Chuyên đề: Dạy học định lý

Chuyên đề dạy học định líA/Báo cáo chuyên đề : I/Đặt vấn đề : Việc tổ chức HS hoạt động học tập để từ đod HS lĩnh hội và vận dụng kiến thức tốt là một vấn đề đáng quan tâm trong các nhà

Chuyên đề dạy học định lí

A/Báo cáo chuyên đề :

I/Đặt vấn đề :

Việc tổ chức HS hoạt động học tập để từ đod HS lĩnh hội và vận dụng kiến thức tốt là một vấn đề đáng quan tâm trong các nhà trờng phổ thông.Đối với trờng THCS của chúng

ta nói riêng đã trải qua nhiều năm,nhiều lợt tập huấn bồi dỡng phơng pháp giảng dạy cho giáo viên,mỗi một giáo viên đã có nhiều trăn trỡ,nghiên cứu tìm tòi phát hiện phơng pháp giảng dạy phù hợp với bộ môn đặc trng của bản thân mình,nhằm làm thế nào đó để HS lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái nhất và vận dụng tốt nhất vào việc giải các bài toán

Con đờng hình thành định lí cho HS và để HS vận dụng định lí vào việc chứng minh hình học là một vấn đề rất quan trọng,những định lí là những công cụ không thể thiếu đợc trong lao động chứng minh giải toán hình học.Đối với HS nói chung việc lĩnh hội kiến thức định lí còn nhiều khó khăn,HS thờng bị thụ động,ít say mê học hình học,hạn chế nữa là HS thờng không nhớ lâu và vận dụng vào việc chứng minh giải toán hình học thiếu sự linh hoạt.ở trờng THCS hiện nay “Định lí” đợc hình thành cho HS dới 2 dạng : Dạng 1 : Những định lí đợc hình thành cho HS trên cơ sở HS phải thừa nhận mà không yêu cầu chứng minh và đi vào vận dụng

Dạng 2 : Những định lí đợc hình thành trên cơ sở chứng minh hoàn chỉnh và đi đến vận dụng

Hơn nữa mỗi cấp học việc hình thành định lí có những mức độ khác nhau.Chính vì thế trong chuyên đề này tôi xin đa ra chuyên đề dạy học “định lí hình học” để từ đó các

đồng chí tham khảo,trao đổi,góp ý xây dựng phơng pháp dạy học “Định lí hình học” thế nào là phù hợp nhất,có hiệu quả cao nhất

II/Nội dung :

Nh các đồng chí đã biết,dạy học định lí dợc phân thành 2 dạng nh đã nêu ở trên

Dạng 1 : Định lí đợc hình thành cho HS trên cơ sở HS thông qua các hoạt động thao tác trực quan nh : Đo đạc,gấp hình rồi nhận xét và đI đến công nhận định lí mà không chứng minh.Ví dụ nh :(Định lí PYTAGO;Định lí về cạnh đối diện với góc lớn hơn;Định

lí về tính chất 3 đờng trung tuyến của tam giác;Định lí về tính chất 3 đờng cao của tam giác;Định lí về đờng tròn ngoại tiếp,đờng tròn nội tiếp-HH9 ).Dạng này chủ yếu ở lớp 7

Dạng 2 : Định lí đợc hình thành cho HS trên cơ sở HS hoạt động,xây dựng định lí và

đ-ợc chứng minh định lí hoàn chỉnh và đđ-ợc phân thành 2 loại :

+Loại 1 :Định lí đợc hình thành từ :Phát biểu định lí Phát triển dới dạng bàI toán C/

m bài toán Vận dụng định lí

VD :(Định lí quan hệ giữa góc đối diện với cangh lớn hơn;Định lí quan hệ giữa đờng vuông góc với đờng xiên;Định lí quan hệ giữa 3 cạnh của một tam giác;Định lí về tính chất của 3 đờng trung trực trong tam giác ).Dạng này phần lớn ở lớp 8;9

+Loại 2 : Định lí đợc hình thành : Phát biểu bài toán  c/m bài toán phát biểu định lí

Vận dụng định lí

VD : Định lí về quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông;Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây(HH9)

Nhng dù định lí diễn đạt dới dạng nào thì ngời GV cần phải linh hoạt,áp dụng phù hợp với từng mức độ yêu cầu của chơng trình,phù hợp với lứa tuổi HS.Để từ đó HS

không bị thụ động,thoải mái và hứng thú lĩnh hội kiến thức.Tránh sự chán nản trong hoạt

đọng học của HS (Đặc biệt là những định lí buộc HS phải thừa nhận mà không đợc chứng minh )

Theo bản thân khi dạy học định lí phải làm đợc những việc cơ bản sau :

1.Làm cho HS hiểu thế nào là định lí,định lí khác tiên đề ở chỗ nào.(Chủ yếu áp dụng cho HS đầu lớp 7)

2.Làm cho HS thấy rõ sự cần thiết của định lí sắp học.(Bớc này gây hứng thú và tạo động cơ học tập cho HS)

3.Tập cho HS phát biểu đợc định lí,liệt kê đợc GT-KL của định lí (Dới dạng phát biểu bài toán nếu có thể)

4.Tập cho HS hình thành đờng lối chứng minh,trình bày chứng minh định lí.Phần này tuỳ theo mức độ yêu cầu và khả năng tiếp cận của HS và đợc chia làm 3 mức độ sau :

Mức độ 1 :HS hiểu chứng minh(HS mới bắt đầu làm quen định lí)

Mức độ 2 :HS trình bày lại chứng minh(HS tập dợt chứng minh định lí)

Mức độ 3 :HS độc lập tiến hành chứng minh định lí (HS đã làm quen với chứng minh

định lí.Nhng đợc sự hớng dẫn của GV)

5.Củng cố :

*Tập cho HS xét mệnh đề đảo,phát biểu và tìm cách chứng minh,xết xem mệnh đề đảo

có chứng minh đợc hay không

*Biết nhận dạng và thể hiện định lí,vận dụng định lí linh hoạt vào các bài toán cụ thể

Từ những yêu cầu trên,khi dạy học “Định lí hình học” bản thân xin chia thành các hoạt

động cơ bản sau :

HĐ1 : Làm cho HS thấy đợc sự cần thiết của định lí sắp học,gây hứng thú và tạo động cơ học tập (áp dụng cho cả 2 dạng hình thành định lí)

Ví dụ1:Trong định lí “Tổng 3 góc của một tam giác” có thể đặt câu hỏi nh sau:

?1 Tổng số đo 3 góc của những tam giác khác nhau có chung đặc điểm gì

?2 Tổng số đo 3 góc của tam giác nào có số đo lớn hơn(Nh hình vẽ)

tam giác” có thể đặt câu hỏi nh sau:

?2 Tại sao đoạn đờng từ A đến C là ngắn nhất ? Cơ sở toán học ở đây là gì

B

A C

bằng trực quan nh :Đo đạc,gấp hình rồi rút ra nhận xét.(áp dụng cho cả 2 dạng định lí)

Đối với HS lớp 7 mới tiếp cận với định lí cần chú trọng có hoạt động này,ở lớp 8;9 trình bày đợc nếu có thể

Thực hiện tốt các hoạt động này giúp cho HS say mê tìm tòi hơn,có hứng thú học tập hơn,không bỡ ngỡ đột ngột khi đi vào tiếp thu một nội dung định lí.Ngoài ra còn giúp

cho HS phát triển đợc trí tuệ theo lối suy diễn từ một nội dung nhận xét đợc phát triển thành 1 mệnh đề tóan

học “Định lí” (Đối với những định lí đơn giản có thể phát biểu đợc)

Ví dụ 1 : Định lí “Góc đối diện với cạnh lớn hơn”.Từ hoạt động cắt hình,gấp hình bằng

so sánh trực quan giữa cạnh và góc đối diện

Từ đó HS rút ra nhận xét về mối quan hệ “Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn”

và có thể phát biểu thành một nội dung định lí

Ví dụ 2 : Định lí “Bất đẳng thức tam giác”

Qua hoạt động vẽ hình tam giác với 3 cạnh là 3 độ dài1cm,2cm và 4cm.HS không vẽ

đ-ợc từ đó HS có suy nghĩ rằng : Vậy thì với 3 độ dàI thoả mãn yếu tố gì mới vẽ đđ-ợc tam giác?

Qua so sánh ttổng độ dàI 2 cạnh bằng đo đạc với độ dàI cạnh còn lại HS dễ dàng rút ra

đ-ợc nhận xét “Tổng độ dàI 2 cạnh bao giờ cũng lớn hơn độ dàI cạnh còn lại” (Hình vẽ)

B

A C

dạng định lí)

Ví dụ 1 : Từ nhận xét “Tổng độ dàI 2 cạnh thì lớn hơn độ dàI 1 cạnh trong một tam giác”

ở trên,GV luyện cho HS phát biểu hành định lí “Trong một tam giác,tổng độ dàI hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dàI cạnh còn lại” hoặc phát biểu dới dạng khác.GV thống nhất lại định lí

Ví dụ 2 : Từ thao tác gấp hình rồi đến nhận xét:Khoảng cách từ đIểm M thuộc tia phân giác góc O đến 2 cạnh Ox và Oy là bằng nhau.Thì HS dễ hình dung và phát biểu thành một định lí “ĐIểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều 2 cạnh của góc đó” (Hình vẽ)

x

A

O

M

B y

Hoạt động này tập HS phát biểu một cách thoải mái,tránh gò ép.Nếu không đúng thì GV cần thống nhất lại

HĐ 4:Liệt kê phần GT,KL của định lí từ hình vẽ

Để thực hiện đợc hoạt động này có thể dễ với HS tuỳ vào mức độ của từng định lí.Nhng nhìn chung HS khó thực hiện đợc.Đối với những định lí phát biểu dới dạng

“Nếu thì ” HS dễ liệt kê hơn.Các định lí khác,có định lí phải phát biểu dới dạng bài toán cụ thể rồi HS mới liệt kê đợc GT-KL

Ví dụ : Định lí “Bất đẳng thức tam giác”

Nhìn vào định lí thì HS không dễ liệt kê đợc,cần phát biểu thành bài toán nh sau : (Hình vẽ) B

Cho tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:

AB + AC > BC

AB + BC > AC

AC + BC > AB A

C

Lúc này HS dễ dàng liệt kê đợc GT,KL của định lí HĐ 5: Tập cho HS hình thành ý tởng kẻ đờng phụ,đờng lối phơng pháp chứng minh và trình bày chứng minh định lí (Phần này rất quan trọng đối với HS) *ý tởng phát hiện hoạt động các thao tác phụ(Kẻ đờng phụ).Đây là một hoạt đọng nhằm giúp cho HS hình dung ra đợc những thao tác này.Nhờ có các hoạt động thao tác ở HĐ2 mà HS dễ hình dung ra những thao tác phụ đó Ví dụ 1: ở định lí “Góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác” Qua thao tác gấp hình,đo đạc HS hình dung đợc khi chứng minh cần tạo ra đợc tia phân giác AM của góc A,và dựng B’ thuộc AC sao cho AB’ = AB.Từ đó phân tích và thực hiện trình bày chứng minh(Nh hình vẽ) A

B’

B M C Ví dụ 2 :ở định lí “Bất đẳng thức tam giác” Khi thao tác hoạt động dời cạnh AC đặt thẳng hàng nối với cạnh AB để so sánh BD (= AB + AC) với cạnh BC ta tạo ra tam giác mới là tam giác BDC.Vậy phảI biết xác định đIểm D trên tia đối của tia AB và hình thành tam giác mới BDC ta dễ so sánh đợc BD > BC.(Hình vẽ) D A

ph-ơng pháp sau :

 Phơng pháp phân tích đi lên

 Phơng pháp phân tích tổng hợp

 Phơng pháp phân tích phản chứng

Tuỳ vào từng dạng định lí GV nên hớng dẫn HS phân tích phù hợp với từng định lí

Nhng nên hớng dẫn HS phân tích theo phơng pháp phân tích đI lên(Nếu có thể) phơng pháp này HS dễ hình dung đờng lối và trình bày chứng minh hơn.Trờng hợp định lí không thể phân tích đợc theo dạng đó thì buộc phảI phân tích theo các phơng pháp

khác(Trờng hợp này HS thờng khó hình dung đờng lối và phơng pháp chứng minh)

Ví dụ 1 : ở định lí “Bất đẳng thức tam giác”

Khi phát triển đựoc tam giác BDC thì cần hớng cho HS phân tích theo phơng pháp “phân tích đI lên” để chứng minh theo sơ đồ sau :

AB + AC > BD (1) D

BD > BC (BD = AB + AC) (2)

A

BCD > ADC (3)

?

Qua phân tích nh trên HS dễ biết đợc cần phảI sử dụng kiến thức hay định lí nào từ GT

để suy ra bớc(4),từ đó HS dễ suy ra các phép chứng minh tiếp theo (Nêu rõ căn cứ),tức là

HS đã trình bày đợc chứng minh định lí

Ví dụ 2 : ở định lí “Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn trong 1 tam giác”

Định lí này không thể phân tích đợc theo phơng pháp trên,trong chơng trình không yêu cầu HS chứng minh,nhng GV cần hớng dẫn để đối tợng HS khá giỏi tham khảo và thực hiện chứng minh ở nhà bằng phơng pháp “Phân tích phản chứng” nh sau (Hình vẽ) A

Giả sử AC < AB => Dẫn đến đIều vô lí (Theo định lí 1)

AC = AB

C

HĐ 6 : Hoạt động củng cố kiến thức và vận dụng định lí để giảI bàI tập hoặc chứng minh

định lí khác

B1: HS nắm lại đợc cấu trúc định lí với các yếu tố ở phần GT,KL.Vận dụng linh hoạt vào một số bàI tập cơ bản dể HS củng cố định lí.Ví dụ nh ở định lí “Bất đẳng thức tam

giác”(HH7) cần đa ra BT15 để củng cố định lí,rồi dần dần cho HS vận dụng giảI các bàI toán với yêu cầu cao hơn,có tính thực tiễn hơn.Ví dụ nh BT21,22(HH7)

B2: Phát hiện diễn đạt định lí theo những cách khác nhau nhng nội dung vẫn không thay

đổi (Nếu định lí có cách phát biểu khác).Ví dụ nh ở định lí “Bất đẳng thức tam giác” có thể phát biểu “trong một tam giác độ dàI một cạnh bao giờ cũng bé hơn tổng độ dàI hai cạnh còn lại”

B3: Từ định lí vừa học có thể tập cho HS kháI quát hoá,đặc biệt hoá,hay xét mệnh đề

t-ơng tự,mệnh đề đảo và tìm cách chứng minh mệnh đề đảo(Đối với những định lí không

đa định lí đảo vào chơng trình tiết dạy).Phần này chỉ mở rộng cho HS vận dụng vào tiết luyện tập hay hớng dẫn học ở nhà

Ví du : ở định lí thuận với tứ giác nội tiếp,việc phát hiện mệnh đề đảo và chứng minh mệnh đề đảo là không khó khăn đối với HS lớp 9,vì thế GV nên hớng dẫn HS tự phát

giác đó nội tiếp đựoc một đờng tròn”

B4: Rèn luyện HS cách chuyển từ phát biểu một định lí thành một bàI toán và ngợc lại (Có định lí đợc hình thành thông qua bài toán cụ thể,nhng thờng thì định lí đợc phát biểu sau đó mới phát biểu thành bài toán rồi chứng minh định lí)

HĐ 7 : Tổ chức HS hoạt đọng tìm phơng pháp chứng minh khác của định lí(Nếu có) Phần này chủ yếu hớng dẫn gợi ý cho HS tìm tòi phơng pháp chứng minh khác ở nhà hay

ở tiết luyện tập,trong tiết dạy GV nên gợi mở phát hiệ cho HS tìm tòi.Từ đó HS có ý thức tìm tòi,sáng tạo,hứng thú hơn,tin tởng hơn về tính thuyết phục của định lí và HS thấy đợc rằng việc học chứng minh định lí thật là phong phú

Ví dụ 1 : ở định lí “Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn”

Cần hớng dẫn cho HS chứng minh theo phơng pháp khác (Nh hình vẽ).

Cần xác định B’ thuộc AC sao cho A

AB’ = AB.Do đó

Từ cạnh AC > AB

Ta cần c/m : Bˆ > Cˆ B’

Ta quy về c/m Bˆ'= Bˆ > Cˆ

Ví dụ 2 : ở định lí : “ Bất đẳng tam giác” cần hớng cho HS chứng minh theo phơng pháp khác nh sau (Nh hình vẽ) :

Từ A kẻ AH vuông góc với BC(Giả sử BC là cạnh lớn nhất).Sử dụng cạnh đối diện với góc lớn hơn trong tam giác vuông A

Ta cần c/m AB > BH

+

AC > HC

_

ph-ơng pháp chứng minh khác thì chắc chắn rằng HS không phát huy đợc tính sáng tạo,HS

bị đơn độc trong phơng pháp chứng minh định lí

III/Thể hiện tiết dạy chuyên đề :BàI “ Tính chất ba đờng trung trực của tam giác”

1.Phân tích s phạm bàI dạy :

 Nội dung kiến thức :

Trong bàI dạy này có 2 nội dung kiến thức cơ bản đó là :

+Một là :KháI niệm về đờng trung trực của tam giác

Phần này gồm những kiến thức sau :

- KháI niệm đờng trung trực của tam giác

- Vẽ đờng trung trực của tam giác

- Nhận biết tam giác có 3 đờng trung trực

- Nhận xét : Trong tam giác bất kì không nhất thiết đờng trung trực phảI đI qua đỉnh đối diện với cạnh ấy

.Trong tam giác cân,đờng trung trực của cạnh đáy đồng thời là

đờng trung tuyến ứng với cạnh ấy.(T/c này yêu cầu HS c/m)

+Hai là :Tính chất 3 đờng trung trực của tam giác

Phần này gồm những kiến thức sau:

- Hoạt động trực quan  nhận xét Hình thành nội dung định lí

- Phát biểu định lí  phát triển thành bàI toán Liệt kê phần GT,KL của định lí từ hình vẽ của bàI toán

- Hình thành đờng lối chứng minh(Phân tích Tìm hớng c/m theo phơng pháp phân tích đI lên)

- Trình bày chứng minh(Trên cơ sở đã phân tích hình thành đờng lối chứng

minh,GV hớng dẫn HS trình bày lại ở nhà,hơn nữa phần c/m đã có ở SGK)

- Vận dụng định lí : Đa BT53-SGK để củng cố định lí

.Đa BT52-SGK,bàI tập này là xét mệnh đề đảo của T/c về đờng trung trực trong tam giác cân,từ nhận xét ở mục 1

Hớng dẫn HS chứng minh mệnh đề đảo này.Sau khi c/m

xong,hình thành cho HS phát biểu dới dạng:

Tam giácABC cân <-> Đờng trung trực thuộc cạnh đáy cũng là đờng trung tuyến ứng vơia cạnh ấy

Đa BT57-SGK để củng cố định lí đồng thời vận dụng định lí vào thực tiễn(Tìm bán kính của một chi tiết máy bị gãy,nh hình vẽ bên)

-HS nhận biết đợc đờng tròn ngoại tiếp đI qua 3 đỉnh của một tam giác có tâm là giao

đIểm của 3 đờng trung trực.Biết đợc giao đIểm 3 đờng trung trực của tam giác có thể (Nằm trong tam giác;nằm ngoàI tam giác;nằm trên một cạnh của tam giác) thông qua BT54-SGK

 Kiến thức liên quan bổ trợ :

- Nội dung định lí 1,2 ở Bài 7 chơng III

- Vẽ đờng trung trực của một đoạn thẳng bằng thớc và compa

- Tính chất của tam giác cân

- Chứng minh hai tam giác bằng nhau

2.Thiết kế bàI dạy : Tính chất ba đờng trung trực của tam giác