệm với m Lời giải: Phương trình  2m cos2 x  cos x  m  Đặt t  cos x , t  1;1 ta có phương trình 2mt  t  m   m   t  nghiệm phương trình  m  ta thấy phương trình có hai nghiệm t1 , t2 t1t2   hai nghiệm có nghiệm thuộc   1;1 BIÊN SOẠN VÀ SƢU TẦM 147