ĐỀ KIỂM TRA (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn: x 3 + y 3 = x – y. Chứng minh rằng x 2 + y 2 <1 Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 6x + 2008y + 12045= 0 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của: với a, b, c là các số dương và a 2 + b 2 + c 2 = 3 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của : Bài 5: Tìm các số tự nhiên a, b, c ( ) thỏa mãn đẳng thức: Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H, I là 1 điểm trên đoạn thẳng HD. Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC tại M và cắt đường thẳng CD kéo dài tại N sao cho IM = IN. Chứng minh rằng, tam giác BMN là tam giác cân. ĐÁP ÁN ĐỀ21 Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn: x 3 + y 3 = x – y. Chứng minh rằng x 2 + y 2 <1 Lời giải: Ta có: (x – y)(x 2 + y 2 – 1) = x 3 + xy 2 – x 2 y – y 3 – (x – y) = x 3 + xy 2 – x 2 y – y 3 – (x 3 + y 3 ) = –y(x 2 + 2y 2 – xy) (1) Vì (x – y) > 0 nên từ (1) suy ra x 2 + y 2 – 1<0, hay là x 2 + y 2 <1. ĐPCM. Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 6x + 2008y + 12045= 0 Lời giải: Ta có: xy + 6x + 2008y + 12045= 0 x(y + 6) +2008(y + 6) –3 =0 (x + 2008)(y + 6) = 3 Kết luận: Nghiệm của phương trình: (x;y) = (–2007; –3), (–2005; –5), (–2009; –9), (–2011; –7) Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của: với a, b, c là các số dương và a 2 + b 2 + c 2 = 3 Lời giải: Ta có: (ab 2 + bc 2 + ca 2 )(a + b + c) – (ab + bc + ca) 2 = =(ab 3 + bc 3 + ca 3 ) – (a 2 bc + ab 2 c + abc 2 ) (1) Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số thực dương, ta có: ab 3 + ab 3 + bc 3 + ca 3 + ca 3 + ca 3 + ca 3 =7a 2 bc Hay là 2ab 3 + bc 3 + 4ca 3 7a 2 bc (2) Tương tự như vậy, ta có: 4ab 3 + 2bc 3 + ca 3 7ab 2 c (3) Và ab 3 + 4bc 3 + 2ca 3 7abc 2 (4) Từ (2), (3), (4) cộng vế theo vế, ta suy ra: 7(ab 3 + bc 3 + ca 3 ) 7(a 2 bc + ab 2 c + abc 2 ) (ab 3 + bc 3 + ca 3 ) – (a 2 bc + ab 2 c + abc 2 ) 0 (5) Từ (1) và (5) suy ra (ab 2 + bc 2 + ca 2 )(a + b + c) – (ab + bc + ca) 2 0 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1 Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại (a; b; c) = (1; 1; 1) Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của : Lời giải: Đặt 3x + 4 = y. Khi đó và Ta có P > 0 và do đó giá trị lớn nhất P max > 0, và ta chỉ cần xét trường hợp Với , ta có: (1) Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số dương, ta có: (2) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Từ (1) và (2) suy ra Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy P max = đạt đượt tại Bài 5: Tìm các số tự nhiên a, b, c ( ) thỏa mãn đẳng thức: (1) Lời giải: Xét các trường hợp sau: – a = 1. Khi đó (1) Trường hợp này loại vì – a = 2. Khi đó (1) (2) Xảy ra các trường hợp: *) b ≤ 3. Khi đó Thay vào (3) ta có . Điều này vô lý, loại. *) b = 4. (2) *) b = 5. (2) *) b = 6. (2) *) b ≥ 7. Khi đó: (loại) – a = 3. Khi đó (1) (3) Vì b a 3 nên xảy ra: b = 3. (3) b = 4. (3) b 5. (loại) – a 4. Khi đó (loại) Vậy (a; b; c) = (2; 4; 15), (2; 5; 9), (2; 6; 7), (3; 3; 8), (3; 4; 5) Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H, I là 1 điểm trên đoạn thẳng HD. Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC tại M và cắt đường thẳng CD kéo dài tại N sao cho IM = IN. Chứng minh rằng, tam giác BMN là tam giác cân. Lời giải: Qua I kẻ đường thẳng M’N’ vuông góc với BI ở đó M’ AC, N’ CD. Vì D là điểm đối xứng của A qua BC nên tam giác DBC là tam giác vuông tại D. Và từ đó dễ dàng nhận thấy các tứ giác BIDN’ và BIM’A là các tứ giác nội tiếp. Ta có: BN’I = BDI (1) BDI = BAI (Tam giác ABD là tam giác cân) (2) BAI = BM’I (3) Từ (1), (2), (3) suy ra BN’I = BM’I BM’N’ là tam giác cân tại B. (4) IM’ = IN’ Bây giờ ta sẽ chứng minh MN M’N’. Thật vậy, giả sử ngược lại MN M’N’. Vì các đường thẳng MN và M’N’ cắt nhau tại I là trung điểm của mỗi đường nên tứ giác MM’NN’ là hình bình hành MM’ song song với NN’. Điều này vô lý vì MM’ cắt NN’ tại C. Vậy MN M’N’ và từ kết quả ở (4) ta suy ra BMN là tam giác cân. ĐPCM. . N sao cho IM = IN. Chứng minh rằng, tam giác BMN là tam giác cân. ĐÁP ÁN ĐỀ 21 Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn: x 3 + y 3 = x – y. Chứng minh rằng. Kết luận: Nghiệm của phương trình: (x;y) = (–2007; –3), (–2005; –5), (–20 09; 9) , (–2011; –7) Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của: với a, b, c là các số dương