Định thức

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 2: Định thức • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2007) NỘI DUNG - I – Định nghĩa định thức ví dụ II – Tính chất định thức III – Khai triển Laplace I Định nghĩa ví dụ Cho A = ( aij ) n×n ma trận vuông cấp n Định thức A số ký hiệu det ( A) = aij n×n = A Ký hiệu M ij định thức thu từ A cách bỏ hàng thứ i cột thứ j ma trận A; Định nghĩa bù đại số phần tử aij Bù đại số phần tử aij đại lượng Aij = (−1)i + j M ij I The Determinant of Matrix Định nghĩa định thức qui nạp a) k =1: A = [ a11 ] → A = a11  a11 a12  → A = a11 A11 + a12 A12 = a11a22 − a12 a21 b) k =2: A =    a21 a22   a11 a12 c) k =3: A =  a21 a22  a31 a32 a13  a23  → A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13  a33   a11 a12 L d) k =n:A =  *  a1n   → A = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n  I The Determinant of Matrix Ví dụ 1 − 3 A = 2    3  Tính det (A), với Giải A = 1×A11 + ×A12 + (−3) ×A13 A12 = (−1)1+ 1+1 A = 1⋅ (−1) −3 1+ 2 = ( −1) = = −8 4 0 1+ 2 1+3 + ⋅ (−1) + (−3) ⋅ (−1) 4 A = 12 − 16 + 15 = 11 II Tính chất định thức Có thể tính định thức cách khai triển theo hàng cột tùy ý * A = ai1 L * a1 j A= * a2 j * L anj ain = ai1 Ai1 + Ai + L + ain Ain = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj II Properties of Determinant Ví dụ Tính định thức det (A), với  − 3 A = 5 2   4 0 Giải Khai triển theo hàng thứ 3 −1 3 −1 3+1 3+1 − A = 2 = ⋅ (−1) 2 = ⋅ (−1) = −32 2 0 0 II Properties of Determinant Ví dụ  −3  Tính định thức det (A), với A =   −2  −1  2 4÷ ÷ 2÷ 5÷  II Properties of Determinant Giải Khai triển theo cột thứ hai −3 3 A= −2 −1 = (−3) ×A12 + ×A22 + ×A32 + ×A42 = −3 A12 A = −3 − =  = −171 −1 II Properties of Determinant Định thức ma trận tam giác tích phần tử nằm đường chéo Ví dụ −1 −3 A=0 0 0 0 4 = ⋅ (−3) ⋅ ⋅ ⋅1 = −120 Example f ( x) = x 3 −2 x2 + 3 x3 + x 2x +1 Which one of the following statements is true? a) The order of polynomial f(x) is b) The order of polynomial f(x) is c) The order of polynomial f(x) is d) The others statements are false Example Calculate the determinant of the following matrix 1+ i   A= i ÷  ÷  − i −i ÷   Example Calculate the determinant I=2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Example Solve the equation, where a, b, c are real numbers x2 x3 a a2 a3 x b b c c2 b c3 =0 Example Solve the equation 1 L 1 1− x L 1 2− x L L L L L L 1 =0 L n−x Example Find the determinant 1 I=1 L 1 L 1 L L L L L L 1 L Example Find the determinant Dn = L L 0 L L L L L L 0 L Example 10 Solve the following equation in C x x −2 0 0 =0 Example 11 Calculate det(A) using Laplace’s Expansion, where 2 1  A =  −3  2 3  −2 5 5 2÷ ÷ 1÷ ÷ 4÷ 1÷  Example 12 Find an inverse of the following matrix A, using the Determinant’s formula 1  A =  −1÷  ÷ 3 ÷   Example 13 Find an inverse of the following matrix A, using the Determinant’s formula 1  −1 A= 5  1 0 0 0÷ ÷ 0÷ ÷ 2 Example 14 Find all m such that a matrix A is invertible 1 2 A= 5   −1 1 2 1 3÷ ÷ m÷ ÷ −3  Example 15 Find all m such that a matrix A is invertible   1  A =  m ÷ ÷  ÷ ÷  −1÷ ÷    Example 16  1 1  ÷ Let A =  ÷  3 5÷   1) Calculate det (A-1) 2) Calculate det (5A)-1 3) Calculate det (PA) Example 17 Let A ∈ M 3[ R ]; B ∈ M 3[ R ];det( A) = 2;det( B) = −3 1) Find det (4AB)-1 2) Find det (PAB)